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Chapter
4
複利和年金
4
1.貨幣的時間價值
2.終值及現值的概念
3.各種類型的年金
4.較為複雜的年金問題
4
• 何謂貨幣的時間價值？
• 如何運用終值及現值的概念，作適當的
經濟決策？
• 什麼叫做年金？如何運用年金現值與終
值表，作最佳方案的選擇？
4
複利和年金
貨幣的
時間價值
• 單利與複利
終值及
現值概述
•終值
•現值
年金
• 普通年金終值
• 到期年金終值
• 普通年金現值
• 到期年金現值
較為複雜
的情況
• 遞延年金
• 公司債的發行
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4
4.1
貨幣的時間價值
利息是使用貨幣的代價，當收得或償還的現金超過
先前借出或借入金額 (即本金) 時，超出的部分即屬利息
，因此利息常被定義為使用貨幣的時間成本。貨幣的時
間價值(Time Value of Money)會產生現值和終值的概念
。
圖4-1 現值和終值的概念
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4.1.1
單利與複利
單利的計算基礎僅為每期的原始本金金額，計
算公式通常如下：
利息= P × i × n
( 其中 P 為本金，i 為每期利率，n 為利息期間之期數)
複利計算的基礎則為期初的本金金額加上先前
各期累積的利息。
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釋例 4-1
單利與複利
1. 假設您每年以 6% 之單利借入 $10,000，期間 3 年，則 3 年
間所需支付之利息總額為多少？
解析
利息總額 = ( 本金× 利率) × 期數 = ($10,000 × 6%) × 3
= $600 × 3 = $1,800
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釋例 4-1
單利與複利
2. 同上例，假設利息係以複利計算，則3 年間累積支付之利
息為多少？
解析
註：由以上分析得知，按單利計算之 3 年利息為 $1,800，而按複利計算之利息為
$1,910，多了 $110，係因第 1 年及第 2 年之未付利息 $600，持續加入本金一併再
計息。
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4.2
終值及現值概述
終值為某筆或多筆投資金額，經由複利計算後
，在未來特定日所累積變成的金額；現值則是未來
某筆或多筆金額，經由複利計算後，在今日折現後
的金額。
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釋例 4-2
單一金額的終值
1. 隋唐企業投資 $100,000，單筆購買某一拉美基金，保證年
報酬率為 5%，每年複利一次，則 3 年後總投資金額將為
多少？
解析
做法一：單一金額的本金，每期按複利計息，且每期期末利
息亦加入本金，一併計息。所以 3 年後投資的終值
= $100,000 × (1+5%)3 = $115,763
做法二：查閱複利終值表，$1 在 ( 利率= 5%，期數= 3) 之終
值因子為 1.15763，因此這筆投資 3 年後的終值=
$100,000 × 1.15763 = $115,736
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釋例 4-2
單一金額的終值
2. 經紀公司年初依承諾為卡卡存入 $1,000,000 至信託帳戶。
若年利率為 6%，每半年複利一次，則在第 4 年底信託帳
戶的金額累積為多少？
解析
因為半年複利一次，等於利率減半 (3%)，複利期數增加
一倍 ( 期數為 8)。查閱複利終值表，$1 在 ( 利率= 3%，期數
= 8) 之終值因子為 1.26677，所以
4 年後之終值= $1,000,000 × 1.26677 = $1,266,770
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釋例 4-3
單一金額的現值
1. 妍希想再接再勵至紐約影藝學院進修表演課程，預計 2 年
後成行，所需經費為 $50,000。假設她要求片酬作為投資的
市場報酬率每年為 7%，則現在應該投入的金額為多少？
解析
做法一：運用現值的觀念，現在應投入的金額為 $43,672，
如以下圖示：
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4
釋例 4-3
單一金額的現值
做法二：查閱複利現值表，在利率= 7%，2 年後的 $1 ( 即i =
7%，n = 2)，其現值為 0.87344，因此妍希現在必須
投入的金額= $50,000 × 0.87344 = $43,672
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釋例 4-3
單一金額的現值
2. 震東想在 3 年後成立經紀公司，所需資金為 $1,000,000，
他向理財顧問要求基金的年報酬率為 8%，且每季複利計
息，則今日應該投資基金的額度為多少？
解析
由於每季複利計息，所以利率應為 8% ÷ 4 = 2%，複利
期數則為 3 × 4 =12。查閱複利現值表 ( 利率= 2%， 期數=
12) 之現值因子為 0.78849， 因此今日應投資的金額為
$1,000,000 × 0.78849 = $788,490。
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釋例 4-4
求解其他未知數
1. 賽德克公司想以 $200,000 在廣場建立族人紀念碑。如果在
本年初已募到款項 $172,768，並成立紀念基金的專戶，若
以年利率 5% 每年複利一次，則需等待多少年才能實現願
望？
解析
本釋例之現值 $172,768 和終值 $200,000 為已知，另年
利率為 5%，可以圖示如下：
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釋例 4-4
求解其他未知數
做法一：查閱複利終值表
FV = PV × 複利終值因子 (i = 5%，n = ?)
