Transcript Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ΄ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α
Γ΄ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΚΑΙ
ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
(Α΄ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)
Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Copyriht: Μαθηματικός Περιηγητής
Σχολικό Έτος: 2016-2017
1
ΕΝΟΤΗΤΑ 3
ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Όριο συνάρτησης στο x0  
Ιδιότητες των ορίων
Μη πεπερασμένο όριο στο x0  
Όριο συνάρτησης στο άπειρο
2
ΜΑΘΗΜΑ 12ο
Όριο συνάρτησης στο x0   ,
Εισαγωγή
Η έννοια του ορίου γεννήθηκε στην προσπάθεια των μαθηματικών να απαντήσουν σε
ερωτήματα όπως:
— Τι ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού;
— Tι ονομάζουμε εφαπτομένη μιας καμπύλης σε ένα σημείο της;
— Τι ονομάζουμε εμβαδό ενός μικτόγραμμου χωρίου;
Στις παραγράφους που ακολουθούν, αρχικά προσεγγίζουμε την έννοια του ορίου
"διαισθητικά", στη συνέχεια διατυπώνουμε τον αυστηρό μαθηματικό ορισμό του ορίου και
μερικές βάσικές ιδιότητές του και τέλος, εισάγουμε την έννοια της συνέχειας μιας
συνάρτησης.
Η έννοια του ορίου
Έστω η συνάρτηση
Η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Df = R−{1} και γράφεται:
Επομένως, η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία y =x + 1 με εξαίρεση το σημείο A(1,2)
(Σχ.
38).
Στο
σχήμα
αυτό,
παρατηρούμε
ότι:
"Καθώς το x, κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα x΄x, προσεγγίζει τον
πραγματικό αριθμό 1, το f(x), κινούμενο πάνω στον άξονα y΄y, προσεγγίζει τον
3
πραγματικό αριθμό 2. Και μάλιστα, οι τιμές f(x) είναι τόσο κοντά στο 2 όσο θέλουμε, για
όλα τα x ≠ 1 που είναι αρκούντως κοντά στο 1".
Στην περίπτωση αυτή γράφουμε;
και διαβάζουμε:
"το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο 1, είναι 2".
Γενικά:
Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό ℓ,
καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό x0, τότε γράφουμε
και διαβάζουμε:
"το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο x0 , είναι ℓ " ή"το όριο της f(x) στο x0 είναι ℓ ".
ΣΧΟΛΙΟ
Από τα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε ότι:
— Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο x0, πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουμε "κοντά στο
x0", δηλαδή η f να είναι ορισμένη σ' ένα σύνολο της μορφής:
a, x   x ,   ή a, x  ή x ,  
0
o
0
o
— Το x0 μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ. 39α, 39β) ή να μην ανήκει
σ' αυτό (Σχ. 39γ).
4
— Η τιμή της f στο x0, όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο x0 (Σχ. 39α) ή
διαφορετική από αυτό. (Σχ. 39β).
Έστω, τώρα, η συνάρτηση:
της οποίας η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ημιευθείες του διπλανού σχήματος.
Παρατηρούμε ότι:
— Όταν το x προσεγγίζει το 1 από αριστερά (x<1), τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο
θέλουμε τον πραγματικό αριθμό 2. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε:
— ΄Οταν το x προσεγγίζει το 1 από δεξιά (x>1), τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο
θελουμε τον πραγματικό αριθμό 4. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε:
Γενικά:
— ΄Οταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό ℓ1,
καθώς το x προσεγγίζει το x0 από μικρότερες τιμές (x < x0), τότε γράφουμε:
και διαβάζουμε:
5
"το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο x0 από τα αριστερά, είναι ℓ1".
— ΄Οταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό
ℓ2,καθώς το x προσεγγίζει το x0 από μεγαλύτερες τιμές (x > x0), τότε γράφουμε:
και διαβάζουμε:
"το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο x0 από τα δεξιά, είναι ℓ2".
Τους αριθμούς l1  lim f ( x) και l2  lim f ( x ) τους λέμε πλευρικά όρια της f στο x0 και
x  x0
x  x0
συγκεκριμένα το ℓ1 αριστερό όριο της f στο x0, ενώ το ℓ2 δεξιό όριο της f στο x0.
Από τα παραπάνω σχήματα φαίνεται ότι:
Για παράδειγμα, η συνάρτηση f  x 
x
(Σχ. 42) δεν έχει όριο στο x0 = 0, αφού:
x
6
και έτσι:
● Στα προηγούμενα γνωρίσαμε την έννοια του ορίου διαισθητικά. Είδαμε ότι, όταν γράφουμε
lim f ( x )  l , εννοούμε ότι οι τιμές f(x) βρίσκονται όσο θέλουμε κοντά στο ℓ, για όλα τα x ≠
x  x0
x0 τα οποία βρίσκονται "αρκούντως κοντά στο x0". Για να διατυπώσουμε, τώρα, τα παραπάνω
σε μαθηματική γλώσσα εργαζόμαστε ως εξής
Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο x0, τότε αυτό είναι μοναδικό και
συμβολίζεται, όπως είδαμε, με lim f  x .
x  x0
Στη συνέχεια, όταν γράφουμε lim f  x , θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο της f στο x0 και
x  x0
είναι ίσο με ℓ.
Συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες:
Αποδεικνύεται ότι :
Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής  , x0    xo ,   , τότε ισχύει η
ισοδυναμία:
Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (x0,β), αλλά δεν ορίζεται σε
διάστημα της μορφής
● (α, x0), τότε ορίζουμε:
7
Για παράδειγμα,
● Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (α, x0), αλλά δεν ορίζεται
σε διάστημα της μορφής (x0,β), τότε ορίζουμε:
Για παράδειγμα,
ΣΧΟΛΙΟ
Αποδεικνύεται ότι το lim f ( x ) είναι ανεξάρτητο των άκρων α,β των διαστημάτων (α, x0) και
x  x0
(x0,β) στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f.
8
x 1
στο x0 =0,
x 1
περιοριζόμαστε στο υποσύνολο 1, 0  0,1 του πεδίου ορισμού της, στο οποίο αυτή
παίρνει τη μορφή:
Έτσι για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε το όριο της συνάρτησης f ( x ) 
Επομένως, όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα, το ζητούμενο όριο είναι lim f ( x)  1
x 0
ΣΥΜΒΑΣΗ
Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο x0 μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμε
ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες:
α) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής  , x0    xo ,   και στο σύνολο αυτό έχει
την ιδιότητα Ρ.
β) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x0), έχει σ' αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν
ορίζεται σε σύνολο της μορφής (x0, β).
γ) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (x0, β), έχει σ' αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν
ορίζεται σε σύνολο της μορφής (α, x0).
Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ( x ) 
 x
είναι θετική κοντά στο x0 = 0, αφού ορίζεται στο
x
    
σύνολο 
 , 0   0,  και είναι θετική σε αυτό.
 2   2
Όριο ταυτοτικής - σταθερής συνάρτησης
Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι :
9
Η πρώτη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x (Σχ. 47α) στο x0
είναι ίσο με την τιμή της στο x0, ενώ η δεύτερη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της σταθερής
συνάρτησης g(x) = c (Σχ. 47β) στο x0 είναι ίσο με c.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α. Κατανοώ
1/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε το lim f ( x ) και το f(x0), εφόσον υπάρχουν, όταν η
x  x0
γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι :
4/Α (Σχολικό βιβλίο). Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο [−2, +∞) και έχει
γραφική παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να εξετάσετε ποιοι από τους
10
επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς.
Β. Εμπεδώνω
2. (Σχολικό βιβλίο). Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη
βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το lim f ( x ) , όταν:
x  x0
3. (Σχολικό βιβλίο). Ομοίως όταν :
5. (Σχολικό βιβλίο). Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο  , x0    x0 ,   με
lim f ( x )   2  6 και lim f ( x )   . Να βρείτε τις τιμές του λ ϵ R, για τις οποίες υπάρχει το
x  x0
x  x0
11
ΜΑΘΗΜΑ 13ο
Ιδιότητες ορίων
Όριο και διάταξη
Για το όριο και τη διάταξη αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα.
ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο
● Αν lim f ( x )  0 , τότε f  x  0 κοντά στο x0 (Σχ. 48α)
x  x0
● Αν lim f ( x )  0 , τότε
x  x0
f  x  0 κοντά στο x0 (Σχ. 48β)
ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο
Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο x0 και ισχύει f  x  g x κοντά στο x0, τότε:
lim f ( x )  lim g ( x )
x  x0
x  x0
Ισχύει:
— Έστω τώρα το πολυώνυμο
Απόδειξη
Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε:
12
Επομένως,
Για παράδειγμα,
— Έστω η ρητή συνάρτηση f ( x ) 
P( x)
, όπου P(x), Q(x) πολυώνυμα του x και x0ϵ R με
Q( x)
Q(x0) ≠0. Τότε,
Επομένως,
Για παράδειγμα,
Κριτήριο παρεμβολής
Υποθέτουμε ότι "κοντά στο x0" μια συνάρτηση f "εγκλωβίζεται" (Σχ. 50) ανάμεσα σε δύο
συναρτήσεις h και g. Αν, καθώς το x τείνει στο x0, οι g και h έχουν κοινό όριο ℓ, τότε, όπως
13
φαίνεται και στο σχήμα, η f θα έχει το ίδιο όριο ℓ. Αυτό δίνει την ιδέα του παρακάτω
θεωρήματος που είναι γνωστό ως κριτήριο παρεμβολής.
ΘΕΩΡΗΜΑ
Έστω οι συναρτήσεις f, g, h. Αν
● h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x0 και
●
τότε lim f ( x )  l
x  x0

