Transcript Funzione Polinomiale Cubica - cm

Revisione
ott. 2016
Uno studio della
Funzione Polinomiale Cubica
generale a valori in R
claudio magno
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Uno studio della Funzione Polinomiale Cubica reale generale a valori in R –
Girolamo Cardano (1501-1576)
1
Uno studio della Funzione Polinomiale Cubica reale generale a valori in R –
2
La Funzione Polinomiale Cubica generale a valori in R
Rappresentazione cartesiana:
x ֏ f (x ):= ax 3 + bx 2 + cx + h ≡ y ,
(1)
con {a , b, c, h } ⊂ { R \{ 0}} × R 3 .
Dominio:
D ≡ R ; alla frontiera ∂ D , si ha che lim f (x ) ≡ a lim x 3 = ( sgn a ) ( ± ∞) .
x →± ∞
x →± ∞
∞
Inoltre, f ∈ C (R ) .
Poiché f è una funzione razionale intera, graf ( f ) non ha asintoti di alcun genere.
Essendo {a , b, c, h } ⊂ { R \{ 0 }} × R 3 , graf ( f ) interseca l’asse Y nel punto (0 ; h ) e ha uno o tre
punti di contatto con l’asse Χ . Per la ricerca di questi ultimi, si tenga presente che,
a.
se h /a ∈ Q , f (x ) potrebbe possedere almeno una radice razionale, x 0 := ± ρ /σ . Se una tale
radice esiste, allora ρ ( ∈ R ) è un divisore di h mentre σ ( ∈ R \{ 0 }) è un divisore di a . La
verifica è necessaria. Se f (x 0 ) ≡ 0 , allora f (x ) ≡ a (x − x 0 ) (x 2 + λ x + ξ ) , dove il fattore
quadratico può essere determinato sia con l’algoritmo di Ruffini sia con quello generale di
divisione polinomiale, fornendo prontamente le possibili altre due radici reali. Nei casi più
elementari, f (x ) si riduce a un binomio cubico perfetto o alla somma\differenza di due monomi
cubici;
b.
la ricerca delle radici reali della funzione cubica generale può essere eseguita combinando i
metodi algebrico classico di Tartaglia-Cardano-Euler con quello goniometrico (v. P. 8).
Derivata 1a:
f ′(x ) = 3ax 2 + 2bx + c ;
(2)
Derivata 2a:
f ′′(x ) = 2 (3 ax + b) ,
(3)
dalla quale, segue che graf ( f ) ha, ∀ {a , b, c, h } ∈ { R \{ 0 }} × R 3 , un unico punto di flesso,
 b

2b 3
bc
F ≡ ( − b /(3a ); f ( − b /(3a ))) =  −
;
−
+ h  = (x ; f (x )) ,
2
3a
 3a 27a