$200,000 = $172,768 × 複利終值因子
所以
複利終值因子= $200,000 ÷ $172,768 = 1.15762
可在本章後所附之附表一 ( 行= 5%，列= 3) 之處，找到
1.15762，所以答案為 3 年。
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釋例 4-4
求解其他未知數
做法二：查閱複利現值表
PV = FV × 複利現值因子 (i = 5%，n = ?)
$172,768 = $200,000 × 複利現值因子
所以
複利現值因子= $172,768 ÷ $200,000 = 0.86384
可在本章後所附之附表二 ( 行= 5%，列= 3) 之處，找到
0.86384，所以答案為 3 年。
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釋例 4-4
求解其他未知數
2. 巴萊公司現在有 $100,000， 想在 5 年後累積至 $201,135
成立生物科技的種子基金，則目前需求的投資報酬率為多
少？
解析
本題之終值因子為 2.01135 ( = $201,135 ÷ $100,000)，查
閱附表一，在期間為 5 之列可找到 2.011357，所對應之利率
為 15%。若運用現值因子 0.49717 ( = $100,000 ÷ $201,135)，
查閱附表二，可在期間為 5 的那一列找到，所對應的利率亦
為15%。
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釋例 4-4
求解其他未知數
3. 德聖公司為一素食連鎖業者，其將 $1,000,000 存入中信貴
賓理財，希望 4 年後順利籌措到 $1,500,000，以便至海外
推廣素食環保概念。假設每年複利計算，則其要求的隱含
報酬率為何？
解析
$1,500,000 = $1,000,000 × 複利終值因子 (i = ?，n = 4)，
所需之複利終值為 1.5，但查閱複利終值表，在期數為 4 所
對應之行並無 1.5 之終值，因此應用插補法求算利率。
本題之 1.5 乃是介於 1.464100 ( 利率 10%) 及 1.573519
( 利率12%) 之間，故推估方法如下：
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釋例 4-4
求解其他未知數
經由等比關係：
所以要求之隱含報酬率為 10.656%。
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4.3
年金
在相等間隔時間連續支付 ( 或收取) 相等金額，
且每期計息之利率也相同，即所謂的年金 (annuity)
。年金又區分為二類，於期末收付者，稱為普通年
金 (ordinary annuity)；於期初收付者，稱為到期年金
(annuity due)。
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4.3.1
普通年金終值
假設在 4 年中每年年底存入 $1 ( 普通年金)，
圖4-2 普通年金終值的概念
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4.3.2
到期年金終值
1. 到期年金之特徵則為每期年金均於期初支付。
2. 在計算年金終值時，到期年金的複利期數會比普通年
金的複利期數多了一期。
圖4-3 普通年金和到期年金之關係
到期年金終值= 普通年金終值× ( 1 + 複利率)
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釋例 4-5
年金終值
1. 巨石公司決定在今後 3 年，以 6 個月為期，每期期末存入
$1,000,000，以累積足夠金額籌拍「地心冒險續集」，若
與花旗銀行商談資金配置之年報酬率可達 12%，則第 3 年
底之總累積金額為多少？
解析
由於每期期末支付定額，故屬於一種普通年金。又每半
年支付一次，總期數為6 次，查表之半年利率應為6%。
第 3 年底累積金額
=$1,000,000 × 普通年金終值( i = 6%， n = 6)
=$1,000,000 × 6.97531
=$6,975,310
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釋例 4-5
年金終值
2. 周董想在兒子仔仔滿 20 歲生日的今天開始，每次生日時
均定額存入$1,000,000，希望能在兒子過 25 歲生日時 ( 假
