Transcript CINEMAT-PP - aulafqjmondemina
TEMA-1
CINEMATICA
J.A. MONDEJAR MINAYA 1
1- INTRODUCCIÓN
La cinemática, es la parte de la física que estudia el
movimiento de los cuerpos.
Se define el movimiento de un cuerpo, como el cambio de su posición con el tiempo, respecto de un
sistema de referencia fijo. (A todo cuerpo en
movimiento le llamaremos móvil)
1.1- SISTEMA DE REFERENCIA
Un sistema de referencia está formado, por un conjunto de ejes de coordenadas, X, Y, Z y un punto llamado origen de coordenadas (punto 0) J.A. MONDEJAR MINAYA 2
S. de R. unidimensional
: formado por un solo eje, X y un punto origen O. Se utiliza para estudiar movimientos en una sola dimensión: movimientos rectilíneos. Ej: un coche que se mueve por una carretera recta.
v
0
X
S. de R. bidimensional
: formado por dos ejes perpendiculares X e Y y el punto origen O. Se utiliza para estudiar movimientos en dos dimensiones. Ej: el movimiento de una mosca sobre la superficie de un cristal.
Y O J.A. MONDEJAR MINAYA X 3
S. de R. tridimensional
perpendiculares entre sí X, Y, Z y el punto origen O. Se utiliza para estudiar movimientos en tres dimensiones.
Ej: el vuelo de una mosca : formado por tres ejes Y O Z X J.A. MONDEJAR MINAYA 4
1.2- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES:
Una magnitud es toda propiedad de los cuerpos que se puede medir.
Una magnitud es escalar, cuando podemos expresar su valor, mediante un número y sus unidades. Son magnitudes escalares, la masa (5 kg), el volumen (3 m 3 ), la longitud (6,7 m), el tiempo (4 s) etc.
Una magnitud es vectorial, cuando para definirla, necesitamos indicar además de un número (que indica su valor), una dirección, un sentido y un punto de aplicación.
Son magnitudes vectoriales, la velocidad, la aceleración, el peso etc.
J.A. MONDEJAR MINAYA 5
Una magnitud vectorial se representa mediante un con una flecha encima,
v
Un vector presenta las siguientes características:
Módulo o intensidad
v
: viene dado por la longitud del
v v
Punto de aplicación
: punto donde se aplica el vector.
Dirección
: viene dada por la dirección de la recta que contiene al vector.
J.A. MONDEJAR MINAYA 6
Sentido
: viene dado por una punta de flecha en uno de los extremos.
v
Vector velocidad Dirección Sentido Punto de aplicación V: módulo J.A. MONDEJAR MINAYA 7
2- CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO
2.1- RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO:
El movimiento es relativo, es decir, dependiendo del sistema que se tome como referencia, las cosas se mueven o no, y las trayectorias adoptan unas formas u otras.
Así, cuando circulamos en un coche y decimos: “Estamos en reposo respecto al coche “, es cierto, y cuando decimos: “nos movemos respecto de la carretera “, también es cierto, ya que desde un punto de vista físico no hay un sistema de referencia que sea mejor que otro.
En la práctica se elige el S. de R. que haga los cálculos más sencillos.
J.A. MONDEJAR MINAYA 8
2.2- TRAYECTORIA:
Es la línea que resulta de unir los sucesivos puntos, por los que pasa el cuerpo en su movimiento.
En función de la trayectoria, los movimientos se clasifican en: Rectilíneos: la trayectoria es una línea recta (balón rodando por el suelo…).
Curvilíneos: la trayectoria es una línea curva. Pueden ser circulares (vagón de noria…), elípticos ( movimiento de la Tierra alrededor del Sol..), parabólicos (lanzamiento de una jabalina… ) o de curvatura irregular (vuelo de una mosca… ).
J.A. MONDEJAR MINAYA 9
2.3- POSICIÓN:
Es el lugar que ocupa el móvil en cada instante de
tiempo, respecto del origen del S.de R. Es una
magnitud vectorial, y viene dada por el vector que une el origen del S.de R. y un punto sobre la trayectoria.
r
un punto sobre la trayectoria
r
r
el vector
x
en el movimiento horizontal y por el vector en el movimiento vertical.
r
y
J.A. MONDEJAR MINAYA 10
O
r
x
v
X Y
v
r
y
O por dos coordenadas x e y, es decir
r
x
y r
viene dado por tres coordenadas x, y, z. Es decir
r
r
x
y
z
y y (x,y,z)
y
r
O
x
J.A. MONDEJAR MINAYA (x,y) X 11 z
z
y
r
O
x
x
En este curso estudiaremos rectilíneos (es decir en una dimensión), en los que la posición del móvil viene dada por el valor de la coordenada x, en el movimiento horizontal, y por la coordenada y en el movimiento vertical.
los movimientos También estudiaremos un movimiento dimensiones: el movimiento circular.
en dos
Criterio de signos para la posición:
en el movimiento horizontal, x es positivo para valores a la derecha del origen y negativo para valores a la izquierda. En el movimiento vertical, y es positivo para valores por encima del origen y negativo para valores por debajo.
J.A. MONDEJAR MINAYA 12
2.4- DISTANCIA RECORRIDA Y DESPLAZAMIENTO
Distancia recorrida
descrita por el móvil entre dos puntos de la misma. Se representa con la letra s, y su unidad en el S.I. es el metro.
: es la longitud de la trayectoria En el movimiento rectilíneo, la distancia recorrida, viene dada por la diferencia entre la posición final (x) y la posición inicial (x 0 ), en valor absoluto.
s
x
x
0 s
v
X O X 0 X J.A. MONDEJAR MINAYA 13
Desplazamiento: vector
r
r
es una magnitud vectorial. Es el , que une la posición inicial final . Se cumple que:
r
r
r
0
r
0 con la posición En el movimiento rectilíneo sería:
x
x
x
0 En los movimientos rectilíneos el módulo del vector desplazamiento s; es decir
x
x
s
, coincide con la distancia recorrida .En los movimientos curvilíneos coincide con s, es decir
r
s
r
no
Y
O
x
0
s
X 0
x
x
0
x
x
X
x X
O
r
0
r
r
s X
J.A. MONDEJAR MINAYA 14
ACTIVIDADES: 1- ¿Se podría estudiar el movimiento de un cuerpo, sin elegir previamente un S.de R?
No, por la propia definición de movimiento.
2- Un ciclista recorre una curva semicircular de 50 m de radio. ¿Cuál es la distancia recorrida? ¿y el modulo del desplazamiento? ¿Valen lo mismo? ¿Por qué? Dibújalo.
x
0 0
s
J.A. MONDEJAR MINAYA
Mod dist
.
recorr
.
.
desplaz
.
x s
x
R x
0 3 .
14 100 50 0 157
m
100
m
x
100
m X
No, pues s es la longitud de la trayectoria (línea verde) y el mod.
desplaz. es la distancia mas corta entre las posiciones inicial y final (línea roja) 15
3- La pizarra está en reposo respecto a la pared, pero se mueve respecto a la Luna. ¿Realmente se mueve o no?
Para un observador en la Tierra no se mueve, pero para un observador en la Luna si se movería
4- Un móvil pasa de la posición inicial de - 400 m, hasta la posición final de 13 km, siguiendo una trayectoria rectilínea.
¿Cuál es el espacio recorrido? Dibuja el vector desplazamiento.
x
0 400
m
x
0 0
s
x
x
0
s
x
x
x
13 .
000
m
13 .
000 400 13 .
400 13 .
400
m
J.A. MONDEJAR MINAYA 16
X
3-LA VELOCIDAD
Vamos a distinguir entre y rapidez o celeridad y
velocidad
La rapidez o celeridad
de un móvil se define como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado. Es una magnitud escalar.
Rapidez
(
m
)
s t
x t
t x
0
x
t x
0
t
0 0 , pues tomamos el origen de tiempos en x
m
0
Unidad en el SI
:
s
Para intervalos de tiempo grandes tenemos la rapidez
media. Si el intervalo de tiempo se hace muy pequeño
(tiende a cero), tenemos la rapidez instantánea, en cada punto de la trayectoria.
