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运筹学与效益管理
绪论
本章是绪论，介绍运筹学的释
义，重点是运筹学的基本特
征与方法，使学生了解运筹
学主要分支，明确计算机专
业学习运筹学的目的，掌握
学习运筹学的方法 。
第一节
运筹学释义与发展简史
大英百科全书：运筹学是一门应用
于管理有组织系统的科学，运筹学
为掌管这类系统的人提供决策目标
和数量分析的工具。
英：Operational research
美：Operations research
发展简史
朴素运筹学：齐王赛马、丁渭修皇宫。
起源：1938年，英国研究雷达站的配置协
调问题。
发展：
1. 45-50，创建、线性规划
2. 50年代，使用计算机、快速成长发展
3. 60年代，应用普及、快速发展
4. 当代，广泛应用，尤其在经济领域
第二节
基本特征与方法
• 系统的整体观念：协调部分、整体最优
• 多学科的综合：交叉学科，吸收多学科
多领域的经验和技能
• 模型方法的应用：建立数学和模拟的模
型，抽象研究。
模型方法
1. 分析和表述问题：定性分析,决定决策
目标，识别关键因素，列出控制变量。
2. 建立模型：抽象规范，找出本质规律，
分析因果关系，研究算法。
3. 求解：求出可行解，满意解，最优解
4. 检验解
5. 建立对解的控制
6. 方案的实施
第三节
运筹学主要分支
•
•
•
•
•
•
•
•
线性规划
非线性规划
动态规划
图与网络分析
存贮论
排队论
对策论
决策论
第四节
运筹学与管理科学
• 马克思：一门科学只有成功地应用数学
时，才算达到了完善的地步。
• 运筹学实际上是数学应用于管理
计算机专业为什么学运筹学
• 效率与效益
• 复杂计算机算法需要运筹学
• 将来从事管理工作
如何学好运筹学
• 多动脑筋
• 多做题
• 多理论联系实际
本章介绍的线性规划及单纯形法是运筹学
的基础和核心，重点是线性规划数学模
型，从图解法开始，引入单纯形法的原
理，使学生了解单纯形法计算步骤，通
过对一些实例的分析，使学生掌握建立
数学模型的方法。
本章的难点是单纯形法计算步骤，必须通
过大量的习题练习，本章共布置15道习
题。
第一章
线性规划及单纯形法
第一节
线性规划问题及数学模型
例
产量
I
x1
设备A(h)
y1
设备B(h)
y2
调试工序(h) y3
0
6
1
利润(元)
2
II x2 每天可用
能力
5
15
2
24
1
5
1
目标函数
max z = 2x1+ x2
约束条件
5x2≤15
6x1+2x2 ≤24
x1+ x2 ≤5
x1, x2≥0
目标函数
max (min) z = c1x1+ c2x2+…+cnxn
约束条件
a11x1+ a12x2+…+a1nxn≤(=, ≥)b1
a21x1+ a22x2+…+a2nxn≤(=, ≥)b2
……
am1x1+ am2x2+…+amnxn≤(=, ≥)bm
x1, x2,…,xn ≥0
标准化步骤
1. 当 bi≤0 时，等式两边同乘-1 。
2. 约束条件为不等式，添加松弛变量。
当“≤”，加+xk, 使约束条件为等式。
当“≥”，加-xk, 使约束条件为等式。
3. X取值无约束，令 x = x’ – x’’, x’ ≥0 , x’’
≥0 。
4. 当 x≤0 时,令x = -x’, x’ ≥0 。
5. min z =cx 改为 max (-z) = -cx 。
标准形式
max z = c1x1+ c2x2+…+ cnxn
a11x1+ a12x2+…+a1nxn = b1
a21x1+ a22x2+…+a2nxn= b2
……
am1x1+ am2x2+…+amnxn= bm
x1, x2,…,xn ≥0
b1, b2,…,bm ≥0
• 线性消元法
(1)两边同乘非零。
(2)交换两行。
(3)将一行的倍数加到另一行。
1 0 … 0 c1r+1 … c1n d1
0 1 … 0 c2r+1 … c2n d2
…
0 0 … 1 crr+1 … crn dr
0 0 … 0 0 … 0 dr+1
0 0 … 0 0 … 0 dm
• 若dr+1, …, dm不全为零，方程组无解。
• 若r = n，方程组有唯一解。
• 若r < n，任取 (xr+1, …, xn) = (tr+1, …, tn),
x1= d1 - c1r+1tr+1-…- c1jtj - c1ntn
x2= d2 – c2r+1tr+1-…- c2jtj – c2ntn
……
xr= dr - crr+1tr+1-…- crjtj – crntn
xr+1= tr+1
…
xn = tn
第二节 图解法
步骤
1.
2.
3.
4.
