Transcript PENDUGAAN SELANG RAGAM DAN PROPORSI – Teori Statistika II Matakuliah

Matakuliah
Tahun
: I0184 – Teori Statistika II
: 2009
PENDUGAAN SELANG RAGAM DAN
PROPORSI Pertemuan 9
Materi Pokok 09
PENDUGAAN SELANG RAGAM DAN PROPORSI
Outline Materi :
• Pendugaan selang ragam (Varians)
• Pendugaan Selang Proporsi
• Pemilihan Ukuran Contoh
Bina Nusantara University
2
Pendugaan selang ragam (Varians)
Selang kepercayaan untuk ragam 2 didasarkan pada ragam
n
1
contoh
2
2
S 
 (x i  x)
n  1 i 1
Sebaran dari (n-1) S2/2 adalah 2 (n – 1) digunakan menentukan
2
 a dan



n
1
S
selang dari 2 pilih
b
konstanta
n - 1 derajat bebas

  1dengan
P a 

b
α

sehingga
σ2


Bila a dan b diganti
2 dengan
a  χ 1 - α 2n - 1 dan
Bina Nusantara University
2
b  χ α 2n - 1
3
Maka


a
1
b

1  α  P
 2
2
2
n - 1 S 
 n - 1 S σ
2
 n - 1 S2


n
1
S

 P
 σ2 

b
a


Dari pengamatan x1, x2, …, xn dapat dihitung S2 dan sedang
n - 1 S
2
b ; n - 1 S2 a

menjadi selang kepercayaan 100(1 - )% bagi 2 dan selang
kepercayaan 100(1 - )% bagi  adalah
Bina Nusantara University



n - 1 S2 ; n - 1 S2
b
a
n -1
n -1 

S;
S
b
b 
4
Jika kita ingin membandingkan 2 buah ragam dari sebaran
normal, Seperti selang x2/y2 dapat ditentukan dengan
menggunakan nisbah Sx2/x2 dan Sy2/y2. Dimana Sx2 dan
Sy2 adalah dua ragam contoh acak bebas berukuran n dan
m berasal dari sebaran normal N(x, x2) dan N(y, y2).
Kebalikan nisbah ini dapat ditulis:
 n - 1 S2y 

 n - 1
2
2
2
S y σ y  σ y 

2
2
Sx σ x  n - 1 S2x 

 n - 1
2
 σx 
Bina Nusantara University
5
Sebaran (m – 1) Sy2/y2 dan (n – 1) Sx2/x2 adalah peubah acak
Khi-Kuadrat bebas dengan derajat bebas m – 1 dan n – 1 dan
nisbahnya adalah F(m
m -–11,S2n – 1).
y
σ 2y m - 1 S2y σ 2y
F
 2 2
2
n - 1 Sx Sx σ x
σ 2x n - 1
Mempunyai sebaran F dengan derajat bebas r1 = m – 1 dan
2
2
r2 = n - 1


S
σ
y
y

1- α  P c  2 2  d


S
σ
x
x


2
 S2 σ 2
S
 P  c 2x  2x  d 2x 
 S

σ
S
y
y
y


Bina Nusantara University
Bila c  F1 - α
2 m - 1, n - 1 
Fα
2
1
dan d  Fα
m - 1, n - 1
2
m - 1, n6 - 1.
Jika Sx2 dan Sy2 adalah nilai hasil pengamatan Sx2 dan Sy2 maka
selang kepercayaan 100(1 – α)% bagi x2/y2 adalah:


