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Capítulo 2 – Movimento Retilíneo
2.1 – Deslocamento, tempo e velocidade média
Exemplo: Descrever o movimento de um carro que anda em linha reta
0
Antes de mais nada, temos que:
- Modelar o carro como uma partícula
- Definir um referencial: eixo orientado e origem
x
x
0
x
x2
x1
0
t1
t2
t
x
x3
x2
x1
0
t1
t2
t3
t
x
x3
x2
x4
x1
0
t1
t2
t3
t4
t
x
x3
x2
x4
x5= x1
0
t1
t2
t3
t4
t5
t
Deslocamento entre t1 e t2: x x2 x1
x
x3
Velocidade média:
vmx
x2
x4
x
x5= x1
0
x2 x1 x
t2 t1 t
t
t1
Inclinação:
t2
t3
x
0
t
t4
t5
t
Entre t3 e t4: vmx
x
x4 x3 x
0
t 4 t3
t
x3
x 0
x2
x4
t
x5= x1
0
t1
t2
t3
t4
t5
t
Entre t1 e t5: vmx
x
x5 x1 x
0
t5 t1 t
x3
Atenção:
Velocidade média não
é a distância
percorrida dividida
pelo tempo
x2
x4
x5= x1
0
x 0
t
t1
t2
t3
t4
t5
t
2.2 – Velocidade instantânea
Qual a velocidade em um instante de tempo?
Entret 1s e t 2s :
x(2) x(1) 20 5
vmx
15m/s
2 1
1
Exemplo: x(t ) 5t 2
x (m)
20
5
0
1
2
t (s)
Exemplo: x(t ) 5t 2
Entret 1s e t 2s :
x(2) x(1) 20 5
vmx
15m/s
2 1
1
Entret 1s e t 1,5 s :
x(1,5) x(1) 11,25 5
vmx
12,5m/s
1,5 1
0,5
x (m)
11,25
5
0
1
1,5
t (s)
Exemplo: x(t ) 5t 2
Entret 1s e t 2s :
x(2) x(1) 20 5
vmx
15m/s
2 1
1
Entret 1s e t 1,5 s :
x(1,5) x(1) 11,25 5
vmx
12,5m/s
1,5 1
0,5
x (m)
11,25
5
0
1
1,5
t (s)
Exemplo: x(t ) 5t 2
Entret 1s e t 1,5 s :
x(1,5) x(1) 11,25 5
vmx
12,5m/s
1,5 1
0,5
x (m)
Entret 1s e t 1,1s :
x(1,1) x(1) 6,05 5
vmx
10,5m/s
1,1 1
0,1
6,05
5
0
Entret 1s e t 2s :
x(2) x(1) 20 5
vmx
15m/s
2 1
1
1 1,1
t (s)
Velocidade instantânea:
x dx
v x lim
t 0 t
dt
Exemplo: x(t ) 5t 2
dx
10t
dt
Em t 1 s : vx (1) 10 m/s
vx (t )
x (m)
n
Derivada de t é nt
n 1
Graficamente: inclinação da
reta tangente no gráfico xt
5
0
1
t (s)
Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :
x
x dx
v x lim
t 0 t
dt
t
vx 0
vx
t
Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :
x
x dx
v x lim
t 0 t
dt
vx max
t
vx
No ponto de inflexão do gráfico xt,
a velocidade é máxima (ou mínima)
t
Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :
x
x dx
v x lim
t 0 t
dt
vx 0
t
vx
No ponto de máximo (ou mínimo)
do gráfico xt, a velocidade é nula
t
Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :
x
vx 0
x dx
v x lim
t 0 t
dt
t
vx
t
Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt :
x
x dx
v x lim
t 0 t
dt
vx min
t
vx
t
Distinção entre velocidade (“velocity”) e
velocidade escalar (“speed”)
Velocidade escalar (média ou
instantânea) é a distância
percorrida dividida pelo tempo
• Para a velocidade escalar, usaremos o símbolo v
• Sempre positiva
• Velocidade escalar instantânea é o módulo do vetor velocidade
instantânea
2.3 – Aceleração instantânea e aceleração média
Aceleração média:
amx
v2 x v1x vx
t2 t1
t
vx
v2x
v x
v1x
0
t
t1
t2
t
vx dvx d 2 x
a x lim
2
t 0 t
dt
dt
Aceleração instantânea:
vx
Graficamente: inclinação da
reta tangente no gráfico vt ,
curvatura no gráfico xt
v1x
0
t1
t
Obtendo a aceleração
graficamente a partir
dos gráficos vt e xt :
x
t
dx
vx
dt
vx
dvx d 2 x
ax
2
dt
dt
t
ax
t
2.4 – Movimento com aceleração constante
Se a aceleração é constante,
então a aceleração instantânea é
igual à aceleração média:
ax
ax amx
t
v2 x v1x
t2 t1
Fazendo t2 t , t1 0 e v1x v0 x (velocidade inicial):
vx
vx v0 x
ax
vx v0 x a x t
t 0
v0x
t
Se a velocidade varia linearmente com o tempo, então a velocidade
média em um intervalo de tempo é igual à media aritmética entre as
velocidades inicial e final:
vx
v0 x v x
2
v0x
0
t
=
Áreas iguais
Assim:
vmx
x x0 v0 x v x
t 0
2
v v
