Transcript ABP: Músicos Siderales Física Moderna

ABP: Músicos Siderales
Física Moderna
Integrantes:
Aguilar Peña Erika
Caceres Choqque Marco
Mercado Gonzales Rodolfo
Nazario Diaz David
Objetivos
Conocer los postulados de la Relatividad Especial
de Albert Einstein .
Comparar las medidas realizadas en diferentes
sistemas de referencia inerciales que se mueven
con velocidad constante unos respecto de otros.
Evaluar las consecuencias de la aplicación de la
Teoría de la Relatividad .
Músicos Siderales
Marlon (20 años)
Rocío
(20 años)
•
El tiempo se ve afectado cuando la nave viaja a grandes
velocidades, próximas a la velocidad de la luz.
•
La medida del tiempo no es absoluta, y que dados dos
observadores el tiempo medido por estos observadores, en general,
no coincide sino que la diferente medida de tiempos depende del
estado de movimiento relativo entre ellos.
•
El marco de referencia es la Teoría de la Relatividad Especial
En 1905 A. Einstein enuncia su teoría de la
relatividad especial en la cual regresa a la antigua
idea de que el espacio es vacío (no existe el éter) y
formula dos postulados:
 1er Postulado (Principio de la Relatividad):
Las leyes de la físicas son las mismas en cualquier
marco de referencia inercial.
 2do Postulado (Principio de la Constancia de la
Velocidad de la Luz) :
La velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo
valor C en cualquier marco de referencia inercial.
 Establecieron la base matemática de la teoría R. E.
 Son
un conjunto de relaciones que permiten observar la
correlación entre las medidas de una magnitud física realizadas
por dos observadores inerciales diferentes, siendo el equivalente
relativista de la transformación de Galileo utilizada en física hasta
aquel entonces.
 La transformación de Lorentz permite preservar el valor de la
velocidad de la luz constante para todos los observadores
inerciales.
Inversas:
Directas:
x   ( x  vt )
x   ( x  vt )
y  y
y  y
z  z
z  z
  vx 
t   t  2 
c 

vx 

t    t  2 
 c 
 
1
v2
1 2
c
Marco Teórico
 Dilatación del tiempo
El tiempo propio es denotado por t p , se
define como el intervalo de tiempo entre dos
eventos según lo mide un observador que ve
los eventos ocurriendo en el mismo punto del
espacio. Es decir el tiempo propio siempre es
el tiempo medido por un observador que se
mueve junto al reloj.
t 
t

1 v c
2
2

 t ,   1
t  t p
 Contracción de la longitud
 v2
L  L p 1  2
 c
Lp
L




12
La longitud propia de un objeto se define
como la longitud del objeto medida por
alguien que esta en reposo con respecto al
objeto.


La Relatividad Especial nos dice que el tiempo se dilata con la
velocidad, de forma que para el viajero, el tiempo transcurre más
lentamente que para su hermana. Así, cuando ambos se reencuentran
en la Tierra, el viajero es más joven que su hermana. Por lo que la
hermana que permaneció en la Tierra ha envejecido 10 años, y el
viajero sólo ha envejecido 6. En muchas ocasiones, la explicación
termina aquí. En realidad, esto no es ninguna paradoja.
Es una forma sencilla de explicar el efecto de dilatación temporal de la
Relatividad Especial.


Los anterior está explicada desde el punto de vista de la hermana que
se queda en la Tierra. Ella ve a su hermano moverse a una velocidad
considerable con respecto a su sistema de referencia, y por tanto el
tiempo transcurre más despacio para su hermano.
Pero ¿qué pasa si lo hacemos desde el punto de vista del hermano
viajero?


En su sistema de referencia (la nave), sería la Tierra la que se mueve
con respecto a él, por lo que sería su hermana (en la Tierra) la que
experimentara la dilatación temporal. Al regresar, el viajero esperaría
encontrarse a su hermana más joven que él.
Es decir, ambos esperan ver a su otro hermano más joven que él o ella
mismo. Y lógicamente, esto no puede ocurrir. O tienen la misma edad, o
uno es más joven que el otro, pero no puede ser que ambos sean más
jóvenes que el otro simultáneamente. Pues bien, eso sí es una paradoja.
1. ¿De qué tratan los Postulados de Einstein?.¿Tienen estos postulados
alguna conexión con el problema planteado?
Postulados de la Teoría de la Relatividad Especial:
“Las leyes de la física son iguales en todos los sistemas de referencia
inerciales”.
Este primer postulado significa que todos los observadores inerciales en movimiento relativo,
aunque puedan medir valores diferentes de las velocidades, de los ímpetus, etc., de las
partículas que intervienen en un experimento dado, estarán de acuerdo a las leyes de la
física en cualquier sistema referencial inercial.
“La rapidez de la luz es igual en todos los sistemas de referencia inerciales”.
Este postulado, nos dice que la velocidad de la luz es un invariante físico, es decir que no
depende del observador ni de la fuente que la produce.
En el problema nos da evidencia clara que existe una dilatación del tiempo, dada por los diferentes
sistemas de referencia inercial (Tierra y nave espacial). Puesto que para Rocío es ella quien se
encuentra en reposo, mientras que Marlon se encuentra realizando un viaje espacial a gran
velocidad. Para Marlon, son Rocío y la Tierra los que se encuentran en un viaje de ida y vuelta.
2. ¿Cómo deducir las relaciones de espacio contraído y tiempo dilatado a
partir de las Transformaciones de Lorentz?
Tiempo dilatado
Espacio Contraído
En base a la transformada inversa de Lorentz
que considera el tiempo, esta definido de la
siguiente manera:
En base a la transformada inversa de Lorentz
que considera el tiempo, esta definido de la
siguiente manera:
vx 

t   t  2 
c 

A partir de está expresión, tomaremos un
tiempo t1 y t2 donde x’ no varia.
  vx  
t1    t1  2 
c 

vx  

t 2    t 2  2 
c 

t1  t 2   t1  t 2 
t  t 
 1
x   x  vt 
Tomamos un x1’ y x2’, donde t no varia.
x1    x1  vt 
x 2    x 2  vt 
x1  x 2    x1  x2 
L p  L
L
Lp

3. Valiéndose sólo de los Postulados de Einstein, ¿qué otro método
podrían aplicar para deducir la misma relación de tiempo dilatado?
Consideremos un ascensor que se mueve a una velocidad (v) hacia arriba. En dicho ascensor se
encuentra un observador (O’), como para este observador en dicho sistema de referencia este se
encuentra en reposo por tal motivo el haz luminoso se representa de forma horizontal. Mientras que
para un observador (O) en Tierra la trayectoria de la luz es como se muestra en la figura formando un
triangulo, haciendo uso del triangulo rectángulo aplicamos el teorema de Pitágoras.
 ct 
 vt 
2

 
 d
 2 
 2 
2
2
Al despejart se obtiene:
t 
2d
c2  v2

2d
c 1 v2 c2
t  t 
Donde:
 1
4. Elaboren un análisis relativístico del problema planteado y formulen una
hipótesis de trabajo para resolver la posible incongruencia de resultados
de Rocío.
Como la nave viaja una velocidad de 0,8c
(muy cercana a la luz) entonces los cálculos
usando la mecánica clásica de Rocío nos
llevarán a un error notable.
  1 /( 1  v 2 / c 2 )
  1 / 1  0,8 2 c 2 / c 2
Si Rocío fuera el observador inercial O y su
hermano, que viaja en la nave de
“APOCALIPSIS”, el observador O’, entonces los
intervalos de tiempo que cada uno
experimentará se relacionan mediante la
fórmula de dilatación del tiempo.
  10 / 6
Y tenemos que
t = (10/6) t’
10 = (10/6) x 6
10 = 10
5. Comparar los resultados acerca el tiempo de viaje eligiendo como
sistema de referencia:
a) Analizando como sistema de referencia a Rocío en la Tierra,
ella será el SRI estacionario. Marlon se aleja de la tierra con
una velocidad de 0.8c, y tendrá que recorrer una distancia de 8
años luz al planeta X.
Para Rocío: Según la mecánica clásica.
d 8añosluz
t 
 10años
v
0.8c
Para Marlon: El tiempo propio que mide lo
hallamos haciendo uso de la dilatación del
tiempo:

1

1  0.8c
c

2

5
5
 
3
3
La diferencia de años de ida es 4 años,
entonces de ida y vuelta será de 8 años , en
donde la que envejece más es Rocío.
b)
Partiendo de la depreciación del arranque , del frenado de la nave y el
cambio de dirección al regreso a Tierra. Analizamos como sistema de
referencia la nave en que viaja Marlon, este será el SRI estacionario y la
Tierra será la que viaja a una velocidad de 0.8c con respecto a la nave.
Marlon registrará el tiempo en que Rocío demora en recorrer L’=Lp=8
años luz, haciendo uso de la ecuación de Contracción de longitudes:
Para Marlon (Percibirá una contracción de longitud ,L):
L'
8
L 
 4.8añosluz L  4.8añosluz
 5/3
L 4.8añosluz
t 
 6años
V
0.8c
Para Rocío:
Haciendo uso de las
ecuaciones directas de
Lorentz que mencionan al
tiempo:
v
x1 ' )
2
c
v
t 2   (t 2 ' 2 x 2 ' )
c
v
t   (t ' 2 ( Lp))
c
t v
t ' 
 ( Lp)
 c2
6
0.8c
t ' 
 2 (8c)  10
5/3 c
t1   (t1 '
La diferencia de años de ida es 4 años, entonces de ida y
vuelta será de 8 años, en donde la que envejece más es
Rocío.
En los dos SRI, tomando las condiciones de despreciar el
despegue y el aterrizaje, Marlon será más joven que Rocío
en 8 años. Comprobando que se cumple el primer
postulado de Einstein que las leyes físicas se cumplen para
cualquier sistema de referencia inercial.
6. Elaboren un juicio de valor acerca de los resultados obtenidos en
la pregunta anterior
Cuando se toma como SRI a Rocío, para Marlon el tiempo transcurre más
lentamente que para Rocío, pero cuando el SRI es Marlon, él ve a su hermana
moverse con una velocidad respecto a la nave, por tanto deduce que el tiempo
transcurre más despacio para Rocío. Entonces ambos esperan ver a su otro
hermano mucho más joven que él, pero esto en realidad no ocurre; es ahí donde
surge la paradoja “Ambos no pueden ser más jóvenes que el otro
simultáneamente”.
Entonces podemos considerar que esta afirmación es falsa o bien el razonamiento
aplicado es el incorrecto.
Según los resultados que hemos obtenidos se puede afirma que la paradoja
realmente no existe, y que no puede analizarse con la Teoría Relativista Especial
(TRE) ya que los sistemas de referencia no son inerciales. Sin embargo, haciendo
las debidas restricciones si se puede analizar con la TRE y llegar a la conclusión que
Marlon es más joven que Rocío, en 8 años ,después del viaje.
7. En base a uno de los Postulados de Einstein se puede elegir como
sistema en reposo a la nave en que se encuentra Marlon, entonces
¿cuánto tiempo demoraría Rocío en volver de su viaje con la tierra?
Despreciar el arranque y el frenado de la nave.
Tomando a Marlon como
sistema de referencia Inercial
En consecuencia Marlon observa que las señales llegan con un tiempo total de
Así el número de señales observados por
Marlon es:
En el viaje de vuelta
Así durante el viaje de regreso Marlon observa
En suma durante sus 12 años de viaje Marlon recibe
20 señales.
8. Analicen los pasos seguidos hasta aquí y comparando ahora los
resultados de la pregunta (5) con los de la pregunta (7), ¿cuántos años
han pasado realmente para los dos protagonistas de esta historia?
Para las preguntas (5) y (7) se han tomado en
cuenta tanto el sistema de referencia de Marlon
como el de Rocío (considerándolos inerciales).
Para calcular los años que han pasado realmente
para ellos se debe despreciar la aceleración de
despegue de la nave respecto a la tierra, así como
el frenado del aterrizaje, y tal como vimos en los
dos casos se llega a la conclusión que no hay
paradoja y al final la mayor es Rocío.
9. ¿Qué le ocurre al valor de la frecuencia de la luz cuando el observador
o la fuente experimentan un movimiento?
El efecto Doppler consiste en la variación de la longitud de onda de la luz recibida o
emitida en movimiento. Lo que es equivalente a que aumente su frecuencia.
Para la luz visible:
Si el objeto se acerca  λ disminuye, la frecuencia aumenta
Corrimiento al azul
Si el objeto se aleja  λ aumenta, la frecuencia disminuye
Corrimiento al rojo
.
10. Explica la conocida expresión: “Corrimiento al rojo”.
Cuando una onda electromagnética, que emite una fuente en movimiento
alejándose respecto del observador, la luz se desplaza hacia el rojo del final del
espectro , debido a que cuando la fuente se aleja, la luz emitida incrementa su
longitud de onda
1 El corrimiento al rojo del incremento de la longitud de onda
2 La expansión métrica del espacio explica la observación de corrimientos al rojo
espectrales en galaxias distantes, quásares y nubes gaseosas intergalácticas
3 El corrimiento al rojo gravitacional (o efecto Einstein), es el resultado de la
dilatación del tiempo cerca de objetos masivos (relatividad general).
observada  emitida
z
emitida
11. El conteo de las señales de luz que se enviaron los protagonistas
¿permitirá determinar los años transcurridos para los dos?. Analicen y
elaboren una síntesis del estudio de este fenómeno?
PARA MARLON
Señales recibidas en su viaje de ida
Señales recibidas en su viaje de regreso
1
3
  3 0
  0
1
(6)  2
3
  3(6)  18

TOTAL=20señales
Estas 20 señales enviadas por Rocío indican que para ella han pasado 20 años
PARA ROCIO
Señales recibidas en el viaje de ida
Señales recibidas en el viaje de regreso
1
  f0
3

1
(18)  6
3
  3 0
  3(2)  6
TOTAL=12señales
Las 12 señales que llegan a Rocío indican que para Marlon han pasado 12 años
Análisis de
Señales de Luz
Efecto Doppler Relativista
Señales de Rocío:
Ida:
1  0.8  6años
obs1  
 
 2 señales recibidas por Marlon
3
1  0.8 3
Vuelta:
obs 2  
1  0.8
 3  3(6años)  18 señales recibidas por Marlon
1  0.8
# señales recibidas por Marlon : 2+18 =20
Señales de Marlon:
Ida:
obs1  
1  0.8
 3  18 ,  =6 señales recibidas por Rocío
1  0.8
Vuelta:
obs 2  
1  0.8 
  2 ,  =6 señales recibidas por Rocío
1  0.8 3
# señales recibidas por Rocío: 6+6 =12
Dilatación del Tiempo
Señales de Marlon
Viaje de Ida
t   1año
t   t
t  5 / 3años
En el sistema de referencia de Rocío,
Marlon ha recorrido una distancia:
x  v * t  0.8c *5 / 3  4 / 3añosluz
Tiempo de recorrido para la luz:
t  x / c  4 / 3años
La primera señal
llega en :
t  5 / 3  4 / 3  3años
Tiempo
Transcurrido para
Marlon (t')
Tiempo
Trancurrido para
Rocío (t=γt')
Posición según
Rocío (x=vt)
Tiempo de Arribo de la
señal según Rocío
(t''=γt'+x/c)
1
1,67
1,33
3
2
3,33
2,67
6
3
5
4
9
4
6,67
5,33
12
5
8,33
6,67
15
6
10
8
18
Vuelta:
x  8  v * (t  10)
t  5 / 3* 7  35 / 3años
x  8  0.8*5 / 3  20 / 3años luz
La señal # 7 será
en :
t  35 / 3  20 / 3  55 / 3  18.33años
Tiempo Transcurrido
para Marlon (t')
Tiempo Trancurrido Posición según Rocío ( Tiempo de Arribo de la señal
para Rocío (t=γt')
x=8-v(t-10) )
según Rocío (t''=γt'+x/c)
7
11,67
6,67
18,33
8
13,33
5,33
18,67
9
15
4
19
10
16,67
2,67
19,33
11
18,33
1,33
19,67
12
20
0
20
Tiempo
Transcurrido para
Marlon (t')
1
2
3
4
5
6
Tiempo
Transcurrido para
Marlon (t')
7
8
9
10
11
12
Tiempo
Posición según Rocío Tiempo de Arribo de la señal
Transcurrido para
(x=vt)
según Rocío (t''=γt'+x/c)
Rocío (t=γt')
1,67
1,33
3
3,33
2,67
6
5
4
9
6,67
5,33
12
8,33
6,67
15
10
8
18
Tiempo
Posición según Rocío Tiempo de Arribo de la señal
Transcurrido para
( x=8-v(t-10) )
según Rocío (t''=γt'+x/c)
Rocío (t=γt')
11,67
6,67
18,33
13,33
5,33
18,67
15
4
19
16,67
2,67
19,33
18,33
1,33
19,67
20
0
20
Nota:
Marlon envía un total de 12 señales,
una cada año de su propio tiempo.
Rocío recibe un total de 12 señales
en los 20 años: 6 los primeros 18
años y 6 los últimos 2 años.
Señales de Rocío
Viaje de Ida
Primera señal:
0.8ct  (t  1)c , t  5
xv 

t    t  2   3
 c 
Segunda señal:
0.8ct  (t  2)c , t  10 t   6
Viaje de Vuelta
A partir del 3er año de Roció la señal alcanzara
a Marlon según la ecuación
8  0.8(t 10)  t  t0
t0 = 3,4,5,...,20.
Tiempo de encuentro
según Rocío
t*  5 / 9(t0  16)
Tiempo de Salida de la
Señal (t0)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Tiempo de Encuentro con
Marlon según Rocío (t*)
3
10
10,56
11,11
11,67
12,22
12,78
13,33
13,89
14,44
15
15,56
16,11
16,67
17,22
17,78
18,33
18,89
19,44
20
Tiempo de Encuentro con
Marlon según Marlon (t')
5
6
6,33
6,67
7
7,33
7,67
8
8,33
8,67
9
9,33
9,67
10
10,33
10,667
11
11,33
11,67
12
NOTA:
• Rocío envía 20 señales, 1 cada año
de su tiempo.
• Marlon recibe 20 señales, 2 los
primeros 6 años,; y 18 los últimos 6
años.
Conclusiones
¡Gracias!