0 J.A. MONDEJAR MINAYA 17
La velocidad (
v
) vector desplazamiento
x
, y el tiempo transcurrido Es por tanto una magnitud vectorial.
t
.
v
x
t
x t
x t
0 0 Su módulo es:
v
x
t
x t
x
0
t
0
x
x
0
t
Para intervalos de tiempo grandes se trata de una
velocidad media. Cuando el intervalo de tiempo se hace
muy pequeño (tiende a cero) tenemos la velocidad
instantánea, en cada punto de la trayectoria.
dirección de la recta.
v
J.A. MONDEJAR MINAYA 18
En el movimiento curvilíneo la velocidad tiene la dirección de la tangente a la curva en cada punto.
Y
v
v
v
x 0 0 x En el movimiento rectilíneo el módulo de la velocidad (media o instantánea) coincide con la rapidez (media o instantánea). En el movimiento curvilíneo solo coinciden el módulo de la velocidad instantánea y la rapidez instantánea, pero no la velocidad media y la rapidez media.
J.A. MONDEJAR MINAYA 19
Criterio de signos para la velocidad:
velocidad apunta hacia la derecha o hacia arriba la velocidad es positiva y si apunta hacia la izquierda o hacia abajo velocidad negativa.
si el vector
Y
V (+) 0 V (-) X V (+) 0 V (-)
Unidades de velocidad
: la unidad de velocidad en el S.I. es el m/s. Otra unidad muy utilizada es el km/h. J.A. MONDEJAR MINAYA 20
ACTIVIDADES 1- Realiza las siguientes transformaciones:
80
km h
m
; 15
m s s
km h
80
k m h
1000
m
1
k m
1
h
3600
s
22 , 2
m s
15
m s
1
km
1000
m
3 .
600
s
1
h
54
km h
2- Una bicicleta recorre 20 km en media hora. ¿Cuál es su rapidez media en unidades del S.I.?
Rapidez
m
t s
20 .
000 1 .
800 11 , 1
m s
J.A. MONDEJAR MINAYA 21
3- Juan, que está sentado en el vagón de una noria, describe la circunferencia con una rapidez media de 1 m/s en 2 minutos.
¿Cuánto vale dicha circunferencia? ¿Qué altura tiene la noria?
Rapidez m
t s
1
s
120
s
120
m
longitud circunfere ncia s
2
R
R
120 2 3 , 14 19 , 11
m
h
2
R
38 , 22
m
J.A. MONDEJAR MINAYA 22
4- Sobre una cuadricula formada por cuadrados de 3 metros
de lado un móvil describe la siguiente trayectoria. Si se tardan
1,2 segundos en recorrer cada uno de los lados. ¿Cuánto tarda en recorrer la trayectoria? Calcula, la rapidez media y la velocidad media
t
11 1 , 2 13 , 2
s Rapidez m
s t
11 3 13 , 2 2 , 5
m s v m
r t
12 2 13 , 2 9 2 1 , 14
m s
J.A. MONDEJAR MINAYA 23
4- CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS SEGÚN LA VELOCIDAD
Según la velocidad, los movimientos se clasifican en:
Movimientos uniformes:
Son aquellos cuya velocidad permanece constante.
Como la velocidad es un vector, ha de permanecer constante: Su módulo: es decir no varía su rapidez.
Su dirección: por tanto, la trayectoria ha de ser una línea recta.
Su sentido: el móvil no puede darse la vuelta.
J.A. MONDEJAR MINAYA 24
Movimientos variados (o acelerados):
Son aquellos cuya velocidad es variable. De la velocidad puede variar: Su módulo: es el caso de móviles que se mueven aumentando o disminuyendo su rapidez. Ej: el movimiento de caída libre.
Su dirección: es el caso de los movimientos circulares y en los curvilíneos en general.
Su sentido: es el caso de los movimientos vibratorios de los cuerpos elásticos.
J.A. MONDEJAR MINAYA 25
5- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)
En este movimiento la velocidad se mantiene
constante, por lo que no puede variar ni el módulo
(rapidez), ni la dirección, ni el sentido del movimiento. La trayectoria por tanto es una línea recta.
El módulo de la velocidad viene dado por:
v
x t
x
0
t
0
x
x
0
v
t
t
0 J.A. MONDEJAR MINAYA
x
x
0
v
t
t
0
Ecuación de la posición del
M.R.U.: nos permite calcular la
posición del móvil x, en cualquier instante, t conocidas la posición inicial x o y la velocidad v.
26
5.1- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL M.R.U.:
v
m
/
s
Gráfica velocidad- tiempo (v-t):
v
cte
Al ser la velocidad constante, la gráfica v-t será una recta paralela al eje de los tiempos.
0
v
cte t x
x
x
0
Gráfica posición-tiempo (x-t):
0 J.A. MONDEJAR MINAYA
t t
Al representar obtiene una recta que corta al eje de X en x 27 0
Pendiente
x
recta nos da la v.
v
x
t
0
x
t x
0
v
0
t
t
0 se . La pendiente de la
ACTIVIDADES 1- Representa la gráfica v-t que corresponde a un movimiento con velocidad constante de 15 m/s
v
m
/
s
15
m
/
s t
2- Representa la gráfica x-t que corresponde a la ecuación de movimiento
x
10 15
t
t 0 x 10 1 2 3 25 40 55
x
60 50 40 30 20 10 0 0 2
t
4 J.A. MONDEJAR MINAYA 28
3- Un ciclista describe un M.R.U. con v = 5 m/s. a) Si el cronómetro se pone en marcha, cuando pasa por la posición 200m, escribe la ecuación del movimiento del ciclista. b) ¿Cuál es su posición cuando han transcurrido 25 segundos desde que se empezó a medir el tiempo? c) Grafica x-t
a
)
x
x
0
v
t
t
0
x
200 5
t
b
)
x
200 5 25 325
m
t(s)
0 5 10 15 20 25
x(m)
200 225 250 275 300 325 350 300 250 200 150 100 50 0
x
0 J.A. MONDEJAR MINAYA 29 20 40
t
4- La ecuación de movimiento de un esquiador es
x
250
a) ¿Cuáles son su posición inicial y su velocidad. b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la meta, que está en x = 1000 m?
4
t
a
)
Como
:
x
x
0
v
t
t
0
x
0 250
m y v
4
m s
b
) 1000 250 5
t
t
1000 250 5 150
s
5- Un autobús se mueve en línea recta a 90 km/h. En el instante inicial se encuentra en el kilómetro 70: a) Escribe la ecuación de su movimiento. b) ¿En qué posición se encontrará al cabo de media hora?
a
)
x
70 90
t b
)
x
70 90 0 , 5 115
km
J.A. MONDEJAR MINAYA 30
6- Se han medido las distintas posiciones de un atleta en distintos instantes de tiempo. Los valores obtenidos se indican en la tabla. Representa gráficamente la posición frente al tiempo y determina gráficamente la velocidad del corredor.
t(s)
0 2 4 6 8 10 12 14
x(m)
10 30 50 70 90 110 130 150 J.A. MONDEJAR MINAYA
x
160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 5 10
v
x t
x
0
t
0 150 10 14 0 10
m s
31 15
t
7- Un galgo se desplaza en línea recta con una velocidad de 90 km/h. Si en el instante inicial su posición es 100 m y la carrera dura 20 s: a) Escribe la ecuación del movimiento en unidades S.I. b) Calcula las posiciones sucesivas que ocupa el galgo cada 4 segundos y rellena la tabla siguiente con los valores obtenidos. b) Haz la grafica posición-tiempo.
90
km h
25
m s
t(s) x(m)
x
100 25
t
12 16 20 0 4 8 100 200 300 400 500 600 J.A. MONDEJAR MINAYA
x
700 600 500 400 300 200 100 0 0 32 10 20 30
t
8- ¿En qué lugar se encontrará un móvil a los 25 minutos si su posición inicial es de 3 km y su velocidad de 90 km/h? ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?