画直角坐标系（x1,x2)
画约束条件，找出可行域
图示目标函数
最优解的确定
1. 解的情况：唯一最优解；无穷个最优解；
无界解；无可行解。
2. 存在可行域，则它是一个凸集。
3. 若存在最优解，则它在可行域凸集上的
某个顶点。
4. 解题思路：先找出凸集的一个顶点，计
算它的目标函数值，比较周围顶点的目
标函数值，如果值更优，转到新顶点。
重复过程，直至找到目标函数值取得最
优的顶点。
第三节单纯形法原理
解的概念：
1. 可行解：满足约束条件的解，组成可行
域。
2. 基：约束方程组的系数矩阵中一个满秩
子矩阵。基向量，基变量。
3. 基解：令非基变量取0，求出的唯一解。
4. 基可行解：非负基解。
基解可能取负值，就不满足约束条件。
凸集：集合中任意两点的连线上的点都在
集合中。
对于X1,X2 C, a [0, 1],
aX1+(1-a)X2 C
顶点：不在集合中任意两个不同点的连线
上的点。
不 X1,X2 C, X1X2, a (0, 1), 使得
X = aX1+(1-a)X2 C
定理1：若线形规划问题存在可行解，则它
的可行域是一个凸集。
引理：可行解为基可行解的充要条件是它
的正分量对应的系数列向量线性独立。
定理2：基可行解对应可行域（凸集）的顶
点。
定理3：若线形规划问题存在最优解，则存
在一个基可行解是最优解。
• 讨论问题：找出书上证明中的逻辑错误
引理：若C是有界凸集，则C中任一点都可
表示为 C的顶点的凸组合。
定理4：若线形规划问题的解有界，则存在
一个基可行解是最优解。
证：设X(0)是最优解,CX(0)最大。如果它不
是顶点，由引理， X(0)可表示为 顶点的
凸组合， X(0) =∑kiX(i)。 ∑ki=1, ki ≥0
CX(0)= ∑CkiX(i) = ∑kiCX(i) ≤ ∑kiCX(0) = CX(0)，
因此， CX(0)= CX(i)。
单纯形法原理
1. 确定初始基可行解：系数矩阵中找或引进一
个单位矩阵
2. 从一个基可行解转换为相邻的基可行解。
bi
bl
min{
| aik 0}
aik
alk
3. 最优性检验和解的判别
m
检验数
j c j ci aij
i 1
解的判别
• 当所有的σj ≤0, 顶点为最优解。
• 当所有的σj ≤0, 还有非基变量的σk = 0，表
明引入对应顶点仍为最优解，从而有无
穷个最优解。
• 当某个σj > 0, 又Pj ≤0,则当θ→∞，z →∞,
即有无界解。
• 无可行解：找不到初始基可行解。
直接观察
x1= b1 - a1m+1xm+1-…- a1jxj - a1nxn
x2= b2 – a2m+1xm+1-…- a1jxj – a2nxn
……
xm= bm - amm+1xm+1-…- amjxj – amnxn
当xj增加1，则目标函数增加cj，然而xi减少
aij，目标函数减少ciaij ，i = 1,2,…,m.
合计变动，
m
j c j ci aij
i 1
• 当σj ≤0 ，为了得到最大， xj越小越好，
xj = 0。
• 当σj > 0 ，为了得到最大， xj越大越好，
因此把xj > 0 ，即取作基变量。但是xj增
大，会使xj<0。然而当pj ≤0时 ， xj增大会
使xj也增大，因此目标函数无限增加，达
到无界解。
第四节计算步骤
1. 求初始基可行解，列出初始单纯形表
计算各列的检验数：
m
j
c j ci aij
i 1
单纯形表
Cj
c1
…
cm
…
cj
…
cn
CB
基
B
x1
…
xm
…
xj
…
xn
c1
c2
x1
x2
b1
b2
1
0
…
…
0
0
…
…
a1j
a2j
…
…
a1n
a2n
cm… xm
bm
0
0
…
…
1
0
…
…
amj
σj
…
…
amn
σn
σj
2 最优性检验，确定解的类型
3. 从一个基可行解转换为相邻的目标函数值更
大的基可行解
（1）确定换入基变量：
σk= max{σj|σj>0}
(2）确定换出基变量：
bi
bl
min{
| aik 0}
aik
alk
（3）初等行变换
4. 重复第2，3步，直至所有σj ≤ 0
cj
CB
0
0
0
基
x3
x4
x5
0
2
0
σj
x3
x1
x5
0
2
1
σj
x3
x1
x2
2
1
0
0
0
B
15
24
5
x1
0
[6]
1
x2
5
2
