Transcript Costruzione della formula risolvente dell`equazione di secondo
Costruzione della formula risolvente dell'equazione di secondo grado alternativa al completamento del quadrato Prof. Marco Fortina - I.I.S. "Cobianchi" di Verbania
Data l'equazione completa di secondo grado:
ax
2 +
bx
+
c
= 0 impongo:
X
≡
x
+̄ da cui
x
=
X
−̄ e sostituendo nella (1):
a
(
X
−̄ ) 2 +
b
(
X x
)+
c
= 0 eseguo le operazioni richieste:
aX
2 − 2a ̄ +
a
̄ 2 +
bX
−
b x
+
c
= 0 (1) (2) ordino secondo le potenze decrescenti di
X
:
aX
2 −( 2a ̄ −
b
)
X
+
a
̄ 2 −
b x
+
c
= 0 impongo che il termine in
X
sia = 0: 2a ̄ −
b
≡ 0 da cui: ̄ =
b
2a e sostituisco nella (3)
aX
2 +
a
(
b
2a ) 2 −
b
2a 2 +
c
= 0 eseguo le operazioni richieste:
aX
2 +
b
4a 2 − 2b 4a 2 +
c
= 0 cioè:
aX
2 −
b
4a 2 +
c
= 0 (3)
e ricavo prima
X
2 :
X
2 =
b
2 − 4ac 4a 2 e quindi ricavo
X
:
X
=± √
b
2 − 4ac 4a 2 ma per la (2):
x
+̄ = ± √
b
2 − 4ac 2a e per la (3):
x
+
b
2a = ± √
b
2 − 4ac 2a da cui finalmente:
x
=−
b
2a ± √
b
2 − 4ac 2a = −
b
± √
b
2 − 4ac 2a ■ Note: 1. Il procedimento coincide con quello del completamento del quadrato quando; nel modello: (
Ax
+
B
) 2 +
C
= 0 si imponga la sostituzione:
X
≡
x
+
B A
ottenendo:
A
2
X
2 +
C
= 0 2. Il procedimento equivale a traslare orizzontalmente la parabola suo asse coincida con l'asse delle ordinate.
y
=
ax
2 +
bx
+
c
in modo che il