1
Για παράδειγμα, lim 
x   0 .

x 0
x

Πράγματι, για x ≠ 0 έχουμε:
Οπότε:
Επειδή lim  x  lim x  0 , σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, έχουμε:
x 0
 
x 0
.
14
Τριγωνομετρικάόρια
Το
κριτήριο
παρεμβολής
είναι
πολύ
χρήσιμο
για
τον
υπολογισμό
ορισμένων
τριγωνομετρικών ορίων. Αρχικά αποδεικνύουμε1 ότι:
|ημx| ≤ x , για κάθε x ϵ R (η ισότητα ισχύει μόνο όταν x = 0)
ΠΡΟΤΑΣΗ 1
ΠΡΟΤΑΣΗ 2.
Όριο σύνθετης συνάρτησης
Με τις ιδιότητες που αναφέρουμε μέχρι τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε τα όρια απλών
συναρτήσεων. Αν, όμως, θέλουμε να υπολογίσουμε το lim f  g ( x ) , της σύνθετης
x  x0
συνάρτησης fog στο σημείο x0, τότε εργαζόμαστε ως εξής:
1. Θέτουμε u = g(x).
2. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το u0  lim g ( x ) και
x  x0
3. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το l  lim f (u ) .
x  x0
Αποδεικνύεται ότι, αν g(x) ≠ u0 κοντά στο x0, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με ℓ, δηλαδή
ισχύει:
1
Η απόδειξη παραλείπεται αφού είναι εκτός εξεταστέας ύλης.
15
ΠΡΟΣΟΧΗ
Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου τα όρια της μορφής lim f  g ( x ) με τα
x  x0
οποία θα ασχοληθούμε θα είναι τέτοια, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη: "g(x) ≠ u0 κοντά
στο x0" και γιαυτό δεν θα ελέγχεται.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (Έύρεση ορίου με ιδιότητες)
Να βρείτε το όριο:
9
lim  x 2  1  x 3  1 
x 0 



ΛΥΣΗ
Έχουμε:
ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΟΡΙΟΥ lim f  x ( Μορφή
x  x0
0
)
0
1η περίπτωση (Ρητή συνάρτηση)
Αν f  x 
P ( x)
, με P( x ) , Q ( x ) πολυώνυμα. Παραγοντοποιούμε τους όρους του κλάσματος
Q ( x)
και έχουμε:
f  x 
P( x)  x  x0  R ( x) R ( x)


Q ( x )  x  x0  K ( x) K ( x )
Επομένως:
lim f  x  lim
x  x0
x  x0
R ( x)
.
K ( x)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να βρείτε το όριο:
lim
x 2
x3  5 x 2  6 x
x2  4
16
ΛΥΣΗ
Παρατηρούμε όμως ότι για x = 2 μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.
Έχουμε:
Επομένως,
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 1
2η περίπτωση (Άρρητη συνάρτηση)
Αν f  x 
f  x 
A( x)  B( x )
, πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση και έχουμε:
P( x)
A( x)  B( x )

P ( x)

A( x )  B( x) 

P ( x)

A( x)  B( x)
A( x)  B( x)


A( x )  B( x )
P ( x)

A( x)  B( x)
 ..

Ή
f  x 
A( x )  B ( x )
( x)  ( x )

 A( x)  B( x)  A( x)  B( x)  ( x)  ( x)    A( x)  B( x) ( x)  ( x)   ...
 A( x)  B( x) ( x)  ( x) ( x)  ( x)   A( x)  B( x) ( x)  ( x)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να βρείτε το όριο:
lim
x 1
x2  3  2 x
x 1
ΛΥΣΗ
Για x =1 μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής:
Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με
x 2  3  2 x και έτσι έχουμε:
17
Επομένως,
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 2.
3η περίπτωση (τρίτη ρίζα)
3
Αν f  x 
A( x)  3 B( x )
ή ( x) 
P( x)
A( x )  3 B( x )
, τότε έχοντας υπόψη μας τις ταυτότητες:
P ( x)
3
 3   3       2     2
3 3

    
2
    2


πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την παράσταση:
2

3
A( x)

2
 3 A( x)  3 B( x) 
καταλήγουμε:
3 A( x)  3 B ( x )
f  x 


P ( x)
 A( x)  B( x) Q( x)  
1

2
2
3 A( x )
 3 A( x)  3 B( x)  3 B( x )





B( x)
3

A( x )  B( x)
2
3
A( x )
 3 A( x)  3 B( x ) 


2
B ( x) 

3



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:
Να βρείτε το όριο:
3
lim
x 1
x 1
x 1
2
ΛΥΣΗ:

3

x 1 

2
3

3
  x   x 1  lim
x 1
x 1
lim
 lim



x 1
x  1x  1  x   x  1
x  1x 1  x  
3
x 1

2
x 1
3
1

x 1 
3
2
 x

 3 x  1


2
3
x 1
3
2
3

x  1

 lim
x 1
1

x 1 
3
x
2
 

 3 x  1


1
6
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 3.
18
4η περίπτωση (Κλαδική συνάρτηση-πλευρικά όρια)
 A( x),  x  x0

f  x  

 B ( x),  x  x0
Βρίσκουμε τα:
lim A  x  ....l1
x  x0
lim B  x  ....l2
x  x0
— Αν l1  l2  l , τότε lim f  x  l
x  x0
— Αν l1  l2 , τότε δεν υπάρχει το lim f  x
x  x0
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Nα βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο στο x0 = 1 της συνάρτησης:
ΛΥΣΗ
Αν x < 1, τότε f(x) = 3x2 − 4, οπότε:
Αν x > 1, τότε f(x) = −1/x, οπότε:
Επομένως lim f  x  1
x 1
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 4.
5η περίπτωση (Κριτήριο της παρεμβολής)
Τα όρια της μορφής :

A( x) 
lim g ( x )  
x 0 
x 


A( x) 
lim g ( x )  
x 0 
x 

19
υπολογίζονται συνήθως με το Κ.Π. ως εξής:
A( x )
A( x)
g ( x )   g ( x )     g ( x)
x
x
Επομένως:
A( x)
 g ( x )  g ( x )   g ( x)
x

A( x ) 
Βρίσκουμε τα lim g ( x) , lim  g ( x ) . Αν είναι ίσα (  l ) , τότε lim g ( x)    l
x  x0
x  x0
x 0 
x 





ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:
Να βρείτε το όριο:

 x3  1  
lim  x 3  2011  
x 0
x


ΛΥΣΗ
 x3 1 
Για ευκολία θέτουμε f ( x )  x3  2011  και έχουμε διαδοχικά:
x

 x3 1 
 x3 1 
 x3  1 
f ( x )  x3  2011   x3    2011   x 3    2011   x3
x

x

x

Δηλαδή:
 x3  f ( x)  x 3 ( I )
Έχουμε:
lim  x 3  lim x 3  0
x 0
 
x 0
 
Επομένως από το Κριτήριο της παρεμβολής θα είναι:
 3  x3  1  
lim  x   2011    0
x 0
x


Γενικότερα το κριτήριο ης παρεμβολής χρησιμοποιείται όταν ζητείται το lim f ( x) και η
x  xo
f ( x ) μπορεί να «κλειστεί» από δύο άλλες συναρτήσεις που έχουν το ίδιο όριο όταν x  x0 .
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 5.
20
6η περίπτωση (Τριγωνομετρικά όρια)
Έχουμε υπόψη μας τα επόμενα τριγωνομετρικά όρια και μετασχηματίζουμε κατάλληλα το
όριο που ζητάμε:
 x
1
x
x
lim
 1 (*)
x  0  x
 x
lim
 1 (*)
x 0  x
 x
lim
  (*)
x 0
x
 x 
lim
 (*)
x  0  x

 x  1
lim
0
x 0
x
lim
x 0
Όσα σημειώνονται με (*) χρειάζονται απόδειξη πριν την εφαρμογή τους.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:
Να βρείτε τα όρια:
i) lim
x 0
 x
x
ii) lim
x 0
 x
x2  x
ΛΥΣΗ
 x
 x 1 
 x
 x
1
i) lim
 lim  x  lim 

