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常用概率分布
--- 二项分布
离散型随机变量的概率分布·
给出离散型随机变量X所有可能的取值及其对应
的概率，则称为X的概率分布。
例：口袋中有2个黑球，9个白球，每次无放回地
随机摸一个球，直至摸到白球为止，记X为摸球
的次数，请给出X的概率分布。
X
P
1
2
3
内容
1
Bernoulli试验和Bernoulli试验序列
2
二项分布定义
3
二项分布的条件
4
二项分布的概率函数
5
二项分布的特征
Bernoulli试验和Bernoulli试验序列
医学观察中人们所感兴趣的事件是否发生：
 预防接种：是否发生某病；
 毒性试验：动物是否死亡
对每一次实验，出现的结果只有两种情况，称为
Bernoulli试验。如所关心的事件A发生，称为“成
功”，否则称为“失败”A
P( A)  p, P( A)  q, p  q  1
Bernoulli试验和Bernoulli试验序列
独立重复n次，称为n重独立Bernoulli试验
n次实验构成的序列，称为Bernoulli试验序列
 特点：
• 每次实验只有两种可能的结果
• 各次实验相互独立
• 发生成功事件的概率不变
 它是研究“相同条件下独立进行重复实验或观察”的一
种概率模型，并且实验次数n是固定的。
Bernoulli试验和Bernoulli试验序列
例2.23 用3只小白鼠做动物毒性实验，已知每只老鼠死亡的概
率 P( A)   。如果不死亡,其概率 P( A)  1   。 如果以x表示死
亡（成功）的小白鼠数，则x可能的取值0,1,2,3，对应的概率
如下
结果
死亡数
发生概率
X 取值概率
0
生
生
生
(1   )(1   )(1   )
p ( x  0)  C30 0 (1   )3
1
死
生
生
 (1   )(1   )
p ( x  1)  C31 1 (1   ) 2
生
死
生
(1   ) (1   )
生
生
死
(1   )(1   )
死
死
生
 (1   )
死
生
死
 (1   )
生
死
死
 (1   )
死
死
死

2
3
p ( x  2)  C32 2 (1   )1
p ( x  3)  C33 3 (1   ) 0
二项分布中的关键理解点

B  Cnk ,即：P( X  k )  Cnk k (1   ) n k
k  0,1,
,n
二项分布定义
构成Bernoulli试验序列的n次实验中，成功事件A
出现次数的概率为
P( x )  Cnx x (1   ) n  x
由于上式是二项式
[  (1   )]n
x  0,1, 2,
,n
展开式中相应地
含  x 的项，因此称该分布为二项分布。
从阳性率为  的总体中随机抽取大小为n 的样本，
则出现阳性数为x的样本的分布为二项分布，记
作
B ( n, 。
)
二项分布的条件
每次实验（观察）的结果只有两种可能（两分类
变量）
各次实验（观察）的结果相互独立
每个观察对象发生阳性结果的概率相同
实验的次数n是固定的，与实验的结果无关
二项分布的概率函数
二项分布的概率 P ( x ) 可用下式计算 P( x)  Cnx x (1   ) n  x
n!
x
C

n
其中
X取值为0，1，2，… n
x !(n  x)!
医学中的二项分布：如在人群中随机抽取5人，则5
人中患某病的人数服从二项分布B(5，π)
二项分布的特征
二项分布的特征
二项分布的特征
二项分布的特征
二项分布的图形特征：
 离散分布
 图形取决于两个参数，高峰在   n 处
 当  接近0.5时，图形对称，越偏离0.5，对称
性越差
 随着n的增大，分布趋于对称
 当 n  时，只要  不太靠近0或1，二项分布
将趋近于正态分布
二项分布的特征
二项分布的均数和标准差
均数   n 方差  2  n (1   ) 标准差
  n (1   )
 例2.24中，若π=0.7则3只鼠中死亡鼠数X的总体均数
  n  3 0.7  2.1只
 总体方差  2  n (1   )  3  0.7  0.3  0.63只2