25 min
x
x
0 1 .
500
s
; 3km 3.000m
; 90 km h
v
t
t
0 3 .
000 25 1 .
500 25
m s
40 .
500
m
40 , 5
km s
x
x
0
v
t
25 1 .
500 37 .
500
m
37 , 5
km
9- Indica las diferencias y semejanzas entre estos dos movimientos. ¿Podrías determinar la ecuación de cada uno?
15
x
10 5 0 0 J.A. MONDEJAR MINAYA 5 10
t
x
x
0
v
t
t
0 33
x
4 3
t x
5 4 3
t
10- Sale un coche a 72 Km/h. Cinco minutos después sale en su persecución una moto a 108 Km/h. ¿Dónde y cuándo lo alcanzará? Dibuja las graficas posición-tiempo.
v m
30
m
/
s v c
20
m
/
s x e
?;
t e
?
0
x
0
m
0 Coche y moto se mueven con M.R.U.
x
x
0
v
t
t
0
x x
c m
x
0
c
x
0
m
v
c
t
c
v
m
t
m Se cumple
:
t c
En el encuentro:
x c x
0
c
v c
t m
300
t m
300
x
0
m
x m
v m t m
x e
;
t m
t e X
0 20
t e
300
0 30
t e
t e
6 .
000 600
s
10 min 10
x e
v m
t e
30 600 18 .
000 18
km
J.A. MONDEJAR MINAYA 34
Grafica - coche
x c
6 .
000 20
t
t(s)
0 300 600
x(m)
6.000
12.000
18.000
20000 18000
x
16000 14000 12000
Grafica - moto
x m
30
t
10000 8000 6000 4000
t(s)
0 300 600
x(m)
0 9.000
18.000
2000 0 0 J.A. MONDEJAR MINAYA 35
Coche
200
Moto
400 600
11- Dos coches salen a su encuentro, uno de Bilbao y otro de Madrid. Sabiendo que la distancia entre ambas capitales es de 443 Km. y que sus velocidades respectivas son 78 Km/h y 62 Km/h y que ambos coches salen al mismo tiempo, calcular: tiempo que tardan en encontrarse, ¿a qué distancia de Bilbao lo hacen? Dibuja las graficas posición-tiempo.
Bilbao v A A
0
x
0
A
0 78
km
/
h x e
?;
t e
Los dos coches se mueven con M.R.U.
v B
62
km
/
h Madrid B
?
x
x
0
v
t x
0
B
t
0 443
km X x A x B
x
0
A x
0
B
v B v A
t
t
78
t
443 62
t t e
J.A. MONDEJAR MINAYA 443 140 3 , 16
h
En el cruce: 36 78
t e x A
x B
443 62
t e
x e y t x e
78
t e
78 3 , 16 246 , 48
km
t e
Grafica–coche A
x A
78
t
t(h)
0 1
x(km )
0 78 2 3 4 156 234 312
Grafica–coche B
x B
443 62
t
t(h) x(km)
0 1 2 3 4 443 381 319 257 195 J.A. MONDEJAR MINAYA 500 450
x
400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 37
CocheB
2
CocheA
4 6
t
6- LA ACELERACIÓN
Los movimientos acelerados son aquellos, en los que
varía la velocidad
Ej: el movimiento de caída libre de los cuerpos, el de un balón al golpearlo, el movimiento de la Luna etc.
La aceleración es por tanto, la magnitud responsable de que se produzcan cambios en la velocidad de los simboliza por
a
Si el cambio se produce en el módulo de la velocidad, la aceleración normal,
a
a
n
J.A. MONDEJAR MINAYA 38
a
Aceleración tangencial
variación que experimenta el módulo de la velocidad con el tiempo.
t
v t t v
0 0 (
a t
): su módulo
a t
, es la La aceleración tangencial tiene la dirección del vector velocidad.
Al igual que con la velocidad, podemos definir una
aceleración tangencial media y una instantánea.
Cuando el incremento de tiempo es infinitamente pequeño tenemos la aceleración instantánea.
Aceleración normal (o centrípeta)
a
el cambio que experimenta la dirección de la velocidad con el tiempo. Este tipo de aceleración aparece en los
movimientos curvilíneos, pues cambia la dirección de la v
J.A. MONDEJAR MINAYA 39
Se denomina normal, porque es un vector perpendicular (normal) a la trayectoria, dirigido hacia el centro de curvatura. Su módulo viene dado por la ecuación:
a
n
v r
2 v: módulo de la velocidad; r: radio de giro de la trayectoria En el movimiento curvilíneo, pueden existir los dos las dos es la aceleracion total,
a
t
a n
a
a
a t
a
a n
a
n
a t
a
a n
a t
J.A. MONDEJAR MINAYA 40
Un ejemplo de movimiento en el que se dan los dos tipos de aceleración, sería el vuelo de una mosca. Ésta, en su vuelo, va variando tanto el módulo, como la dirección de la velocidad.
Criterio de signos para la aceleración:
en los movimientos rectilíneos: si el vector aceleración apunta hacia la derecha o hacia arriba, es positiva. Si apunta hacia la izquierda o hacia abajo, negativa .
Y a a
0
a
X a
0 J.A. MONDEJAR MINAYA 41
Actividades 1- Un móvil aumenta de 20 a 25 m/s su velocidad en 2,5 s, y otro de 42 a 57 m/s en 7,5 s. ¿Cuál ha acelerado más?
a
t
v t
v
0
t
0
a
25 20 2 , 5 5 2 , 5
m
2
s
2
a
57 42 7 , 5 15 7 , 5
m
2
s
2
2- Un vehículo toma una curva de 25 m de radio con una velocidad de 80 km/h. ¿Cuál ha sido la aceleración normal?
80
km
/
h
22 .
2
m
/
s a n
v
2
r
22 , 2 2 25 19 , 75
m s
2 J.A. MONDEJAR MINAYA 42
7- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
En este movimiento, varía de forma constante el
módulo de la velocidad, pero no varían ni la dirección ni
el sentido (movimiento rectilíneo); por tanto la
aceleración es constante.
a
Ecuación de la velocidad:
v t
v
0
t
0
v
v
0
v
a
v
0
t
t
0
a
t
;
Si t
0 0
v
v
0
a
t
Esta ecuación, me permite calcular la velocidad en cada instante de tiempo, conocidas la velocidad inicial, y la aceleración J.A. MONDEJAR MINAYA 43
Ecuación de la posición:
Deducción:
v
v
0
a
t v
m
v
v
0 2
v
m
v
0
v
0
a
t
2
v
0 1 2
a
t v
m
x
x
0
t
x
x
0
v
m
t
x
x
0
v
0 1 2
a
t
x
x
0
v
0
t
1 2
a
t
2
t
Esta ecuación, nos permite calcular la posición del móvil, en un instante t, conocida su posición inicial, su velocidad inicial, y la aceleración.