 lim
 11  1
  lim
x 0
x0
x 0  x
x
x
 x  x  0 x x 0  x

ii) lim
x 0
 x 1 
 x
 x
 x
1
 lim
 lim 

 lim
 11  1
  lim
2
x  x x  0 x  x  1 x 0  x x  1  x  0 x x  0 x  1
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 6 .
7η περίπτωση (Όρια με απόλυτα)
Αν ζητείται όριο με μορφή παραπλήσια της lim
x  x0
 ( x)
, τότε:
h( x)
21
— Αν lim  ( x )  l  0   ( x)  0, x  a, x0    x0 ,   , τότε
x  x0
 ( x)
 ( x)
 lim
 ...
h( x) x  x0 h( x )
lim
x  x0
— Αν lim  ( x )  m  0   ( x)  0, x  a, x0    x0 ,   , τότε
x  x0
 ( x)
 ( x)
  lim
 ...
x  x0 h ( x )
h( x)
lim
x  x0
— Αν lim  ( x)  0 , τότε κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου για την  ( x) και
x  x0
εξετάζουμε τα πλευρικά όρια lim  ( x ) , lim  ( x ) .
x  x0
x  x0
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν)
i) lim
x2  x  1  1
ii) lim
x2  1
x 1
x 1
x2  1
x 1
ΛΥΣΗ
i) Αφού lim x 2  x  1  1  0 , τότε x 2  x  1  0 «κοντά στο 1». Επομένως έχουμε:
x 1


lim
x2  x 1  1
x2  1
x 1
 lim
x 1
x  x  1
x2  x
x
1
 lim
 lim

2
x  1 x 1  x  1 x  1 x1 x  1 2
ii) Αφού:
lim x 2  1  0
x 1


2
x  1  0, x  1, 
x 2  1  0, x  1,1
Έχουμε:
x2  1
x2  1
 lim x  1  2
x 1
x  1 x 1 x  1 x 1
x2  1
 x2  1
lim
 lim
  lim  x  1  2
x 1
x 1
x  1 x 1 x  1
lim
 lim

Επομένως το όριο lim
x 1
x2  1
x 1

δεν υπάρχει.
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 7.
22
8η περίπτωση (Όρια με παράμετρο)
Να βρείτε τα α, β ώστε:
— lim
x  x0
g ( x, a,  )
 l  ,  lim  ( x )  0 , τότε πρέπει και lim g ( x, a,  )  0 (ΙΙ) διότι
x  x0
x  x0
 ( x)
διαφορετικά το lim
x  x0
g ( x, a,  )
  .Από τη σχέση (ΙΙ) παίρνουμε μια σχέση μεταξύ
 ( x)
των παραμέτρων α και β. Λύνουμε αυτήν τη σχέση ως προς α ή β και αντικαθιστούμε
στο lim
x  x0
g ( x, a,  )
το οποίο στη συνέχεια παραγοντοποιούμε, ώστε να εξαλειφθεί ο
 ( x)
όρος  x  x0  . Στο τέλος έχουμε ένα σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους.
— Να υπάρχει το όριο lim f ( x )  l   :
x  x0
 A( x, a,  ), x  x0
f ( x)  
 B ( x, a,  ), x  x0
Έχουμε:
lim f ( x)  lim f ( x )  lim A( x, a,  )  lim B ( x, a,  )
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
Από την οποία έχουμε ένα σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να βρείτε τα α και β ώστε:
i) lim
x 1
x3  ax 2   x  4
2
x2  1
 x 2   x  2,  x  1
ii) lim f ( x)  1 , όπου f ( x)  
x 1
ax  3,  x  1
ΛΥΣΗ
i) Επειδή lim x 2  1  0 πρέπει και lim x 3  ax 2   x  4  a    3  0    3   1
x 1


x 1


Επομένως έχουμε διαδοχικά:
x 3  ax 2  3  a x  4
x 3  ax 2   x  4
x3  ax 2  3x  ax  4

lim

lim

x 1
x 1
x 1
x2  1
x2  1
x2  1
ax  x  1  x 3  3x  4
ax  x  1   x  1 x 2  x  4
 lim
 lim

x 1
x 1
x2  1
x  1x  1
lim



2

x  1ax  x  x  4  lim ax  x  x  4  a  6
 lim
x 1
2
x  1x  1
x 1
2
x 1
Άρα:
a 6
 2  a  2  1    5
2
23
ii) Έχουμε:
lim f ( x )  lim  x 2   x  2      2  1 a    1I 
x 1
x 1


lim f ( x)  lim ax  3  3  a  1 a  2
x 1
x  1
Άρα   1  2    3
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 8 .
9η περίπτωση (Μετασχηματισμός ορίου)
Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το lim f  g ( x ) , της σύνθετης συνάρτησης fog στο σημείο
x  x0
x0, τότε εργαζόμαστε ως εξής:
1. Θέτουμε u = g(x).
2. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το u0  lim g ( x) και
x  xo
3. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το l  lim f (u ) .
u  uo
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να βρείτε το όριο:
 2 
i) lim  
 x  
x 0
4

 3 x
x 0
x
ii) lim
ΛΥΣΗ
i) Θέτουμε u  x 2 
 2  

, τότε lim u  lim 
 x    , οπότε
x 0
x0
4
4 4

ii) Είναι:
Θέσουμε u = 3x, τότε lim u  lim3 x  0 , οπότε:
x 0
x0
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 9.
24
10η περίπτωση (Η συνάρτηση «κρύβεται»)
Αν δίνεται lim   x, f ( x)  l   (δηλαδή το όριο μιας παράστασης της f ( x ) ή όπως λέμε
x  x0
«η συνάρτηση κρύβεται») και ζητείται το lim f ( x ) , τότε:
x  x0
— Θέτουμε  x, f ( x )  h  x (1) οπότε έχουμε lim h x  l
x  x0
— Λύνουμε την (1) ως προς f ( x)  ....
— Με τις ιδιότητες των ορίων βρίσκουμε το lim f ( x )  ...
x  x0
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Αν lim
x 1
f ( x)  1
 2 , να βρείτε το όριο lim f ( x ) (αν υποθέσουμε ότι υπάρχει).
x 1
x 1
ΛΥΣΗ
Θέτουμε
f ( x)  1
 h( x ) και άρα lim h  x  2
x 1
x 1
Έχουμε:
f ( x)  1
 h( x)  f ( x)  x  1 h( x )  1
x 1
Επομένως:
lim f ( x)  lim  x  1 h( x )  1  lim  x  1 lim h( x )  1  1
x 1
x 1
x 1
x 1
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 10 .
11η περίπτωση (Θεωρητικές ασκήσεις)
Στις Θεωρητικές ασκήσεις στα όρια έχουμε υπόψη μας τα επόμενα:
Σε ασκήσεις όπου δίνεται σχέση που ιακοποιεί η συνάτηση f :
Α) f  x  y  ... και αναζητούμε το όριο lim f ( x ) . Θέτουμε x  x0  h , οπότε όταν
x  x0
x  x0  h  0 . Επομένως έχουμε:
lim f ( x )  lim f x0  h  ...
x  x0
h0
Β) f  x  y  ... και αναζητούμε το όριο lim f ( x ) . Θέτουμε
x  x0
x
 h οπότε όταν
x0
x  x0  h  1 . Επομένως έχουμε:
25
lim f ( x )  lim f  x0  h  ...
x  x0
h 1
x
x
x
Γ) f    ... και αναζητούμε το όριο lim f ( x ) . Θέτουμε 0  h  x  0 οπότε
x  x0
x
h
y
όταν x  x0  h  1
Επομένως έχουμε:
x 
lim f ( x )  lim f  0   ...
x  x0
h 1
h 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
1. Αν f :    μια συνάρτηση με:
f ( x  y )  f ( x)  2 f ( y )  xy για κάθε x, y   και lim f ( x)  1
x 0
i) Να βρείτε τις τιμές f (0), f (1)
ii) Να βρείτε το όριο lim f ( x )
x 1
ΛΥΣΗ
i) Έχουμε:
x  y  0  f (0  0)  f (0)  2 f (0)  0  f (0)  3 f (0)  f (0)  0
x  0, y  1  f (0  1)  f (0)  2 f (1)  0  f (1)  f (0)  2 f (1)  f (1)   f (0)  f (1)  0
ii) Θέτουμε x  1  h  x  1  h και όταν: x  1 h  0 . Επομένως έχουμε:
lim f ( x)  lim f (1  h)  lim  f (1)  2 f ( h)  h  lim 2 f (h )  h  2 lim f (h )  lim h  2 1  0  2
x 1
h 0
h 0
h 0
h 0
h 0
2. Αν f :    μια συνάρτηση με:
f ( x  y )  f ( x )  f ( y )  2 xy για κάθε x, y   , lim f ( x)  1
x 1
και f ( x )  0, x  
i) Να βρείτε τις τιμές f (1), f (2)
ii) Να βρείτε το όριο lim f ( x )
x2
ΛΥΣΗ
i) Έχουμε:
2
2
x  y  1  f (1)  f (1)  f (1)  2  f (1)   f (1)  2   f (1)  f (1)  2  0  f 1  1 ή f 1  2
και επειδή f ( x )  0, x   θα είναι f 1  1
x  1, y  2  f 1 2  f (1)  f (2)  2  f (2)   f (2)  2  f (2)  1
26
ii) Θέτουμε
x
 h και όταν: x  2  h  1 . Επομένως έχουμε:
2
lim f ( x )  lim f (2h)  lim  f (2)  f (h)  4h  lim  f ( h)  4h   lim f (h)  4 lim h  1  4  5
x 2
h 1
h 1
h 1
h 1
h 1
Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις 11, 12, 13 , 14 και 15.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α. Κατανοώ
1/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια :
2/Α (Σχολικό βιβλίο). . Έστω μια συνάρτηση f με lim f ( x)  4 . Να βρείτε το lim g ( x) αν:
x2
x2
Β. Εμπεδώνω
3/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια :
27
4/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια :
5/Α (Σχολικό βιβλίο). Να βρείτε (αν υπάρχει), το όριο της f στο x0 αν :
6/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια :
7/Α (Σχολικό βιβλίο). Να βρείτε τα όρια:
8/Α (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε το lim f ( x ) , αν:
x 0
2ax   , x  3
9/Α (Σχολικό βιβλίο). Δίνεται η συνάρτηση f ( x )  
. Να βρείτε τις τιμές των
 x  3 , x  3
α,β ϵ R, για τις οποίες ισχύει lim f ( x)  10 .
x 3
28
Β. Εμπεδώνω
1/Β (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε τα όρια:
2/Β (Σχολικό βιβλίο). Nα βρείτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουν
4/Β . Να βρείτε το lim f ( x ) , αν :
x 1
3. (Σχολικό βιβλίο). Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με γ =1.
Να υπολογίσετε τα όρια:
29
Γ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
(που αντιστοιχούν σε κάθε προηγούμενη περίπτωση)
1. Να βρείτε τα όρια:
x2  4
x2
i) lim
x2
ii) lim
x 0
x3  2 x 2  x
x2  x
2. Να βρείτε τα όρια:
x2 2
x 3  2
ii) lim
x 1
x2
x 8  3
i) lim
x 2
3. Να βρείτε τα όρια:
3
i) lim
x 2
3
x 6 2
x  28  3
ii)
lim
2
x 1 3 x  9  2
x 4
4. Να βρείτε τα όρια:
 x 2  25

