Transcript Document 9652370

Matakuliah
Tahun
: I0272 - STATISTIK PROBABILITAS
: 2009
PELUANG (PROBABILITAS)
Pertemuan 3
Materi

Peluang Kejadian dan Kaidah-kaidah peluang
 Perhitungan Titik-Titik Contoh
 Peluang Bersyarat, Kejadian Bebas
 Dalil peluang total, dan Kaidah Bayes
Bina Nusantara University
3
 Peluang Kejadian
• Probabilitas (peluang) adalah pernyataan numerik
tentang kemungkinan dari suatu kejadian yg dpt terjadi
(ukuran terhadap kepastian dan ketidakpastian)
• Nilai probabilitas selalu lebih besar atau samadengan
nol dan kurang atau sama dengan satu (0 ≤ p ≤ 1)
– Probabilitas sama 0 maka kejadian itu mustahil terjadi.
– Probabilitas sama 1 maka kejadian itu pasti terjadi.
– Probabilitas mendekati 0 maka kejadian itu jarang terjadi,
sedangkan bila mendekati 1 maka kejadian itu sering terjadi.
• Teori peluang dapat memberikan landasan yg kuat
tentang bgm menelaah ketidakpastian secara logis dan
rasional thd masalah-masalah yg dihadapi oleh para
pengambil kebijakan.
Bina Nusantara University
4
• Percobaan adalah situasi atau keadaan melakukan
perlakukan (treatment) yg berulang-ulang pada kondisi
tertentu.
• Ruang contoh (sample space) adalah himpunan dari
semua kemungkinan yg dpt terjadi dlm suatu percobaan.
Biasanya dilambangkan S. Misal percobaan melempar
satu koin uang (H dan T) sebanyak dua kali, maka ruang
contohnya adalah: S = {HH, HT, TH, TT}. Ada dua:
– Ruang contoh diskret: unsur-unsurnya terpisah, dpt dibilang.
– Ruang contoh kontinu: unsur-unsurnya bersambung (tdk
terpisah) seperti titik-titik pada sepotong garis.
Jika ruang contoh tdk mempunyai unsur dinamakan
ruang contoh kosong atau { } atau ø.
Bina Nusantara University
5
• Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang contoh yg
mempunyai ciri tertentu. Misal kejadian minimal satu H
muncul jika sebuah uang logam dilemparkan sebanyak
dua kali berturut-turut. Kejadian A = {HH, HT, TH}. Ada
2 kejadian:
– Kejadian sederhana, jika hanya mempunyai satu ciri (karakter).
Misal terpilihnya kartu berbwarna hitam dari kartu bridge.
– Kejadian majemuk, jika mempunyai sekurang-kurangnya dua ciri
(karakter. Misal terpilihnya kartu As yg berwarna merah.
• Irisan (intersection) dari kejadian A dan B. Notasi A 
Event A
Event B
Sample Space S
Intersection
Bina Nusantara University
6
• Gabungan (union) dua kejadian A dan B. Notasi A B
Event A
Event B
• Kejadian terpisah adalah A  =ø
• Komplemen kejadian.
Event A
Bina Nusantara University
Ac
7
 Perhitungan Titik-Titik Contoh
• Titik contoh (sampel point) adalah unsur-unsur dari ruang
contoh. Misalnya: HH, HT, TH, dan TT merupakan titik
contoh pada pelemparan uang logam (permukaan H dan
T) sebanyak dua kali.
• P(kejadian) = banyaknya unsur kejadian:banyaknya titik
contoh
• Permutasi adalah banyaknya urutan yg dapat dibentuk
dari sekumpulan unsur-unsur atau sekelompok obyek.
Banyaknya permutasi dari n unsur berbeda jika masingmasing permutasi terdiri dari r unsur adalah:
n
n!
P = r!  =
 r  (n  r )!
n
r
Bina Nusantara University
8
• Contoh: dari 20 org dipilih 3 org secara acak untuk
menentukan ketua, sekretaris dan bendahara. Berapa
banyak susunan pengurus yg dapat dibentuk ? Jawab:
n=20, r=3
20!
=18x19x20 = 6.840
(20  3)!
• Kombinasi adalah banyaknya susunan (tanpa
memperhatikan urutan) yg mungkin dapat dibentuk dari
n unsur jika masing-masing susunan terdiri dari r unsur:
N
N!
C = =
 n  n!( N  n)!
n
r
Bina Nusantara University
9
• Contoh: 6 orang pengurus RT akan dipilih 4 org sbg
panitia di RW, berapa kombinasi yang bisa dibentuk?
