Leggi di forza: le interazioni fondamentali

Interazioni fondamentali

In natura esistono solo quattro forze fondamentali, cioè non riconducibili a cause più semplici: interazione gravitazionale; interazione elettromagnetica; interazione forte (interazione tra quark); interazione debole (interazione tra quark e leptoni). Nell’esperienza quotidiana, osserviamo in pratica solo l’azione delle prime due, sebbene in modo molto diverso: interazione gravitazionale interazione elettromagnetica → → forza peso tutte le altre forze Effettivamente, le forze muscolari, di attrito, di adesione, le tensioni delle funi, le forze elastiche, etc., sono tutte manifestazioni complesse delle forze elettromagnetiche. La stessa “energia nucleare” rilasciata nei processi di fissione nucleare è fondamentalmente di natura elettrostatica (energia elettrostatica dei protoni del nucleo).

Gravitazione universale

La gravitazione universale è la forza con cui si attirano reciprocamente le masse. Con riferimento alla figura, essa è descritta dalle seguenti relazioni: r F 12 = − r F 21 r F 12 = r F 21 = r F = F F = G m 1 m 2 r 2

Seguono alcune osservazioni generali: a) la forza di gravitazione universale soddisfa il principio di azione e reazione, perché i vettori forza r F 12 , r F 21 sono uguali in modulo, hanno la stessa direzione e verso opposto, e giacciono sulla stessa retta di applicazione; b) la gravitazione è sempre attrattiva; c) il modulo della forza è espresso dalla relazione F = G m 1 m 2 r 2 . Attenzione! Il modulo è positivo per definizione.

La scrittura

F = − G m 1 m 2 r 2

è sbagliata.

d) L’unità di misura della costante universale G si ricava dall’equazione dimensionale:

[ ] [ ] [ ][

1 [ ] m 2

]

; =

[ ][

1 m 2

]

; = kg m s 2 m 2 kg 2 = kg − 1 m 3 s − 2 Il valore di G è lo stesso in qualunque situazione sperimentale. Si dice dunque che G è una costante universale: G = 6.67 × 10 –11 kg –1 m 3 s –2 e) 1 Il modulo di F è proporzionale al valore di m 1 e di m 2 ; la dipendenza dalla distanza, di tipo r 2 è mostrata nel grafico. , 2x10 -10 Forza gravitazionale tra due masse di 1 kg, in funzione della distanza tra i centri. 1x10 -10 0 0 1 2

r (m)

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Applicazione del III principio alla gravitazione universale

Come già messo in evidenza, la legge di gravitazione universale rispetta il III principio. Attenzione però a non confondere la relazione tra le forze con la relazione tra le accelerazioni. Ad esempio, ogni corpo esercita sulla Terra la stessa forza con cui la Terra lo attira. Nessun dubbio: una piccola mela attira a sé la Terra con la stessa forza con cui l’intera Terra la attira. La Terra, però, non cade sulla mela; è la mela a cadere sulla Terra. Il motivo è semplice: la Terra, a causa dell’interazione con la mela, ha un’accelerazione del tutto trascurabile, poiché ha una massa enormemente maggiore. Sia infatti M T la massa della Terra, a T la sua accelerazione; m e a massa e accelerazione della mela. Applicando la II legge di Newton, scritta per i moduli, a ciascun corpo, si ha: F 12 = m a ; F 21 = M T a T Ma per il III principio, F 12 = F 21 e dunque: ma = M T a T da cui, infine: a T =  m M T  a m Poiché < < 1 , segue che a T << a . La Terra ha dunque accelerazione del tutto trascurabile. M T

Definizione di campo gravitazionale

r g r

( )

In molte situazioni è conveniente porre la massa m 1 al centro di un sistema di riferimento. Ad esempio, certamente questa è la scelta più semplice se si desidera studiare l’azione gravitazionale della Terra (m 1 ) su altri corpi posti in prossimità (m 2 ). In questi casi si può dare forma vettoriale all’espressione della forza con cui m 1 attira m 2 : r F = − G m 1 m 2 r 2 = r g r ( ) m 2 Il vettore r g r ( ) = − G m 1 r 2 prende il nome di campo gravitazionale. r Si noti questo dettaglio nell’espressione vettoriale di F r versore radiale rˆ , ma verso opposto, segue che F = − : poiché la forza ha la stessa direzione del r F rˆ . Attenzione: solo nell’espressione vettoriale compare un segno negativo, legato al fatto che la gravitazione è attrattiva.

Forza peso

Se una delle due masse è quella della Terra, l’altra una generica massa m g posta al livello del mare, la forza su m g è data da: F = G m g M R 2 T T = g m g ; g = G M T R 2 T = 9 .