1
x3
1
0
0
x4
0
1
0
x5
0
0
1
15
4
1
2
0
1
0
1
5
2/6
[4/6]
0
1
0
0
0
0
1/6
-1/6
0
0
0
1
15/2
7/2
3/2
0
0
1
0
1/3
0
0
1
0
1
0
0
-1/3
5/4
1/4
-1/4
0
-15/2
-1/2
3/2
0
0
0
-1/4
-1/2
第五节单纯形法的进一步讨论
1. 人工变量法：如果标准化后，系数矩阵
中没有单位矩阵，则引进单位向量，形
成单位矩阵。为了在最优解中人工变量
取值为零，令人工变量的价值系数为任
意大的负值，“-M”。
在计算各列的检验数时，只要人工变量
取值大于零，目标函数就不是最优。
2. 若最优解中，人工变量取值大于零，则
原问题无可行解。
cj
-3
0
1
0
0
-M
-M
CB 基
B x1
x2
x3
x4 x5
x6
x7
0
x4
-M x6
-M x7
4
1
9
1
-2
0
1
[1]
3
1
-1
1
1
0
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
1
-2M-3
4M 1
0
-M
0
0
3
-2
[6]
0
1
0
2
-1
4
1
0
0
1
-1
3
-1
1
-3
0
0
1
6M-3
0
4M+1 0
3M
-4M
0
0
0
1
0
1
0
0
1/3
[2/3]
1
0
0
-1/2
0
1/2
1/2
0
-1/2
-1/2
1/3
1/6
0
0
3
0
3/2
-M-3/2 ½-M
σj
0
x4
0
x2
-M x7
3
1
6
σj
0
0
-3
x4
x2
x1
σj
0
3
1
2 两阶段法: 相当于ci’=ci/M
为了解决计算机求解时“M”的取值的麻烦
（1）先求目标函数中只包含人工变量的线
形规划，他们的价值系数为-1。当人工
变量取值为零，目标函数值也为零。此
时的最优解是原问题的基可行解。
若最优解的目标函数值不为零，则原问
题无可行解。
（2）若有可行解，则在原问题中除去人工
变量，恢复原来的价值系数，继续寻找。
cj
CB
0
-1
-1
0
0
-1
0
0
0
基
x4
x6
x7
σj
x4
x2
x7
σj
x4
x2
x1
σj
B
4
1
9
3
1
6
0
3
1
0
x1
1
-2
0
-2
3
-2
[6]
6
0
0
1
0
0
x2
1
[1]
3
4
0
1
0
0
0
1
0
0
0
x3
1
-1
1
0
2
-1
4
4
0
1/3
2/3
0
0
x4
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
x5
0
-1
0
-1
1
-1
3
3
-1/2
0
1/2
0
-1
x6
0
1
0
0
-1
1
-3
-4
1/2
0
-1/2
-1
-1
x7
0
0
1
0
0
0
1
0
-½
1/3
1/6
-1
恢复原来的目标函数
cj
CB
基
b
0
0
-3
x4
x2
x1
0
3
1
σj
0
0
1
x4
x2
x3
σj
0
5/2
3/2
-3
x1
0
x2
1
x3
0
x4
0
x5
0
0
1
0
0
-1/2
3/2
-9/2
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1/3
[2/3]
3
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
-1/2
0
1/2
3/2
-1/2
-1/4
3/4
-3/4
3。 几个问题
1. 极小问题：最优标志是所有σj ≥0
2. 退化：在选择换出基，有时会出现多个
最小比值，表示有多余的约束条件，
存在线性相关。对策：始终选择下标值
最小的变量作为换出变量和换入变量。
3. 无可行解：添加人工变量后。无论人工
变量法还是两阶段法，当求解出现所有
σj ≤0，如基变量中仍然含有非零的人工
变量，表明问题无可行解。
第六节数据包络分析
1。有关概念：
数据包络分析(data envelopment analysis,
DEA)是一种基于线性规划的用于评价同
类型组织工作绩效相对有效性的工具。
各个部门有相同的投入产出项目，如果投
入产出比可以折算成同一单位，就可以
进行绩效排序。
2维投入可化生产前沿面，形成一条数据包
络线。线上的点，表示投入的最低极限。
2.线性规划的数学模型
设有n个决策单元，每个决策单元有相同的m项投
入和相同的s项产出。
决策单元
d1 d2`````dn
投 1 x11 x12`````` x1n
2 x21 x22`````` x2n
入m xm1 xm2````` xmn
y11 y12`````` y1n 1 产
y21 y22`````` y2n 2
ys1 ys2`````` ysn s 出
构造由n个决策单元的线性组合1d1+
2d2+`````+ ndn, 1+ 2+`````+ n=1
投入为：X
产出为：Y
现在要衡量某一个决策单元j的DEA,
Min E
X Exj
Y yj
1+ 2+`````+ n=1
例8
分理处1分理处2 分理处3 分理处4
职员数
15
20
21
20
营业面积 140
130
120
135
储蓄存款 1800
1000
800
900
贷款
200
350
450
420
中间业务 1600 1000 1300
1500
再用4个决策单元的线性组合对每个分理
处计算 E，确定各分理处是否 DEA有效
第七节应用举例
• 问题的目标能用某种指标度量大小，并
能用线性函数表示。
• 存在多种方案达到目标。
• 受到一些条件的约束，可用线性等式或
不等式表示。
建立实际问题的线性规划模型，比解线性
规划更有挑战性，创造性。
本章介绍线形规划的对偶性理论，重点是
对偶性理论的意义，从对偶问题开始，
引入对偶性理论，使学生从多方面了解
线形规划，通过对灵敏度分析和参数线
形规划的分析，使学生建立变化运动的
观点，掌握辨证的思维方法。
本章的难点是对偶性理论的经济意义，本
章共布置12道习题。
第二章
线性规划对偶性理论与灵敏度分析
第一节
线性规划的对偶性理论
1。问题的提出：
每一个线性规划问题都有对偶问题，求出
一个问题，同时也给出另一个问题的解。
用yi表示第i种资源的估价。
对称条件下对偶问题的一般形式
max z = c1x1+ c2x2+…+cnxn
a11x1+ a12x2+…+a1nxn≤b1
a21x1+ a22x2+…+a2nxn≤b2
……
am1x1+ am2x2+…+amnxn≤bm
x1, x2,…,xn ≥0
对偶问题
min = b1y1+ b2y2+…+bmym
a11y1+ a21y2+…+am1ym≥c1
a12y1+ a22y2+…+am2ym≥c2
……
a1ny1+ a2ny2+…+amnym≥cm
y1, y2,…,ym ≥0
Max z = CX
min w = b’Y
AX ≤ b
A’Y ≥ C’
X≥0
Y≥0
max w’ = (-b’)Y
(-A’Y) ≤ -C’
Y≥0
min w’’ = (-C’)’Z
(-A’)’Z ≥ (-b’)’
Z≥0
非对称条件下原-对偶问题关系
A
b
C
目标函数
原问题（对偶问题）
对偶问题（原问题）
约束系数矩阵
约束 条件右端向量
价格系数向量
转置矩阵
价格系数向量
约束 条件右端向量
n
max z c j x j
m
min bi yi
i
j
xj ≥0
xj ≤ 0
xj 无约束
m
a y cj
i 1 ij i
m
a y cj
i 1 ij i
m
a y cj
i 1 ij i
n
a x bi
j 1 ij j
n
j 1 ij j
a x bi
n
a x j bi
j 1 ij
yj ≥0
yj ≤ 0
yj无约束
第二节 对偶问题的基本性质
单纯形法的矩阵描述：
A = (B,N), X = (XB,XN)T,C = (CB,CN).
Max z = CX+0Xs= CBXB+CNXN+0Xs
AX+IXs= b
BXB+NXN+IXs = b
BXB= b -NXN- IXs
XB= B-1b - B-1NXN- B-1Xs
代入目标函数
Max z = CBB-1b +(CN- CBB-1N)XN- CBB-1Xs
CB
CN
0
XB
XN
Xs
B
N
I
σj
CB
CN
0
CB XB B-1b
I
B-1N
B-1
σj
0
CN- CBB-1N
-CBB-1
0
XB
b
当 CN- CB B-1N ≤ 0, - CBB-1 ≤ 0
则 令XN= 0， Xs= 0 ，XB = B-1b,
Max z = CB B-1b .