,  x  5
 x5
f ( x)   2
 x  5x
,  x  5
 2
 x  25
5. Να βρείτε τα όρια:

 1 
i) lim  x 5  1000  
x 0
x 

ii) lim f ( x ) , όταν f ( x )  x 5  x , για κάθε x  1,1
x 0
6. Να βρείτε τα όρια:
x
x  0  x
i) lim
x2  x
ii) lim
x  0  x
iii) lim
x 0
 5 x
x 1  1
iv) lim
x 0
 4 x  1
x2  x
7. Να βρείτε τα όρια:
x  2  2x  1
i) lim
x 1
x2  1
ii) lim
x 2
2 x  4  x2  2 x
x4
8. Να βρείτε τα α και β όταν:
i) lim
x 1
x 4  a    x 3  ax 2  1
x 3  ax 2  

3
ii)
lim
 1
x 1
x3  1
x 1
30
9. Να βρείτε τα όρια:
  x  1
x 1
x2  1
  x  2  1
x 2
x3  2 x 2
i) lim
10. α) Αν lim
x3
ii) lim
2 f ( x)  5 1
 , να βρείτε το όριο lim f ( x ) (αν υποθέσουμε ότι υπάρχει).
x 1
x2  9
2
β) Αν lim  x  1 f ( x) 
x 1 

x  2  1   3 , να βρείτε το όριο lim f ( x ) (αν υποθέσουμε ότι

x 1

υπάρχει).
11. Αν f :    μια συνάρτηση με:
f  x  y  f ( x)  f ( y )  xy , για κάθε x, y  
και lim f ( x)  0
x 0
Να βρείτε:
i) To f (1)
ii) lim f ( x )
x 1
12. Έστω η συνάρτηση f :    με:
f  x  y  f ( x)  f ( y )  2 xy για κάθε x, y   , f ( x)  0 για κάθε x   και lim
x 0
f ( x)
1
x
i) Να βρείτε τις τιμές f (0), f (1), f (2) .
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση «1-1».
 f ( x2 )
 2 ,  x  0

iii) Αν g ( x )   x
, να βρείτε το α , ώστε να υπάρχει το lim g ( x) .
x 0
 5 2015
 x  2015  a,  x  0
x

13. Έστω f : 0,    μια συνάρτηση με:
f  x  y  f ( x)  f ( y ) για κάθε x, y  0,  .
i) Να βρείτε το f (1) .
ii) Αν lim  f (1) , τότε να αποδείξετε ότι lim f ( x )  f ( x0 ) για κάθε x0  0,  .
x 1
x  x0
14. Έστω f :    μια συνάρτηση με:
f  x  y  f ( x)  f ( y ) για κάθε x, y  
i) Να βρείτε το f (0) .
ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή.
iii) Αν ισχύει lim f ( x)  f (a) για κάποιο a   , να αποδείξετε ότι:
xa
31
α) lim f ( x)  f (0)
x 0
β) lim f ( x )  f ( x0 ) για κάθε x0  
x  x0
15. Αν f :    μια συνάρτηση με:
lim f ( x)  f (3) και lim
x 3
h0
f (3  h)
6
h
i) Να βρείτε το f (3) .
ii) Να βρείτε το όριο A  lim
x 3
f ( x )  f (3)
.
x2  9
32
ΜΑΘΗΜΑ 14ο
Μη πεπερασμένο όριο στο x0  
ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x0 ϵ R
— Στο σχήμα 54 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f κοντά στο x0.
Παρατηρούμε ότι, καθώς το x κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα
x΄x πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό x0, οι τιμές f(x) αυξάνονται απεριόριστα και
γίνονται μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ. Στην περίπτωση αυτή λέμε
ότι η συνάρτηση f έχει στο x0 όριο +∞ και γράφουμε:
— Στο σχήμα 55 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f κοντά στο x0.
Παρατηρούμε ότι, καθώς το x κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα
x΄x πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό x0, οι τιμές f(x) ελαττώνονται απεριόριστα και
γίνονται μικρότερες από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό −M (M >0). Στην περίπτωση
αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο x0 όριο −∞ και γράφουμε:
33
Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια
συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής a, x0   x0 ,   ισχύουν οι
παρακάτω ισοδυναμίες:
Αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες :
νϵN
Ενώ:
νϵN
Επομένως, δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της f ( x) 
1
x
2 1
(Σχ. 57β).
, νϵN
Για τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων αποδεικνύονται τα παρακάτω
θεωρήματα:
ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (όριο αθροίσματος)
34
ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (όριο γινομένου)
Στους πίνακες των παραπάνω θεωρημάτων, όπου υπάρχει ερωτηματικό, σημαίνει ότι το όριο
(αν υπάρχει) εξαρτάται κάθε φορά από τις συναρτήσεις που παίρνουμε. Στις περιπτώσεις
αυτές λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή. Δηλαδή, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια
αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι:
και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι:
Επειδή f  g  f   g  και
f
1
 f  , απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της διαφοράς
g
g
Για παράδειγμα:
— αν πάρουμε τις συναρτήσεις f ( x )  
1
1
και g ( x )  2 , τότε έχουμε:
2
x
x
και
ενώ,
35
— αν πάρουμε τις συναρτήσεις f ( x)  
1
1
 1 και g ( x )  2 , τότε έχουμε :
2
x
x
και
ΜΕΘΟΔΟΣ (Εύρεση ορίου Α= lim
x  x0
f ( x)
όταν lim f ( x )  l  * και lim g ( x )  0 )
x  x0
x  x0
g ( x)
Γράφουμε:
A  lim
x  x0
 1

f ( x)
1
 lim 
 f ( x)   lim
 lim f ( x) και έχουμε:
 x  x0 g ( x) x  x0
g ( x ) x  x0  g ( x)
Αν g ( x)  0 , τότε:
,  l  0
A   l  
,  l  0
ή
Αν g ( x)  0 , τότε:
,  l  0
A   l  
,  l  0
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
1. Nα βρεθούν τα όρια :
36
ΛΥΣΗ
2. Να βρεθούν τα πλευρικά όρια της συνάρτησης
στο x0 = 2 και στη συνέχεια να εξετασθεί, αν υπάρχει το όριο της f(x) στο 2.
ΛΥΣΗ
Παρατηρούμε ότι τα δύο πλευρικά όρια δεν είναι ίσα. Επομένως δεν υπάρχει όριο της f στο 2.
Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις 1,2,3.
37
f ( x,  )
με
x  x0 g ( x)
lim g ( x )  0 και lim f ( x,  )  0 , δηλαδή όταν ο αριθμητής εναι και συνάρτηση μιας
ΜΕΘΟΔΟΣ («Διερεύνηση ορίου με παράμετρο» της μορφής
x  x0
A  lim
x  x0
παραμέτρου    ).
Γράφουμε:
A  lim
x  x0
 1

f ( x,  )
1
 lim 
 f ( x,  )   lim
 lim f ( x,  )
x

x
x

x

0  g ( x)
0 g ( x ) x  x0
g ( x)

Βρίσκουμε το lim f ( x,  )  h( ) (είναι δηλαδή συναρτήσει του λ) και διακρίνουμε τις
x  x0
περιπτώσεις:
Α) Αν h( )  0    1 ( 1 διάστημα) και ανάλογα με το αν g ( x)  0 ή g ( x)  0 «κοντά»
στο x0 θα είναι A   .
Β) Αν h( )  0     2 ( 1 διάστημα) και ανάλογα με το αν g ( x)  0 ή g ( x)  0 «κοντά»
στο x0 θα είναι A   .
0
που είδαμε προηγούμενα.
0
Γ) Αν h( )  0 , τότε έχουμε την περίπτωση της απροσδιορστίας
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
3/Β (Σχολικό). Δίνονται οι συναρτήσεις:
Nα βρείτε τις τιμές των λ, μ ϵ R για τις οποίες υπάρχουν στο R τα όρια (ή να βρείτε τα όρια
για όλες τις τιμές των λ, μ ϵ R) :
ΛΥΣΗ
Για τη συνάρτηση f ( x ) έχουμε:
A  lim 
x 1

