Transcript PENDUGAAN SELANG (INTERVAL) NILAI TENGAH – Teori Statistika II Matakuliah

Matakuliah
Tahun
: I0184 – Teori Statistika II
: 2009
PENDUGAAN SELANG (INTERVAL) NILAI
TENGAH Pertemuan 8
Materi Pokok 08
PENDUGAAN SELANG (INTERVAL) NILAI TENGAH
1. Pendugaan Satu Nilai Tengah
2. Pendugaan Dua Nilai Tengah
Bina Nusantara University
2
Materi Pokok 08
PENDUGAAN SELANG (INTERVAL) NILAI TENGAH
1. Pendugaan Satu Nilai Tengah
Misalkan satu contoh X1, X2, …., Xn dari sebaran normal X
N(, 2) maka
sebagai penduga tidak
X bias terhadap ,
maka
menyebar secara normal dengan nilai tengah  dan
2). Bila 2 diketahui maka selang.
ragam 2/n; N(,

X -μ


P  - Zα 2 
 Zα 2   1 - α
σ n


Bila: 1 -  = 0,95 maka Z/2 = Z0,025 = 1,96
1 -  = 0,90 maka Z/2 = Z0,005 = 1,645
Bina Nusantara University
3
Dengan σ 2  0 ketaksamaa n
X -μ
- Zα 2 
 Zα 2
σ n
- Zα 2 . σ
- X - Zα 2 σ
X - Zα 2 σ
PX  Zα 2 σ
n  X - μ  Zα 2 σ
n
n  - μ  - X  Zα 2 σ
n  μ  X  Zα 2 σ
n  μ  X  Zα 2 σ

n
n
n 1- α
Jadi μ tercakup pada selang X  Zα 2 σ
n  ; X  Zα 2 σ
n

dengan peluang 1 - α
Bina Nusantara University
4
Contoh 06.1
Suatu contoh acak berukuran n = 4, X1 = 6,5, X2 = 9,2, X3
= 9,9 dan Y = 12,4 dari sebaran normal dengan fungsi
kepekatan
2
1
f x x; μ  
2π 0,8
1  x -μ
- 

e 2  0,8 
,- x 
x -μ
x - μ kepercayaan bagi .
Tentukan
selang
*
σ
n

0,8
4
~ N0,1 sehingga
x -μ


P- 1,96  Z  1,96   P - 1,96 
 1,96 
0,8 4


6,5  9,2  9,9  12,4
dengan x 
 9,5
4
Bina Nusantara University
5

 0,8 
 0,8 
 P  x - 1,96 
  μ  x  1,96 
  0,95
 4
 4 

6,5  9,2  9,9  12,4
dengan x 
 9,5
4
0,8
0,8 

P 9,5 - 1,96 .
 μ  9,5  1,96 .
  0,95
4
4

Selang kepercayaan 95 % menjadi 8,72; 10,28
Bila contoh acak bangsal dari sebaran normal dengan
ragam 2 dan n tidakx cukup besar maka
menyebar
secara t dengan bebas r = n – 1 sebagai derajat bebas
sehingga
PT  t α 2 n - 1  PT  - t α 2 n - 1  α 2
dan
P - tα


P - t α

Bina Nusantara University
2
n - 1  T  t α 2 n - 1  1 - α
2 n - 1 
x -μ
 tα
S n



n
1
2
 1- α

6
Selang kepercayaan (1 - ) 100% untuk :
S
S 

 x - t α 2 n - 1 . n ; x  t α 2 n - 1 . n 
2. Pendugaan Dua Nilai Tengah
Bila kita ingin membandingkan dua sebaran normal maka ambil
dua contoh acak bebas berukuran n dan m = X1, X2, …., Xn dan
Y1, Y2, ….., Yn daru dua sebaran normal N(x x2) dan N(y y2)
dengan x2 dan y2 xdiketahui
dan y maka nilai tengah contoh acak
ω Nx -(
yx, x2/n) dan N (y, y2/m). Sebaran
juga menyebar normal
dari
normal
2 juga sebaran
2