(CB,CN)- CBB-1(B,N)≤ 0,
C - CBB-1A ≤ 0
- CBB-1 ≤ 0
令 Y’= CBB-1 ,则
A’Y ≥C’
Y≥0
Y就是松弛变量的检验数的相反数，恰好是对偶
问题的可行解。w =Y’b = CB B-1b = CBXB= z
原问题
max z = 2x1+ x2+0x3+0x4+0x5
5x2+x3
= 15
6x1+2x2 +x4
= 24
x1+ x2
+x5= 5
对偶问题
min w = 15y1+24y2+5y3+0y4+0y5
6y2 + y3 - y4 = 2
5y1+2y2 +y3 -y5= 1
xi, yi≥0
cj
2
1
0
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
2
1
x3
x1
x2
15/2
7/2
3/2
0
1
0
0
0
1
1
0
0
5/4
1/4
-1/4
-15/2
-1/2
3/2
σj
0
0
0
-1/4
-1/2
cj
y4
y5
y1
y2
y3
15
24
5
0
0
y1
y2
y3
y4
y5
-5/4
15/2
1
0
0
1
-1/4
1/2
1/4
-3/2
15/2
x3
0
x4
0
x5
7/2
x1
3/2
x2
b
24
5
基
y2
y3
σj
CB
1/4
1/2
对偶问题的基本性质
1.弱对偶性：如果X是原问题的可行解，Y是对
偶问题的可行解，AX ≤b, Y’AX ≤Y’b,
Y’A ≥ C, Y’AX ≥ CX,
则 z = CX ≤Y’b = w
2.最优性：如果X是原问题的可行解，Y是对偶
问题的可行解，且CX =Y’b ，则它们都是最优
解。
3.无界性：如果原问题（对偶问题）具有无界解
时，则其对偶问题（原问题）无可行解。
注：逆命题不成立。
如果原问题(对偶问题)有可行解, 对偶问题(原问
题)无可行解时，则其原问题(对偶问题)具有无
界解。
4.强对偶性：如果原问题和对偶问题都有可行解，
则它们都有最优解，并且最优解的目标函数值
相等。
5. 互补松弛性：最优解中，
对偶变量 0 对应约束条件为等式。
对应约束条件为不等式 对偶变量= 0，
CX ≤Y’AX ≤ Y’b, CX = Y’b,
Y’(AX-b) = 0, (Y’A-C)X = 0
6.原问题和对偶问题之间存在一对互补的
基解，原问题的松弛变量对应对偶问题
的变量，对偶问题的剩余变量对应原问
题的变量。
(1)两者都有可行解, z≤w,从而有最优解z =
w。
(2)两者都没有可行解。
(3)一个有无界解 另一个无可行解。
(4)一个有可行解,另一个无可行解可行解
为无界解 。
四种情况恰出现一次。
第三节影子价格
在最优解中，bi表示资源,对偶变量yi表示对
资源的估价，称为影子价格，不是市场
价格。
Z = CX = b’Y = w
1。影子价格取决于资源的利用率。
2。影子价格是边际价格，表示在最优解中
bi表示每增加一个单位时目标函数的增
量。
3。影子价格是机会成本，市场价格低于影子价格，
可以买进，反之则卖出。
n
4。yi > 0
a x b
j 1 ij j
j
yi = 0
a
x
b
j1 ij j j
n
5。 σj = cj -
CBB-1Pj
= cj – Y’Pj = cj -
m
ay
i 1 ij i
后者是生产第j种产品的隐含成本。
6。线性规划的求解是资源的最优分配。对偶问
题的求解是资源的恰当估价。
第四节对偶单纯形法
•
对偶单纯形法的基本思想：单纯形法的迭代
中，在保持常数项非负的条件下，逐步使得
检验数非正。对偶的思想是，在保持检验数
非正的条件下，逐步使得常数项非负。
• 对偶单纯形法的计算步骤：
1. 列出初始单纯形表，使得检验数都非正。如
果b列都非负，即为最优解。否则，计算
br = min{bi}, xr为换出变量。
2. 确定换入变量： min{ j | a 0} s
rj
arj
ars
3. 以ars为主元素，xs为换入变量，消元。
4. 如果br< 0，而对所有j = 1, 2, …, n， 有
arj ≥ 0, 原问题无可行解。
使用对偶单纯形法的前提是，找到线性方
程组的一个解，所有检验数都非正。
单纯形法进行列操作，使得检验数逐步非
正；对偶单纯形法进行行操作，使得常
数项逐步非负。
第五节灵敏度分析
研究参数发生，最优解会有什么变化，
或者参数在什么范围内变化，最优解不变。
b’=B-1b, p’= B-1p, σj重新计算
原问题
对偶问题
结论或继续计算的步骤
可行解b≥0
可行解b≥0
表中值仍为最优值
可行解σj ≤0
非可行解σj ≥ 用单纯形继续迭代
0
非可行解
≤0
非可行解
≤0
b 可行解σj ≤0
用对偶单纯形继续迭代
引入人工变量，重新计
b 非可行解σj ≥ 算
0
1. 分析c的变化：只会引起检验数的变化
cj
CB
0
1.5
2
基
x3
x1
x2
0
1.5
2
σj
x4
x1
x2
σj
1.5
2
0
0
0
b
15/2
7/2
3/2
x1
0
1
0
x2
0
0
1
x3
1
0
0
x4
[5/4]
1/4
-1/4