risultando
convesso 
> x
 per a > 0 ∧ x 
concavo 
< x
< x ,
o, rispettivamente, per a < 0 ∧ x 
> x .
Inoltre, è immediato verificare che graf ( f ) rivela la propria simmetria centrale vs. il sistema di
x = u +x
riferimento traslato in F . Infatti, sostituendo 
nell’equazione y = f (x ) , i.e.,
y = v +y
v + y = a (u + x )3 + b (u + x )2 + c (u + x ) + h
= au 3 + (3 ax + b ) u 2 + (3 ax 2 + 2bx + c ) u + ax 3 + bx + cx + h ,
f ′′ (x ) ≡ 0
f ′ (x )
f (x ) ≡ y
e, semplificando rispetto alle nuove variabili u e v , si ottiene
v = au 3 + (c − b 2 (3a ))u ≡ ψ (u ) .
(4)
Uno studio della Funzione Polinomiale Cubica reale generale a valori in R –
3
Dunque, poiché l’Eq. (4) rappresenta una funzione dispari e la traslazione è una trasformazione
isometrica, il grafico della funzione cubica (della variabile x )
ψ (x ) := ax 3 + (c − b 2 /(3a )) x ≡ ax 3 + f ′(x ) x ≡ y
(5)
risulta congruente a quello di f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + h e simmetrico rispetto all’origine.
Le informazioni ottenibili da f ′(x ) sono essenziali per lo studio di f (x ) . Per questo, introdotto il
simbolo abbreviato
∆ f ′ := b 2 − 3ac
(6)
per il discriminante (ridotto) del polinomio-derivata 1ª f ′(x ) ≡ 3 ax 2 + 2bx + c , si distinguono i tre
casi seguenti:
I.
∆f′ > 0:
f ′(x ) ha due radici distinte in R : α , β = ( − b ± ∆ f1′/ 2 )/(3a ) ; per definitezza, si supponga che
sia α < β .
Poiché, com’è da attendersi, (α + β )/2 = x , l’ascissa del punto di flesso corrisponde al punto
medio del segmento sull’asse Χ avente come estremi le immagini delle ascisse x ≡ α , β .
Pertanto, α e β sono valori estremanti locali stazionari, uno dei due di minimo e l’altro di
massimo, necessariamente.
Ora, siano µ e Μ , rispettivamente, i valori del minimo e del massimo locali di f (x ) (è
irrilevante che sia µ ≡ f (α ) ∧ Μ ≡ f (β ) , piuttosto che viceversa). Le considerazioni
precedenti di simmetria (v. Eq. (4)) indicano non solo che vale sempre la disuguaglianza
µ < f (x ) < Μ
ma che, dall’esplicitazione delle quantità seguenti:
1.
2.
2b 3
bc
−
+h ,
2
27a
3a
2b
c
,
α+β = −
∧ αβ =
3a
3a
f (x ) ≡
dalle quali, si calcolano le associate
4b 2 2c
−
9a 2 3a
3.
α 2 + β 2 ≡ (α + β )2 − 2α β =
4.
α 3 + β 3 ≡ (α + β )3 − 3 α β (α + β ) = −
e
8b 3
2bc
+ 2 ,
3
27a
3a
risulta anche
f (α ) + f (β ) m + M
a (α 3 + β 3 ) + b (α 2 + β 2 ) + c (α + β ) + 2 h
≡
=
2
2
2
3
2b
bc
=
−
+ h ≡ f (x ) .
2
27a
3a
(7)
Com’era prevedibile, l’ordinata di F, analogamente a quanto si è visto per l’ascissa, è
l’immagine del punto medio del segmento sull’asse Y avente come estremi le immagini delle
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4
ordinate µ e Μ . Si conclude che i due estremi stazionari e il punto di flesso sono sempre
allineati; in termini geometrici, il punto di flesso F è il punto di intersezione delle diagonali
(centro) del rettangolo compatto [α , β ] × [µ , Μ ] .
Il coefficiente angolare dell’equazione della retta r µ Μ di allineamento degli estremi coincide
con il rapporto incrementale
f (α ) − f (β ) a (α 3 − β 3 ) + b (α 2 − β 2 ) + c (α − β )
≡
α −β
α −β
= a ((α + β )2 − α β ) + b (α + β ) + c
= a (( −b /(3a ))2 − c /(3a )) + b (−b /(3a )) + c =
2
2
(c − b 2 /(3a )) ≡ f ′(x ) ,
3
3
(8)
cfr/c Eq. (5). Pertanto, la rappresentazione esplicita generale di r µ Μ è connessa strettamente
alla sua condizione di tangenza a graf ( f ) nel punto di flesso F,
y − f (x )
2
= f ′(x ) .
x −x
3
(8.1)
Con sostituzioni evidenti, risulta
rµ Μ : y =
2
(c − b 2 /(3a ))x − bc /(9a ) + h .
3
Come confronto, l’equazione della retta r F , tangente a graf ( f ) in F, è data da
r F : y = f ′(x ) (x − x ) + f (x ) = (c − b 2 /(3a )) x − b 3 /(27a 2 ) + h .
Infine, procedendo come sopra, si verifica che
2
 2b 3