設這天並未存入$1,000,000)，累積到一筆創業基金。假設
周董要求的投資酬率為 12%，每年複利一次，請問仔仔
25 歲生日時能累積多少創業金額？
解析
20 歲生日當天存入第一筆 $1,000,000，直至 25 歲生日
(當日並未存入)，總計存了 5 次。由於存款皆於期初進行，
故本題情況屬於到期年金的概念。存款之終值計算如下：
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釋例 4-5
年金終值
(1) 參閱普通年金終值表 (i = 12%，n = 5)
(2) 多乘以一期之複利因子 (1 + 12%)
(3) 到期年金終值 (i = 12%，n = 5)
(4) 每期定額存入
(5) 25 歲生日時累積的創業基金
6.35284
×
1.12
7.11518
× $1,000,000
$7,115,180
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釋例 4-6
求解年金終值之相關數值
1. 大學剛畢業的春美想在 5 年後，能夠擁有 $1,000,000，以作為購
買北大特區套房的頭期款，在此 5 年中能找到最好的年利率為
2%，每半年複利 1 次。請問春美若以每 6 個月為一期，則每期
期末應存入多少？
解析
由於每半年複利 1 次，總計10 期 ( = 5 × 2)，且複利率為1% ( =
2% ÷ 2)，所需之年金終值為 $1,000,000。所以，每期期末應存入金
額 × 普通年金終值 (i = 1%，n = 10) = $1,000,000。
每期期末應存入金額 × 10.46221 = $1,000,000
每期期末 ( 每 6 個月期) 應存入：$1,000,000 ÷ 10.46221 = $95,582
春美必須在每 6 個月期存入 $95,582，就能美夢成真。
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釋例 4-6
年金終值
2. 家庭主婦秋香兼職保險業務，她希望從今天開始，每年存
款 $100,000，且存款之年利率為 2%，每年複利一次。請
問辛苦的秋香媽媽必須存多少年，才能夠累積至
$1,241,208，以實現環球旅遊的心願？
解析
由於秋香是從今天即存入 $100,000，因此為到期年金的
觀念。
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釋例 4-6
年金終值
到期年金終值 = 普通年金終值× (1 + 複利率)
$1,241,208 =100,000 × 普通年金終值 (i = 2%，n = ?) × (1 + 0.02)
普通年金終值 (i = 2%，n = ?) = 12.16871
經查普通年金終值表，利率為 2%，期數為 11，可找到對
應的12.16871。所以，秋香媽媽可以在第 11 年底 (或於第 12 年
初存入第 12 筆 $100,000) 時，成功累積 $1,241,208，作為環球
旅遊的經費。
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4.3.3
普通年金現值
以普通年金現值為例，在未來 4 期，每期期末所能
收到之 $1 視為單一金額，因此，可運用複利現值表計
算每 $1 之現值，予以加總。假設利率為 5%，則 4 年後
普通年金現值之計算，可以圖示如下：
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4
4.3.4
到期年金現值
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4.3.4
到期年金現值
到期年金現值 = 普通年金現值 × (1 + 利率 i )
( 利率i，期數n )
( 利率i，期數n )
到期年金現值 = 1 + 普通年金現值
( 利率i，期數n )
( 利率i，期數n − 1 )
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4
釋例 4-7
年金現值
1. 彬彬為小小彬規劃半年後開始進入雙語實驗小學之學費籌
措。他打算將小小彬的部分片酬一筆交由理財顧問，並保
證 年 報 酬 率 為 10% 。 假 設 小 小 彬 每 學 期 的 學 雜 費 為
$160,000，請問彬彬現在應準備的價款為多少？
解析
小小彬半年後開始繳交學雜費，每學期 $160,000，就學
6 年間，總計需繳 12 次，且複利率應為 5% ( = 10% ÷ 2)。
彬彬今日應準備的價款
=$160,000 ×普通年金現值(i = 5%，n = 12)