J.A. MONDEJAR MINAYA 44
Combinando matemáticamente las ecuaciones de velocidad y de la posición, obtenemos una tercera ecuación del movimiento:
v
2
v
0 2 2
a
(
x
x
0 )
7.1-REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL M.R.U.A
Gráfica
horizontal.
aceleración-tiempo
aceleración es constante, se obtiene una recta
a
m
/
s
2
a
(a-t):
como la J.A. MONDEJAR MINAYA
a
45
t
Gráfica velocidad-tiempo (v-t):
cierta pendiente, que puede pasar o no por el origen. El valor de la pendiente de la recta es igual a la aceleración.
v
m
/
s
es una recta con
Pendiente
a
v
t v
0
t
Gráfica posición-tiempo (x-t): es un tramo de parábola. Resulta de representar la ecuación de posición
x
t
J.A. MONDEJAR MINAYA 46
7.2- TIPOS ESPECIALES DE M.R.U.A.: LA CAIDA LIBRE Y EL LANZAMIENTO VERTICAL
La caída libre
: es el movimiento de un cuerpo que deja caer a cierta altura, sobre la superficie de la Tierra. Su velocidad inicial es nula. La aceleración es la aceleración de la gravedad , que es siempre un vector dirigido hacia el centro de la tierra de módulo 9,8 m/s 2 .
y
0
h
;
v
0 0
h
g
9 , 8
m s
2
v y
0
v
g
t
0
v
2
h
2 1
g
2
g
0
t
2
h
J.A. MONDEJAR MINAYA 0 47
El lanzamiento vertical: verticalmente hacia arriba, su velocidad inicial elevada, irá disminuyendo hasta detenerse (v = 0), para empezar a caer. La aceleración es la de la gravedad g = - 9,8 m/s 2 cuando se lanza un cuerpo
v
0 ;
y
h h g
9 , 8
m s
2 0
v
0
g
t h
0
v
0
v
0 2
t
1 2
g
t
2
2
g
h v
0 ( ) ;
y
0 0 J.A. MONDEJAR MINAYA 0 48
Actividades
1- Un coche arranca con una aceleración de 2 m/s distancia que habrá recorrido en ese tiempo. Gráficas.
2 . ¿Qué velocidad habrá alcanzado transcurridos 15 s? Calcula la
v
0 0
a
2
m
/
s
2
MRUA v
?
v
0
v
0
t
0
x
0 0 0
a
t e
v
0
t
t
0 1 2
at
2
v
0 2 15 30
m s
1 2 2 15 2 225
m v
2
t
40
t(s)
x
t
2
x(m) t(s) v(m/ s)
30
v
(
m
/
s
)
t x
?
15
s
0 5 15 0 10 30 20 10 0 0 10
t
20 0 5 10 15 0 25 100 225 250
x
(
m
) 200 150 100 50 0 0 10
X t
20 J.A. MONDEJAR MINAYA 49
2- Determina e interpreta la aceleración del movimiento de la figura y determina el espacio recorrido en los 6 primeros segundos. Dibuja la grafica posición-tiempo.
x v
10 (
m
/
s
) 8 6 4 2 0 0 9
t
0 , 75
t
2 5
t(s)
0 2 4 6 10
t
x(m)
0 15 24 27
e a
v
0
v t t
v
0
t
0 1 2
x
(
m
) 30 25 20 15 10 5 0 0 0 9 6 0
at
2 9 6 1 , 5
m s
2 9 6 5 1 2 6 2 10 27
m
t
J.A. MONDEJAR MINAYA 50
3- La ecuación de velocidad de un objeto que se mueve con M.R.U.A.es,
v
gráfica v-t y x-t
12 3
t
(en unidades del S.I.). Calcula: a) la velocidad inicial. b) la aceleración. c) la velocidad al cabo de 8 s. d) ¿en que instante la velocidad es de 27 m/s? e) haz las
v
6 8
v
0
c
)
v e
)
v
t(s)
0 12 3 8 36
m s
12 3
t
v(m/ s)
12 40
v
(
m
/
s
) 30 2 18 20 4 24 10 30 36
at
0 0
a
) v 0 5 12
m s b
)
a
m
3
s
2
d
) 27 10
t
12 3
t
t
27 12 5
s
3
x
12
t
1 , 5
t
2
t(s)
0 2 4 6 8 28 72 126 192 250
x
(
m
) 200 150 100 50 0 0
t
10 J.A. MONDEJAR MINAYA 51
las gráficas v-t y x-t.
x
5 2
t
3
t
la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración. Dibuja
x
x
0
v
0
t
1 2
at
2
v
2 6
t
t(s)
0 1 2 3 4
v(m/ s)
2 8 14 20 26 30
v
(
m
/
s
) 25 20 15 10 5 0 0 J.A. MONDEJAR MINAYA
x
0 5
m
;
v
0 2
m
;
a s
m
6
s
2 5
t
t(s) x( m)
0 5 1 10 2 3 4 21 38 61 70 60 50 40 30 20 10 0
x
(
m
) 0 52 5
t
5- Un coche que circula por una carretera recta a 50 km/h acelera hasta 80 km/h en 5 s, velocidad que mantiene 10 s. A continuación frena y para en 20 s. Dibuja la gráfica v-t, calcula las dos aceleraciones, y determina el espacio total recorrido.
v
0 13 ,
MRUA
8
m
/
s a
?
v
1 22 , 2
m
/
s MRU v
2 22 , 2
m
/
s MRUR a
?
v
3 0 0
t x
0 0 0 0
MRUA
v
1
v
0
t x
1 ?
5
s
1
a
t
1
t
0
a
v
1
t
1
x
2 ?
t t
2
v
0 0 15
s
22 , 2 5 13 , 8 0
x
3
t
3 ?
35
s
1 , 6
m s
2
X MRUR
v
3
v
2
a
t
3
t
2
a
v
3
t
3
v
2
t
2 0 22 , 2 35 15 1 , 1
m s
2 J.A. MONDEJAR MINAYA 53
v
MRUA
13 , 8 1 , 6
t
t(s)
0 2 5
x(m)
13 17 , , 2 22 , 2 8 25
v
(
m
/
s
) 20 15 10 5 0 0
A
J.A. MONDEJAR MINAYA
v
MRU
22 , 2
m
/
s
t(s)
5 10 15
x(m)
22 , 22 22 , 2 , 2
B v
MRUR
22 , 2 1 , 1
t
15
t(s)
15 25 35
x(m)
22 , 11 , 1 0 10 20 54
C
30 40
t
e T
e A
e B
e C e A
x
1
x
0
v
0
t
1
t
0
1 2
a
t
1
t
0
2 13 , 8 5 1 2 1 , 6 5 2 90 , 27
m e B
x
2
x
1
v
1
t
2
t
1 22 , 2 15 5 222 , 2
m e C
x
3
x
2
v
2
t
3
t
2
1 2
a
t
3
t
2
2 22 , 2
35 15
1 2
35 15
2
e C
444 , 4 222 , 2 222 , 2
m e T
90 , 27 222 , 2 222 , 2 534 , 71
m
J.A. MONDEJAR MINAYA 55
6- Se deja caer un objeto de 2 kg desde cierta altura. Calcula la velocidad y el espacio que habrá recorrido cuando hayan pasado 1, 2 y 3 segundos. Dibuja las gráficas a-t, v-t e y-t.
0
t
0 0 ;
y
0 ?;
v
0 0
t
1 1
s
;
y
1 ?;
v
1 ?;
t
2 2
s
;
y
2 ?;
v
2 ?
t
3 3
s
;
y
3 ?;
v
3 ?
v
1
v
0
g
t
1
t
0
v
1 0 10 10
m s v
2
v
0
g
t
2
t
0
v
2 10 2 20
m s v
3
v
0
g
t
3
t
0
v
3 10 3 30
m s e
y
1
y
0 0 1 5 1 2
v
0
t
1
t
0
1 2
g
t
1
t
0
2 5
m
Y
J.A. MONDEJAR MINAYA 56
e
y
2
y
0
v
0
t
2
t
0
1 2
g
t
2
t
0
2 0 2 5 2 2 20
m e
y
3
y
0
v
0
t
3
t
0
1 2
g
t
3
t
0
2 0 3 5 3 2 45
m
0 1 2 3
v
10
t
t(s) v(m/ s)
0 -10 -20 -30 0 -10 0 -20 -30 -40
v
(
m
/
s
) 2
a
g
10
a
m
/
s
-10 2 -20 0 0 J.A. MONDEJAR MINAYA
t
4 57
x
5
t
2
t(s)
0 1 2 3 2
x(m)
0 -5 -20 -45 0 -20 0 -40 4
t
-60
x
(
m
)
t
5
7- Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 60 m/s. Calcula su velocidad a los 5 s, el tiempo que tardará en llegar a su altura máxima y la altura maxima. Graficas v-t y y-t
t
2 ?
y
2 ?