4
bc
4 
b2 
f (α ) f (β ) ≡ µ Μ = ( f (x )) +
( f ′(x ))3 ≡ 
h
c
−
+
+
−



27a
3a 
 27a 2 3a
 27a 
1
1
=
(27 a 2h 2 − 18abch + 4 ac 3 + 4b 3h − b 2c 2 ) :=
Ω.
2
27 a
27 a 2
3
2
(9)
Ora, nello studio della funzione razionale intera cubica y = f (x ) , il prodotto f (α ) f (β ) ,
definibile in R solo se ∆ f ′ ≥ 0 , è proporzionale al parametro fondamentale Ω , il cosiddetto
discriminante dell’equazione cubica f (x ) ≡ 0 . Tale caratterizzazione di Ω è analoga a
quella ben nota per l’equazione quadratica in R .
Infatti,
I.1
se f (α ) f (β ) > 0 ,
segue che, f (α ) e f (β ) sono di segno concorde. In tal caso, f possiede una sola radice
in R , x 1 , i.e., graf ( f ) interseca l’asse Χ in un solo punto, tale che, tenendo conto dei
valori-limite di f alla frontiera ∂ D del dominio, si ha, rispettivamente,
x1 < α < β
per
µ < 0,

Μ < 0,
a < 0 ,

oppure per
µ > 0,

Μ > 0,
a > 0 ,

Uno studio della Funzione Polinomiale Cubica reale generale a valori in R –
α < β < x1
per
µ < 0,

Μ < 0,
a > 0 ,

oppure per
5
µ > 0,

Μ > 0,
a < 0 ,

come si deduce qualitativamente dal grafico nella Fig. 1, corrispondente ad a > 0 ,
Fig. 1
I.2
se f (α ) f (β ) = 0 ,
segue che, α ≠ β implica che sia f (α ) = 0 ∨ f (β ) = 0 , i.e., che f (x ) abbia tre
radici in R , due delle quali coincidono o con α o con β , dando luogo a un punto di
tangenza di graf ( f ) con l’asse Χ (v. Fig. 2-a, con a < 0 , e Fig. 2-b, con a > 0 ). In
tale circostanza, f assume l’una o l’altra delle rappresentazioni seguenti:
f (x ) ≡ a (x − α )2 (x − x 3 ) ∨ f (x ) ≡ a (x − x 1 ) (x − β )2 ;
Fig. 2-a
I.3
Fig. 2-b
se f (α ) f (β ) < 0 ,
segue che, f (α ) e f (β ) sono di segno discorde, i.e, Μ > 0 ∧ µ < 0 .
In tale circostanza, f (x ) possiede tre radici distinte in R , x 1 , x 2 e x 3 , ordinabili come
Uno studio della Funzione Polinomiale Cubica reale generale a valori in R –
6
x 1 < α < x 2 < β < x 3 . Pertanto, graf ( f ) interseca l’asse Χ in tre punti distinti.
Nel caso a < 0 , la funzione cubica intera è rappresentabile qualitativamente mediante il
grafico in Fig. 3,
Fig. 3
II.
∆f′ = 0:
f ′(x ) possiede due radici coincidenti in R , α ≡ β = x . Pertanto, si ha
f ′(x ) = 3a (x − x )2
 > 0 , se a > 0 ,

 < 0 , se a < 0 .
L’ascissa x = x è quella di un punto di flesso a tangente orizzontale. In D , la funzione f è
monotòna, decrescente se a < 0 e crescente se a > 0 , e possiede una sola radice, in R , x 0 ,
tripla (Fig. 4-a) o semplice (Fig. 4-b), contro-immagine del suo unico punto di intersezione con
l’asse Χ . Un controllo grafico qualitativo indica che
x0 ≥ x ,
se
Fig. 4-a
ah ≤ 0 ;
x0 ≤ x ,
se
Fig. 4-b
ah ≥ 0 .
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III.
7
∆f′ < 0:
poiché f ′(x ) non ha radici in R , f (x ) è priva di estremi locali stazionari. La funzione f
risulta monotòna in D , crescente per a > 0 e decrescente per a < 0 . Essa possiede una sola
radice in R , x 0 , contro-immagine del suo unico punto di intersezione con l’asse Χ .
La forma fattorizzata massimale in R di f (x ) presenta l’apparenza generale del tipo
a (x − x 0 ) (x 2 + λ x + ω ) , con λ 2 − 4 ω < 0 . Da un controllo grafico qualitativo (cfr/c Fig. 5,
corrispondente al caso a > 0 ), si conclude che
x0 ≥ x ,
se
ah ≤ 0 ;
x0 ≤ x
se
ah ≥ 0 .
Fig. 5
■
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8
Formule per il calcolo delle radici reali di un
polinomio cubico a coefficienti reali (†)
Come è noto, la funzione polinomiale di 3º grado nella variabile x ∈ R e a coefficienti ∈ R ,
f (x ) := ax 3 + bx 2 + cx + h
(a ≠ 0) ,
può avere una o tre radici in R , in virtù del Teorema Fondamentale dell’Algebra. La loro
determinazione è un problema classico nella Teoria delle Equazioni Algebriche.
Sia x l’ascissa dell’unico punto di flesso di f . Definiti i parametri
 p := f ′(x )/a = c /a − b 2 /(3 a 2 ) ,

