Transcript Document 9652381

Matakuliah
Tahun
: MATRIX ALGEBRA FOR STATISTICS
: 2009
RUANG VEKTOR
Pertemuan 3
VEKTOR DALAM BIDANG (R2)
Merepresentasikan pasangan berurut dari
dua bilangan riel (koordinat kartesius),
misalnya A(2,4) atau vektor posisi
=(OA)
Y
A(2,4)
4
0
2
Bina Nusantara University
X
3
Panjang dan jumlah vektor
Panjang vektor atau norm
=
Jumlah dua vektor
Bina Nusantara University
4
VEKTOR DALAM RUANG (R2)
Vektor dalam ruang
y
x
z
Bina Nusantara University
5
VEKTOR DALAM RUANG-n (Rn)
Vektor dalam ruang ke-n (Rn)
dinyatakan X = (X1, X2, X3, . . ., Xn)
atau dalam matriks
Bina Nusantara University
6
Ruang Vektor
Andaikan V suatu himpunan
u,v,wV dan r=skalar
Berlaku sifat:
1. u+v=v+u
2. (u+v)+w=u+(v+w)
3. u+0=u
4. r(u+v)= ru+rv
5. 1u=u
Bina Nusantara University
7
Ruang Bagian (Subspace)
Bila S dan S  V
S memiliki sifat ruang vektor
Maka S merupakan ruang bagian dari ruang
vektor V
Bina Nusantara University
8
Proyeksi
Jika u dan v adalah vektor di Rn untuk v 0, maka
proeksi dari u pada v ditunjukkan dengan
Bina Nusantara University
9
DOT PRODUCT
Jika u dan v adalah vektor dalam bidang
(R2) atau dalam ruang (R3 ) maka dot
product u.v adalah
u.v =
Contoh:
Jika u=(2,-1, 3) dan v=(1, 5, 2), maka
u.v = 2.1 + -1.5 + 3.2 = 3
Bina Nusantara University
10
Kombinasi Linear
Defenisi: Suatu w disebut linear kombinasi
dari vektor-vektor
Jika terdapat vektor-vektor
Sedemikian rupa sehingga
Bina Nusantara University
11
Contoh:
Bila x=(-1,23), v1 = (-7,1) v2 = (10,10)
Dapat ditunjukkan bahwa x= 3v1 + 2v2
Maka x adlah kombinasi linear dari v1 dan v2
Bina Nusantara University
12
Span
Andaikan v1, v2, . . . vn vektor dalam
ruang vektor V.
Himpunan S dari semua kombinasi
linear v1, v2, . . . vn disebut span dari
v1, v2, . . . vn
atau vektor v1, v2, . . . vn Span S
Bina Nusantara University
13
Linear independence
Defenisi:
• Himpunan dari dua vektor atau lebih
adalah linear dependent jika satu vektor
dalam himpunan merupakan kombinasi
linear dari vektor lainnya
• Himpunan vektor tidak kosang adalah
linear independent jika tidak linear
dependent
Bina Nusantara University
14
Contoh:
Diketahui v1=(2,4,14), v2 =(7,-3,15), dan v3 =(-1,4,7)
Tunjukkan c1v1 + c2v2 + c3v3 =0
atau
2c1 + 7c2 - c3=0
4c1 - 3c2+ 4c3=0
14c1 + 15c2+ 7c3=0
Jika terdapat solusi nontrivial dari SPL maka vektorvektor tersebut linear dependent dan sebaliknya
linear independent jika hanya terdapat solusi trivial
Bina Nusantara University
15
BASIS
Suatu basis untuk ruang vektor V
adalah suatu himpunan S dari vektor
V sedemikian sehingga
a) S adalah linear independent
b) S spans V
Bina Nusantara University
16
Dimensi
Andaikan V adalah ruang vektor
Dimensi dari V adalah n (>0) jika V
mempunyai basis dengan n elemen
Dimensi dari ruang vektor nol adalah 0
Bina Nusantara University
17
Orthogonal vektor
• Vektor yang saling tegak lurus
disebut vektor orthogonal
• Dua vektor tidak nol adalah
orthogonal jika dan hanya jika dot
productnya sama dengan nol
Bina Nusantara University
18
Definisi
• Kumpulan vektor dalam
disebut
orthogonal jika terdapat dua vektor
yang saling tegak lurus
• Vektor v disebut normal jika
• Kumpulan vektor
dalam
disebut orthonormal jika vektor-vektor
itu orthogonal dan tiap vektor adalah
normal
Bina Nusantara University
19
• Orthonormal basis adalah suatu
basis terbentuk dari vektor-vektor
orthonormal
Bina Nusantara University
20
Matix
Then
Bina Nusantara University
21
Vector in Matrix Notation
Vector x=(x1, x2, . . . , xn) can be written as
row matrix or column matrix
or
Bina Nusantara University
22