v
2 0
t
1 5
s y
1 ?
v
1 ?
t
0 0
y
0 0
v
0 60
m
/
s v
1
v
0
g
t
1
t
0
v
1 60 10 5 10
m s v
2
v
0
g
t
2
t
0 0 60 10
t
2
t
2 60 10 6
s
0
y
2
y
0
v
0
t
2
t
0 1 2
g
t
2
t
0 2
y
2 0 60 6 5 6 2 180
m
J.A. MONDEJAR MINAYA 58
v
60 10
t
t(s)
0 2 4 6
v(m/ s)
60 40 20 0
v
(
m
/
s
) 70 60 50 40 30 20 10 0 0
y
60
t
5
t
2
t(s) y(m)
0 2 4 6 0 100 160 180 J.A. MONDEJAR MINAYA 200 150
y
(
m
) 100 50 0 0 59 2 4 6 8
t
5 10
t
8- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)
El M.C.U. es el movimiento de un móvil, que recorre una trayectoria circular con velocidad constante en modulo; sin embargo varía la dirección y el sentido del vector velocidad
v s A s B
v v
A B
v
En la figura, tenemos un disco que hacemos girar con rapidez constante, en el que hemos marcado dos puntos A y B.
J.A. MONDEJAR MINAYA 60
Cuando el disco efectúa un cuarto de giro, el punto A recorre el arco S tiempo transcurrido para cada punto en recorrer su arco es el mismo, la velocidad lineal del punto B es mayor que la del punto A.
A y el punto B el arco mayor S B . Como el
v A
S A
;
v B t
S B t
;
como
,
S B
S A
v B
v A
Por tanto para un cuerpo que gira la velocidad lineal de sus puntos varía según la distancia al centro de giro. A mayor distancia del centro de giro mayor velocidad lineal y viceversa.
J.A. MONDEJAR MINAYA 61
¿Cómo expresar entonces la velocidad de giro del disco?:
Para ello se introduce la velocidad angular ω, que se define como el ángulo barrido en la unidad de tiempo.
Su unidad en el S.I. es el rad/s. También se suele utilizar como unidad, revoluciones/minuto ó r.p.m.
t
t
0
t
0 0
t
0
t
Ángulo barrido: su unidad en el S.I. es el radián (rad). Definimos el radián como el ángulo cuyo arco es
igual al radio. El ángulo también se mide en grados
sexagesimales.
J.A. MONDEJAR MINAYA 62
Equivalencia entre grados y radianes:
La relación entre el ángulo barrido, el arco y el radio es:
S R
Si el arco es la circunferencia completa y el ángulo 360 0
S
2
R
2
R R
2
rad
Por tanto 360º son 1 rad 360 0 2 2
rad
57 0 1 7 4 4
Relación entre la velocidad lineal (v) y la velocidad angular (w):
Angulo
Arco Radio
S R
S
R
Como
,
v
S t
J.A. MONDEJAR MINAYA
v
R
t
63
v
R
w
Periodo y frecuencia en el MCU
Periodo (T)
: es el tiempo que tarda un móvil en dar
una vuelta completa. Su unidad S.I. es el segundo.
T
2
w
Frecuencia (f)
: es el número de vueltas que da el
móvil en un segundo. Su unidad S.I. es el hercio (Hz)
f
w
2
vueltas s
ciclo s
Hz
Periodo y frecuencia se relacionan por la fórmula:
f
1
T
J.A. MONDEJAR MINAYA 64
Aceleración centrípeta (o normal)
En el M.C. varía la dirección de la velocidad. El responsable de esta variación, es la aceleración centrípeta (o normal). Se trata de un vector perpendicular a la trayectoria, dirigido hacia el centro de la circunferencia. Su módulo viene dado por:
a c
v
2
R
J.A. MONDEJAR MINAYA
a c
R
2
R
2
R
a c
v
a c
v
a c
v
a c
65 2
R
Actividades
1- Realiza las transformaciones:
45
r
.
p
.
m
.
rad
; 28
s
rad s
r
.
p
.
m
.
45
r
.
p
.
m
.
rev
45 min
rev
45 min 2
rad
1
rev
1 min 60
s
45 2 60
rad s
1 , 5
rad s
28
rad s
60
s
1 min 1
rev
2
rad
28 2 60
rev
min
rev
840 min 840
r
.
p
.
m
.
2- Una rueda gira con w=0,5 rad/s ¿Qué ángulo habrá girado en 1 min? Expresa el valor de w en r.p.m.
0
wt
0 0 , 5 60 30
rad w
0 , 5
ra d s
1
rev
2
ra d
60
s
1 min 15
rev
min 15
rpm
J.A. MONDEJAR MINAYA 66
3- Una rueda gira a razón de 50 r.p.m. ¿Cuál será su w en rad/s? ¿Cuál será la velocidad lineal de un punto de su periferia situado a 20 cm del eje de giro?
w
50
rpm
re v
50 mi n 2
rad
1
re v v
wR
1 , 6 0 , 2 1 , 05
m s
1 mi n 60
s
1 , 6
rad s
4- Calcula la velocidad angular de la Tierra en su rotación y la velocidad lineal de un punto del ecuador. (Dato: la Tierra da una vuelta completa en 24 horas. Radio de la Tierra = 6.500km
t
2 24 3 .
600
rad s
2 , 3 10 5
rad s v
wR
2 , 3 10 5 6 , 5 10 6 3 .
051 .
3
m s
J.A. MONDEJAR MINAYA 67
5- El radio de las ruedas de un coche que circula a 108 km/h es 15,9 cm. ¿Cuántas vueltas dará una rueda en 1 km? Calcula la w de las ruedas en r.p.m. y en rad/s
v
wR
w
v R
30 0 , 159 188 , 7
rad s w
188 , 7
ra d s
60
s
1 min 1
rev
2
ra d
5 .
661
rpm
1
km
vueltas
; 1
k m
1000
m
1
k m
1
vueltas
2 3 , 14 0 , 159
m
1 .
001 , 5
vueltas
J.A. MONDEJAR MINAYA 68
6- Las aspas de un ventilador, de radio 25cm giran con w =600 r.p.m. Calcula: a) la distancia angular que habrán recorrido en 1 min, y los metros que habrá recorrido un punto del extremo de una pala. b) la velocidad lineal de un punto a 5 cm del eje de giro. c) el periodo y la frecuencia del movimiento de las aspas.
a
)
w
600
rpm
0
wt
re v
600 mi n 0 2
rad
1
re v
20 1 mi n 60
s
60 20
rad s
1 .
200
rad b
)
c
)
Arco
R
Arco
1 .
200 0 , 25 300 300 3 , 14 942
m v
wR
v
20 0 , 25 5 15 , 7
m s T
2
w
T
2 20
s
0 , 1
rev f
1
T
f
1
T
1 0 , 1 10
rev s
10
Hz
J.A. MONDEJAR MINAYA 69
PROBLEMAS – CINEMÁTICA
J.A. MONDEJAR MINAYA 70
A- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)
1. Realizar las siguientes transformaciones: a) 36 km/h m/s. b) 10 m/s a km/h. c) 30 km/min a cm/s. d) 50 m/min a km/h.
a
a
) 36
k m h
1000
m
1
k m
1
h
3 .
600
s
10
m s b
) 10
m s
1
km
1000
m
3 .
600
s
1
h
36
km h k m c
) 30 mi n 100 .
000
cm
1
k m
1 mi n 60
s
50 .
000
cm s m d
) 50 mi n 1
km
1 .
000
m
60 mi n 1
h
3
km h
J.A. MONDEJAR MINAYA 71
2- Un coche inicia un viaje de 495 Km. a las ocho y media de la mañana con una velocidad media de 90 Km/h. ¿A qué hora llegará a su destino?
MRU
:
s
vt
t
s v
495 5 .
5
h
90 A las dos de la tarde
3- Un móvil recorre 98 km en 2 h, calcular: a) Su velocidad.
b) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 h con la misma velocidad?
a
)
v
t s
98 2 49
km h b
)
s
vt
s
49 3 147
km
4- ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 km/h para recorrer una distancia de 25.000 m?
t
s v
25 .