Jawab: n=6 dan r=4
6!
= 15
4!(6  4)!
• Perhitungan peluang ada didekati dengan dua cara:
– Pendekatan obyektif: (1) didasarkan pada teori atau
pengetahuan, misalnya munculnya tiap mata dadu=1/6, kartu
bridge 1/52; (2) didasarkan pada percobaan (frekuensi relatif)
yaitu hasil percobaan masa lalu.
– Pendekatan subyektif: ditentukan oleh seorang ahli atas dasar
pengetahuan, pengalaman, intuisi. Pendekatan ini dilakukan jika
pendekatan obyekif tidak dapat dilakukan.
Bina Nusantara University
10
 Peluang Bersyarat, Kejadian Bebas
• Peluang bersyarat adalah peluang terjadinya kejadian A
bila diketahui bahwa suatu kejadian lain B telah terjadi,
dilambangkan P(A|B) “peluang terjadinya A bila B telah
terjadi”.
P( A  B)
P ( A| B ) =
P( B)
Jika P(A) > 0
•Contoh: Peluang suatu penerbangan reguler berangkat tepat pada
waktunya adalah P(D)=0,83, peluang penerbangan itu mendarat tepat pada
waktunya adalah P(A)=0,92, dan peluang penerbangan itu berangkat dan
mendarat tepat pada waktunya adalah P(D ∩ A)=0,78 Hitunglah peluang
bahwa suatu pesawat pada penerbangan itu mendarat pada waktunya bila
diketahui bahwa pesawat itu berangkat pada waktunya?
Bina Nusantara University
11
• Jawab: P(A|D) = P(D∩A)/ P(D) = 0,78/0,83 = 0,94
• Kejadian Bebas. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas
bila P(B|A) = P(B) atau P(A|B)= P(A).
• Kaidah penggandaan adalah menggandakan kedua sisi
rumus peluang bersyarat, sehingga diperoleh: P(A ∩ B)=
P(B) P(A|B), dimana A dan B terjadi sekaligus.
• Misal sebuah kotak berisi 20 USB 5 diantaranya rusak. Bila 2 USB
diambil secara acak dan tanpa pemulihan, berapa peluang USB yg
terambil tsb keduanya rusak. Jawab: P(A ∩ B)= (1/4)(4/19)= 1/19.
• Kaidah penggandaan khusus, bila A dan B bebas, maka
P(A ∩ B)= P(A) P(B).,
Bina Nusantara University
12
 Dalil Peluang Total, dan Kaidah Bayes
•Dalil peluang total. Bila kejadian-kejadian B1, B2,…, Bk
merupakan sekatan (partisi) dari ruang contoh S, maka
untuk sembarang kejadian A yang merupakan himpunan
bagian dari S berlaku:
P(A) = P(B1)P(A|B1)+ P(B2)P(A|B2)+ … + P(Bk)P(A|Bk)
•Kaidah Bayes. Jika kejadian-kejadian B1, B2,…, Bk
merupakan sekatan dari ruang contoh S dengan P(Bi) ≠ 0
untuk i=1,2 …, k, maka untuk sembarang kejadian A yang
bersifat P(A) ≠ 0,
P( B | A) =
i
Bina Nusantara University
P( B ) P( A | B )
P( B )P( A | B )  P( B )P( A | B )  ...  P( B )P( A | B )
i
1
1
2
i
2
k
k
13
• Contoh: Sebuah perusahaan mempunyai 3 pabrik (A, B, dan C).
Dari keseluruhan produknya diketahui bahwa 50% dihasilkan pabrik
A, dan sisanya 30% pabrik B dan 20% pabrik C. Pengalaman yg
lalu menunjukkan bahwa terdapat produk rusak dari masing-masing
pabrik, tercatat 3% rusak di pabrik A, 4% di pabrik B, dan 5% di
pabrik C. Bila dipilih secara acak dari produk perusahaan tsb,
berapa peluang bahwa yg terpilih adalah produk rusak? Jika
diketahui yg terpilih produk rusak, berapa peluang bahwa produk tsb
diproduksi oleh pabrik B?
• Jawab: R = produk rusak; P(A) pabrik A, P(B), dan P(C)= pabrik C.
P(R) = (0,5)(0,03) + (0,3)(0,04) + (0,2)(0,05) = 0,037
• P(B|R) = (0,3)(0,04)/(0,037) = 0,3243
Bina Nusantara University
14