 Fα
2
1
S2x
; Fα
2
n - 1, m - 1 S y
2
S2x 
n - 1, m - 1 2 
S y 
Dan bila kedua batas ini diakarkan menjadi selang kepercayaan
100(1 – α)% dari bagi x/y.
2. Pendugaan Selang Proporsi
Bila Y adalah frekuensi pengukuran dari n pengamatan maka
peluang p memperoleh Y konstan, akan menyebar secara
binomial b(n, p). Masalah yang dihadapi adalah ketelitian
penentuan y/n sebagai penduga p dan penyelesaiannya adalah
- np
y n - diketahui
p
menemukan selang kepercayaan bagiY p
yang tidak
didasarkan pada y/n. Peubah acak
np 1 - p 
p 1 - p 
Bina Nusantara University
7
merupakan pendekatan sebaran normal baku, N(0,1), untuk n



y n - p
P - Z α 2 
 Zα 2   1 - α
p 1 - p  n


P y n - Zα 2 p 1 - p  n  p  y n  Zα 2 p 1 - p  n  1 - α


Proporsi p dikiri dan dikanan ketidaksamaan diganti
1 - ymenjadi
n
dengan y/n sehingga p(1y- np)/n
n
Untuk n besar selang kepercayaan 100(1 - α)% bagi p
adalah


y
y n 1 - y n  y
y n 1 - y n  
;  Zα 2
 n  Zα 2

n
n
n


cara lain :
Bina Nusantara University
y n-p
 Zα 2
p 1 - p  n
8
y
 n  Zα 2

cara lain :
y n 1 - y n  ; y  Z
n
y n-p
 Zα
p 1 - p  n
α 2
n


2
Hp    y n - p  2
n
y n 1 - y n  
Zα2
2
p 1 - p 
0
n
H(p) sebagai bentuk kuadratik dari p dan dapat ditentukan nilai p
untuk H(p)  0 …: Ambil pˆ  y n dan Z 0  Zα 0
2

Z
Hp   1  0  p 2


n


Harga nol Hp  :
Bina Nusantara University
p  Z02 2n  Z0
2

Z
-  2pˆ  0  p  pˆ 2


n


pˆ 1 - pˆ  n  Z02
1
Z02
n
4n 2 
9
Merupakan batas selang kepercayaan 100(1 - α)% bagi p.
Jika n besar maka Z02/2n, Z02/ (4n2) dan Z02/n adalah kecil
dan diabaikan maka selang kepercayaan 100(1 - α)%
adalah sama. Jika beda proporsi yang ingin ditentukan
selangnya. P1 - P2 maka didasarkan dua contoh acak
berukuran n1 dan n2.
Misalkan dua peubah acak bebas Y1/n1 dan Y2/n2
mempunyai nilai tengah p1 dan p2 dan ragam p1(1 – p1)/n1
dan p2(1 – p2)/n2 dan Y1/n1 - Y2/n2 mempunyai nilai tengah
p1 – p2 dan ragamnya
Bina Nusantara University
10
p1 1 - p1  p 2 1 - p 2 

n1
n2
y1 n1 - y 2 n 2  - p1 - p 2  ~ N0,1
p1 1 - p1  n1  p 2 1 - p 2  n 2


y1 n1  -  y 2 n 2  - p1 - p 2 
P - Z α 2 
y1 n1 1 - y1 n1  n1  y 2 n 2 1 - y 2

n2  n2

 Zα 2 

1- α
Selang kepercayaan 100 1 - α  % bagi p1 - p 2 adalah
 y1 y 2 
   Zα
 n1 n 2 
Bina Nusantara University
2
y1
n1 1 - y1 n1  n1  y 2 n 2 1 - y 2 n 2  n 2

n1
n2
11
3. Pemilihan Ukuran Contoh
besarnya contoh yang dipilih tergantung pada simpangan
baku populasi
2 tidak diketahui harus dibuat
Karena
σ
2 contoh
2
a. Untuk
berasal
dari
sebaran normal:
z α/2 σ
η
, penarikan contoh pendahuluan untuk menduga
2
ε
σ2. 2 = galat maksimum dugaan.
b. Untuk pendugaan proporsi,
binomial
2
Zα 2
η 2
4ε
2
c. Untuk pendugaan
p,
hipergeometrik
Z
m
α 2 P * 1 - p *
η
,m
2
m -1
ε
1
N
Bina Nusantara University
12