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Trasformazioni di Lorentz
A.A. 2009-2010
y’
y
LH
NB.: alla luce di quanto
osservato questa
rappresentazione non è
“veritiera”, perché LH  x’
x
x’
ut
z
z’
x '  x  ut
y'  y
z' z
u
O’
O
Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli
A.A. 2010-2011
x
x’
x  LH  ut
LH  L'H 1  u 2 c2
LH  x ' 1  u 2 c 2
x  x ' 1  u 2 c 2  ut
x' 
y' y
z' z
x  ut
1  u 2 c2
Trasformazioni di Lorentz
A.A. 2009-2010
y’
y
L’H
t't
x
ut’
u
z’
x' 
u
O’
O
z
x’
x’
x
x ' ut '  LH
'
t'
x  ut
1  u 2 c2
t  xu c 2
y' y
z' z
1  u 2 c2
L'H  x 1  u 2 c 2
ut '  x 1  u 2 c 2 
x  ut
1  u 2 c2
t ' 1  u c  x u  xu c  x u  t
2
2
2
1  u 2 c2

u
T.L.
Trasformazioni di Lorentz
Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli
A.A. 2010-2011
A.A. 2009-2010
Simultaneità
x' 
Consideriamo due eventi simultanei in due punti
diversi del sistema di riferimento “fisso” …
x x 
'
2
'
1
x2  x1
1  u 2 c2
x1 , t ; x2 , t
t2'  t1' 
( x1  x2 )u c 2
1  u 2 c2
x  ut
1  u 2 c2
y' y
z' z
t  xu c 2
t'
1  u 2 c2
… nel sistema “mobile” non sono simultanei !!
Consideriamo due eventi non simultanei nello
stesso punto del sistema di riferimento “fisso” …
x x 
'
2
'
1
u (t1  t2 )
1 u c
2
2
t t 
'
2
'
1
x, t1 ; x, t2
t2  t1
1  u 2 c2
Rimarcabile
simmetria tra
coordinate
spaziali e
coordinata
temporale
Trasformazioni di Lorentz
Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli
A.A. 2010-2011
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Simmetria
y’
y
x
x' 
x’
ut
u
O’
O
x
x
x
z
x’
ut’
u
O’
O
z’
2
t'
1  u 2 c2
y’
y
u
1 u c
2
t  xu c 2
y' y
z' z
x’
z’
z
x  ut
x
x’
x ' ut '
1 u c
2
y  y'
z  z'
2
t
t ' x ' u c 2
1  u 2 c2
Trasformazione della velocità
Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli
A.A. 2010-2011
A.A. 2009-2010
y’
y
 u c
  1 1  2
x
x’
ut
O
z
u
O’
x’
x
z’ v  dx '
x'
dy '
dz '
; vz ' 
dt '
dt '
dy '  dy; dz '  dz
vy ' 
dt '
dx '   (dx  udt )


dt '   dt  dx u / c 2
dx '
dx  udt

dt ' dt  dx u / c 2
vx  u
vx ' 
1  vx u / c 2



1  u 2 c2
vy '  vy
1  vx u / c 2
1  u 2 c2
vz '  vz
1  vx u / c 2
x' 
x  ut
1  u 2 c2
y' y
z' z
t  xu c 2
t'
1  u 2 c2
Trasformazione della velocità
A.A. 2009-2010
Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli
A.A. 2010-2011
c – velocità limite
1  u vx
vx '  vx
1  vx u / c 2
1  u 2 c2
vy '  vy
1  vx u / c 2
vx
c  vx '  vx  u
vx  u  v x '  0
vx  c  v x '  c
x '    x  ut 
y'  y
z' z
t '   t  xu c 2


  1  u 2 c2
 1 
1  u 2 c2
vz '  vz
1  vx u / c 2
Se u  c   immaginario; le trasformazioni non hanno senso.
v v  c
Universo Quadridimensionale
A.A. 2009-2010
Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli
A.A. 2010-2011
la quarta dimensione
x' 
2
2 2
x

u
t  2 xut
2
2
2
2
x '2  y '2  z '2 

y

z

x

x

2
2
1 u c
x  ut
1  u 2 c2
y' y
z' z
t  xu c 2
t'
1  u 2 c2
x 2  x 2 u 2 c 2  x 2  u 2t 2  2 xut  c 2t 2  c 2t 2
x y z 

2
2
1 u c
2
2
2
2
2 2
2
t 2  x 2 u 2 c 4  2 xut c 2
2 t t u c
2
2
2
 x  y  z c

c

x

y

z

2
2
2
2
1 u c
1 u c
x1   u ic  x4
2
'
2
x

1
t  xu c
2
2
2
2 2
2
2
2
2 '2
2 2
1

u
c
c
c t  x  y  z c t c t
2
2
x2'  x2
1 u c
2
2

2
2

x1'2  x2'2  x3'2  x4'2  x12  x22  x32  x42
x3'  x3
x4  ict ' x4   u ic  x1
x4 
'
x4  ict '
1  u 2 c2
Universo Quadridimensionale
A.A. 2009-2010
y’
y
Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli
A.A. 2010-2011
il modulo di un vettore non dipende dal sistema
di riferimento nello spazio ordinario: è invariante
per roto-traslazioni.
P

x’
2
V  Vx2  Vy2  Vz2  Vx2'  Vy2'  Vz2'
O
x
x '  x cos   y sin  

y '  y cos   x sin   x '2  y '2  z '2  x 2  y 2  z 2
z' z

x1'2  x2'2  x3'2  x4'2  x12  x22  x32  x42
x1' 
x1   u ic  x4
1  u 2 c2
x2'  x2
x3'  x3
x   u ic  x1
x4'  4
1  u 2 c2
il modulo di un quadrivettore non dipende dal sistema di riferimento nello
spaziotempo: è invariante per roto-traslazioni nello spaziotempo
A.A. 2009-2010
Conclusioni
sulle trasformazioni tra sistemi di
riferimento inerziali
Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli
A.A. 2010-2011
1. non valgono le trasformazioni di Galileo – Newton ma quelle di Lorentz ....
x '  x  ut
y'  y
z' z
t't
x1' 
x1   u ic  x4
… infatti con queste trasformazioni le equazioni
1  u 2 c2
di Maxwell sono invarianti da un sistema di
x2'  x2
riferimento inerziale ad un altro (non lo
x3'  x3
dimostreremo esplicitamente, ma lo si intuisce
x   u ic  x1
dal percorso fatto). *
x4'  4
x4  ict
1  u 2 c2
x4'  ict '
2. si apre la prospettiva di una fisica “quadridimensionale” nella quale la variabile tempo è
la quarta coordinata, sostanzialmente analoga alle coordinate dello spazio ordinario.
Problema: che fine fa la meccanica classica (l’invarianza della F = ma)?