  1 x 2  x  2
 lim    1 x 2  x  2
2
x 1 
x 1


 1 
 
2
 1  
 x
lim x 2  1  0
 
lim   1 x
x 1
x 1
2
 x  2    1 1 2    2

Ακόμα:
38
 x  1 είναι x 2  1  0
  1  x  1 είναι x 2  1  0
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
— Αν   2  0    2 , τότε:
 1 
  1 x 2  x  2


Αν x  1,  ό lim 


,
οπότε
A

lim
 


x 1 x 2  1
x 1
x2  1


 1 
  1 x 2  x  2


Αν 1  x  1,  ό lim 


,
οπότε
A

lim
 


x 1 x 2  1
x 1
x2  1


Άρα το όριο της f ( x ) στο x0  1 δεν υπάρχει.
— Αν   2  0    2 , τότε:
 1 
  1 x 2  x  2


Αν x  1,  ό lim 


,
οπότε
A

lim
 


x 1 x 2  1
x 1
x2  1


 1 
  1 x 2  x  2

   , οπότε A  lim
Αν 1  x  1,  ό lim 
 

x 1 x 2  1
x 1
x2  1


Άρα το όριο της f ( x ) στο x0  1 δεν υπάρχει.
— Αν   2 , τότε f  x 
x2  x  2
, οπότε:
x2  1
x  1x  2
x2 3
 lim

x

1
x 1 2
x  1x  1
lim f x  lim 
x 1
x 1
Για την συνάρτηση g ( x) έχουμε:
A  lim g ( x)  lim
x0
x 0
1

x2  2 x  
 lim   x 2  2 x   
x0  x

x



Ακόμα:
lim x 2  2 x      lim x  0

x 0

x0
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
— Αν x  0 , τότε lim
x 0
1
  και άρα:
x
1
A  lim   x 2  2 x  
x 0  x


1

  lim x lim x
x0
x0
2
 2 x     

Οπότε:    0 , τότε    ενώ
   0 , τότε    και
Αν   0 , τότε A  lim g ( x)  lim
x0
x 0
x x  2
x2  2x
 lim 
2
x 0
x
x
39
1
  και άρα:
x 0 x
— Αν x  0 , τότε lim
1

1
A  lim   x 2  2 x     lim  lim x 2  2 x     
x 0  x
x

0

x x0





Οπότε: Αν    0 , τότε    ενώ
Αν    0 , τότε    και
x x  2
x2  2 x
Αν   0 , τότε A  lim g ( x )  lim
 lim 
2
x0
x0
x0
x
x
Επομένως:
   0 δεν υπάρχει το όριο της g ( x) στο x0  0 .
   0 δεν υπάρχει το όριο της g ( x) στο x0  0 .
Αν   0 lim g ( x)  0 .
x 0
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 4
ΜΕΘΟΔΟΣ (Η συνάρτηση «κρύβεται»)
Αν δίνεται lim  x, f ( x )   (δηλαδή το όριο μιας παράστασης της f ( x ) ή όπως λέμε
x  x0
«η συνάρτηση κρύβεται») και ζητείται το lim f ( x ) , τότε:
x  x0
— Θέτουμε  x, f ( x )  h  x (1) οπότε έχουμε lim h x  
x  x0
— Λύνουμε την (1) ως προς f ( x)  ....
— Με τις ιδιότητες των ορίων βρίσκουμε το lim f ( x )  ...
x  x0
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να βρείτε το lim f x , όταν :
x2
i) lim
x 2
x2  3x 1
 
f ( x)
ii) lim
x2
f ( x)  2
 
x2  2 x
ΛΥΣΗ
i) Θέτουμε:
x2  3x 1
x 2  3x  1
 h( x)  f ( x) 
f ( x)
h( x)
Άρα:
40
1
0
x  2 h( x)
lim h( x )    lim
x2
Επομένως:
lim f ( x)  lim
x2
x 2
 1
x 2  3x  1
 lim 
 x 2  3x  1
x

2

h( x)
h( x )

  0(1)  0

ii) Θέτουμε:
f ( x)  2
  ( x )  f ( x )  x 2  2 x  ( x )  2 ´
x2  2x


Άρα:
lim  ( x)  
x 2
Επομένως:
lim f ( x)  lim  x 2  2 x  ( x)  2   lim x 2  2 x  lim  ( x )  2  
x 2
x 2


x 2


x2
Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις 6 και 7.
Βασική πρόταση (που μπορεί να χρησιμοποιείται στις ασκήσεις χωρίς απόδειξη. Ωστόσο
για λόγους πληρότητας παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω)
Α) Αν f , g :    με f ( x)  g ( x ) για κάθε x  a, x0    x0 ,   και lim g ( x)   , τότε
x  x0
και lim f ( x )   .
x  x0
Β) Αν
f ,g :  
με
f ( x)  g ( x ), x  a, x0    x0 ,  
και
lim g ( x)   , τότε
x  x0
lim f ( x )   .
x  x0
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Α) Αφού lim g ( x )    g ( x )  0 «κοντά» στο x0 . Έχουμε:
x  x0
f ( x)  g ( x )  0  0 
Είναι lim
x  x0
1
1

«κοντά» στο x0 .
f ( x) g ( x)
1
1
 0 , άρα από το κριτήριο της παρεμβολής θα έχουμε lim
 0.
x

x
0 f ( x)
g ( x)
41
Έχουμε:
lim f ( x )  lim
x  x0
x  x0
1
1
 0 «κοντά» στο x0 ).
  ( αφού
1
f ( x)
f ( x)
Β) lim g ( x )    g ( x )  0 «κοντά» στο x0 . Έχουμε:
x  x0
f ( x)  g ( x )  0   f ( x)   g ( x )  0  0  
Είναι lim
x  x0
1
1

«κοντά» στο x0 .
f ( x)
g ( x)
1
1
 0 , άρα από το κριτήριο της παρεμβολής θα έχουμε lim
 0.
x  x0 f ( x )
g ( x)
Έχουμε:
1
1
 0 «κοντά» στο x0 ).
  ( αφού 
x  x0
1
f
(
x
)

f ( x)
lim f ( x )  lim
x  x0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α. Κατανοώ
1/Α (Σχολικό). Nα βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο x0 όταν :
2/Α (Σχολικό). Nα βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο x0 όταν :
Β. Εμπεδώνω
1/Β (Σχολικό). Να βρείτε (εφόσον υπάρχει) το lim
x4
9
x x  2x  4 x  8
2/Β (Σχολικό). Να αποδείξετε ότι:
42
i) Η συνάρτηση f ( x)   x δεν έχει όριο στο

.
2
ii) Η συνάρτηση f ( x)   x δεν έχει όριο στο 0.
4/Β (Σχολικό). Να βρείτε το lim f x , όταν :
x 1
Γ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να βρείτε τα όρια:
i) lim
x 1
3x 2  x  1
x 0
x4  x2
2x  1
ii) lim
2
2
x  1
3 x  2
x 1 x 4  1
iii) lim
2. Να βρείτε τα όρια:
i) lim
x 1
1  2x2
x 0  x 4  x 2
1 2x
ii) lim
2
  x  1
3. Να βρείτε τα όρια:
x 4 1
i) lim 2
x 1 x  1
ii) lim
x 0
iii) lim
x
x 2 1
x3
1
2
2 x 2 1
1
x
2
iii) lim
x2
x2  5
x2  x  2
4. Nα βρείτε τα όρια για όλες τις τιμές των λ, μ ϵ R:
 x2  x  2
x 1
x2  1
i) lim
ii) lim
x2
 2 x3  2  x  2
x2  2x  4
5. Έστω η συνάρτηση f :    με:
f ( x ) f ( y )  yf ( x )  xf ( y )  xy , για κάθε x, y  
Να βρείτε:
i) τη συνάρτηση f
ii) To lim
x 0
f ( x)
x3
6. Αν f , g :    δύο συναρτήσεις , τέτοιες ώστε:
lim
x 3
x5
g ( x)
 , lim
 