3
3
2
 q := f (x )/a = 2b /(27a ) − bc /(3 a ) + h /a ,
si costruisce il discriminante ridotto, Ω (cfr/c l’Eq. (9)), dell’equazione f (x ) = 0 :
Ω := Ω /(108a 4 ) ≡ p 3 /27 + q 2 / 4 = ( f ′(x )/(3a ))3 + ( f (x )/(2a ))2
(quest’ultima uguaglianza vale solo se ∆ f ′ ≡ b 2 − 3ac ≥ 0 ).
≡ µΜ /(4 a 2 )
Quindi, si distinguono i due casi:
I.
se Ω > 0 , i.e., se ∆ f ′ < 0 ∨ { ∆ f ′ > 0 ∧ µΜ > 0 } , allora ∃ { µ , Μ } .
Segue che l’equazione f (x ) = 0 ha una sola soluzione ∈ R , data da
x = (Ω 1 / 2 − q /2)1 / 3 − (Ω 1 / 2 + q /2)1 / 3 − b /(3a ) ;
II.
(10)
se Ω ≤ 0 , i.e., se { ∆ f ′ ≥ 0 ∧ µΜ ≤ 0 } ,
l’equazione f (x ) = 0 ha tre soluzioni in R .
Se Ω < 0 , le soluzioni sono distinte e rappresentabili mediante la terna di numeri
{x k } =
1
 3 3 |q |  2  b
2 3 1/2
,
+ k π  −
| p | cos  cos −1 
3 /2 
3
3
2
p
3
3
a
|
|