=$160,000 × 8.86325
= $1,418,120
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4
釋例 4-7
年金現值
2. 志工阿姨行善有善報，中了樂透 $8,000,000。彩券公司告訴她可
以立即領回中獎金額，或自今日開始領取 $1,000,000，每年領取
一次，共可領 10 次。假設適當的利率水準為 6%，請幫志工阿
姨作理性的選擇。
解析
若選擇分10 次領取，且自今日開始，則本題之概念為到期年金。
到期年金現值(i=6%，n=10) =普通年金現值= (i=6%，n=10) ×(1+ 6%)
= 7.36008 × 1.06 = 7.80169
故分次領取的年金在今日之價值為 $1,000,000 × 7.80169 = $7,801,690
。看來，志工阿姨應該選擇立即抱回 $8,000,000，較符合理性思考的
抉擇。
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釋例 4-8
求解年金現值之相關數值
1. 大雄買了一部金龜車，車款連同稅負總計 $1,449,377。假設
車商建議大雄可以分10 年付款，每次付款 $200,000，且第一
次付款是在今天。請問此項付款條件的利率水準為何？
解析
本題之分期付款係於期初支付，乃到期年金問題。
到期年金現值(i=?，n=10)=$200,000× [普通年金現值(i=?，n=9)+1]
$1,449377=$200,000 × [普通年金現值(i=?，n=9)+1]
普通年金現值(i=?，n=9)=($1,449377 $200,000) − 1=6.24688
查 普通 年 金 現值 表 n=9 之 一 行 中， i=8% 時， 現 值 為
6.24688，故此項分期付款之利率為 8%。
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4
釋例 4-8
求解年金現值之相關數值
2. 胖虎簽發一張票據向銀行借款 $421,236，成立歌唱工作室
。票據利率為 6%，約定 1 年後起每年償還 $100,000。請
問胖虎需幾年始能將償務還清？
解析
本題借款係於期末償還，乃一普通年金問題。
查普通年金現值表中，利率為 6% 之欄中，n = 5 之現值為
4.21236，亦即胖虎的公司需 5 年始能償清債務。
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4
釋例 4-8
求解年金現值之相關數值
3. 靜香在大學畢業時的助學貸款總計為 $947,130。她決定自
半年後起，所貸款之本息每 6 個月償還一次，每次償還金
額相等，5 年還清。假使青年助學貸款的年利率為2%，則
靜香每次應償還的金額為多少？
解析
助學貸款係於半年後償還，故為普通年金問題。本題之
期數為 10，利率應減半為 1%。
$947,130 =每次應償還的金額×普通年金現值(i=1%，n=10)
$947,130 =每次應償還的金額×9.47130
因此靜香每半年應償還之助學貸款金額為 $100,000。
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4
4.4 較為複雜的情況
4.4.1 遞延年金
1. 遞延年金 (deferred annuities)，係指於若干期後才
發生收付的年金。
2. 遞延年金終值的計算，由於在開始的前數年並未
有任何金額收付的發生，因此遞延年金的終值與
沒有遞延的情況完全相同，在計算終值時，可以
忽略前面幾期的遞延，亦即可以直接使用普通年
金終值的計算。
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4
釋例 4-9
遞延年金終值
1. 六福村預計於 5 年後在關西新購一片土地，作為野生動物園的
擴建用途。公司的財務規劃顯示從第 3 年底開始，才有能力連
續 3 年固定投入每期金額 $10,000,000，並以利率 5% ，每年複
利一次。請問六福村在第 5 年底能累積多少金額？
解析
依上所述，我們可以繪製時間圖以幫助了解。
39
4
釋例 4-9
遞延年金終值
本題在計算遞延年金終值時，可以忽略前 2 期之遞延效
果，直接以普通年金終值處理連續三次於年底存入金額。
第 5 年底累積金額=$10,000,000×普通年金終值(i=5%，n=3)
=$10,000,000×3.15250
=$31,525,000
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4