8 ms − 2 La forza F è la forza peso P. In forma vettoriale si può scrivere: r P = m g r g r con g vettore diretto verso il centro della Terra (a sinistra in figura). In effetti, nella maggioranza dei casi, si considerano situazioni sperimentali confinate a dimensioni molto minori del raggio della r Terra; allora il vettore g , uguale per tutti i corpi, punta verso il basso (a destra in figura). Il peso di una massa di 1 kg è pari a 9.8 N. Si definisce kilogrammo peso kg p l’unità pratica (abbreviata nel linguaggio corrente col termine improprio “chilo”) data da: 1 kg p = 9.8 N Si vede così che una massa di 1 kg pesa 1 kg p .

Forza elettrostatica (legge di Coulomb)

La forza elettrostatica è la forza con cui si attirano reciprocamente le cariche elettriche. In molti aspetti, essa è simile alla forza di gravitazione universale; la differenza fondamentale è che, a differenza delle masse, le cariche possono assumere segno positivo o negativo e la forza può essere di tipo attrattivo (cariche di segno opposto, come in figura) o repulsivo (cariche dello stesso segno). Le equazioni che descrivono la forza elettrostatica sono le seguenti: r F 12 = − r F 21 r F 12 = r F 21 = r F = F F = k q 1 q 2 r 2 I commenti a queste relazioni mettono in evidenza le similitudini e le differenze rispetto alla legge di gravitazione: a) la forza elettrostatica soddisfa il principio di azione e reazione, perché i vettori forza r F 12 , r F 21 sono uguali in modulo, hanno la stessa direzione e verso opposto, e giacciono sulla stessa retta di applicazione; b) la forza elettrostatica è attrattiva (cariche dello stesso segno) o repulsiva (cariche di segno opposto); c) q 1 q 2 il modulo della forza è espresso dalla relazione F = k . Attenzione! Anche in questo r 2 caso, il modulo è positivo per definizione.

Non ha senso introdurre i segni delle cariche in questa formula.

d) L’unità di misura della costante universale k si ricava dall’equazione dimensionale:

[ ] [ ] [ ][ ]

1 2 ; = [ ]

[ ][ ]

1 2 ;

Ricordando che nel SI: [q] = A s = C si ottiene: = kg m m 2 s 2 C 2 = kg m 3 s − 2 C − 2 Il valore di k è lo stesso in qualunque situazione sperimentale. Si dice dunque che k è una costante universale: k = 9 × 10 9 kg m 3 s –2 C -2 Spesso la costante è rappresentata in modo alternativo, sulla base della relazione: 1 k = 4 π ε o → ε o = 1 4 π k = 8 .

8 × 10 − 12 kg − 1 m − 3 s 2 C 2 e) 1 Il modulo di F è proporzionale al valore di q 1 e di q 2 ; la dipendenza dalla distanza, di tipo r 2 è mostrata nel grafico. , 2x10 1x10 10 10 Forza elettrostatica tra due cariche di 1 C, in funzione della distanza tra i centri. Si noti l’enorme differenza di intensità gravitazione. rispetto alla 0 0 1 2

r (m)

3 4

Definizione di campo elettrico

r E r

( )

Procedendo in modo analogo al caso della gravitazione, si può definire il vettore campo elettrico. Si ponga la carica la q 1 al centro di un sistema di riferimento. La forma vettoriale della forza che q 1 esercita su q 2 è la seguente: r F = k q 1 q r 2 2 rˆ = r E r ( ) q 2 Il vettore r E r ( ) = k q 1 r 2 rˆ prende il nome di campo elettrico. L’equazione che dà la forza elettrostatica in forma vettoriale tiene correttamente conto dei segni delle cariche. Infatti, se q r 1 e q 2 hanno lo stesso segno, il prodotto q 1 q 2 è positivo; allora segue che F ha la stessa direzione e verso di rˆ ; cioè, la forza è repulsiva (come nel grafico). Se viceversa q 1 e q 2 hanno segno opposto, il prodotto q 1 q 2 è negativo; la forza ha allora la stessa direzione del versore radiale rˆ , ma verso opposto; quindi la forza è attrattiva.

Massa gravitazionale e massa inerziale

Come si può spiegare il fatto che tutti i corpi cadano con la stessa accelerazione? Un modo per affrontare questa questione consiste nel confrontare le proprietà della forza elettrostatica con quelle della forza di gravitazione.