(11.1)
assegnando i valori interi consecutivi { − 1 , 0 , 1} all’indice variabile k.
Se Ω = 0 , almeno due di esse coincidono e almeno una delle tre – la si chiami x – ha
la forma reale generale
x = −
2 2/3
b
.
(27 a 2h − 9abc + 2b 3 )1 / 3 −
3a
3a
(11.2)
Le altre due soluzioni sono le radici del polinomio-quoziente quadratico
Q (x ) :=
f (x )
.
x −x
(11.3)
Esse pure sono reali sse ∆ Q (x ) ≥ 0 .
■
____________________
(†)
Si veda, e.g., il documento PDF dell’autore: Radici dei Polinomi univariati in
R
di 3º e di 4º grado.
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Invarianze areali vs. la linea cubica generale [*]
La retta r QP , tangente al grafico, graf ( f ) , di una linea cubica generica γ in un suo punto qualsiasi
P ≡/ (x 0 ; y 0 ) ≡/ F , i.e., distinto dal punto di flesso, interseca sempre graf ( f ) in un solo altro
punto, Q . Analogamente, la retta rRQ , tangente a graf ( f ) in Q , interseca sempre graf ( f ) in un
solo altro punto, R ( ≡/ F ) .
Sia S il punto di intersezione tra rQP e la retta rSR , tangente a graf ( f ) in R (v. Fig. 6).
Proposizione
Il triangolo SRQ resta diviso dal ramo di graf RPQ ( f ) ⊂ graf ( f ) in tre regioni limitate le cui
aree stanno tra loro in rapporti invarianti, i.e., indipendenti dall’equazione y = f (x ) di γ
per qualsiasi scelta della terna { P , Q , R } (dunque, anche l’area di SRQ sta in rapporto
invariante con l’area di ciascuna delle tre regioni).
Fig. 6
Una verifica dell’asserto sfrutta la proprietà di simmetria centrale di graf ( f ) rispetto a F nella
rappresentazione traslata dell’Eq. (5).
Definito il parametro abbreviato
ξ := c − b 2 /(3a ) ≡ f ′(x ) ,
(12)
γ : ψ (x ) = ax 3 + ξ x .
(13)
si riscrive l’Eq. (5) come
Dall’Eq. (13), si calcola l’equazione della retta tangente a graf (ψ ) in P :
y − ψ (x 0 ) = ψ ′(x 0 ) (x − x 0 ) ,
i.e., y − (ax 30 + ξ x 0 ) = (3ax 20 + ξ ) (x − x 0 ) , ottenendo, in forma esplicita,
rQP : y = (3ax 20 + ξ ) x − 2ax 30 .
(14)
Uno studio della Funzione Polinomiale Cubica reale generale a valori in R –
10
Coordinate di Q :
 y = ax 3 + ξ x
il sistema 
2
3
 y = (3ax 0 + ξ )x − 2ax 0
fornisce l’equazione risolvente
x 3 − 3 x 20 x + 2x 30 = 0 .
(15)
La condizione di tangenza in P , per x = x 0 , implica che il polinomio nell’Eq. (15) sia divisibile
per (x − x 0 )2 . Ciò è verificato mediante divisione polinomiale, consentendo di riscrivere l’Eq. (15)
nella forma fattorizzata (x − x 0 )2 (x + 2x 0 ) = 0 .
Così, è immediato concludere che
Q ≡ (x 1 ; ψ (x 1 )) ≡ (− 2 x 0 ; − 8ax 30 − 2 ξ x 0 ) .
Il procedimento precedente può essere ripetuto per il punto R . L’equazione della retta tangente a
graf (ψ ) in Q è
y − ψ (x 1 ) = ψ ′(x 1 ) (x − x 1 ) ,
i.e., in modo più esplicito,
y − (ax 31 + ξ x 1 ) = (3ax 21 + ξ ) (x − x 1 ) .
Da questa, con x 1 = − 2 x 0 , si ottiene
rRQ : y = (12ax 20 + ξ ) x + 16ax 30 .
(16)
Coordinate di R :
 y = ax 3 + ξ x
il sistema 
2
3
 y = (12ax 0 + ξ ) x + 16ax 0
fornisce l’equazione risolvente
x 3 − 12 x 20 x − 16 x 30 = 0 .
(17)
La condizione di tangenza in Q , i.e., per x = − 2 x 0 , implica che il polinomio nell’Eq. (17) sia
divisibile per (x + 2x 0 )2 . Ciò può essere verificato mediante divisione polinomiale, riscrivendo l’Eq.
(17) nella forma fattorizzata (x + 2x 0 )2 (x − 4x 0 ) = 0 .
Così, è immediato concludere che
R ≡ (x 2 ; ψ (x 2 )) ≡ (4 x 0 ; 64 ax 30 + 4 ξ x 0 ) .
(17)
Segue che l’equazione della retta tangente a graf (ψ ) in R è data da
y − ψ (x 2 ) = ψ ′(x 2 ) (x − x 2 ) ,
i.e., da
y − (ax 32 + ξ x 2 ) = (3ax 22 + ξ ) (x − x 2 ) ,
da cui, con x 2 = 4 x 0 , si trova
rSR : y = (48ax 20 + ξ ) x − 128 ax 30 .
(18)
Uno studio della Funzione Polinomiale Cubica reale generale a valori in R –
11
Quindi, le coordinate di S ≡ rQP ∩ rSR costituiscono la soluzione del sistema
 y = (3ax 20 + ξ ) x − 2ax 30 ,