20 , 8 3 1 .
200
s
20 min J.A. MONDEJAR MINAYA 72
5- En una prueba de 3000 metros obstáculos, el vencedor invirtió en el recorrido 6 minutos y 40 segundos. El último clasificado cruzó la meta 23 segundos después. Calcula la velocidad media del primer y último clasificado
.
Vencedor
:
v m
s t
3 .
000 400 7 , 5
m s Ultimo
:
v m
s t
3 .
000 423 7 , 1
m s
6- Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policía, ¿cuánto tarda el policía en oírlo si la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s?
t
s
2 .
040 6 , 18
s v
330
7- ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 300.000 km/s y el Sol se encuentra a 150.000.000 km de distancia.
t
s v
150 .
000 .
000 300 .
000 500
s
8 , 3 min J.A. MONDEJAR MINAYA 73
8- La velocidad de sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300.000 km/s. Se produce un relámpago a 50 km de un observador. a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido? b) ¿con qué diferencia de tiempo los registra?
a
)
La luz b
)
t luz
s v
50 .
000 300 .
000 0 , 1 6
s t sonido
s v
50 .
000 330 151 , 51
s Diferencia
151 , 51 0 , 16 151 , 35
s
9- Un observador se halla a 510 m. de una pared. Desde igual distancia del observador y de la pared, se hace un disparo; ¿al cabo de cuántos segundos percibirá el observador: a) el sonido directo; b) el eco? Velocidad del sonido 340 m/s.
t son
.
dir
.
s v
255 340 0 , 75
s t eco
s v
765 340 2 , 25
s
J.A. MONDEJAR MINAYA 74
10- Un movil recorre la recta, con velocidad constante. En el tiempo t 1 = 0,5 s y t 2 = 1,5 s, sus posiciones en la recta son x 1 = 3,5 m y x 2 = 43,5 m. Calcular: a) ¿a qué v se desplaza el auto? b) ¿en qué punto de la recta se encontraría a los 3 s?
v
40
m
/
s
0
t x
1 1 3 , 5
m
0 , 5
s t x
2 43 , 5
m
1 , 5
s
2
a
)
v
x
2
t
2
x
1
t
1 43 , 5 3 , 5 1 , 5 0 , 5 40
m s b
)
x
3
x
1
v
t
3
t
1
x
3 3 , 5 40
3 0 , 5
103 , 5
m t x
3 3 ?
3
s X
J.A. MONDEJAR MINAYA 75
11- Dos ciudades distan entre sí 5 km. y las une una carretera totalmente recta. Si de la primera ciudad parte un ciclista con una velocidad de 36 km/h y de la otra ciudad y al encuentro del primer ciclista parte otro ciclista con una velocidad de 900 m/min. Calcular: a) El tiempo que tardan en encontrarse los ciclistas. b) La distancia entre el punto de encuentro y la primera ciudad. c) Grafica x-t
MRU v A
10
m
/
s t e
?
x e
?
0
t
0
A
0 x 0
A
0
x A x B
x
0
A
x
0
B
v A
t A
v B
t B
t
0
A
t
0
B
v B
15
m
/
s t
0
B MRU
0
x
0
B X
5 .
000
m t A
t t B
t
;
en t e y x A el
x punto de encuentro B
x e
x
0
A
v A t e
x
0
B
v B t e
0 10
t e
5 .
000 15
t e
t e
5 .
000 25 200
s x e
10
t e
x e
10 200 2 .
000
m
J.A. MONDEJAR MINAYA 76
Ciclista
A
x A
10
t
t(s)
0 50 100 150 200
x(m)
0 500 1.000
1.500
2.000
x B Ciclista B
5 .
000 15
t
t(s)
0 50 100 150 200
x(m)
5.000
4.250
3.500
2.750
2.000
J.A. MONDEJAR MINAYA 6000
x
(
m
) 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 77
Ciclista
A
Ciclista B
100 200 300
t
12- Un ladrón roba una bicicleta y huye con ella a 20 km/h.
Un ciclista que lo ve, sale detrás de él tres minutos más tarde a 22 Km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo y donde lo alcanzará?
Graficas.
MRU v C
6 , 1
m
/
s MRU v L
5 , 5
m
/
s
0
x
0
C
0
x e
?
t e
?
x L
x
0
L
v L t L Se cumple que
:
t L
t C
180
x C
x
0
C
v C t C En el punto de encuentro
:
x L
x C
x e
y
t C
t e x
0
L
v L
t C
5 , 5 180 180 6 , 1
t e
x
0
C
5 , 5
t e
v
t e C t C
0 1 .
000 0 , 5 5 , 5
t e
1 .
800
s
180 0 30 min
x e
6 , 1
t
6 , 1 1 .
800 11 .
000
m
11
km
6 , 1
t e X
J.A. MONDEJAR MINAYA 78
x L Ladron
1 .
000 5 , 5
t
t(s)
0 900 1.800
2.000
x(m)
1.000
6.000
11.000
12 .
111 , 1
Ciclista x C
6 , 1
t
t(s)
0 900 1.800
2.000
x(m)
0 5.500
11.000
12 .
222 , 2 J.A. MONDEJAR MINAYA 12000
x
(
m
) 10000 8000 6000 4000 2000 0 0
Ladron Ciclista
79 500 1000 1500
t
2000
13- Dos coches salen a su encuentro, uno de Bilbao y otro de Madrid. Sabiendo que la distancia entre ambas capitales es de 443 Km. y que sus velocidades respectivas son 78 Km/h y 62 Km/h y que el coche de Bilbao salió hora y media más tarde, calcular: a) Tiempo que tardan en encontrarse b) ¿A qué distancia de Bilbao lo hacen? Grafica x-t.
Bilbao v B MRUV
78
km
/
h
0
x
0
B
0
x B x M
x
0
B x
0
M
v B t B v M t M x
0
B
v B t B
x
0
M x e
?
t e
?
v M MRUV
62
km
/
Madrid h x
0
M
443
km X Se cumple que
:
t M
t B
1 , 5
En el punto de encuentro v M
t B
1 , 5 78
t e
443
x B
62
t e x M
x e
y
t B
1 , 5
t e x
78
t e e
62
t e
78
t e
443 93
t e
78 2 , 5 195
km
350 140 2 , 5
h
J.A. MONDEJAR MINAYA 80
x B Bilbao
78
t B
t(h) x(km)
0 1 1,5 2,5 0 78 117 195 400
x
(
m
) 350 300 250
x M x M
Madrid
443 62
t B
1 , 5 350 62
t B
T(s)
0 1 1,5 2,5
X(km)
350 288 257 195 J.A. MONDEJAR MINAYA 200 150 100 50 0 0 81 1
Madrid Bilbao
2 3
t
B- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
14- Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular: a) Aceleración. b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s? graficas aceleracion-tiempo, velocidad-tiempo y posicion-tiempo
Y
0
t v
30
s y
588
m
/ ?
s
a
?
b
) s
a
)
v
v
0
at
a
588 0 30 19 , 6
m s
2
t
0 0
y
0 0
v
0 0 y y 0
v
0
t
1 2
at
2
a
m
/
s
2 0 30 19 , 6 2 30 2 30
Grafica a
t
20 10
a
19 , 6
m
/
s
2 0 0 50 8 .
820
m t
100 J.A. MONDEJAR MINAYA 82
Grafica y
t v
19 , 6
t
t(s)
0 10 20 30
v(m/s)
0 196 392 588 700 600
v
(
m
/
s
) 500 400 300 200 100 0 0
Grafica y
t
y
9 , 8
t
2
t(s)
0 10 20 30
y(m)
0 980 3.920
8.820
10000
y
(
m
) 8000 6000 4000 2000 0 0 J.A. MONDEJAR MINAYA 83 10 10 20 20 30
t
40 30 40
t
15- Un ciclista inicia el movimiento por una calle con aceleración constante hasta alcanzar una v de 36 km/h en 10 s. a) ¿Cuánto vale la aceleración?; b) ¿Qué distancia ha recorrido en 10 s?
