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p.188
幾何圖形的面積公式
• 正方形
a2
a
b
• 長方形
ab
a
• 三角形
1
ah
2
h
a
• 平行四邊形
h
a
ah
b
• 梯型
h
a
r
• 圓型
• 橢圓形
a
b
1
( a  b) h
2
r 2
ab
p.189
p.190
p.190
黎曼和
y=f(x)
• 區域A的面積，可經下
面四個步驟來求得。
1. 切成n個等寬的區間
2. 在每個區間各取一個水
平線形成n個長方形
3. 計算n個長方形面積總
和 Sn
4. 計算 Sn的極限值
A
a
b
f ( a 3 
ba
寬度 
n
ba
)
n
3
a
a 3 
ba
n
b a
第i個長方形高度  f(a 
i)
n
n
ba
ba
Sn  
 f (a 
 i)
n
n
i1
A的面積  lim Sn
n
y=f(x)
A
0
b
ba
ba
Sn  
 f (a 
 i)
n
n
i1
n
n
b bi
Sn    f ( )
n
i 1 n
b n bi
  f( )
n i 1 n
b
b
2b
S2   [ f ( )  f ( )]
2
2
2
b
b
2b
3b
S3   [ f ( )  f ( )  f ( )]
3
3
3
3
p.190
1
0
1
2
3
4
5
S6   [f( )  f( )  f( )  f( )  f( )  f( )]
2
2
2
2
2
2
2
1 0 1 4 9 16 25
 (      )
2 4 4 4 4 4 4
1 55
55
 
  6.875
2 4
8
1
1
2
3
4
5
6
S6   [ f ( )  f ( )  f ( )  f ( )  f ( )  f ( )]
2
2
2
2
2
2
2
1 1 4 9 16 25 36
 (      )
2 4 4 4 4 4 4
1 91 91
 

 11.375
2 4
8
p.192
1
0
1
2
3
4
5
S6   [f( )  f( )  f( )  f( )  f( )  f( )]
2
2
2
2
2
2
2
1 0
1
4
9
16
25
  [(  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1)]
2 4
4
4
4
4
4
1 79
 
2 4
79

 9.875
8
1
1
2
3
4
5
6
S6   [ f ( )  f ( )  f ( )  f ( )  f ( )  f ( )]
2
2
2
2
2
2
2
1 1
4
9
16
25
36
  [(  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  (  1)]
2 4
4
4
4
4
4
1 115
 
2 4
115

 14.375
8
p.193
數列與級數
ai=1
• 數列{ai}：1,1,1,1,1,1,1, …
ai=i
• 數列{a } ：1,2,3,4,5,6,7, …
i
• 數列{ai} ：2,4,6,8,10,12, …
ai=2i
• 數列{ai} ：1,3,5,7,9,11, …
ai=2i-1
• 數列{ai} ：1,4,9,16,25,36, …
ai=i2
數列的和稱為級數
• 1+1+1+…+1=
n
n
i 1
i 1
 ai  1  n
n
• 1+2+3+…+n= a
n
i
i 1
 i 
i 1
n
• 2+4+6+…+2n= 2i
i 1
• 1+3+5+…+(2n-1) =
•
1+4+9+…+n2=
n
i
2
i 1
n(n  1)
2
n
 2i  n(n  1)
n
i 1
(2i  1)  2
i 1
n
n
i 1
i 1
 i  1
 n(n  1)  n  n2
n(n  1)((2n  1) 2n3  3n2  n


6
6
n(n  1)
1  2  3  ...  n  i 
2
i1
n
n(n  1)(2n  1)
1  2  3  ...  n  i 
6
i 1
n
2
2
2
2
2
n(n  1) 2
1  2  3  ...  n  i  [
]
2
i1
n
3
3
3
3
3
p.194
n
性質1
k  kn
i1
n
性質2
n
(a  b )  a  b
i
i
i
i 1
i 1
n
性質3
n
n
ka  k a
i
i1
i
i1
i 1
i
p.194
n
n
n
i 1
i 1
i 1
(5i  3)  5i  3
n(n  1)
 5
 3n
2
5n2  5n  6n

2
5n2  n

2
n
i 
i1
n(n  1)
2
p.195
n
n( n  1)
i


2
i 1
n
i 2 
i 1
n( n  1)( 2n  1)
6
11
2
(i
  3i  1)
i1
10
10
 2 i  1
i1
i1
11
11
11
i1
i1
 i  3i  1
2
i1
10 11
 2
10
2
11 12 23
11 12

 3
 11
6
2
120
 506 198 11
 715
試利用黎曼和求f(x)=x2在[0,3]及x軸所圍區域
的面積。
n
3 n 3i
3
3
i
Sn    f( )   ( )2
n i 1 n
n i 1 n

n
27
27
n
(
n

1
)(
2
n

1
)
2
 3  i 

3
n i 1
n
6
18n  27n  9n

3
2n
3
2
A  lim Sn  9
n
p.198
p.198
p.199
p.199
p.200
p.201
p.201
p.202
習題7.2
1. 求下列各級數的和：
n
(1)
2
 (2i
 1)
i 1
n
(2)
 (i
i 1
3
 5i )
p.202
習題7.2
2.若f(x)=2x2為定義在[0,3]的函數，將[0,3]分成
n個等長的子區間，分別利用每一子區間的
右端點，估計在y=f(x)下方，在[0,3]上方之
區域面積的黎曼和，並利用極限求區域面
積。
診斷測驗
p.231
9.試求在y=x2+1曲線下方，在區間[-1,2]上的區
域面積。