釋例 4-10 遞延年金現值
西田先生在鄉下有一塊農地，近來有兩位買主積極接洽
。一位願意以 $3,000,000 現金立刻購買；另一位則允諾 3 年
後，連續 5 年每年支付 $750,000 的方式購買。假設利率為
6%，西田先生應該接受哪一方案？
解析
依上所述，我們可以繪製時間圖以幫助了解。
做法一：
41
4
釋例 4-10 遞延年金現值
依上圖分析，本題可分兩個步驟處理，先求算第 3 年底至
第 7 年底支付 5 期的普通年金現值 ( 時間點依以上圖示，乃落
在第 2 年底)，再將此年金現值折回 2 期，計算今天的複利現
值。
遞延年金現值
=$750,000×普通年金現值 (i=6%，n=5)×複利現值(i=6%，n=2)
=$750,000×4.212364×0.889996
=$2,811,740
所以，西田先生應該選擇今天收取 $3,000,000 現金的方案
，較為有利。
42
4
釋例 4-10 遞延年金現值
做法二：
43
4
釋例 4-10 遞延年金現值
另一種方法則係以完整 7 期的普通年金現值減去實際並不
存在的前 2 期 ( 即虛擬) 的普通年金現值，計算如下：
遞延年金現值
=$750,000×普通年金現值(i =6%，n =7) −$750,000×普通年金現
值(i =6%，n =2)
=$750,000×(5.582381−1.833393)
=$2,811,740 (與上述做法一之答案相同)
西田先生應該接受 $3,000,000 之現金購買。
44
4
4.4.2
公司債的發行
1.企業經常會藉由發行公司債籌措資金。公司債的
發行通常會產生兩種現金流量：到期前需定期支
付的利息，以及公司債到期日需償還的本金。
2.就債券到期的本金或面額言，係屬單筆款項的複
利問題，而定期支付利息則屬於年金問題。
45
4
釋例 4-11
公司債之發行
晶圓大廠台積電因為預測春燕即將來臨，於 ×4 年1 月1
日發行 5 年期的公司債擴充資本支出。假設公司債的面額為
10,000,000 美元，票面利率為 4%，每年 12 月31 日付息。
試作在以下兩種情況下，台積電公司債之發行價格：(1) 發
行時市場利率為5%；(2) 發行時市場利率為 3%。
解析
(1)台積電公司債發行後，產生兩種現金流量：(a) 自×4 年 12
月 31 日起連續 5 年支付之利息 $10,000,000 × 4% =
$400,000；以及 (b) 到期日 ×8 年 12 月 31 日支付之本金
$10,000,000。
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4
釋例 4-11
公司債之發行
(2)我們若以圖示相關現金流量之時間圖，分析如下：
47
4
釋例 4-11
公司債之發行
(3) 計算結果如下 ( 假設發行時之市場利率為5%)：
現金流量
現值表 (i = 5%，n = 5) 現值因子
每期利息 $400,000
$1 年金
到期日面額 $10,000,000 $1 複利
金額
4.329477 × $400,000
現值
= $1,731,790
0.783526 × $10,000,000 = $7,835,260
$9,567,050 ( 美元)
公司債之發行價格為$9,567,050，低於面額之 $10,000,000，
屬 於 折 價 發 行 ， 折 價 的 金 額 為 $10,000,000−$9,567,050 =
$432,950。由於公司債之票面利率為 4% 較市場利率 5% 為
低，所以折價的部分代表台積電補償給投資人的利率差距。
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4
釋例 4-11
公司債之發行
(4) 另一種計算結果如下 ( 假設發行時之市場利率為3%)：
現金流量
現值表
每期利息 $400,000
$1 年金
到期日面額 $10,000,000 $1 複利
(i = 3%，n = 5) 現值因子
金額
現值
4.579707 × $400,000
= $1,831,882
0.862609 × $10,000,000 = $8,626,090
$10,457,972 ( 美元)
公司債之發行價格為$10,457,972，高於面額之 $10,000,000，
屬於溢價發行，溢價的金額為 $10,457,972− $10,000,000 =
$457,972。由於發行時之利率為 3%，而台積電願意給付 4%
的票面利率，投資人因而願意支付較面額為高的價格購買。
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