0
a
?
MRUA t
0 0
x
0 0
v
0 0
a
v t
v
0
t
0 10 0 10 0
m
1
s
2
t
10
s x
?
t(s)
v
t
v(m/s)
0 0 5 10 5 10
s
x
x
0
v
0
t
1 2
a
t
t
0
2 15
v
(
m
/
s
) 10 5 0 0
t
20
x
5
t
2
t(s) x(m)
0 0 5 10 125 500 1 2 600
x
(
m
) 1 10 2 400 50
m
200 0 0 10 J.A. MONDEJAR MINAYA 84
v
10
m
/
s X
20
t
16- Un coche está parado en un semáforo, cuando se pone el semáforo en verde inicia el movimiento con una aceleración de 1 m/s2 durante 6s.Calcular: a) El espacio recorrido. b) La velocidad que adquiere el coche después de ese tiempo.
a
1
m
/
s
2
MRUA
0
t
0 0
x
0 0
v
0 0
t
6
s x
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a
)
s
x
x
0
v
0
t
1 2
a
t
t
0
2 1 2 1 6 2 18
m
t(s)
0 3 6
b
)
v
v
0
v
t
v(m/s)
0 3 6
a
t
t
0
v
8 6 4 2 0
v
(
m
/
s
) 0 0 1 6 0
v x
5
t
2 6
m
/
s x
(
m
) 200 150
t(s) x(m)
100 0 0 50 3 45 0
t
10 6 180 0
v
?
X
10
t
J.A. MONDEJAR MINAYA 85
17- Un móvil con velocidad inicial de 10 m/s acelera con aceleración de 2 m/s 2 a) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 100m? b) ¿Qué velocidad alcanza cuando ha recorrido 150m?
a
2
m
/
s
2 0
t
0 0
x
0 0
v
0 10
m
/
s t
?
x
100
m x
150
m v
?
X a
)
x
x
0
v
0
t
1 2
at
2 100 0 10
t
t
2
t
2 10
t
100 0
t
10 10 2 2 1 4 1 100 10 22 , 3 6 , 2
s
2
b
)
v
2
v
0 2 2
a
x
x
0 10 2 2 2 150 0 700
v
700 26 , 5
m s
J.A. MONDEJAR MINAYA 86
0
18- Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. Calcular: a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos? b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos? c) Graficas.
v
0 ?
t
0 0
x
0 0
a
?
MRUR X t
25
s x
400
m v
0
b
)
v
v
0
at
0
v
0 25
a v
0 25
a x
x
0
v
0
t
1 2
at
2 400 25
v
0 312 , 5
a
400 25 25
a
312 , 5
a
400 625
a
312 , 5
a
400 312 , 5
a
a
400 312 , 5 1 .
28
m s
2
a
)
v
v
0
at
0
v
0 1 , 28 25
v
0 32
m s
J.A. MONDEJAR MINAYA 87
Grafica v
t v
32 1 , 28
t
t(s)
0 5 10 18 25
v(m/s)
32 25,6 19,2 8,96 0
Grafica x
t x
32
t
0 , 64
t
2
t(s)
0 5 10 18 25
x(m)
0 144 256 368,6 400 J.A. MONDEJAR MINAYA
v
(
m
/
s
) 35 30 25 20 15 10 5 0 0 500
x
(
m
) 400 300 200 100 0 0 10 88 10 20 20 30
t
30
t
19- Un ingeniero quiere diseñar una pista para aviones de manera que puedan despegar con una velocidad de 72 m/s. Estos aviones pueden acelerar uniformemente a razón de 4 m/s despegue?
2 . a) ¿Cuánto tiempo tardarán los aviones en adquirir la velocidad de despegue? b) ¿Cuál debe ser la longitud mínima de la pista de
a
4
m
/
s
2 0
t
0 0
x
0 0
v
0 0
MRUA
v
72
m
/
s t
?
x
?
X a
)
v
v
0
at
72 0 4
t
t
72 4 18
s b
)
x
x
0
v
0
t
1 2
at
2
x
1 2 4 18 2
x
648
m
J.A. MONDEJAR MINAYA 89
20- La aceleración de un móvil es constante y tiene como valor 40 cm/s 2 . Si en un cierto instante el valor de la velocidad es de 6 m/s, ¿cuál es su valor 2 minutos después?
40
cm s
2
s m
2 ; 40
c
s
2 1
m
100
c
m
0 , 4
s
2
v
v
0
a
t
t
0
v
6 0 , 4 120 0
v
54
m
/
s
21- La velocidad de un móvil viene dada en m/s por la ecuación v=225-5t con el tiempo t en segundos. Determinar: a) la velocidad cuando empieza a contar el tiempo. b) la velocidad que lleva en t=5 s. c) el momento en que la velocidad es nula.
a
)
Como
:
v b
)
v
v
0
at
225 5 5
v
0 200
m
/
s
225
m
/
s c
) 0 225 5
t
t
J.A. MONDEJAR MINAYA 225
t
5 90 45
s
22- Un avión recorre 1200 m a lo largo de la pista antes de detenerse al aterrizar. Calcular: a) la deceleración de la pista si aterriza a 100 km/h; b) el tiempo que tarda en pararse desde que aterrizó; c) el espacio que recorre en los 10 primeros segundos.
0
v
0 27 , 7
m
/
s t
0 0
x
0 0
a
?
MRUR v
0
t
?
x
1 .
200
m X a
)
v
2
v
0 2
b
)
v
v
0 2
a
x
x
0 27 , 7 2 0 2
at
27 , 7 0 0 , 32
t
t
2
a
1 .
200 0
a
m
0 , 32
s
2 86 , 8
s c
)
s
x
x
0
v
0
t
1 2
at
2 27 , 7 10 1 2 0 , 32 10 2
s
43 , 7
m
J.A. MONDEJAR MINAYA 91
23- Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con velocidad inicial de 50 m/s. Calcular: a) La altura máxima alcanzada y el tiempo empleado en alcanzarla. b) La velocidad que tiene al llegar al suelo y el tiempo que tarda en caer. c) Graficas.
0
Y v y
0 ?
t
?
g
10
m
/
s
2
v
0
t
0 50
m
/
s
0
y
0 0
a
)
v
v
0
gt
0 50 10
t
t
50 10 5
s y
y
0
b
)
y
v
0
t
1 2
gt
2 50 5 1 2 10 5 2
y
0
v
0
t
1 2
gt
2 0 0 50
t
y
5
t
2 125
m t
50 5
t
0 50 5
t
0
t
50 5 10
s v
v
0
gt
50 10 10 50 100
v
50
m
/
s
J.A. MONDEJAR MINAYA 92
Grafica
v t
v
50 10
t Grafica y
y t 50
t
5
t
2
t(s)
0 6 8 2 4 10 J.A. MONDEJAR MINAYA
t(s)
0 2 4 6 8 10
y(m)
0 80 120 120 80 0
v(m/s)
50 30 10 -10 -30 -50 60
v
(
m
/
s
) 40 20 0 -20 0 -40 -60 140
y
(
m
) 120 100 80 60 40 20 0 0 93 5 5 10 15
t
10 15
t
24- Desde la azotea de un edificio de 42 metros de altura, dejamos caer un objeto. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad con la que lo hace. Graficas.
v
2
v Y
0
v
0 2 2
g
y
y
0
v
t
0
y
0
v
0 0 42
m
0
v
v
0 0 2 2
10
0 42
gt
29 0 10
t
t
840 29 10 29
m
/ 2 , 9
s s Grafica
v t
v
10
t Grafica
y t
y
42 5
t
2
g
10
m
/
s
2
v t
y
?
?
