Transcript DOWÓD - Matematyka

Matura 2010
z matematyki
na poziomie rozszerzonym
PLANIMETRIA
.
Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta
Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie
do długości pozostałych boków.
W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:
DOWÓD:
Niech:
Na mocy twierdzenia sinusów ( Snelliiusa ) zastosowanego do trójkątów ΔADC i
ΔDBC mamy:
a także
otrzymujemy tezę:
Zad. 1. Wykaż, że jeżeli w trójkącie ABC │AB│= c, │BC│= a,
│AC│= b, a CD jest odcinkiem dwusiecznej kąta ACB
zawartym w trójkącie, to │AD│=
i │BD│=
.
DOWÓD:
C
x
x
b
a
A
D
c
B
Zad. 2.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają
długość a i b. Oblicz długość odcinków na jakie dzieli
przeciwprostokątną dwusieczna kąta prostego.
DOWÓD:
B
D
a
b
C
A
Zad. 3.
DOWÓD:
W trójkącie ABC │BC│= a, │AC│= b oraz │CD│= d,
gdzie CD jest odcinkiem leżącym na dwusiecznej kąta ACB
zawartym w trójkącie. Oblicz długość boku │AB│ tego trójkąta.
Zad. 4. Wykaż, że jeżeli suma długości wysokości trójkąta jest 9 razy
większa od długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt,
to trójkąt jest równoboczny.
DOWÓD:
Zad. 5. Trójkąt ABC ma pole równe P. Utworzono trójkąt A'B'C' w taki
sposób, że A' = SB( A ), B' = SC( B ) i C' = SA( C ).
Oblicz pole trójkąta A'B'C'.
DOWÓD:
B’
PABC = S
PA’AC’ = 2S
C
PA’BB’ = 2S
PC’CB’ = 2S
A
C’
Stąd pole PA’B’C’ = 7S
B
A’
Zad. 6.
DOWÓD:
W trójkącie poprowadzono środkowe boków. Podzieliły one
trójkąt na sześć mniejszych trójkątów.
Wykaż, że pola powstałych trójkątów są równe.
Zad. 7.
DOWÓD:
Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt prostokątny jest styczny
do przeciwprostokątnej w punkcie dzielącym ją na dwa odcinki,
których iloczyn długości jest równy polu tego trójkąta.
Zad. 8.
Wyznacz długość boku c trójkąta, jeśli dane są długości a i b
boków trójkąta oraz wiadomo, że ha + hb = hc, gdzie ha, hb, hc są
długościami wysokości opuszczonych na odpowiednie boki
DOWÓD: trójkąta.
Zad. 9.
DOWÓD:
Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają zależność
, to trójkąt ten jest równoramienny.
Zad. 10.
Wykaż, że trójkąt, którego długości boków są trzema kolejnymi
wyrazami ciągu geometrycznego, miary kątów zaś trzema
kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest trójkątem
DOWÓD: równobocznym.
Zad. 11
Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC
obrano punkty C1 oraz C2 takie, że │AC1│= │AC│
oraz │BC2│= │BC│.
o
DOWÓD: Wykaż, że miara kąta C1C C2 jest równa 45 .
B
Jeżeli kąt CAB ma miarę x, to kąt CC2A
ma miarę 90o – ½ x.
Wówczas kąt CBA ma miarę 90o – x
a co zatem kąt CC1B ma miarę 45o + ½x.
C2
C1
C
Mamy zatem:
miara kąta C1CC2 = 180o – 90o + ½ x –
45o – ½ x = 45o
A
LICZBY RZECZYWISTE
Zad. 1.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodzi
nierówność:
a 2 + b2 + 2  2 ( a + b )
DOWÓD:
Mamy pokazać, że
a2 + b2 + 2  2 ( a + b )
ale
a2 + b2 + 2  2 a + 2b
a2 – 2a + b2 – 2b + 2  0
a2 – 2a + 1 + b2 – 2b + 1  0
( a – 1 )2 + ( b – 1 )2  0
Zad. 2.
Wykaż, że liczba 318 – 218 jest liczbą podzielną przez 19.
DOWÓD:
318 – 218 = ( 39 – 29 )(39 + 29 ) =
=(33 – 23 )( 36 + 33 33 + 26 )(39 + 29 ) =
=19 (36 + 33 33 + 26 )(39 + 29 )
Zad. 3.
Udowodnij, że trzy liczby a, b, c tworzące ciąg geometryczny
spełniają warunek:
( a + b + c )( a – b + c ) = a2 + b2 + c2,
DOWÓD:
Dane są liczby; a, b = aq, c = aq2
wówczas
( a + b + c )( a – b + c ) = a2 (1 + q + q2 )( 1 – q + q2 ) =
= a2
(1 – q + q2 + q – q2 + q3 + q2 – q3 + q4 ) =
= a2 (1 + q2 + q4 ) = a2 + a2 q2 + a2 q4 = a2 + b2 + c2
Zad. 4.
DOWÓD:
Udowodnij, że w ciągu geometrycznym o parzystej liczbie
wyrazów stosunek sumy wyrazów stojących na miejscach
parzystych do sumy wyrazów stojących na miejscach
nieparzystych jest równy ilorazowi tego ciągu.
Zad. 5.
Udowodnij, że jeśli różne liczby a2, b2, c2 tworzą ciąg arytmetyczny,
to liczby
też tworzą ciąg arytmetyczny.
DOWÓD:
Zad. 6.
Wykaż, że:
gdzie a  b, b  c i a  c
DOWÓD: