Transcript Динамика популяций: Проблема предсказуемости

ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИЙ
Проблема предсказуемости
Александр Б. Медвинский
Институт теоретической и экспериментальной биофизики РАН
Пущино, Московская область, 142290 Россия
[email protected]
[email protected]
КОЛЕБАНИЯ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИИ РЫСИ В КАНАДЕ
А. Число шкур, добывавшихся ежегодно по данным компании залива Гудзона.
В. Спектр Фурье для отрезка временного ряда: 1821 – 1913 годы,
когда амплитуда колебаний (А) была особенно велика
Scheffer, W.M. Stretching and folding in lynx fur returns: Evidence for a strange attractor in nature?
The American Naturalist 124, 798 – 820, 1984
ХАОТИЧЕСКИЙ АТТРАКТОР?
“If the motion is
chaotic, we expect λ
positive; otherwise λ
will be negative…
Unfortunately, this
requires more data than
is available for
the lynx cycle”.
Оси: x(t), x(t + T), X(t + 2T), где Т = 3 г.
Scheffer, W.M. Stretching and folding in lynx fur returns: Evidence for a strange attractor in nature?
The American Naturalist 124, 798 – 820, 1984
ВАЖНОЕ СВОЙСТВО
ХАОТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
Детерминистические
временные ряды, слегка
отличающиеся по
начальным условиям,
практически совпадают
на протяжении 24
итераций, но затем
быстро расходятся.
Х(n+1)=3.99[X(n)][1-X(n)]
Хаотические процессы чувствительны к начальным условиям.
Обратное верно не всегда!
Расхождение хаотических временных рядов
возрастает по экспоненте:
mod[x1(n)-x2(n)] ~ exp(λ∙n).
Здесь λ – доминантный ляпуновский показатель. Для хаоса λ > 0.
Горизонт предсказуемости ~ 1/λ .
Для диссипативных систем полезно
ввести понятие притягивающего множества:
АТТРАКТОРА
старт
старт
старт
Траектории притягиваются
к аттрактору из точек
вне его
Траектории внутри аттрактора постепенно
расходятся друг от друга.
Горизонт предсказуемости –
это то время,
в течение которого
фазовые траектории остаются близкими.
НЕЛИНЕЙНОЕ ПРЕДСКАЗАНИЕ: АЛГОРИТМ
Для временного ряда u(t), где 0 ≤ t ≤ T, этот алгоритм предполагает следующие шаги:
(1) разделение временного ряда на два участка: например, от 0 до Т/2 и
от T/2 до Т;
(2) построение вектора :
 T    T   T
 T

T

u     u , u  1, u  2 ,..., u  (d  1)  ,
2  2 2
 2

2

где d – размерность пространства вложения.
Этот вектор характеризует поведение временного ряда при t = T/2;
(3) поиск на интервале от 0 до Т/2 d-размерных векторов

U ti   U ti ,U ti  1,...,U ti  (d  1), i  1,2,..., m,
таких, что
 T  
u    U ti    ;   1;
2
(4) предсказание численного значения u(t) при t = T/2 +1:
T
 1 m
u  1  i 1U ti  1;
2  m
НЕЛИНЕЙНОЕ ПРЕДСКАЗАНИЕ: АЛГОРИТМ
(продолжение)

(5) построение вектора u 
 T

 1 в соответствии с пунктом (1) на
2

 T
предыдущем слайде и учёт того, что величина u   1 теперь известна;
2

(6) следующая итерация на интервале от 0 до Т/2 +1, а затем – последующие
итерации вплоть до достижения точки t = T;
(7) вычисление ошибки предсказания:
E t  
T
t  n
2
1
u (t )  u (t  1)
1

n t  T  2 u(t )  u(t  1)
2
Очевидно, что чем меньше
величина ошибки Е(n),
тем лучше предсказание.
Kaplan, D. & Glass, L. Understanding Nonlinear Dynamics. New York: Springer, 1995.
Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума. Проблема
(не)предсказуемости. Проблемы экономической истории: теория и практика. Екатеринбург: УМЦУПИ, 2011, с. 248-275.
Медвинский А.Б., Нефёдов С.А., Русаков А.В. Предсказуемость социодинамики (на примере
математической модели крестьянской общины). Нелинейный мир 10, 189-197, 2012.
ПРИМЕР: ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИЙ
ПРОМЫСЛОВЫХ РЫБ ПСКОВСКО-ЧУДСКОГО ОЗЕРА
По оси абсцисс – годы,
по оси ординат – биомасса
(в тоннах):
(1) лещ, (2) ряпушка, (3) плотва,
(4) судак, (5) ёрш, (6) налим,
(7) щука, (8) сиг, (9) окунь.
НАСКОЛЬКО ПРЕДСКАЗУЕМА
ТАКАЯ ДИНАМИКА?
Бобырев А.Е., Бурменский В.А., Криксунов Е.А., Медвинский А.Б., Мельник М.М.,
Нуриева Н.И., Русаков А.В. Анализ колебаний численности популяций промысловых
рыб Псковско-Чудского озера. Биофизика 57, 140-145, 2012.
РЕКУРРЕНТНОСТЬ КАК
ПРОЯВЛЕНИЕ
ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ
Наряду с дивергентностью, характеризуемой
показателем Ляпунова, важной характеристикой,
позволяющей выявить механизм и оценить
предсказуемость динамики, является
рекуррентность, т.е. повторяемость фазовой
траектории исследуемой динамической
системы. Для визуализации рекуррентности
траекторий используются рекуррентные
диаграммы.
Eckmann, J.-P., Kamphorst, S.O. & Ruelle, D. 1987. Recurrence plots
of dynamical systems. Europhysics Letters 4, 973-977, 1987.
ПОСТРОЕНИЕ
РЕКУРРЕНТНОЙ ДИАГРАММЫ
Вначале задаётся вектор N(t)=(N(t),N(t-h),…,N(t-(d-1)h),
где N(t) – текущее значение временного ряда в момент времени t,
h – временной лаг, d – размерность пространства вложения, в котором вектору N(t)
соответствует некоторая точка. Эта точка характеризует изменение состояния
исследуемой системы на некотором временном интервале вплоть до момента
времени t.
На следующем шаге вычисляется расстояние (Δ) между векторами N(i) и N(j),
где i и j – некоторые моменты времени:
Δ = mod [N(i) - N(j)] .
В случае периодических временных рядов расстояние Δ = 0 для таких моментов
времени i и j, для которых mod (i – j) = nT, где T – период, а n = 0, 1, 2, 3, ….
При построении рекуррентной диаграммы на горизонтальную ось наносятся
численные значения i, а на вертикальную ось – численные значения j. Затем в
пространстве координат (i, j) отмечаются только те точки, для которых векторы N(i)
и N(j) близки, т.е. точки, для которых Δ < ε, где ε << 1 – малая константа.
РЕГУЛЯРНОСТЬ ХАОСА
Павел Борисенко
Масло/холст, 2002
(1) Периодический процесс
(2) Хаос
(3) Случайный процесс
Бобырев А.Е., Бурменский В.А., Криксунов Е.А., Медвинский А.Б., Мельник М.М.,
Нуриева Н.И., Русаков А.В. Анализ колебаний численности популяций промысловых
рыб Псковско-Чудского озера. Биофизика 57, 140-145, 2012.
ПСКОВСКО-ЧУДСКОЕ ОЗЕРО:
РЕКУРРЕНТНЫЕ ДИАГРАММЫ
(1) лещ,
(2) ряпушка,
(3) плотва,
(4) судак,
(5) ёрш,
(6) налим,
(7) щука,
(8) сиг,
(9) окунь
Бобырев А.Е., Бурменский В.А., Криксунов Е.А., Медвинский А.Б., Мельник М.М.,
Нуриева Н.И., Русаков А.В. Анализ колебаний численности популяций промысловых
рыб Псковско-Чудского озера. Биофизика 57, 140-145, 2012.
ОЦЕНКА ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ
ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ
МОЖЕТ ЗАВИСЕТЬ, В ЧАСТНОСТИ,
• ОТ ДЛИНЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА, ПОЛУЧЕННОГО В
ХОДЕ ПОЛЕВЫХ НАБЛЮДЕНИЙ ИЛИ В
ЭКСПЕРИМЕНТЕ
• ОТ ЗНАКА И ВЕЛИЧИНЫ ДОМИНАНТНОГО
ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА, ПОЛУЧЕННОГО В ХОДЕ
АНАЛИЗА ВРЕМЕННОГО РЯДА
• ОТ ВИДА И ХАРАКТЕРИСТИК РЕКУРРЕНТНОЙ
ДИАГРАММЫ
ПРИМЕР:
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
СТРУКТУРНО ПРОСТОГО СОЦИУМА
ПРЕДЕЛЬНО ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ
ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО СООБЩЕСТВА
Переменные модели:
t – время
N(t) – размер популяции (численность)
p(t) – per capita потребление
сельскохозяйственной продукции
Z(t) – per capita ресурсы (запасы зерна)
Предположение:
Скорость роста популяции зависит от p(t)
КРЕСТЬЯНЕ
Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика
структурно простого социума. Проблема
(не)предсказуемости. Проблемы экономической
истории: теория и практика. Екатеринбург: УМЦУПИ, 2011, с. 248-275.
Медвинский А.Б., Нефёдов С.А., Русаков А.В.
Предсказуемость социодинамики (на примере
математической модели крестьянской общины).
Нелинейный мир 10, 189-197, 2012.
НЕРЕГУЛЯРНАЯ ДИНАМИКА
N(t) – размер популяции (численность)
p(t) – per capita потребление
сельскохозяйственной продукции
Z(t) – per capita ресурсы (запасы зерна)
rmax = 7.9
 N (t  1) 
N (t )  r  p(t  1) 1 
 N (t  1)    1N (t  1)
K 

r( p) 
 p

rmax arctan 
 1

 pmin

2
Медвинский А.Б., Русаков А.В.
Сложная динамика структурно
простого социума. Проблема
(не)предсказуемости. Проблемы
экономической истории: теория и
практика. Екатеринбург: УМЦ-УПИ,
2011, с. 248-275.
Медвинский А.Б., Нефёдов С.А.,
Русаков А.В. Предсказуемость
социодинамики (на примере
математической модели крестьянской
общины). Нелинейный мир 10, 189-197,
2012.
ПРЕДСКАЗУЕМОСТЬ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИИ
rmax = 7.9
λ = +0.26
Т ~ 1/λ ~ 4?
Медвинский А.Б., Русаков А.В.
Сложная динамика структурно
простого социума. Проблема
(не)предсказуемости. Проблемы
экономической истории: теория и
практика. Екатеринбург: УМЦ-УПИ,
2011, с. 248-275.
Медвинский А.Б., Нефёдов С.А.,
Русаков А.В. Предсказуемость
социодинамики (на примере
математической модели крестьянской
общины). Нелинейный мир 10, 189-197,
2012.
НЕРЕГУЛЯРНАЯ ПОПУЛЯЦИОННАЯ ДИНАМИКА
N(t) – размер популяции (численность)
p(t) – per capita потребление
сельскохозяйственной продукции
Z(t) – per capita ресурсы (запасы зерна)
rmax = 8.7
 N (t  1) 
N (t )  r  p(t  1) 1 
 N (t  1)    1N (t  1)
K 

r( p) 
 p

rmax arctan 
 1

 pmin

2
Медвинский А.Б., Русаков А.В.
Сложная динамика структурно
простого социума. Проблема
(не)предсказуемости. Проблемы
экономической истории: теория и
практика. Екатеринбург: УМЦУПИ, 2011, с. 248-275.
Медвинский А.Б., Нефёдов С.А.,
Русаков А.В. Предсказуемость
социодинамики (на примере
математической модели
крестьянской общины).
Нелинейный мир 10, 189-197, 2012.
ПРЕДСКАЗУЕМОСТЬ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ
rmax = 8.7
λ = +0.26
Т ~ 1/λ ~ 4!
Медвинский А.Б., Русаков А.В.
Сложная динамика структурно
простого социума. Проблема
(не)предсказуемости. Проблемы
экономической истории: теория и
практика. Екатеринбург: УМЦУПИ, 2011, с. 248-275.
Медвинский А.Б., Нефёдов С.А.,
Русаков А.В. Предсказуемость
социодинамики (на примере
математической модели
крестьянской общины).
Нелинейный мир 10, 189-197, 2012.
ГОРИЗОНТ ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ T ~ 4
rmax = 8.7
Медвинский А.Б., Русаков А.В.
Сложная динамика структурно
простого социума. Проблема
(не)предсказуемости. Проблемы
экономической истории: теория и
практика. Екатеринбург: УМЦУПИ, 2011, с. 248-275.
Медвинский А.Б., Нефёдов С.А.,
Русаков А.В. Предсказуемость
социодинамики (на примере
математической модели
крестьянской общины).
Нелинейный мир 10, 189-197, 2012.
ПРЕДСКАЗУЕМЫЙ ХАОС
rmax = 7.9
Медвинский А.Б., Русаков А.В.
Сложная динамика структурно
простого социума. Проблема
(не)предсказуемости. Проблемы
экономической истории: теория и
практика. Екатеринбург: УМЦУПИ, 2011, с. 248-275.
Медвинский А.Б., Нефёдов С.А.,
Русаков А.В. Предсказуемость
социодинамики (на примере
математической модели
крестьянской общины).
Нелинейный мир 10, 189-197, 2012.
ДВЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ОБЩИНЫ
КРЕСТЬЯНЕ
КРЕСТЬЯНЕ
БАРТЕР
РЕМЕСЛЕННИКИ
РЕМЕСЛЕННИКИ
ar = 1
ar = 5
МОДЕЛЬНОЕ СООБЩЕСТВО: БАРТЕР
Переменные модели:
t – время
N(t) – размер популяции (численность)
p(t) – per capita потребление сельскохозяйственного
продукта
Z(t) – per capita ресурсы (запасы зерна)
R(t) – сельскохозяйственный инвентарь, производимый
ремесленниками
Предположение 1:
рост популяции зависит от уровня потребления p(t)
Предположение 2:
межобщинный бартер отсутствует в тех случаях,
если обе общины обеспечены сельскохозяйственным инвентарём
в равной степени
Medvinsky, A.B. & Rusakov, A.V. Chaos and order in stateless societies:
Intercommunity exchange as a factor impacting the population dynamical patterns,
Chaos, Solitons & Fractals 44, 390-400, 2011.
Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума.
Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории:
теория и практика. Екатеринбург: УМЦ-УПИ, 2011, с. 248-275.
Peter Turchin (2009) Long-term population cycles in human societies. Annals of the New York Academy of Sciences,
1162, 1-17: “Mathematical analysis of the model indicates that its dynamics are characterized by
a single equilibrium that is stable for all values of the parameters”.
ar = 1
ar = 5
Medvinsky, A.B. & Rusakov, A.V. Chaos and order in stateless societies:
Intercommunity exchange as a factor impacting the population dynamical patterns,
Chaos, Solitons & Fractals 44, 390-400, 2011.
Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума.
Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории:
теория и практика. Екатеринбург:УМЦ-УПИ, 2011, с. 248-275.
ФРАКТАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ДИНАМИКИ N(t),
ОБУСЛОВЛЕННАЯ БАРТЕРОМ
Осцилляции (периодические) отмечены чёрным цветом
Неизменность численности во времени отмечена белым цветом
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
Medvinsky, A.B. & Rusakov, A.V. Chaos and order in stateless societies:
Intercommunity exchange as a factor impacting the population dynamical patterns,
Chaos, Solitons & Fractals 44, 390-400, 2011.
Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума.
Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории:
теория и практика. Екатеринбург:УМЦ-УПИ, 2011, с. 248-275.
ВЛИЯНИЕ БАРТЕРА
НА БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ
ar = 1
ХАОС
ar = 5
Medvinsky, A.B. & Rusakov, A.V. Chaos and order in stateless societies:
Intercommunity exchange as a factor impacting the population dynamical patterns,
Chaos, Solitons & Fractals 44, 390-400, 2011.
Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума.
Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории:
теория и практика. Екатеринбург:УМЦ-УПИ, 2011, с. 248-275.
ОЦЕНКА ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ
ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ
МОЖЕТ ЗАВИСЕТЬ ТАКЖЕ
• ОТ ХАРАКТЕРНОГО РАЗМЕРА
ХАОТИЧЕСКОГО АТТРАКТОРА
• ОТ НАЛИЧИЯ ИЛИ ОТСУТСТВИЯ
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
ПРИМЕР:
ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИЙ
ПЛАНКТОНА
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
ТРОФИЧЕСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
В ВОДНОМ СООБЩЕСТВЕ
p
ap
 rp1  p  
h  d p p,
t
1  bp
h
ap
nh 2

h  mh  f 2
 d h h
t 1  bp
n  h2
p - фитопланктон, h - зоопланктон, f – скорость потребления зоопланктона рыбой
Диаграмма Окубо демонстрирует
факт зависимости турбулентной
диффузии от пространственного
масштаба.
Medvinsky, A.B., Tikhonova, I.A., Aliev, R.R., Li, B.-L.,
Lin, Z.-S., Malchow, H. Patchy environment as a factor of
complex plankton dynamics. Physical Review E 64,
021915 (7 pages), 2001.
ЗАВИСИМОСТЬ ДИНАМИКИ
ПЛАНКТОНА ОТ СКОРОСТИ
ПОТРЕБЛЕНИЯ ПЛАНКТОНА РЫБОЙ
 p i (t ) 
 h i (t ) 
1
Si
 p( x, t )dx,
Si
1
h( x, t )dx,
Si Si
Биотоп, богатый рыбой
Биотоп, где f = 0.
Medvinsky, A.B., Tikhonova, I.A.,
Aliev, R.R., Li, B.-L., Lin, Z.-S.,
Malchow, H. Patchy environment as
a factor of complex plankton
dynamics. Physical Review E 64,
021915 (7 pages), 2001.
РЕГУЛЯРНОСТЬ И ХАОС
В ДИНАМИКЕ ПЛАНКТОНА
Бифуркационные диаграммы:
(a) биотоп, богатый рыбой;
(b) биотоп, где f = 0.
Зависимость численного
значения показателя Ляпунова
от скорости потребления
зоопланктона рыбой:
(c) биотоп, богатый рыбой;
(d) биотоп, где f = 0.
Medvinsky, A.B., Tikhonova, I.A.,
Aliev, R.R., Li, B.-L., Lin, Z.-S.,
Malchow, H. Patchy environment as
a factor of complex plankton
dynamics. Physical Review E 64,
021915 (7 pages), 2001.
ДВА ТИПА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
ДИНАМИКИ К НАЧАЛЬНЫМ
УСЛОВИЯМ
Начальные значения отличаются
на 0.001.
Динамический хаос.
Устойчивый предельный цикл, (a),
и хаотический аттрактор (b).
Начальные значения отличаются
на 0.0001.
Конкуренция двух
динамических режимов.
Medvinsky, A.B.,
Tikhonova, I.A.,
Aliev, R.R., Li, B.-L.,
Lin, Z.-S., Malchow, H.
Patchy environment as
a factor of complex
plankton dynamics.
Physical Review E 64,
021915 (7 pages), 2001.
ФРАКТАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
БАССЕЙНОВ ПРИТЯЖЕНИЯ
К КАЖДОМУ ИЗ ДВУХ
АТТРАКТОРОВ
Хаос
(белые полосы) и
регулярные колебания
(чёрные полосы).
Medvinsky, A.B., Tikhonova, I.A.,
Aliev, R.R., Li, B.-L., Lin, Z.-S.,
Malchow, H. Patchy environment as
a factor of complex plankton
dynamics. Physical Review E 64,
021915 (7 pages), 2001.
ОЦЕНКА ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ
ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ
МОЖЕТ ЗАВИСЕТЬ ТАКЖЕ
• ОТ КОНКУРЕНЦИИ МЕЖДУ ХАОТИЧЕСКИХ И
РЕГУРНЫМ ХАРАКТЕРОМ ИЗМЕНЕНИЙ
ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИИ
• ОТ СТРУКТУРЫ БАССЕЙНОВ ПРИТЯЖЕНИЯ К
КАЖДОМУ ИЗ КОНКУРИРУЮЩИХ АТТРАКТОРОВ
ПРИМЕР:
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОПУЛЯЦИИ,
СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ОТДЕЛЬНЫХ ОСОБЕЙ
Популяции состоят из отдельных
особей. Дискретность популяций
может существенно влиять на
характер их динамики.
Jackson, E.A. Perspectives of Nonlinear Dynamics,
v.1. Cambridge: Cambridge University, 1989.
Henson, S.M., Costantino, R.F., Cushing, J.M.,
Desharnais, R.A., Dennis, B. & King, A.A. Lattice
effects observed in chaotic dynamics of experimental
populations. Science 294, 602-605, 2001.
Coulson, T., Rohani, P. & Pascual, M. Skeletons,
noise and population growth: the end of an old
debate? Trends in Ecology and Evolution 19, 359364, 2004.
ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ АНАЛОГИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ
•
•
•
Дискретная во времени логистическая модель широко применяется для
анализа популяционной динамики.
May, R.M. Biological populations with non-overlapping generations: stable points,
stable cycles, and chaos. Science 186, 645-647б 1974.
May, R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature
261, 459-467, 1976.
Модель Риккера используется для описания пополнения рыбных популяций.
Ricker, W.E. Stock and recruitment. Journal of the Fisheries Research Board of
Canada 11, 559-623, 1954.
Модель Гомперца предполагает, что сопротивляемость организма
экспоненциально падает с возрастом. Эта модель используется при
исследовании экологических последствий рыболовного промысла.
Gompertz, B. On the nature of the function expressive of the low of mortality, and
on a new method of determining the value of life contingencies. Philosophical
Transactions of the Royal Society 27, 513-585, 1825.
Fox, W.W. An exponential surplus yield model for optimizing in exploited fish
populations. Transactions of the American Fisheries Society 99, 80–88, 1970.
ПОПУЛЯЦИОННАЯ ДИНАМИКА:
БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ
N 

N t 1  rN t 1  t   N t
K 

N 
 

N t 1  int rN t 1  t   N t 
K
 

 c

N t 1  rN t exp   N t 
 K


 c

N t 1  int rN t exp   N t 
 K


N t 1   rN t ln
Nt
 Nt
K
N


N t 1  int   rN t ln t  N t 
K


Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V. & Nurieva, N.I. Integer-based modeling of population
dynamics: Competition between attractors limits predictability. Ecological Complexity 14,
108 – 116, 2013.
ФУРЬЕ-СПЕКТРЫ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ (а)
И ЕЁ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ВАРИАНТА (б)
Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V. & Nurieva, N.I. Integer-based modeling of population
dynamics: Competition between attractors limits predictability. Ecological Complexity 14,
108 – 116, 2013.
РЕКУРРЕНТНЫЕ ДИАГРАММЫ
ЛОГИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ (а)
И ЕЁ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ВАРИАНТА (б)
Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V. & Nurieva, N.I. Integer-based modeling of population
dynamics: Competition between attractors limits predictability. Ecological Complexity 14,
108 – 116, 2013.
СОСУЩЕСТВОВАНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ АТТРАКТОРОВ
В ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ РИККЕРА
Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V. & Nurieva, N.I. Integer-based modeling of population
dynamics: Competition between attractors limits predictability. Ecological Complexity 14,
108 – 116, 2013.
ХАОТИЧЕСКИЕ УЧАСТКИ
РЕГУЛЯРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ПРИ
ВЫСОКОЙ ЁМКОСТИ СРЕДЫ ОБИТАНИЯ

 c

N t 1  int rN t exp   N t 
 K


N 
 

N t 1  int rN t 1  t   N t 
K
 

N


N t 1  int   rN t ln t  N t 
K


Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V. & Nurieva, N.I. Integer-based modeling of population
dynamics: Competition between attractors limits predictability. Ecological Complexity 14,
108 – 116, 2013.
РЕКУРРЕНТНАЯ ДИАГРАММА ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ
ЛОГИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРИ ВЫСОКОЙ
ЁМКОСТИ СРЕДЫ ОБИТАНИЯ
Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V. & Nurieva, N.I. Integer-based modeling of population
dynamics: Competition between attractors limits predictability. Ecological Complexity 14,
108 – 116, 2013.
СУММИРУЕМ: СУЩЕСТВЕННЫЕ
ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ОЦЕНКУ
ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ ПОПУЛЯЦИОННОЙ
ДИНАМИКИ
• Качество (например, длина) временных рядов,
полученных в ходе экспериментов или полевых
наблюдений
• Хаотичность
• Характерный размер хаотического аттрактора
• Параметрическая неустойчивость
• Зависимость горизонта предсказуемости от
временного масштаба
• Конкуренция между отдельными аттракторами
• Структура бассейнов притяжения к
конкурирующим аттракторам
Ce qui est simple est toujours faux. Ce qui
ne l’est pas est inutilisable.
Paul Valéry, “Mauvaises Pensées et Autres”
(1942)
Что просто, то всегда неверно. А что
непросто, то – бесполезно.
Поль Валери, «Дурные мысли и прочее»
(1942)
PS ЧТО ДЕЛАТЬ?
Реконструкция эндогенной динамики популяций
на основе наблюдений
Nt = F(Nt-1, Nt-2, … , Nt-p, εt).
Nt = F(Nt-1, Nt-2, εt).
Nt = Nt-1f(Nt-1, Nt-2, εt).
Предполагается, что
X 
N t 1 
1
,Y 
N t 2 
2
Nt
log
 a 0  a1 X  a 2Y  a11 X 2  a 22Y 2  a12 XY   t ,
N t 1
Задача состоит в том, чтобы, подобрав численные значения θ1 и θ2,
определить вид функции f = Nt/Nt-1 наиболее соответствующий
данным, полученным в ходе наблюдений. Это позволяет построить
фазовый портрет Nt(Nt-1) и в результате выявить тип и оценить
предсказуемость динамики исследуемой популяции.
Turchin, P., Taylor, A.D. Complex dynamics in ecological time series. Ecology 73, 289-305,
1992.
Turchin, P., Taylor, A.D. Complex dynamics in ecological time series. Ecology 73, 289-305,
1992.
Turchin, P., Taylor, A.D. Complex dynamics in ecological time series. Ecology 73, 289-305,
1992.
Turchin, P., Taylor, A.D. Complex dynamics in ecological time series. Ecology 73, 289-305,
1992.
Единственный случай хаотической динамики,
идентифицированный во временных рядах,
характеризующих динамику насекомых
Во временных рядах, характеризующих
популяционную динамику позвоночных,
не было найдено ни одного случая
возникновения динамического хаоса.
Turchin, P., Taylor, A.D. Complex dynamics in ecological time series. Ecology 73, 289-305,
1992.
Динамика планктона, зарегистрированная
на континентальном шельфе у берегов Мэриленда
“The purpose of the analysis was to
detect deterministic chaos in the
plankton records… The significance
of chaos would be that much, if not
all, of the variability in the data can
be explained in terms of
deterministically determined trophic
interactions.
Our analysis indicates that it is not
possible to support such a hypothesis
from the substantial, although arguably
too short, time series that was available
to us.”
Ascioti, F.A., Beltrami, E., Caroll, T.O., Wirick, C. Is there chaos
in plankton dynamics? Journal of Plankton Research 15, 603-617,
1993
ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ
И РЕКУРРЕНТНЫЕ ДИАГРАММЫ
Близость двух фазовых векторов соответствует
чёрной точке на рекуррентной диаграмме
Marwan, N., Romano, M.C., Thiel, M., Kurths, J. Recurrence plots for the analysis
of complex systems. Physics Reports 438, 237-320, 2007.
ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И
ДИАГОНАЛИ РЕКУРРЕНТНЫХ
ДИАГРАММ
Диагонали рекуррентных диаграмм
соответствуют длительности двух
близких
участков фазовой траектории.
Матрица, на основе которой строится
рекуррентная диаграмма:
Здесь 1 соответствует чёрным точкам на рекуррентной диаграмме. Более строго:
Θ – функция Хевисайда: Θ(x) = 1 при x > 0; Θ(x) = 0 при x < 0; II•II – норма.
Определение диагональной линии длины l:
ОЦЕНКА ГОРИЗОНТА
ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕКУРРЕНТНОЙ
ДИАГРАММЫ
Для оценки горизонта предсказуемости
временного ряда u(t) вычисляется средняя длина
диагональных линий < l > (при условии: l > lmin).
Эта средняя длина соответствует тому
интервалу времени, в течение которого
дивергенция близких участков фазовой
траектории ещё незначительна.
Marwan, N., Romano, M.C., Thiel, M., Kurths, J. Recurrence plots for the analysis
of complex systems. Physics Reports 438, 237-320, 2007.
ОЦЕНКА ХАОТИЧНОСТИ ПРОЦЕССА С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕКУРРЕНТНЫХ
ДИАГРАММ
Для численной оценки хаотичности временных рядов, полученных в
ходе исследования природных процессов, может быть использовано
вычисление энтропии Реньи II порядка.
Энтропия Реньи является обобщением энтропии Шеннона и позволяет
оценивать меру сложности исследуемого процесса.
Rényi, A. On measures of information and entropy. Proceedings of the 4th
Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics and Probability 1960, 547–561, 1961.
Ещё одна полезная ссылка:
http://www.cognitivist.ru/er/kernel/prologi_75_renyi_entropy.xml
ОЦЕНКА ХАОТИЧНОСТИ ПРОЦЕССА С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕКУРРЕНТНЫХ
ДИАГРАММ
(продолжение)
В терминах рекуррентных диаграмм оценка численного значения энтропия Реньи II
порядка может быть представлена следующим образом:
где pc (ε,l) – вероятность найти на рекуррентной диаграмме диагональ с длиной l.
Если отложить зависимость pс (ε,l) от l в логарифмической шкале, то в идеале получится
прямая с наклоном, равным –K2(ε)Δt для достаточно больших значений l.
Теперь, определив численное значение K2, можно оценить нижний предел суммы
положительных ляпуновских экспонент:
.
Marwan, N., Romano, M.C., Thiel, M., Kurths, J. Recurrence plots for the analysis of
сomplex systems. Physics Reports 438, 237-329, 2007.
7
ДИНАМИКА ФИТОПЛАНКТОНА
В НАРОЧАНСКИХ ОЗЁРАХ
6
5
4
фито Нарочь
хлорофилл
Нарочь
3
2
1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
16
14
12
10
фито Мястро
8
хлорофилл
Мястро
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
3,5
3
2,5
2
фито Баторино
хлорофилл
Баторино
1,5
1
0,5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
РЕКУРРЕНТНЫЕ ДИАГРАММЫ ДЛЯ НАРОЧАНСКИХ ОЗЁР
1993 – 2012 годы
ФИТОПЛАНКТОН
ХЛОРОФИЛЛ
ХЛОРОФИЛЛ
Tpr
K2
Нарочь
3,9
0,3
Мястро
5,5
0,5
Баторино
5,5
0,3
Lmin(Нарочь) = 2
Lmin(Мястро) = 4
Lmin(Баторино) = 4
ФИТОПЛАНКТОН
Tpr
K2
Нарочь
5,0
0,4
Мястро
4,3
0,3
Баторино
5,5
0,6
Lmin(Нарочь) = 4
Lmin(Мястро) = 2
Lmin(Баторино) = 4
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...