0 0 -10
v
(
m
-20 /
s
) -30 -40 0 2
t
4 50
y
(
m
) 40 30 20 10 0 0 2 4
t
J.A. MONDEJAR MINAYA 94
v
25- Una piedra cae libremente en el vacío. Calcula: a) La distancia recorrida por la piedra durante los primeros 5 segundos de caída. b) La distancia recorrida por la piedra durante los 5 segundos siguientes.
Y t
0 0
y
0 ?
v
0 0
a
)
s
0 1
y
1
y
0
v
0
t
1
t
0 1 2
g
t
1
t
0 2
g
10
m
/
s
2
t
1 5
s y
1 ?
0
5 0
1 2
10
5 0
2 125 125
m b
)
s
0 2
y
2
y
0
v
0
t
2
t
0 1 2
g
t
2
t
0 2
t
2 10
s y
2 ?
0
10 0
1 2
10
10 0
2 500 500
m s
1 2
s
0 2
s
0 1 500 125 375
m
0 J.A. MONDEJAR MINAYA 95
0
Y
26-Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una v inicial de 7 m/s. a) ¿Cuál será su v después de haber descendido 3 s? b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 s? c) ¿Cuál será su v después de haber descendido 14m? d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200m, ¿en cuánto tiempo y con que v llega al suelo?
y
0
v
0
t
0 0 200
m
7
m
/
s t
0 3
s y
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g v y t
?
186
m
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t y v
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0 ?
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3 7 30 37
m
/
s b
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0
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t
1 2
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v
v
0 2 2
g
y
y
0
v
v
v
0
gt
t
v
v
0
g
3 1 2
2
2 2 3 2 2
0 200
62 , 86 10
1 , 2
5 , 09
s
66 66
m
18 , 14
m
/
s
63 , 63
m
/
s
J.A. MONDEJAR MINAYA 96
27-Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 90 km/h, ¿cuánto tardará en llegar a la altura máxima? Graficas.
t
?
v y
?
0
v
v
0
gt
t
v
v
0
g
0 90 3 , 6 10
t
2 , 5
s
0
t(s)
0 1 2 2,5
t
0
y
0
v
0 0 0 25
m
/
s
v(m /s)
25 15 5 0 30
v
(
m
/ 20
s
) 10 0 0
v
25 10
t t
5
t(s) y(m)
0 1 2 2,5 0 20 30 31,25
y
(
m
) 40 30 20 10 0 0
y
25
t
2 5
t
2
t
4 J.A. MONDEJAR MINAYA 97
28- Se lanza una pelota hacia arriba y se recoge a los 2 s, calcula: a) ¿Con qué velocidad fue lanzada? b) ¿Qué altura alcanzó? c) ¿Con qué velocidad llega abajo?
Y a
)
y
y
0
v
0
t
1 2
gt
2
t v y
?
?
0
b
)
v
v
0 0 0
gt
t
v
0 0 2 5 2 2 10 10 1
m s
v
0 20 2 10
m s y
y
0
v
0
t
1 2
gt
2 0 10 1 5 1 2 5
m v
0
y t
0 0 0 ?
0 0
t y v
2 0 ?
s c
)
v
v
0
gt
v
10 10 2 10
m s
J.A. MONDEJAR MINAYA 98
29- Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad de 5 m/s. a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota al cabo de 7 s? b) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?
a
)
v
v
0
gt
5 10 7 75
m s b
) s
y
y
0
v
0
t
1 2
gt
2 7 5 7 2 35 245 280
m
30- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 25 m/s, ¿qué altura alcanzará?
v
v
0
gt
t
0 25 10 2 , 5
s y
y
0
v
0
t
1 2
gt
2 0 25 2 , 5 5 2 , 5 2 32 , 25
m
J.A. MONDEJAR MINAYA 99
31- Desde la terraza de un edificio de 100 m de altura se tira un objeto hacia abajo con una velocidad de 10 m/s. Despreciando la resistencia del aire. Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar al suelo. b) La velocidad al llegar al suelo.c) Graficas
b
)
v
2
v
0 2 2
g
y
y
0
v
2 2 10 0 100 2 .
100 44 , 7
m
/
s a
)
v
v
0
gt
t
v
v
0
g
44 , 7 10
10
3 , 47
s
3 , 5
s
t(s)
0 1 2 3 3,5
v(m /s)
-10 -20 -30 -40 -44,7
v
10 10
t
0 -10 -20 -30 -40 -50 0
v
(
m
/
s
) 2
t
4
t(s)
0 1 2 3 3,5
y(m)
0 85 60 25 0
y
100 10
t
5
t
2 150
y
(
m
) 100 50 0 0 2
t
4 J.A. MONDEJAR MINAYA 100
32- Un alumno esta en una ventana de la 2ª planta del colegio situada a 8 m sobre el patio. Un alumno lanza una pelota desde el patio y hacia arriba con una v de 20 m/s. Calcular: a) La altura máxima que alcanza la pelota, medida desde el patio. b) El tiempo que tarda, el alumno, en ver pasar la pelota, por delante de la ventana, contado desde el momento del lanzamiento y la velocidad.
a
)
v
v
0
gt
t
0 20 10 2
s
;
y
y
0
v
0
t
1 2
gt
2 0 20 2 5 2 2 20
m b
)
y
y
0
v
0
t
1 2
gt
2 8 0 20
t
5
t
2 5
t
2 20
t
8 0
t
b
b
2 4
ac
2
a
2 2 5
v
v
0
gt
20 10 0 , 45 15 , 5
m s
4 5 8 20 15 , 5 10 20 15 , 5 3 , 55
s
0 , 45
s
10 J.A. MONDEJAR MINAYA 101
C- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U)
33-Calcula la veloc. angular de una rueda que gira describiendo un ángulo de 2 rad en 10 s. ¿Cuál será la velocidad lineal de un punto de la rueda situado a 30 cm de su eje de giro?
w
0
t
2 0 10 0 , 2
rad s
;
v
wR
0 , 2 0 , 3 0 , 06
m s
34- Una rueda gira describiendo un ángulo de 90 Calcula su velocidad angular. Si el radio de la rueda es de 15 cm calcula la velocidad lineal de un punto de su periferia.
0 en 1 min.
w
0
t
0 , 5 60 0 120
rad s
;
v
wR
0 , 15 120 0 , 004
m s
J.A. MONDEJAR MINAYA 102
35- Calcula el tiempo que tarda en completar una vuelta un móvil que se mueve con M.C.U. con w = 10 rad/s. ¿Cuántas vueltas completas habrá dado en 35 s?
0
wt
t
0
w
2 0 10 0 , 628
s
35
s s
0 , 628
vuelta
55 , 73
vueltas
55
vueltas
36- Un cochecito da vueltas en una pista circular y recorre 1m en 10s. El radio de la pista es de 50cm.a) ¿Cuál es su v. lineal?, b) ¿Cuál es la v. angular?, c) ¿Cuántas vueltas da en 1 min?
a
)
v
s t c
) 0 1 10 0 , 1
m s b
)
v
wR
w
wt
0 0 , 2 60 12
rad v R
0 , 1 0 , 5
n
º
vueltas
0 , 2
rad s
2 12 6 , 28 1 , 91
vuel
J.A. MONDEJAR MINAYA 103
37- Calcula el período y la frecuencia de un objeto que describe un M.C.U. con una w = 500 r.p.m
w
re v
500 mi n 2
rad
1
re v
1 mi n 60
s
16 , 6
rad T
2
w
6 , 28 16 , 6 2
s f
1
T
1 2 0 , 5
Hz
38- Una rueda de un coche, de 35 cm de radio, gira con una frecuencia de 15Hz. Calcula: a) la velocidad angular de la rueda, b) ¿Cuánto tiempo tarda la rueda en dar una vuelta completa?, c) ¿A qué velocidad lineal se desplaza el coche?
b a
)
f
)
T
w
2 1
f
w
f
2 1 15 0 , 0 6
s
15 2 3 , 14 94 , 2
rad s
c
)
v
wR
94 , 2 0 , 35 33
m s
J.A. MONDEJAR MINAYA 104