N μ x - μ y , σ x n  σ y m  sehingga




x - y  - μ x - μ y 


P - Z α 2 
 Zα 2   1 - α
2
2
σx n  σy m


7


Bina Nusantara University


P x - y  - Z α 2 . σ ω  μ x - μ y  x - y   Z α 2 . σ ω  1 - α
2
2
σω  σ x n  σ y m
Bila ukuran contoh cukup besar dan x dan y tidak
diketahui maka x2 dan y2 dapat diganti dengan Sx2 dan
Sy2 sebagai penduga ragam X dan Y yang tidak bias,
sehingga dugaan selang 1 - 22 adalah
2
S
Sx
y
x - y  zα 2

n
n
Perhatikan pembuatan selang kepercayaan beda dua nilai
tengah dari dua sebaran normal bila ragamnya tidak
diketahui tetapi ukuran contoh adalah kecil.
8
Bina Nusantara University
Misalkan X1, X2, …., Xn dan Y1, Y2, ….., Yn adalah dua
contoh acak bebas dari sebaran normal N(x x2) dan (y
y2). Untuk hal ini boleh kita membuat asumsi ragam x2 =
y2 = 2.
Seperti diketahui :
Z
 X - Y  - μ x - μ y 
2
σx2 σy

n
m
~ N0,1
dan karena contoh acak adalah bebas

n - 1 Sx 2 m - 1 S y 2
U

adalah
σ2
σ2
Jumlah dua peubah acak Khi - Kuadrat bebas dengan
sebaran U ~ χ 2 n  m - 2 
Bina Nusantara University
9
Z
mempunyai
U n  m - 2 
Peubah acak Z dan U juga bebas
T
Sebaran t dengan derajat bebas n + m – 2.
X - Y - μ x - μ y 
T
T
σ2 n  σ2 m
 n - 1 S 2 m - 1 S y 2 
x 


2
2
σ
 σ

X - Y - μ x - μ y 
n  m - 2
n - 1 Sx 2  m - 1 Sy 2  1
nm-2
dan P- t 0  T  t 0   1 - α
Bina Nusantara University
1
  
n m
10
Penyelesai an ketidaksam aan menjadi

P  x - y  - t 0 S p

dengan Sp 
1 1
  μ1 - μ2  x - y   t 0 Sp
n m
1 1
 
n m
n - 1 Sx 2  m - 1 Sy 2
nm-2
Jika x, y dan Sp adalah nilai pengamatan X, Y dan Sp maka

1 1
1 1 




x
y
t
S

;
x
y

t
S

0 p
0 p

n m
n m 

adalah selang 1001 - α  % bagi μ x - μ y
Seperti diketahui sebelumnya P- Zα
2
 ω  Zα
2
1- α
Jika n dan m lebih kecil Welch dan Aspin mendekati dengan
sebaran t dengan derajat bebas r.
Bina Nusantara University
11

1 c2
1 - c 2
Sx 2 n


dan c  2
r n -1
m -1
Sx n  S y 2 m
r
S
2
x
n  Sy
2
m

2
2
2



S
1  Sx 
1  y 

n - 1  n 
m -1  m 


Selang kepercayaan 100 1 - α  % diperkirakan :
2
x - y  tα
2
r 
2
2
Sx 2 S y

n
m
Jika dua pengukuran misalnya X dan Y diambil dari satu
subyek sehingga X dan Y tidak bebas. Ambil (X1, Y1), (X2,
Y2), …., (Xn, Yn) merupakan pasangan yang tidak bebas
dan Di = Xi – Yi, i = 1, 2, ….,n.
12
Bina Nusantara University
D1, D2, …, Dn dipandang sebagai contoh acak dari sebaran
normal N(D, D2) dengan D dan D2 sebagai nilai tengah dan
simpangan baku setiap perbedaan.
Selang x - y = D diperoleh dengan menggunakan
D - μD
T
dengan
SD n
D dan SD sebagai nilai tengah dan simpangan baku dari n beda.
Selang kepercayaan 100% (1 - )% bagi D = x - y adalah:
sd
d  t α 2 n - 1
dengan
n
d dan SD adalah nilai tengah dan simpangan baku hasil
pengamatan contoh.
Bina Nusantara University
13