Si immagini di avere un corpo caratterizzato dalla carica Q, e di porre alla distanza r un secondo r corpo, con carica q. Su quest’ultimo agirà una forza F E di modulo pari a: F E = 4 π 1 ε o Q r 2 q =    1 4 π ε o Q r 2    q Per chiarezza, è possibile distinguere il ruolo dei due corpi, dicendo che: Il

primo corpo

applica la forza r F E

carica di prova.

sul

secondo corpo

; allora si dirà che Q è la

carica sorgente

, q la Q Mettendo tra parentesi il fattore 4 π , si evidenzia questa circostanza: la forza elettrica è ε o r 2 proporzionale al valore della

carica di prova

q, mentre il termine tra parentesi non cambia se si prende un’altra carica di prova qualunque e la si mette nella stessa posizione. Si applichi ora la seconda legge di Newton: r F E = m r a e in modulo: F E = m a Sostituendo l’espressione di F E :    4 π 1 ε o r Q 2    q = m a da cui si ricava il valore dell’accelerazione: a =  4 π 1 ε o r Q  2 q m q Si trova così che l’accelerazione a è proporzionale al rapporto . Evidentemente, diversi oggetti m che abbiano la stessa carica di prova q, ma masse m diverse, avranno accelerazioni diverse.

Si affronti ora il caso, solo apparentemente più semplice, della gravitazione. Si immagini di avere un corpo caratterizzato dalla massa M, e di porre alla distanza r un secondo r corpo, di massa m. Su quest’ultimo agirà una forza F G di modulo pari a: F G = G M m r 2 =    G r M 2    m In questo caso, il

primo corpo

applica la forza r F G sul

secondo corpo:

M è la

massa sorgente

, m la

massa di prova.

Mettendo tra parentesi il fattore G M r 2 , si evidenza questa circostanza: la forza gravitazionale è proporzionale al valore della massa di prova m. Si applichi ora la seconda legge di Newton: r F G   G = m r a r M 2   m = m a → F G = m a a =   G r M 2   m m = G M r 2 A differenza dal caso della forza elettrostatica, l’accelerazione a è proporzionale al rapporto m = 1 ! Evidentemente, oggetti con masse m diverse avranno la stessa accelerazione 1 . m La discussione può essere ulteriormente approfondita, rivedendo in modo critico qual è la

definizione operativa

di massa. Nella II legge di Newton il simbolo m va interpretato come

massa inerziale

. Una ragionevole definizione operativa è la seguente. Se applichiamo una forza F a un certo oggetto, vediamo che questo subisce un’accelerazione a. Se raddoppiamo la forza, troviamo sperimentalmente che anche 1 Se M è pari alla massa della Terra (M T ) e r è il raggio della Terra (R T ), l’accelerazione vale G M R T 2 T = 9 .

8 m s − 2 = g

l’accelerazione raddoppia. In generale, osserveremo che l’accelerazione è sempre proporzionale alla forza applicata. Definiamo quindi la

massa inerziale

come costante di proporzionalità tra forza e accelerazione: F = m a → m =

massa inerziale

Quando si scrive l’espressione della forza di gravitazione universale, però, i simboli M e m entrano in un modo completamente diverso: precisamente, sono usati in modo del tutto analogo ai simboli Q e q della forza elettrostatica. Si potrebbe affermare (come fanno molti fisici) che in questo caso M, m rappresentano le “cariche gravitazionali” dei corpi, cioè le grandezze fisiche che determinano con quale forza i corpi si attraggano. Più frequentemente si dice che M, m sono le

masse gravitazionali

dei corpi. F G =   G r M 2   m → m =

massa gravitazionale

Se

massa gravitazionale

e

massa inerziale

fossero diverse, avverrebbe proprio quello che succede per la forza di Coulomb: potremmo avere due oggetti con la stessa

massa gravitazionale

, ma

massa inerziale

diversa; e questi due oggetti cadrebbero con

accelerazione diversa

! In altri termini, non m avremmo più la semplificazione m = 1 . L’osservazione sperimentale ci dice però che non è affatto così: l’accelerazione è sempre la stessa. Quindi,

massa gravitazionale

e

massa inerziale

devono

essere uguali.

In definitiva, alla domanda: “Perché tutti i corpi cadano con la stessa accelerazione?” si può rispondere: “Perché massa gravitazionale e massa inerziale sono uguali”.

La meccanica classica si ferma qui e non è in grado di giustificare in nessun modo l’equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale. Nella teoria della gravitazione moderna (la “Relatività Generale” di Einstein, 1916) questa equivalenza diventa invece una legge fondamentale (

principio di equivalenza

) che permette di comprendere (o meglio, all’epoca, di prevedere) alcuni fatti sperimentali molto particolari, tra i quali ad esempio il

red shift

gravitazionale, che non saranno però trattati nel corso di Fisica Generale.