x 3 x  2
f ( x)
Να βρείτε (αν υπάρχει) το lim  f ( x)  g ( x )
x 3
43
7. Αν lim
x 0
f ( x)  3 x
  , να βρείτε το lim f ( x )
x 0
x9 3
8. Να βρείτε το όριο lim
x l
x2  1
για τις διάφορες τιμές του l  
x3  x2
44
ΜΑΘΗΜΑ 15ο
Όριο συνάρτησης στο άπειρο
OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
Στα παρακάτω σχήματα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων f, g, h σε ένα
διάστημα της μορφής (α, +∞).
Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο,
— το f(x) προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό ℓ. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι
η f έχει στο +∞ όριο το ℓ και γράφουμε:
— το g(x) αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο +∞ όριο το +∞
και γράφουμε:
— το h(x) μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο +∞ όριο το −∞
και γράφουμε:
45
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f στο +∞,
πρέπει η f να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (α,+∞).
Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν, όταν x → −∞ για μια συνάρτηση που είναι
ορισμένη σε διάστημα της μορφής (−∞, β). ΄Ετσι, για τις συναρτήσεις f, g, h των παρακάτω
σχημάτων έχουμε:
Για τον υπολογισμό του ορίου στο +∞ ή −∞ ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων
χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια:
Για παράδειγμα,
Για τα όρια στο +∞, −∞ ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο x0 με την προϋπόθεση
ότι:
— οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και
— δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή.
Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης
46
● Έστω η συνάρτηση f(x) = 2x3 − 5x2 + 2x − 1. Αν εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των ορίων για
τον υπολογισμό του
lim f ( x) , καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή. Στην περίπτωση
x 
αυτή εργαζόμαστε ως εξής:
Για x ≠ 0 έχουμε:
Επειδή:
Έχουμε:
Γενικά:
Για την πολυωνυμική συνάρτηση:
, με αν ≠ 0 ισχύει:
Για παράδειγμα,
Έστω η συνάρτηση:
.
Για x ≠ 0 έχουμε :
Επειδή:
47
Έχουμε:
Γενικά,
Για την ρητή συνάρτηση:
,
αν ≠ 0,
βκ ≠ 0 ισχύει :
Για παράδειγμα,
Όρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης
Αποδεικνύεται (1) ότι :
Αν α >1 (Σχ. 60), τότε
48
Αν 0 < α <1 (Σχ. 61), τότε
ΜΕΘΟΔΟΣ (Εύρεσης ορίου lim P( x) και lim
x 
x 
P ( x)
με P( x ) , Q ( x ) πολυώνυμα)
Q( x)
P ( x )   x   1 x 1  ...  1 x  a0   0 , Q ( x)    x     1 x  1  ...  1 x   0


0

Α. lim P( x )  lim  x (παίρνουμε δηλαδή το όριο του μεγιστοβάθμιου όρου)
x 
x 
 
a x
a
P( x)
 lim     lim x   ( δηλαδή παίρνουμε το όριο του πηλίκου των
x  Q ( x)
x   x
  x 

Β. lim
μεγιστοβάθμιων όρων των πολυωνύμων).
49
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
1. Να βρείτε τα όρια:
i) lim 3 x 3  2 x 2  x  1
x 

ii) lim 5 x 4  2 x 3  x 2  x  1

x 


ΛΥΣΗ
i) lim 3 x3  2 x 2  x  1  lim 3 x3  3  

lim 5 x

x 
ii)
x 
4
 2 x3  x 2
 
 x  1  lim 5 x   5  
x 
4
x  
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 1.
2. Να βρείτε τα όρια:
x5  3x 4  5 x 2  x  3
3x 4  4 x3  2 x 2  x  7
ii)
lim
x 
x 
x2  4x  7
5x  8
i) lim
ΛΥΣΗ
x5  3x 4  5 x 2  x  3
x5

lim
 lim x 3  
x 
x  x 2
x 
x2  4 x  7
i) lim
3x 4  4 x3  2 x 2  x  7
3x 4 3
3
 lim
 lim x 3    
x 
x  5 x
5x  8
5 x 
5
ii) lim
Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις 1 και 2.
ΜΕΘΟΔΟΣ (Εύρεσης ορίου lim
x 

P ( x)  Q( x)

Αρχικά κάνουμε αντικατάσταση έχοντας υπόψη τις ιδιότητες των ορίων και τις επιτρεπτές
πράξεις του απείρου. Αν πάρουμε απροσδιόριστη μορφή , τότε:
Α) Βγάζουμε «κοινό παράγοντα» εντός του ριζικού και στη συνέχεια «σπάμε τη ρίζα»
[προσέχοντας αν x  0
x  
ή x0
x   ].
Αν η προηγουμένη διαδικασία
δώσει και πάλι απροσδιόριστη μορφή, τότε:
Β) Πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση της και συνεχίζουμε τη διαδιακασία του
«κοινού παράγοντα».
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
1. Να βρείτε τα όρια:
i) lim
x 

x 2  x 1  x

ii) lim
x 

x2  x 1  x

50
ΛΥΣΗ
2
2
 x  x 1  x  lim  x  x 1  lim x      
ii) lim
 x  x 1  x  lim  x  x 1  lim x      
i) lim
x 
x 
x 
2
2
x 
x 
x 
2. Να βρείτε τα όρια:
i) lim
x 

x2  x  2  x

ii) lim
x 

x2  x  2  x

ΛΥΣΗ
i) Έχουμε:
 1 1
1 1
x 2  x  1  x  x 2 1   2   x  x 1   2  x 
x x
 x x 


1 1
x  1   2  1
x x


Επομένως:
lim
x 
 

1 1
x 2  x  1  x  lim x  1   2  1    2  
x  
x x

 


ii) Έχουμε:


 1 2
1 2
1 2
1 2
x 2  x  2  x  x 2 1   2   x  x 1   2  x   x 1   2  x   x  1   2  1
x x
x x
x x
 x x 


Επομένως:
lim
x 
 

1 2
x 2  x  2  x  lim x  1   2  1    2  
x  
x x

 


3. Να βρείτε το όριο:
lim
x 

x2  x 1  x

ΛΥΣΗ
Έχουμε:
x2  x  1  x  x 1 
1 1
1 1
 2  x   x 1  2  x 
x x
x x


1 1
x  1   2  1
x x


Επομένως:
lim
x 

 

1 1
x 2  x  1  x  lim x   1   2  1    0 ;
x  
x x

 

Τώρα λοιπόν ακολουθούμε το Β) βήμα (Πολλαπλασιασμός με συζυγή παράσταση)
51
2
2
x  x 1  x
x  x 1  x


  lim  x  x 1  x  
lim
x  x  1  x  lim


1 1
x  1    1
 x  x 1  x
x x


2
2
2
x 
x  
x  
2
2
 lim
x  

1
1
x 1  
1 
1
x

x
 lim

x 

2
1 1
1 1
 1  2 1
1   2  1
x x
x x

 x 1
 lim

 x   
1
1
x  1   2  1
x 
x x



Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις 3 και 4.
ΜΕΘΟΔΟΣ (Διερεύνηση ορίου lim f  x,   όταν x   )
x 
Ακολουθούμε τα βήματα της προηγούμενης μεθόδου μεταφέροντας και την παράμετρο.
Καταλήγουμε σε μια σχέση της μορφής  g ( ) (όπου  η παράμετρος)
Στη συνέχεια εξετάζουμε τις περιπτώσεις:
Α) g ( )  0    1 ( 1 διάστημα)
Β) g ( )  0     2 (  2 διάστημα)
Γ) g ( )  0     ,    ,... .Στην περίπτωση αυτή αντικαθιστούμε στο αρχικό όριο τις
τιμές του  και βρίσκουμε το ζητούμενο όριο με την μέθοδο που ξέρουμε.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια :
i) lim
x 

2

x 1   x
ii)
  1 x
lim 
x 
3
 2x2  3
 x2  5x  6
ΛΥΣΗ:
i) Έχουμε διαδοχικά:




 1
1
x 2  1   x  lim  x 2 1  2    x   lim  x 1  2   x  
x  
x 
x 
x
 x 




 



1
1
 lim  x 1  2   x   lim x  1  2        1

x  
x  
x
x



 
  lim


Επομένως διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
— Αν   1  0    1 , τότε   
— Αν   1  0    1 , τότε   
52
— Αν   1  0    1 , το ζητούμενο όριο γίνεται   lim
x 
2
 x 1  x (που με την
διαδικασία του κοινού παράγοντα καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή  0 .
Άρα έχουμε διαδοχικά:
  lim
 x 1  x  lim 
2
x  
 lim


1
x  1  2  1
x




x 2 1  x
  lim x 1 x
x2 1  x
x 
1
x  
x2 1  x
2
2
x 2 1  x
x 
 lim
x 
1
x 2 1  x

1
0
2
ii) Έχουμε διαδοχικά:
B  lim
  1 x
x 
3
 2x2  3
2
 x  5x  6
 lim
x 
  1 x
x
3
2

 1
 1
lim x 
 ,   0
 x 

Επομένως διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
— Αν
 1
 0     1  0    1 ή   0 , τότε B  

— Αν
 1
 0     1  0  0    1 , τότε B  

— Αν
 1
 0    1 , τότε το ζητούμενο όριο γίνεται:

2x2  3
2 x2

lim
2
x  x 2  5 x  6
x  x 2
B  lim
— Αν   0 , τότε το ζητούμενο όριο γίνεται:
 x3  2 x2  3
 x3
1
B  lim
 lim
  lim x 2  
x 
x

5x  6
5x
5 x 
 
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 5.
ΜΕΘΟΔΟΣ
(Εύρεση
ορίου
εκθετικών
και
λογαριθμικών
ορίων
που
είναι
απροσδιόριστης μορφής)
F (a x ,  x )
με a    0 , τότε βγάζουμε
x  G ( a x ,  x )
— Αν έχουμε ζητούμενο όριο της μορφής lim
x
 

κοινό παράγοντα το a και δημιουργούνται παραστάσεις   που lim 
x  
 

x
αφού 0 
x

  0 ,


1

53
F (a x ,  x )
με a   , τότε βγάζουμε κοινό
x  G ( a x ,  x )
— Αν έχουμε ζητούμενο όριο της μορφής lim
 a x
 x


  0 , αφού
παράγοντα το  και δημιουργούνται παραστάσεις   που lim 
x    

 
 
x
a
1.

