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3．2
二倍角的正弦、余弦、正切
一、素质教育目标
(一)知识教学点
二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导．
(二)能力训练点
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导，提高学
生的变形能力．
2．通过综合运用公式，使学生掌握有关的技巧，提高学生
分析问题、解决问题的能力．
(三)德育渗透点
通过学习使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联
系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的
能力．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导．
2．教学难点：公式的应用．
3．教学疑点：二倍角的正切公式是有条件的，使用时要先
考虑公式是否有意义，再选择恰当的公式．
三、课时安排
建议1课时．
四、教与学过程设计
(一)复习引入
师：上一节我们学习了两角和与差的正弦、余弦、
正切，我们大家一起回忆六个公式．
生：(板书)
sin(α±β)=sinα·cosβ± cosα·sinβ
师：对于这些公式大家一方面要从公式的推导上
去识记它，另一方面要从公式的结构特点上去记
忆．我们还要注意公式的正用、逆用和变用．今
天我们要继续学习二倍角的正弦、余弦和正切公
式．
生：(板书)
sin(α+α)=sinαcosα+cosα·sinα
得 sin2α=2sinα· cosα．
cos(α+α)=cosα·cosα-sinα·sinα
得 cos(α+β)= cos2α-sin2α
师：这样我们很轻松地得到二倍角的三个公式，但对于公式
tg2α=
生：要使tg2α有意义及1-tg2α≠0，tgα有意义．
生：利用诱导公式．
师：下面请同学想想看公式 cos2α= cos2α-sin2α还有没
有其它的形式？
生：有．(请这位同学板书)
∵ sin2α+cos2α=1，
∴ sin2α=1-cos2α或 cos2α=1-sin2α．
∴ cos2α=2cos2α-1
=1-2sin2α．
师：(板书三个公式，并告诉学生公式记号分别为S2α、
C2α、T2α，C2α的另外两种形式叫做升幂公式．再通
过变形为，cos2α=
意以下问题(板书)1° 用sinα和cosα表示sin2α、
cos2α．用 tgα表示tg2α．
即用单角的三角函数表示复角的三角函数．
α°C2α 有求和形式，T2α是有条件的．
(三)应用举例
的值．
师：要求sin2α必须知道sinα和cosα，要求tg2α必须知
道tgα，故我们可先求cosα与tgα，请同学们阅读课本
P．216的解答．
例2 (1)用sinθ表示sin3θ，
(2)用cosθ表示cos3θ．
师：我们没有关于3θ的公式，但我们可以将3θ表示为
2θ+θ的形式，请同学们按刚才的思路自己完成这两道题
(教师巡视，及时提醒同学，只能用sinθ表示sin3θ，也
只能用cosθ表示cos3θ)．
例3 求证[sinθ(1+ sinθ)+ cosθ(1+cosθ)]．
[sinθ(1-sinθ)+cosθ(1-cosθ)]=sin2θ．
思考题：请同学们比较式子两边的结构提出证题的方向？
生：左边都是单角的三角函数，右边是二倍角，因为左
边比右边明显复杂的多，所以应由左边证向右边，注意
把单角的三角函数变为二倍角．
师：(板书)
证明：左边=(sinθ+ sin2θ+cosθ+cos2θ)(sinθsin2θ+cosθ-cos2θ)
=(sinθ+cosθ+1)(sinθ+cosθ-1)=( sinθ+cosθ)2-1
= 2sinθ·cosθ
= sin2θ=右边．
∴ 原式成立．
师：这道题大家都会感到无从下手，很难看出有什么
公式可以直接使用，两个角50°与10°似乎还有一线
希望，但由于受函数限制难以沾边(正弦与正切)所以
很难发挥它的作用．大家来想想看有什么办法可以打
破这一僵局(让学生讨论)．
生：可以尝试把正切化弦看看有否公式可用．
师：好的(板书)．
小结：本道题在尝试把正切化为弦(正、余弦)后，
果然获得成功，其实把正切化为弦就是一条重要的
思路，请同学们切记“遇切、割化弦”这一规律吧！
另外本题的解答过程还反映了逆用公式的重要性，
希望大家一并记下．
例5 把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的
木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？
问题1．要使横断面面积最大矩形与圆有什么关系？
(让学生讨论)
生：矩形应内接于圆．
师：既然矩形内接于圆，那么矩形的对角线就是圆
的直径长度为2R．
问题2．怎样表示矩形的面积？(引导学生要注意引
入辅助量)
生乙：设对角线(即直线)与矩形一边的夹角为θ，则
矩形的两边长分别是2R·sinθ和2R·cosθ，于是S=
4R2·sinθ·cosθ．
师：对于甲同学提供的方案暂不评说，但乙同学提
供的方案却能很快求出问题的解．(教师板
书)S=4R2sinθ·cosθ= 2R2·sin2θ．
∵ sin2θ≤1，∴ S≤2R2．
当 sin2θ= 1时，S取最大值 2R2．
所以，当2θ=90°时，即θ=45°时，圆内接矩形的面
积最大，这时圆内接矩形为内接正方形．
小结：甲同时提供的方案也可以解决问题，但要用
到二次函数求最佳的方法，比较烦，课后大家可尝
试．但是以角做为辅助量，在一些场合却给大家带
来许多便利，望大家能好好掌握．
(四)总结
本课结合公式Sα+β，Cα+β和Tα+β是α=β，得到
二倍角公式，大家要注意C2α 有三种形式，而 T2α
是有条件的公式，在使用的过程中要注意正用、逆用
和变用，做到灵活应用．
(五)练习
课本P．219中练习1、2、3、4、5、6．
第7题做课外练习．
五、作业
P．225中习题十六：1、2、3．
六、板书设计