x5
-15/2
-1/2
3/2
6
2
3
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
4/5
-1/5
1/5
-1/10
1/8
1
0
0
0
-9/4
-6
1
0
-3/2
cj
CB
0
2
基
x3
x1
x2
σj
b
15/2
7/2
3/2
2
x1
x2
0
x3
0
x4
0
x5
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
5/4
1/4
-1/4
-15/2
-1/2
3/2
/4-1/2
1-3 /2
/4-1/2 ≤ 0
1-3 /2 ≤ 0
2/3 ≤ =c2 ≤2
2 .分析b的变化,只会引起常数项的变化,b’=B-1b
cj
2
1
0
0
0
x4
x5
CB
基
b
x1
x2
x3
0
2
1
x3
x1
x2
35/2
11/2
-1/2
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
-1/4
-1/2
0
1
0
5
1
-4
1
0
0
0
0
1
0
1
-6
0
-1
0
0
-2
σj
0
2
0
x3
x1
x4
σj
15
5
2
5/4 -15/2
1/4
-1/2
[-1/4] 3/2
b' b b B 1b' B 1b B 1b
1 5 / 4 15 / 2 15 35 / 2
1
B b' 0 1 / 4 1 / 2 32 11 / 2
0 1 / 4 3 / 2 5 1 / 2
1 5 / 4 15 / 2 15 15 / 2 15 / 2
1
B b' 0 1 / 4 1 / 2 24 7 / 2 / 2
0 1 / 4 3 / 2 5 3 / 2 3 / 2
3. 增加一个变量 xj的分析, pj’ = B-1pj
σj= cj – Y’pj
cj
CB
0
2
1
基
x3
x1
x2
b
15/2
7/2
3/2
σj
0
2
3
x3
x1
x6
σj
3/4
7/2
3/4
2
1
0
0
0
3
x1
0
1
0
x2
0
0
1
x3
1
0
0
x4
x5
5/4 -15/2
1/4 -1/2
-1/4 3/2
0
0
0
-1/4
-1/2
1
0
1
0
0
7/2
0
1/2
-1/2
1
0
0
0
3/8
1/4
-1/8
-1/8
-9/4
-1/2
3/4
-2
0
0
1
0
x6
-7
0
[2]
4.分析aij的变化:一般情况下，B也会发生变
化，最好重新计算。如果只有一列变化，
可以用增加一个变量 xj的分析的方法。
5.增加一个约束条件：将原来的最优解代
入新增的约束条件，如满足，原来的最
优解不变。否则将新增的约束条件直接
加到最终的单纯形表中，继续计算。
c
CB
0
2
1
0
0
2
1
0
基
x3
x1
x2
x6
σ
x3
x1
x2
x6
b
15/2
7/2
3/2
12
15/2
7/2
3/2
-3/2
σ
0
2
x3
x1
15/2
7/2
2
x1
0
1
0
3
0
0
1
0
0
0
1
x2
0
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
x3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
x4
x5
5/4 -15/2
1/4 -1/2
-1/4 3/2
0
0
-1/4 -1/2
5/4 -15/2
1/4 -1/2
-1/4 3/2
-1/4 [-3/2]
-1/4 -1/2
0
1
0
0
1
0
5/4
1/4
3
x6
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
-15/2 -5
-1/2 -1/3
第六节参数线性规划
当c或b变化时，目标函数将随之线性变化。
即CC+ C*,或 b b + b*
1。令=0，求解得最终单纯形表。
2。将C*或b*项反映到最终单纯形表。
3。随的增大或减小，观测原问题或对偶
问题，确定原解允许的的变动范围，以
及当超出变动范围后，求新解。先讨论
1 ≤ ≤ 2，再讨论 ≤ 1 和 ≥ 2。
4。重复第3步，直至解不随变动。
c
CB
0
2+
1+2
基
x3
x1
x2
σ
当
0
2+ 1+2
b
x1
x2
x3
15/2
0
0
1
7/2
1
0
0
3/2
0
1
0
0
0
0
>1, x4
的
检
0
x4
[5/4]
1/4
-1/4
0
x5
-15/2
-1/2
3/2
-1/4+ /4
-1/2-5/2
验数>0
Max z()=(2+)x1+(1+2)x2
-1/4+ /4 ≤0, -1/2-5 /2 ≤0
推出 -1/5 ≤ ≤1, z =17/2+13 /2
c
2+
1+2
0
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
2+
1+2
x4
x1
x2
σ
6
2
3
0
1
0
0
0
0
1
0
[4/5]
-1/5
1/5
1
0
0
0
-6
1
0
当
>1,
Z=7+ 8 +
当
≤1/5,
x5的
1/5-/5
检
验数
>0
-2-
c
2+
1+2
0
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
2+
0
x3
x1
x5
σ
15
4
1
0
1
0
0
5
1/3
2/3
0
[1/6]
-1/6
1/3+5/3
1
0
0
0
-1/3- /6
0
0
1
0
x3
x4
x5
σ
15
24
5
0
6
1
5
2
1
2+
1+2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1/3+5/3 ≤0, -1/3- /6 ≤0 推出 -2 ≤ ≤-1/5, z =8+4
2+ ≤0, 1+2 ≤0推出 ≤-2, z =0
b=(15,24+ ,5)T, b’=B-1b
c
2
1
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x3 15/2+5/4
x1 7/2+ /4
x2 3/2- /4
0
1
0
0
0
1
1
0
0
5/4
1/4
[-1/4]
-15/2
-1/2
3/2
σ
0
0
0
-1/4
-1/2
CB 基
0
2
1
b
Z= 17/2+ /4
当 -6 ≤≤6,
当 >6, 继续 对 偶单 纯
形法
c
CB 基
0 x3
2 x1
0 x4
σ
b
15
5
-6+
2
x1
0
1
0
0
1
x2
5
1
-4
-1
0
x3
1
0
0
0
0
x4
0
0
1
0
0
x5
0
1
-6
-2
0
2
1
x5
x1
x2
σ
-1-/6
3+/6
3
0
1
0
0
0
0
1
-1
-2/15
[-1/15]
1/5
-1/15
-1/6
1/6
0
-1/3
1
0
0
0
0
0
1
x5
x3
x2
σ
-7- /2
-45-5/2
12+ /2
-2
-15
3
-1
0
0
1
0
0
1
0
0
-1/2
-5/2
1/2
-1/2
1
0
0
0
讨论
• 当>6， 最优解不变，z =10
• -1- /6 ≥ 0, 3+/6 ≥ 0
推出 -18 ≤ ≤-6, z =9+/3
• -7- /2 ≥ 0, -45-5/2 ≥ 0
推出 -24 ≤ ≤-18, z =12+/2
• 当<-24,原题无意义
Max z() = x1+2x2+3x3-15
10/3x1+40/3x2+80/3x3 ≤30000
1/30x1+1/30x2+1/30x3 ≤100+
1. 当=0，得到最优解。
2. 劳动力的影子价格为20元，大于市场价格。
3. 2000-10 ≥0，1000+40 ≥0，推出 0 ≤
≤200， z =5000+5
4. -200 ≥0，推出 >200， z =9000-15
c
CB
2
1
基
x2
x1
b
2000
1000
σ
2
1
x2
x1
σ
2000-10
1000+40
1
2
3
0
0
x1
0
1
x2
1
0
x3
7/3
-4/3
x4
1/10
-1/10
x5
-10
40
0
0
-1/3
-1/10
-20
0
1
0
1
0
0
7/3
-4/3
-1/3
1/10
-1/10
-1/10
[-10]
40
-20
0
1
0
-1/10
4
-2
-7/30
8
-5
-1/100
3/10
-3/10
1
0
0
0 ≤ ≤ 200
0
1
x5
x1
σ
-200
9000
200
本章介绍运输问题，重点是运输问题的数
学模型，从简单的事例开始，引入表上
作业法，使学生掌握运输问题的解题方
法。
本章的难点是用运输问题的方法解决一些
特殊线形规划问题，本章共布置6道习题
第三章 运输问题
第一节 数学模型
min z
m
c
ij
i 1
n
x
ij
n
xij
j 1
ai , i 1,2,..., m
j 1
m
x
ij
b j , j 1,2,..., n
i 1
xij 0
Q
m
a
i
i 1
n
b
j
j
产销地
B1
B2
… Bn
产量
A1
x11 | c11
x12 | c12
… x1n | c1n
a1
A2
x21 | c21
x22 | c22
… x2n | c2n
a2
Am
xm1 | cm1
xm2 | cm2
… xmn | cmn am
销量
b1
b2
… bn
…
特点
1. 运输问题有有限最优解。
xij=aibj/Q 是可行解, 目标函数有下界0。
2. 运输问题约束条件的系数矩阵:
秩= m+n-1 。
Aij=(0,…,1,0,…,0,1,0,…,0)
3. 运输问题的基可行解中非零变量的个数
不能大于m+n-1个，反映m+n-1个约束
条件，对应的系数列向量线性独立。
第二节表上作业法
先按某种规则找出一个初始解，然后作最
优性判别。若不是最优，则在运输表上
改进，迭代直至最优。
一.初始基可行解：
1. 最小元素法：为了减少运费，优先考虑
单位运价最小的供销业务，最大限度满
足其供销量。然后再满足其次的供销业
务。
2. 西北角法：优先满足运输表上西北角的
供销业务。
3. 沃格尔法：对每一个供应地或销售地，
计算它到各销售地或供应地的最小单位
运价和次小单位运价的差，称之为该地
的罚数，优先考虑罚数最大的供销业务，
最大限度满足其供销量。然后再满足其
次的罚数最大的供销业务。
沃格尔法得出的初始解的质量最好，常作
运输问题最优解的近似解。
二.解的最优性检验
1. 闭回路法：计算每一个空格的检验数，
即给这个空格上增加一个单位运量，同
时沿着一条包含它的闭回路调整相应格
子的值，使其满足约束条件。闭回路经
过的其余拐点都是填有数字的格子(基
变量格)。闭回路上第奇数个格子的单
位运价之和减去第偶数个格子的单位运
价之和就是这个空格的检验数。在迭代
中，不允许全部拐点都是填有数字的格
子组成的闭回路，对应的列线性相关。
2.对偶变量法
运输问题的对偶规划：
Max z’ = a1u1+…+amum+b1v1+…+bnvn
ui + vj ≤cij
ui, vj 的符号不限。i = 1,…,m, j = 1,…,n
由公式(2.24)知
σj = cj - CBB-1Pj = cj –Y’pj
σij = cij – (u1,…,um,v1,…,vn)pij
= cij – (ui + vj )
设xi1j1,xi2j2,…,xisjs, (s=m+n-1)是运输问题的
一个基可行解，它们对应的检验数等于
零，所以
ui1+ vj1= ci1j1
…
uis+ vjs= cisjs
这是关于一组(m+n)个对偶变量的(m+n-1)个
方程，存在多个解。令ui = 0，解出方程，
不妨解就是u,v…,如果它们满足约束方程
σij= cij –(ui+ vj ) ≥0
则它们就是对偶问题的可行解。
对于X的基变量，σj = cj –Y’pj = 0，
Y’A = C, Y’A-C=0
对于X的非基变量, X = 0。因此
(Y’A-C)X=0,
Y’AX = CX。另外原问题中 AX=b，于是
Y’b = CX，即X和Y分别为原问题和对偶问题的
最优解。(Y不一定是基可行解)
如果求出的解不满足约束方程：σij=cij –(ui+vj ) ≥0，
则X不是原问题的最优解，还要继续迭代计算。
3. 解的改进
(1)如果某一个格子代表的非基变量的检验
数是负数，则把检验数最小的非基变量
引入基变量。(2)沿着经过它的闭回路，
寻找第偶数个格子的运输量的最小值min
x ij作为调整量，(3)所有第偶数个格子的
运输量都减去这个值，所有第奇数个格
子的运输量都加上这个值，可使总运费
减少σij min x ij。
4。几个问题：
1. 在最优解中，如果有非基变量的检验数是零，
则说明有无穷多个解。
2. 在求初始解和迭代过程中，可能出现在某格
填上一个运量后需要在运输表上同时划去一
行和一列，就出现退化。为了不减少基变量，
需要在同时划去一行或一列的某格填上零，
表示它代表的变量是取值为零的基变量，从
而使基变量恰好是m+n-1。
3. 在求初始解时，尽量减少退化。
4. 填零不可以形成闭回路。
5. 可能需要重新填零。
第三节进一步讨论
1. 产销不平衡：
产量>销量：加一个假想的销地。
产量<销量：加一个假想的产地。
单位运价都是零。
2. 有转运的运输问题：
实际中常常有转运的问题，即先把物品
由产地运到某个中转站（可能是产地、
销地或中转仓库），然后再运到最终销
地。中转要花转运费，总运费可能降低。
数学模型
ai:第i个产地的产量。
bj:第j个销地的销量。
xij:由第i个发送地到第j个接收地的数量。
cij:由第i个发送地到第j个接收地的单位运价
ti:第i个地点的转运量。
ci:第i个地点的单位转运费。
m
n
cii=-ci,
Q ai b j
i 1
j
xii=Q-ti
接
收
1
发
送
产
地
销
地
接
收
量
产地
1
…
m
m+1
…
m+n
销地
…
x11 …
… …
xm1 …
xm+11 …
… …
xm+n1 …
Q
…
m
m+1
发送量
…
m+n
x1m x1m+1 …
x1m+n
…
… …
…
xmm xmm+1 … xmm+n
xm+1m xm+1m+1 … xm+1m+n
…
…
…
…
xm+nm xm+n m+1 … xm+n m+n
Q
Q+bm+1 … Q+bm+n
Q+a1
…
Q+an
Q
…
Q
接
收
产地
1
发
送
销地
…
m
-c1 …
… …
cm1 …
c1m
…
-cm
m+1
发送量
…
m+n
c1m+1 …
c1m+n
… …
…
cmm+1 … cmm+n
产
地
1
…
m
销
地
m+1 cm+11 … cm+1m -cm+1 … cm+1m+n
…
… …
…
…
…
…
m+n cm+n1 … xm+nm cm+n m+1 … - cm+n
接
收
量
Q
…
Q
Q+bm+1 …
Q+bm+n
Q+a1
…
Q+an
Q
…
Q
第四节应用问题举例
• 如果为了使xij= 0，可令cij= M。
• 如果为了使xij充分满足，可令cij= 0。
• 如果产量在一个区间内，可分成两个产
量，一个为必需满足的，另一个为可能
满足的。然后增加虚销地，必需部分的
cij= M ，可能部分的cij= 0。