Transcript null

Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί
5ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017
Περί ανώμαλων πινάκων
συμ-μεταβλητοτήτων
Χριστόφορος Κωτσάκης
Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών
Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Ένα σημαντικό θέμα
Είναι δυνατόν ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων Cv
ενός διανύσματος τυχαίων μεταβλητών να είναι
ανώμαλος (μη-αντιστρέψιμος) πίνακας ;
Ναι !
... στην περίπτωση όπου ορισμένες από τις τυχαίες
μεταβλητές μπορούν να εκφραστούν ως γραμμικός
συνδυασμός των υπολοίπων τυχαίων μεταβλητών
που απαρτίζουν το συγκεκριμένο διάνυσμα v.
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Παράδειγμα
 v1 
 v1 
 


v   v2    v2 
v 
v  v 
 1 2
 3
Ανεξάρτητα από τη στοχαστική συμπεριφορά των τυχαίων
μεταβλητών v1 και v2, ο 3×3 πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων
του παραπάνω διανύσματος θα είναι πάντα ανώμαλος!
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Παράδειγμα
Δίνεται το παρακάτω διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών:
v1




v
v2

v  v  v 
 3 1 2
E{v1}  E{v2 }  0
όπου
E{v1v2 }   v1 ,v2  0
E{v12 }   v21
E{v22 }   v22
Συνεπώς θα έχουμε:
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
E{v3}  0
E{v1v3}   v1 ,v3   v21
E{v32 }   v23   v21 + v22
E{v2v3}   v2 ,v3   v22
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Παράδειγμα
Έτσι, ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων του διανύσματος:
v1




v  
v2

v  v  v 
 3 1 2
θα έχει τη γενική μορφή: C v
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
det{Cv }  0
 v2
 1
  0
 2
 v1
0
 v22
 v22
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
2
 v1 

 v22 
2
2 
 v1   v2 

Χ. Κωτσάκης, 2016
Ένα σημαντικό θέμα
Η ύπαρξη ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων
έχει κάποια πρακτική σημασία σε εφαρμογές
ανάλυσης και συνόρθωσης παρατηρήσεων ;
Ναι !
... γιατί αυτό σημαίνει ότι είναι ενδεχόμενο να υπάρχουν
περιπτώσεις όπου κάποιο διάνυσμα παρατηρήσεων (y)
δεν θα μπορεί να συνοδευθεί από πίνακα βάρους που
θα προκύπτει ως ο αντίστροφος του πραγματικού πίνακα
συμ-μεταβλητοτήτων του (Cy).
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Σχόλια
 Ένας διαγώνιος πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων
είναι πάντα αντιστρέψιμος.
 Άρα, η ενδεχόμενη ύπαρξη ανώμαλων πινάκων
συμ-μεταβλητοτήτων αφορά μόνο περιπτώσεις
συσχετισμένων τυχαίων μεταβλητών.
 Αυτό δεν σημαίνει ότι κάθε διάνυσμα
συσχετισμένων τυχαίων μεταβλητών
θα συνοδεύεται αναγκαστικά από ανώμαλο
πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων!
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Ένα σημαντικό θέμα
Η συνόρθωση παρατηρήσεων και η εκτίμηση
παραμέτρων σε ανώμαλα γραμμικά μοντέλα:
b  Aδx  v
v (0, Cv )
det{Cv }  0
αποτελεί έναν ιδιαίτερο και σημαντικό κλάδο
στη θεωρία βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων !
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Ένα σημαντικό θέμα
Παρότι υπάρχουν τα μαθηματικά εργαλεία για την
αυστηρή στατιστική συνόρθωση παρατηρήσεων
σε «ανώμαλα» γραμμικά μοντέλα της μορφής:
b  Aδx  v
v (0, Cv )
det{Cv }  0
στις περισσότερες εφαρμογές φροντίζουμε να
αποφεύγουμε τέτοιες περιπτώσεις.
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Πότε πρέπει να προσέχω ;
Αν το διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών v εξαρτάται από
κάποιες άλλες (λιγότερες) τυχαίες μεταβλητές z
 
v  f z
n1
k 1
όπου
n k
τότε ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων που
το συνοδεύει θα είναι πάντα ανώμαλος.
 f   f 
C v    Cz  
 z   z 
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
T
det{Cv }  0
rank{Cv }  n
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Πότε πρέπει να προσέχω ;
Αν το διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών v εξαρτάται από
κάποιες άλλες (λιγότερες) τυχαίες μεταβλητές z
v  Q
n1
z
nk k 1
όπου
n k
τότε ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων που
το συνοδεύει θα είναι πάντα ανώμαλος.
Cv  QCzQ
T
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
det{Cv }  0
rank{Cv }  n
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Παράδειγμα
 v1 
1
 