x x0 0 x x t
2
Sabemos que : vx v0 x axt
v v axt
x x0 0 x 0 x
t
2
x
Inclinação:
1
x x0 v0 x t a x t 2
2
x0
Inclinação:
t
v0 x
vx
Outra equação útil, para problemas que não envolvem o tempo:
vx v0 x
vx v0 x axt t
ax
Substituindo em: x x0 v0 x t
1 2
axt
2
v x v0 x 1 v x v0 x
a x
x x0 v0 x
ax 2 ax
2
2ax x x0 2v0 x vx v0 x vx v0 x
2
2ax x x0 2v0 xvx 2v02x vx2 2v0 xvx v02x
vx2 v02x 2ax x x0
Equações do movimento com aceleração constante:
vx v0 x axt
v0 x vx
x x0
t
2
1 2
x x0 v0 x t a x t
2
vx2 v02x 2ax x x0
Caso particular: aceleração nula
vx v0 x constante
x x0 vxt
2.5 – Queda livre
Aristóteles (séc. IV a.C.): “Quatro Elementos” (Água, Ar, Terra e Fogo),
cada um com seu “lugar natural”. Corpos mais pesados deveriam cair
mais rapidamente
Galileu: “Discursos e Demonstrações Matemáticas sobre Duas Novas
Ciências” (1638), escrito em forma de diálogos
Salviati (Galileu): “Aristóteles diz que uma bola de
ferro de 100 libras, caindo de 100 cúbitos, atinge o
solo antes que uma bala de uma libra tenha caído
de um só cúbito. Eu digo que chegam ao mesmo
tempo. Fazendo a experiência, você verifica que a
maior precede a menor por 2 dedos; você não
pode querer esconder nesses 2 dedos os 99
cúbitos de Aristóteles…”
Resultados obtidos apenas através de
argumentações lógicas são completamente vazios
de realidade. Porque Galileu enxergou isso, e
particularmente porque ele propagou
repetidamente esta idéia pelo mundo científico,
ele é o pai da física moderna – de fato, de toda a
ciência moderna.
Einstein
Demonstração:
Experimento de Galileu com plano inclinado (trilho de ar)
Filme: queda livre na Lua (Apolo 15, NASA)
http://www.youtube.com/watch?v=5C5_dOEyAfk
Aceleração da gravidade: g ≈ 9,8 m/s2
y
g
ay g 9,8 m/s2
Equações da queda livre:
v y v0 y gt
v0 y v y
t
y y0
2
1 2
y y0 v0 y t gt
2
vy2 v02y 2g y y0
Medição de g: Vídeo “Physics Demonstrations in Mechanics” I.2
Método (1): Medição do tempo de queda por uma altura d partindo do
repouso
y
y0
t 0, v0 y 0
d y0 y
1 2
y y0 v0 y t gt
2
y
vy 0
1 2
gt y0 y d
2
2d
g 2
t
Método (2): Medição da velocidade após cair de uma altura d partindo do
repouso
y
y0
t 0, v0 y 0
d y0 y
vy2 v02y 2g y y0
vy2 2gd
y
vy 0
g
v y2
2d
2.6 – Velocidade e posição por integração
Já sabemos calcular: x v
dx
dv
a
dt
dt
Como resolver o problema inverso?
a v x
Suponha que a aceleração varie com o tempo da seguinte forma:
Vamos dividir o intervalo entre
t1 e t2 em pequenos intervalos
de duração Δt
ax
Sabendo que amx
v x
,
t
a variação da velocidade em
cada intervalo é
0
t1
Δt
t2
t
vx amx t
ax
Sabendo que amx
v x
,
t
a variação da velocidade em
cada intervalo é
amx
vx amx t
0
t1
Δt
t2
t
Note que vx amx t é a área do retângulo sombreado
Desta forma, somando-se todas as pequenas variações de
velocidade, obtemos a variação total de velocidade entre t1 e t2
como a soma das áreas de todos os retângulos.
ax
amx
v x
0
t1
Δt
t2
t
No limite t 0 a soma das áreas dos retângulos torna-se a
área sob a curva a x (t )
Esta área é integral definida da função a x (t ) entre os instantes t1 e t 2
t2
v x v2 x v1x a x dt
t1
Se tomamos t1 0 , então v1x v0 x , de modo que:
t
v x v0 x a x dt
0
Podemos executar um procedimento completamente análogo a
esse para obter o deslocamento a partir da velocidade:
t
x x0 v x dt
0
Desta forma, resolvemos o problema inverso:
x v a Por derivação
a v x Por integração
A integral é a operação
inversa da derivada
Próximas aulas:
6a. Feira 19/08: Aula de Exercícios (sala A-327)
4a. Feira 24/08: Aula Magna (sala A-343)