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連續函數
Continuity
定義：連續(continuous)
設f(x)在x=a的附近有定義且包括a。則
f(x)在x=a連續  lim f ( x )  f (a )
x a
1. 檢查f(a)是否可以計算
2. 檢查 lim f ( x ) 極限是否存在
x a
3. 檢查f(a)與極限 lim f ( x )是否相等
x a
 x 2  x  12
; x  3

例：說明函數 f ( x )   x  3
在
 7
; x  3
x=-3處是否連續。
解：
x 2  x  12
( x  3)( x  4)
lim f ( x )  lim

lim
x 3
x 3
x 3
x3
x3
 lim ( x  4)
x 3
 7
 f ( 3)
所以，函數f在x=-3處連續。
定理：
(1) 多項式函數在每一點都是連續的。
(2) 有理函數
連續。
P( x)
Q( x )
除了在分母Q(x)=0的x之外都
(3) 三角函數、指數函數、對數函數，在它們
的定義域均連續。
(4) 給定兩個連續函數和之後，把它們相加、
相減、相乘、相除之後，所得到的新函數f+g，
f
 0)
f-g，fg，
也都是連續函數。
g (g
 x2  x  2
,x  2

例題：設 f ( x )   x  2
，請問f(x)

1
,x  2

是否是連續函數？
解：由定理，我們只需檢查f(x)在x=2是否連續。
2
x  x2
lim f ( x )  lim
x2
x2
x2
( x  2)( x  1)
 lim
x2
x2
 lim( x  1)  3  1  f (2)
x2
所以f(x)在x=2不連續。
cx  1 ; x  3

例：設 f ( x )   2
為連續函數，
 cx  1 ; x  3
求c值。
lim
f
(
x
)

f
(3)
解：
x 3
lim f ( x )  lim f ( x )  f (3)
x 3
x 3
lim(
cx  1)  c(3)  1

2
x3
9c  1  3c  1
6c  2
1
c
3
隨堂練習：
2 x2  5 x  3
;x  3

(1) 說明 f ( x )  
在x=3處
x3
 6
;x  3
是否連續？
 x2  4
;x  2
 x2
 2
(2) 若 f ( x )   ax  bx  3 ;2  x  3 為連續函
2 x  a  b
;x  3


數，求a，b。
中間值定理(The intermediate value theorem)
假設f(x)在[a,b]上連續的，且N是f(a)和f(b)之間
的任一數，則在[a,b]中至少存在一數c，使得
f(c)=N。
勘根定理(Locating root theorem, Bolzano’s
theorem)
假設f(x)在是連續的，且f(a)和f(b)異號，即
f(a)f(b)<0。則至少有一個c(a,b)使得f(c)=0。
即方程式f(x)=0至少有一個根在(a,b)。
例題：求證x3+x-1=0至少有一實根。
證：設f(x)=x3+x-1
因為f(0)=0+0-1<0且f(1)=1+1-1=1>0，
所以f(0)f(1)<0，
又f(x)在R上連續，
因此由勘根定理知方程式x3+x-1=0在(0,1)
至少有一個實根。