— Στις λογαριθμικές συναρτήσειςΤης μορφής lim ln P( x ) ή lim ln
x 
x 

P ( x)  Q ( x)

που καταλήγουν σε απροσδιόριστη μορφήδουλεύουμε βγάζοντας κοινό παράγοντα το
μεγιστοβάθμιο όρο ως προς x ή με συζυγή παράσταση όπως είδαμε προηγούμενα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
1. Nα βρείτε τα όρια:
3x  2 x  2  1
x  3 x 1  5  2 x  3
5 e x 2  7  2 x
x 
e x 3  2 x 2
i) lim
ii) lim
ΛΥΣΗ
i) Έχουμε διαδοχικά:
x
x

 2  1  
 2  x 1  x
3x 1  4       
1  4     

 3   3  
3x  2 x  2  1

 3   3   1  4 0  0  1
lim
 lim
 lim
x
x
x  3 x 1  5  2 x  3
x 
x


2 x
 1  x 3  5 0  3 0 3
2
1  
3  5    3  
3x 3  5    3   

3
3 
3
 3  

διότι:
x
x
2
1 
2
1
0   1  lim    0 και 0   1  lim    0
x 3
x 3
3
3
 
 
ii) Έχουμε διαδοχικά:
x
 e x 2

5 e 
x
5


2
5


7



7
0  7
2  
 2 x

5 e x  2  7  2 x
7
e 2 
e2
lim

lim

lim


x

3
x

2
x

3
x
3
x 
x  
e
 x   e3  e 

e
 4
e 2
2 x  2  x 2  1
4     1 4   0  1
2

 4 2 

4



διότι:
x
e 
e
 1  lim    0
x  2
2
 
54
2. Nα βρείτε τα όρια:

i) lim ln
x 
x2  2x  3  x

ii lim ln
x 
x2  3x  5
x 1
ΛΥΣΗ
i) Έχουμε διαδοχικά:
2
x  2x  3  x
lim ln
x 

2
x2  2x  3  x

2x  3
 lim ln
x 

x2  2 x  3  x

 lim ln
x  

x 

 3
x 2  
 x


2 3
1   2  1
x x

3
2
x
 lim ln
 ln  ln1  0
x  
2
2 3
1   2 1
x x
2
ii) Έχουμε διαδοχικά:
3 5
3 5
3 5
x 1  2
x 1  2
1  2
x  3x  5
x x  lim ln
x x  lim ln
x x  ln1  0
lim ln
 lim ln
x  
x

x

x

 1
 1
x 1
 x 1
 x 1  
1  
 x
 x
2
Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις 6, 7 και 8.
ΜΕΘΟΔΟΣ (Όρια με τριγωνομετρικούς όρους της μορφής:
 ax
 ax
lim
, lim
x 
x 
x
x
 ,  
Χρησιμοποιούμε το κριτήριο της παρεμβολής:
 ax
1
1  ax
1
    
 


x
x
x
x
x
Επειδή lim
x 
 1 
1
 lim     0 , από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε:

x 
x
 x 
 ax
=0
x 
x
lim
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να βρείτε τα όρια:
55
  x 2015 
  ii) lim x 2  x 3x
i) lim   999
x  
x  x 2  x   3x

 x

ΛΥΣΗ
i) Έχουμε:
2015
 x
x
999
2015
 x
1
1
 999   999   999
x
x
x

1
x999
 1 
1
Επειδή lim 
 999   lim 999  0 , από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε:

x 
 x  x  x
  x 2015 
 0
lim   999
x  

 x

ii) Έχουμε διαδοχικά:
 x 3x 
x 3 x
 3x
x 2 1 

1
1

2
2
x  x 3x
x 

x
x
A  lim 2
 lim
 lim
 lim
(1)
x  x  x   3 x
x 
x

x



1

3
x
1

3x
1  3x
2
1 
1 
x 1  

x
x
x
x
x 
 x
2
 3 x
 3x
, lim
. Έχουμε:
x 
x x  x
Θα βρούμε τα όρια lim
 3x 1
1  3 x 1
  

x
x
x
x
x
 1
1
 3x
   lim  0 , από το κριτήριο της παρεμβολής είναι lim
Επειδή lim 
 0.
x 
x

x

x
x
 x
Όμοια:
 3x 1
1  3 x 1
  

x
x
x
x
x
 1
1
lim    lim  0
x 
x


x
 x
 3x
 0.
x 
x
από το κριτήριο της παρεμβολής είναι lim
Επομένως από την (1) είναι  
1 0
 1.
1 0  0
56
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 9 .
ΜΕΘΟΔΟΣ (Όρια με απόλυτα)
Σε όρια όπου συναντούμε g ( x ) πρέπει να έχουμε υπόψη μας τα επόμενα:
lim g ( x )  l  0   ά    0 ώ g ( x)  0, x  a, 
x 
lim g ( x)  l  0   ά    0 ώ g ( x)  0, x  ,  
x 
lim g ( x )  l  0   ά    0 ώ g ( x )  0, x  a, 
x 
lim g ( x)  l  0   ά    0 ώ g ( x)  0, x  ,  
x 
Έτσι θα είναι g ( x )  g ( x ) ή g ( x )   g ( x) και θα έχουμε ένα όριο χωρίς απόλυτες τιμές,
εφαρμόζοντας τα προηγούμενα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να βρείτε το όριο:
lim
2  x2  x 2  3  3x
x 1
x 
ΛΥΣΗ
Έχουμε:
lim 2  x 2     ά    0 ώ 2  x 2  0, x  a, 
 
lim  x  3     ά    0 ώ 2  x
x 
2
x 
2
(   )
 0, x   ,   a, 
Επομένως ( όταν x  a,  ):
lim
2  x 2  x 2  3  3x
x 1
x 
 lim
 2  x 2  x 2  3  3x

x 

x 1

2 x 2  3x  5
2x2
 lim
 lim 2 x  
x 
x  x
x 
x 1
 lim
Τώρα προσπαθώ την άσκηση 10 .
ΜΕΘΟΔΟΣ (Θεωρητικές ασκήσεις)
Οι περισσότερες θεωρητικές ασκήσεις ανήκουν στην κατηγορία «Η συνάρτηση κρύβεται»
και ακολουθούμε τη γνωστή διδικασία. Στο τέλος του Κεφαλαίου θα δούμε και
συνδυαστικές-θεωρητικές ασκήσεις.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
1. Αν lim
x 
5x  3 f ( x)
f ( x)
 3 , να βρείτε το όριο lim
x  f ( x)  3x  2
x
ΛΥΣΗ
57
Έχουμε:

f ( x) 
f ( x)
x 5  3

53
5x  3 f ( x)
5  3 3
4
2
x 

x
lim
 lim
 lim

 
x  f ( x)  3 x  2
x   f ( x )
2 330
2  x  f ( x )
6
3
3
x 
 3  
x
x
x
 x
2. Αν lim
x 
5 x  3 f ( x)
f ( x)
 3 , να βρείτε το όριο lim
x  f ( x )  3 x
x
ΛΥΣΗ
Έχουμε:
x 5  3g ( x )
5 x  3 f ( x)
5 x  3 xg ( x )
5  3g ( x ) 5  9
4
2
 lim
 lim 
 lim

 
x  f ( x )  3 x
x   xg ( x)  3 x
x   x g ( x )  3

 x g ( x)  3 3  3 6 3
lim
Τώρα προσπαθώ τις ασκήσεις 11, 12, 13 και 14.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α. Κατανοώ
1/Α (Σχολικό). Nα βρείτε τα όρια:
2/Α (Σχολικό). Nα βρείτε τα όρια:
3/Α (Σχολικό). Nα βρείτε τα όρια:
58
Β. Εμπεδώνω
2/Β (Σχολικό). Nα προσδιορίσετε το λ ϵ R, ώστε το lim
x 
x 2  5 x  10   x