2
3
 y = (48ax 0 + ξ ) x − 128 ax 0 ,
dal quale, risulta che
S ≡ (x 3 ; y 3 ) ≡ (14x 0 /5; (32ax 30 + 14 ξ x 0 )/5) .
(19)
Ora, le aree richieste per il confronto sono:
ASRQ
y 3 − ψ (x 1 )
1 x 3 − x1
=
2 x 2 − x 1 ψ (x 2 ) − ψ (x 1 )
∫
ARQOPR =
− 2x 0
4x 0
∫
− 2x 0
x0
=
648
|a | x 40 ,
5
(20.1)
(ax 3 + ξ x ) − [(12ax 20 + ξ )x + 16 ax 30 ] dx
 x4

= a  − 6 x 20 x 2 − 16 x 30 x 
 4

APOQP =
2
72 2 1 3ax 0 + ξ
=… =
x0
1 12ax 20 + ξ
5
− 2x 0
= 108 |a | x 40 ,
(20.2)
4x 0
[(3 ax 20 + ξ )x − 2ax 30 − (ax 3 + ξ x )] dx
 x4 3

= a  − + x 20 x 2 − 2x 30 x 
 4 2

−2x 0
=
x0
27
|a | x 40
4
(20.3)
e, infine,
ARPSR = ASRQ − ARQOPR − APOQP =
297
|a | x 40 .
20
(20.4)
Pertanto, i rapporti tra le aree (20.1), …, (20.4) verificano quantitativamente la Proposizione a P. 9
∀ {a , x 0 } ∈ R :
ASRQ
ARPSR
ARQOPR
ARPSR
=
96
,
11
=
80
,
11
ASRQ
ARQOPR
ARQOPR
APOQP
=
6
,
5
= 16 ,
ASRQ
APOQP
ARPSR
APOQP
=
96
,
5
=
11
.
5
■
____________________
[*]
Devo a un saggio del PROF. E. PONTORNO l’aver osservato, per la prima volta, la proprietà delle invarianze areali vs. una linea cubica qualsiasi
in R 2 .
Uno studio della Funzione Polinomiale Cubica reale generale a valori in R –
12
Conseguenze della simmetria centrale
di graf (ψ ) vs. il suo punto di flesso
L’arbitrarietà di scelta della terna {P , Q , R } di triangolazione e la generalità dell’Eq. (13) implicano
l’esistenza di un’infinità di terne {P , Q , R } ≡ {(x 0 ; y 0 ) , (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 )} ∈ graf (ψ ) di coppie di
coordinate di punti, generate con continuità mediante la triangolazione.
Pertanto, i rapporti invarianti espressi dalla Proposizione a P. 9 sono generabili da terne ordinate
{(x 0 ; y 0 ) , (x 1 ; y 1 ) , (x 2 ; y 2 )} qualsiasi.
Inoltre, tutte le terne generate iterando tali triangolazioni sono rappresentabili in termini dell’ascissa
del punto di tangenza P ≡ (x 0 ; y 0 ) ≡/ F fissato come iniziale.
Infatti, si verifica induttivamente per l’iterazione n - sima (n ∈ Z + ) che
(x n ; y n ) ≡ (x n ; ψ (x n )) ≡ ((− 2)n x 0 ; (− 2)n x 0 (2 2n ax 20 + ξ )) .
(21.1)
La generalizzazione dell’Eq. (21.1) porta a scrivere, in modalità numerabile (k ∈ Z + ∧ k < n ) ,
(x n ; y n ) ≡ (( − 2)n − k x k ; ( − 2)n − k x k (2 2 (n − k ) ax 2k + ξ )) .
(21.2)
Analogamente, si ricava l’equazione della retta tangente a graf (ψ ) in (x n ; y n ) :
y = (3a ⋅ 2 2n x 20 + ξ ) x + (− 1)n + 1 2 3n + 1 x 30 ,
(22.1)
e, quindi, dall’Eq. (21.2), si scrive
y = (3a ⋅ 2 2 (n − k ) x 2k + ξ ) x + ( − 1)n − k + 1 2 3 (n − k ) + 1 x 3k .
(22.2)
Infine, tutte le relazioni precedenti, dall’Eq. (5) in avanti, si riconducono alla rappresentazione
iniziale di f (x ) ≡ ax 3 + bx 2 + cx + h mediante le sostituzioni traslazionali simultanee
x ֏ x −x
.

 ψ (x ) ֏ f (x ) − f (x )
(23)
■■■