Transcript Pertemuan 2 Aljabar Matriks (I) Tahun

Matakuliah
Tahun
Versi
: I0214 / Statistika Multivariat
: 2005
: V1 / R1
Pertemuan 2
Aljabar Matriks (I)
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan
mahasiswa akan mampu :
• Mahasiswa dapat menerangkan berbagai
konsep dasar aljabar matriks  C2
• Mahasiswa dapat menghitung rank dan
determinan suatu matriks  C3
• Mahasiswa dapat menghitung invers
matriks  C3
2
Outline Materi
• Pengertian matriks
• Jenis-jenis matriks
• Rank matriks
• Determinan matriks
3
<<ISI>>
4
<<ISI>>
5
<<ISI>>
6
<<ISI>>
7
<<ISI>>
8
<<ISI>>
9
<<ISI>>
10
<<ISI>>
11
<<ISI>>
12
<<ISI>>
13
<<ISI>>
Determinan matriks
bila k  1
a11
A 
1 j
a
A

1
bila k  1
1j 1j  


Aij adalah matriks bertipe (k – 1)  (k – 1) yang didapat dari matriks A
dengan menghilangkan baris ke-1 kolom ke-j yang disebut
ekspansi menggunakan baris 1.
Secara umum:
A
 aij Aij  1
i j
yang merupakan baris ke-i.
Aij
didapat dari matriks
A
dengan menghilangkan baris ke-i kolom ke-j (minor berisi kolom j)
14
<<ISI>>
Invers Matriks
1
A  adj A
A
adj A   A dengan setiap elemen diganti dengan kofaktornya 
1

i j


  1 Aij


Aij matriks bagian dari A tanpa baris ke-i dan tanpa kolom ke-j
Catatan:
Minor dan kofaktor dapat Anda baca lebih jelas pada modul
tentang aljabar linear.
15
1.
A matriks bujur sangkar berdimensi m
–
–
mxm
Jika elemen-elemen diagonalnya = 1 dan elemenelemen lainnya = 0, maka matriks A dikatakan
mxm
matriks Identitas berdimensi m yang dinotasikan
dengan I
mxm
Jika A  A' maka matriks A matriks simetris ,
mxm
'
dimana A adalah matriks transpose dari A .
mxm
mxm
16
<<ISI>>
2.
Misalkan matriks

  dan
A  aij
mxk
 
B  bij
mxk
A  B,jika hanya jika aij  bij
:
untuk i=1,2,...,m dan
j=1,2,...k

C  A  B,dimana elemen-elemen dari
C cij  aij  bij
untuk i=1,2,...,m dan j=1,2,...k

transpose matriks A  aij adalah A'  a ji 
mxk
kxm
17
<<ISI>>
3.
Misalkan matriks A  aij  dan B  b jk , i=1,2,...,m; j=1,2,...,n;
mxn
nxk
l=1,2,...,k maka hasil kali matriks A dan B adalah C  AB ,
k
dimana
C 
mxk
 aijb jl . Hasil kali AB
ada bila banyak kolom pada
l 1
matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B .
4.
Determinan matriks bujursangkar
m
A
 (1)1 j aij Aij
 adalah
A  aij
mxm
j 1
5.
Matriks A dikatakan matriks non-sigular, apabila terdapat
mxm
tunggal matriks
B
sedemikian sehingga AB  BA  I .
mxm
Matriks
B
mxm
disebut dengan invers dari matriks
A
, yang
mxm
dinotasikan dengan A1 . Matriks A1 ada bila A  0 .
18
<<ISI>>
6.
trace dari matriks A
adalah tr  A  
mxm
7.
m
 aii
i 1
Matriks A dikatakan ortogonal, jika semua vektor baris dari
mxk
matriks A saling tegak lurus dan mempunyai panjang sama
mxk
dengan 1 ( AA'  I ). Matriks ortogonal bila dan hanya bila
A1  A'
8.
Matriks A , I dan skalar 1,  2 ,...,  m yang memenuhi
mxm mxm
persamaankarakteristik A  I  0 disebut nilai eigen dari
matriks .
9.
Bila X adalah vektor yang bukan vektor nol sedemikian
sehingga AX  X maka A disebut vektorX eigen dari matriks
mxm
yang bersesuaian dengan nilai eigen
.
19
<< CLOSING>>
• Sampai dengan saat ini Anda telah
memulai mempelajari aljabar matriks yang
terdiri dari mencari determinan dan invers
matriks
• Untuk dapat lebih memahami berbagai
konsep dasar aljabar matriks tersebut,
cobalah Anda pelajari materi penunjang,
website/internet dan mengerjakan latihan
20