 να υπάρχει
στο R.
x 2 1
 ax   , να βρείτε τις τιμές των α, β ϵ R για τις οποίες
x 1
3/Β (Σχολικό). Αν f  x 
ισχύει lim f  x .
x 
4/Β (Σχολικό). Nα βρείτε τα όρια :
Γ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να βρείτε τα όρια:
i) lim 4 x 5  2 x3  x 2  2
x 

ii) lim 5 x 7  3x 4  3 x3  9

x 


2. Να βρείτε τα όρια:
i) lim 7 x10  7 x 9  6 x 2  3
x 


ii)
lim 3x13  8 x 8  9 x5  11
x 


3. Να βρείτε τα όρια:
i) lim
x 
2
 5x  x  2  9x
2
ii) lim
 5x  x  2  9x
ii) lim
 3 x  x  2  3x
x 
4. Να βρείτε τα όρια:
i) lim
2
x 
 3x  x  2  3x
x 
2
5. Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:
5
i) lim
x 
2
 4x  3x  5   x
ii)
3
2
  2 x  3x  2 x  x  1
lim 
  1 x  3x  x  3
x 
3
2
59
6. Να βρείτε τα όρια:
4 x  3x 1  2
i) lim x 2
x  4
 5 3x  1
4  e x1  6  2 x
ii) lim
x 
e x  2 x 1
7. Να βρείτε τα όρια:
3 x  2015
  
x  8 x 3  2014
i) lim
ii) lim ln x 2  x  1  `
x 


8. Να βρείτε τα όρια:
i) lim ln
x 
2
 x 1  x
ii) lim e
x 2 1
x 1
x 
9. Να βρείτε τα όρια:
 x 23
,
x  x 2  3 x  5
 x
x   x  5
ii) B  lim
3x 2   x
x  x 2   x
iv)   lim
i)   lim
x 2  x 2 x
x  x 2  x   2 x
iii)   lim
10. Να βρείτε τα όρια:
i) lim
x3  2  x2  2 x  4
x2 1
x 
11. Αν lim
x 
ii) lim
x4  6  x 2  2 x  4
x 
x2  1
3x  2 f ( x )
f ( x)
 2 , να βρείτε το lim
x

x
f ( x)  5 x  1
12. Αν f :    μία συνάρτηση τέτοια ώστε:
lim
x 
f ( x)
 2 (1), lim  f ( x )  2 x  3 (2)
x  
x
Να βρείτε το   * ώστε:
lim
x 
2 f ( x)   x  1
1
xf ( x)  2 x 2  1
13. Αν f , g : 0,    δύο συναρτήσεις τέτοιες ώστε:
lim 3 f 2  x  2 g 2  x  0
x 
,να αποδείξετε ότι lim f ( x )  lim g ( x)  0
x 
x 
14. Αν f : 0,    μια συνάρτηση τέτοια ώστε:
lim
x 
f ( x)
 3 και lim  f ( x )  3 x  4
x 
x
60
Να βρείτε το    , ώστε να είναι:
lim
x 
f ( x)   x  2
2
xf ( x)  3 x 2  x  1
61
ΜΑΘΗΜΑ 16ο
Επανάληψη στα όρια
Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην
κόλα σας τη λέξη
Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
1. Αν f ( x)      «κοντά» στο x0 , τότε και lim f ( x )  
x  x0
2. Αν lim f ( x )  l l   , τότε lim f ( x )  l ή lim f ( x)  l
x  x0
x  x0
x  x0
3. Αν lim f ( x )  0 , τότε f ( x )  0 «κοντά στο x0 ».
x  x0
4. Μια συνάρτηση είναι δυνατόν να μην ορίζεται σε ένα σημείο x0   αλλά να υπάρχει το
όριό της στο x0 .
5. Αν lim
x  x0
f ( x)
 l   και lim g ( x )  0 , τότε lim f ( x )  0 (Με την προϋπόθεση ότι όλα τα
x  x0
x  x0
g ( x)
όρια υπάρχουν).
6. Αν lim  f ( x)  g ( x)  l   , τότε θα υπάρχουν πάντα τα όρια lim f ( x) και lim g ( x)
x  xo
x  xo
x  x0
7. Για όλες τις συναρτήσεις f , g με lim f ( x )   , lim g ( x)   είναι :
x  x0
x  x0
lim  f ( x)  g ( x )  0 .
x  xo
8. Αν lim f ( x )  0 και f  x  0 «κοντά» στο x0 , τότε lim
x  x0
x  x0
1
 
f ( x)
9. Αν lim f ( x )   , τότε η f παίρνει μόνο θετικές τιμές «κοντά» στο x0
x  x0
10. Αν η f είναι άρτια συνάρτηση και lim f ( x)  l   , τότε και lim f ( x)  l  
x 
x 
11. Αν lim f ( x )   ή  , τότε lim f ( x )  
x  x0
x  x0
12.Αν lim f ( x )   , τότε lim  f ( x)  
x  x0
x  x0
13. Αν lim f ( x )  0 και f ( x)  0 «κοντά» στο x0 , τότε lim
x  x0
x  x0
1
  .
f ( x)
14. Αν lim f ( x )   , τότε f ( x)  0 για κάθε x   .
x  x0
15. Αν a  1 , τότε lim a x  0 .
x 
16. Αν Αν a  1 , τότε lim a x  0 .
x 
17. Αν 0  a  1 , τότε lim a x  0 .
x 
62
18. Αν Αν a  1 , τότε lim ln x   .
x 
2
0
x  x 3
19. lim
20. lim
x 
3
4
 
x  1
63
Τέστ Θεωρίας (30΄) στα ΟΡΙΑ
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας τη λέξη
Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
 x
1
x  x
1) lim
2) Το lim f ( x ) είναι ανεξάρτητο των άκρων α,β των διαστημάτων (α, x0) και (x0,β) στα
x  x0
οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f .
3) Για οποιαδήποτε συνάρτηση f με f ( x)  0 «κοντά» στο x0 και αν το όριο της f στο x0
υπάρχει, τότε lim f ( x )  0 .
x  x0
4) Αν 0    1 , τότε lim  x  0
x 
5) Δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της f ( x) 
1
x
2 1
, νϵN
6) Αν lim f ( x )   ή  , τότε lim f ( x )  
x  x0
x  x0
7) Αν lim f ( x )   , τότε f ( x)  0 για κάθε x   .
x  x0
8) Αν lim  f ( x)  g ( x)  l   , τότε θα υπάρχουν πάντα τα όρια lim f ( x) και lim g ( x)
x  xo
x  xo
x  x0
9) Αν Αν a  1 , τότε lim ln x   .
x 
10) Αν lim f ( x )  l l   , τότε lim f ( x )  l ή lim f ( x)  l
x  x0
x  x0
x  x0
(Μονάδες 10x3=30)
Β. Πότε λέμε ότι της f έχει αριστερό όριο στο x0 , και πότε δεξιό όριο στο x0 και πώς
σχετίζονται αυτά με την ύπαρξη του ορίου της f στο x0 ;
(Μονάδες 20 )
ΘΕΜΑ 2ο
Α. Να διατυπώσετε το κριτήριο της παρεμβολής.
(Μονάδες 20 )
64
Β. Έστω το πολυώνυμο:
Να αποδείξετε ότι:
(Μονάδες 30 )
65
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΣΤΑ ΟΡΙΑ
ΘΕΜΑ A
Α1. Να διατυπώσετε το κριτήριο της παρεμβολής.
(Μονάδες 7 )
Α2. Αν P  x πολυώνυμο ν βαθμού (   ) και x0   , να αποδείξετε ότι:
lim P  x  P  x0 
x  x0
(Μονάδες 8)
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας τη λέξη
Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν lim f ( x)  0 , τότε κατ΄ανάγκη lim
x  xo
x  xo
β) Ισχύει lim
x 
1
  .
f ( x)
1   x
0
x
γ) Αν lim f ( x)  0 , τότε f ( x)  0 “κοντά” στο x0   .
x  xo
δ) lim
x 0
1
 
x 2
ε) Αν 0    1 , τότε lim  x  
x 
(Μονάδες 5x2=10)
ΘΕΜΑ B
B1. Να βρείτε τα όρια:
lim
x 1
x 1  2
x2  x
(Μονάδες 8)
Β2. Να βρείτε το όριο:
lim
x3
1  x 2  x 2  3  14
x2  2x  3
(Μονάδες 8 )
Β3. Να βρείτε το όριο της συνάρτησης f στο x0  1 (αν υπάρχει):
 3 x 1

,  x  1
 x  1
f ( x)   2
x  x
,  x  1

  3 x
(Μονάδες 9 )
66
ΘΕΜΑ Γ
2
Γ1. Αν f , g οι συναρτήσεις f  x  x  1 και g ( x)   x  2 αντίστοιχα, να βρείτε τα
επόμενα όρια:
i) lim 
x 1
fog  ( x)
x2  1
ii) lim
x 2
f 1  x  1
x 2
(Μονάδες 4x2=8)
Γ2. Να βρείτε τα α και β ώστε:
ax 3   x 2  x  1
 2
x 1
x2  x  2
lim
(Μονάδες 9)
Γ3. Δίνονται οι συναρτήσεις:
Nα να βρείτε τα όρια:
lim f x και
x 1
lim g  x
x 0
για όλες τις τιμές των λ, μ ϵ R.
(Μονάδες 4x2=8)
ΘΕΜΑ Δ
Έστω η συνάρτηση f : 0,    με:
f  x  y  f ( x)  f ( y )  2 xy για κάθε x, y  0,  ,
f ( x)  0 για κάθε x  0 και lim
x 0
f ( x)
2
x
Δ1. Να βρείτε τις τιμές f (0), f (1), f (2) .
(Μονάδες 6)
Δ2. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση «1-1».
(Μονάδες 10)
Δ3. Αν g : *   μια συνάρτηση με:
67
 f ( x2 )
 2 ,  x  0

g ( x)   x
 5 2015
 x  2015  a,  x  0
x

, να βρείτε το α ώστε να υπάρχει το lim g ( x) .
x 0
(Μονάδες 9)
Τα μαθήματα συνεχίζονται...............
68