v   v2    0

v 
1
 3
0
 z1 

1  
 z
1   2 
z
Q
Συνεπώς θα έχουμε:
1
Cv  0

1
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
0


1 
1
 z2
 1
 0
 z2
0  1 0 1  1
 0
 

2
 z2  0 1 1  2
 z1


2
2
 z2
 z2 
2
2
2 
 z2  z1   z2 

det{Cv }  0
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
0
 z21
Χ. Κωτσάκης, 2016
Πότε πρέπει να προσέχω ;
Επίσης, αν το διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών v μπορεί
να εκφραστεί ως γινόμενο σύμφωνα με την παρακάτω
γενική μορφή:
v  Q v
n1
nn n1
όπου Q είναι ανώμαλος πίνακας
τότε ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων που
το συνοδεύει θα είναι πάντα ανώμαλος.
Cv  QCvQ
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
T
det{Cv }  0
rank{Cv }  n
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Να θυμάστε ότι …
Στη διαδικασία συνόρθωσης δικτύων, αντί για τις
πρωτογενείς παρατηρήσεις, γίνεται συχνά χρήση
άλλων συνθετικών παρατηρήσεων που προκύπτουν
από την προ-επεξεργασία των αρχικών μετρήσεων.
Πρωτογενείς παρατηρήσεις: y
Cy
Συνθετικές παρατηρήσεις: y  f ( y )
 f 
 f 
C y    C y  
 y 
 y 
T
Π.χ. σχηματισμός απλών/διπλών/τριπλών διαφορών από μετρήσεις
ψευδο-αποστάσεων μέσω GPS, επιλογή βάσεων για συνόρθωση
δικτύου GPS, υπολογισμός γωνιών από διευθύνσεις, κ.ά.
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Να θυμάστε ότι …
Σε τέτοιες περιπτώσεις χρειάζεται προσοχή στο σχηματισμό
των συνθετικών παρατηρήσεων ώστε αυτές να συνοδεύονται
από έναν αντιστρέψιμο πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων.
y  f ( y )
 f 
 f 
C y    C y  
 y 
 y 
T
(*) αν ο πίνακας Cy είναι ανώμαλος αυτό σημαίνει ότι οι συνθετικές
παρατηρήσεις περιέχουν “πλεονάζουσα άχρηστη πληροφορία” σε
σχέση με την αρχική πληροφορία που περιέχουν οι μετρήσεις y.
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Παράδειγμα
υπολογισμός οριζοντίων γωνιών
από μετρημένες (και ασυσχέτιστες
μεταξύ τους) οριζόντιες διευθύνσεις
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Παράδειγμα
2
1
ij
5


3

4
125 



 154 
 
 124 
ω

15 12 





 14 15 
  
 14 12 

 1

0
 1

1
1
Q
Cω  QCδQT  2 QQT
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
0
1

1
0 
12 
 
14 
 
 15 
δ
μη-αντιστρέψιμος πίνακας !
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Παράδειγμα
2
1
ij
5


3

4
125 


154 
ω

15 12 


14 15 

 1

0
0
1
Q
1

1
 12 


 14 
  
 15 
δ
Cω  QCδQT  2 QQT
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
αντιστρέψιμος πίνακας !
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Τι γίνεται στη συνόρθωση
γραμμικών μοντέλων ;
Θα υπάρχουν πάντα οι εξής ανώμαλοι πίνακες
συμ-μεταβλητοτήτων:
b  Aδx  v
v (0, Cv )
δxˆ  (A C A) A C b
Cδxˆ  (ATCv1A)1
vˆ  b  Aδxˆ
Cvˆ  Cv  ACδxˆ AT
T
yˆ  y  vˆ
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
1
1
v
T
1
v
Ανώμαλοι
πίνακες
Cyˆ  ACδxˆ AT
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Τι γίνεται στη συνόρθωση
γραμμικών μοντέλων ;
Θα υπάρχουν πάντα οι εξής ανώμαλοι πίνακες
συμ-μεταβλητοτήτων:
b  Aδx  v
v (0, Cv )
vˆ  b  Aδxˆ
vˆ  (I  A(ATCv1A)1ATCv1) v
yˆ  y  vˆ
yˆ  ytrue  A(ATCv1A)1ATCv1 v
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
Cvˆ  Cv  ACδxˆ AT
Cyˆ  ACδxˆ AT
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016
Συμπερασματικά
 Ανώμαλοι πίνακες συμ-μεταβλητοτήτων:
 υποδηλώνουν “πλεόνασμα περιττής πληροφορίας”
στo αντίστοιχο διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών.
 δημιουργούν πρόβλημα στο σχηματισμό του πίνακα
βάρους σε σετ δεδομένων που πρόκειται να συνορθωθούν.
 προκύπτουν σε κάθε πρόβλημα συνόρθωσης μέσω
της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων (βλέπε Cvˆ , Cyˆ ).
 εμφανίζονται επίσης σε προβλήματα συνόρθωσης δικτύων
αφού ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων
συντεταγμένων είναι συχνά ανώμαλος (βλέπε επόμενα
μαθήματα).
ΤΑΤΜ | ΑΠΘ
Σημειώσεις για το μάθημα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί (5ο εξάμηνο)
Χ. Κωτσάκης, 2016