Transcript Stochastic programming

STOCHASTIC PROGRAMMING
Stochastic programming berkaitan dengan
situasi dimana beberapa atau semua
parameter dari permasalahan adalah peubah
acak.
 Ide dasar stochastic programming adalah
merubah masalah probabilistik menjadi situasi
deterministik yang ekuivalen


Stochastic programming berkaitan dengan
Chance-constrained programming, yang
didefinisikan sebagai
𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 𝑛𝑗=1 𝑐𝑗 𝑥𝑗
Subject to 𝑃 𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 ≥ 1 − 𝛼𝑖 ,
i=1,2,…, m; 𝑥𝑗 ≥ 0 untuk semua j
Diasumsikan bahwa semua aij dan bi adalah
peubah acak
Terdapat tiga kasus yang dipertimbangkan :
1. Hanya aij yang acak untuk semua i dan j
2. Hanya bi yang acak untuk semua i
3. aij dan bi keduanya acak untuk semua i dan j
Pada ketiga kasus tersebut diasumsikan bahwa
parameter menyebar normal dengan rata – rata
dan ragam yang diketahui
KASUS 1
Setiap aij menyebar normal dengan rata – rata
E(aij), ragam Var(aij) dan Cov(aij,ai’j’)
 Kendala ke-i

𝑛
𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 ≥
Tentukan ℎ𝑖 = 𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑃
1 − 𝛼𝑖
Maka hi menyebar normal dengan
𝐸 ℎ𝑖 =
𝑛
𝑗=1 𝐸
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑣𝑎𝑟 ℎ𝑖 = 𝑿𝑻 𝑫𝒊 𝑿
Dimana 𝑿 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝑇
Di = matriks covarian ke i
𝑣𝑎𝑟{𝑎𝑖1
⋯ 𝑐𝑜𝑣{𝑎𝑖1 , 𝑎𝑖𝑛 }
⋮
⋮
⋮
=
𝑐𝑜𝑣{𝑎𝑖𝑛 , 𝑎𝑖1 } ⋯
𝑣𝑎𝑟{𝑎𝑖𝑛 }

Sehingga
𝑃 ℎ𝑖 ≤ 𝑏𝑖 = 𝑃
Dimana
ℎ𝑖 −𝐸 ℎ𝑖
𝑣𝑎𝑟 ℎ𝑖
ℎ𝑖 − 𝐸 ℎ𝑖
𝑣𝑎𝑟 ℎ𝑖
≤
𝑏𝑖 − 𝐸 ℎ𝑖
𝑣𝑎𝑟 ℎ𝑖
≥ 1 − 𝛼𝑖
adalah norma baku dengan rata –
rata nol dan ragam satu. Artinya
𝑃 ℎ𝑖 ≤ 𝑏𝑖 = F
𝑏𝑖 −𝐸 ℎ𝑖
𝑣𝑎𝑟 ℎ𝑖
sebaran normal baku
dimana F adalah CDF dari

Misalkan 𝐾𝛼𝑖 adalah nilai normal baku
sedemikian hingga
F(𝐾𝛼𝑖 )=1 - i
Maka pernyataan P(hi ≤ bi) ≥ 1 - I terjadi jika dan
hanya jika
𝑏𝑖 −𝐸 ℎ𝑖
𝑣𝑎𝑟 ℎ𝑖
≥ 𝐾𝛼𝑖
Hal ini akan menghasilkan kendala nonlinier
yang deterministik.





𝑛
𝑗=1 𝐸
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝐾𝛼𝑖 𝑿𝑻 𝑫𝒊 𝑿 ≤ 𝑏𝑖
untuk kasus khusus dimana sebaran normal adalah
bebas, maka cov{aij,ai’j’) = 0
Dan kendala terakhir menjadi
𝑛
𝑗=1 𝐸
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝐾𝛼𝑖
𝑛
𝑗=1 𝑣𝑎𝑟
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗2 ≤ 𝑏𝑖
Kendala ini dapat dijadikan bentuk pemrograman
terpisah(separable programming dengan menggunakan
𝑛
2
substitusi 𝑦𝑖 =
𝑣𝑎𝑟
𝑎
𝑥
𝑖𝑗
𝑗 untuk semua i
𝑗=1

Sehingga kendala yang asli menjadi
𝑛
𝑗=1 𝐸 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝐾𝛼𝑖 𝑦𝑖 ≤ 𝑏𝑖
𝑛
2
2
 dan 𝑗=1 𝑣𝑎𝑟 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 − 𝑦𝑗 =

0
KASUS 2
Hanya bi yang menyebar normal dengan rata –
rata E{bi} dan ragam var {bi}.
 Analisis yang dilakukan sama dengan pada
kasus 1.

𝑃 𝑏𝑖 ≥ 𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≥ 𝛼𝑖
 Seperti pada kasus 1,


𝑃
𝑏𝑖 −𝐸 𝑏𝑖
𝑣𝑎𝑟 𝑏𝑖
≥
𝑛
𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 −𝐸
𝑣𝑎𝑟 𝑏𝑖
𝑏𝑖
≥𝛼




Hal ini dapat terjadi jika dan hanya jika
𝑛
𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 −𝐸
𝑣𝑎𝑟 𝑏𝑖
𝑏𝑖
≤ 𝐾𝛼𝑖
Sehingga stochastic constraint menjadi
deterministic linear contraint
𝑛
𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
≤ 𝐸 𝑏𝑖 + 𝐾𝛼𝑖 𝑣𝑎𝑟 𝑏𝑖
KASUS 3
Pada kasus ini, semua aij dan bi adalah peubah
acak normal.
 Kendala
𝑛
𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 dapat ditulis sebagai
𝑛
𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 − 𝑏𝑖 ≤ 0
Karena semua aij dan bi adalah normal maka
𝑛
𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 − 𝑏𝑖 juga normal. Hal ini menunjukkan
bahwa chance constraint berubah ke situasi dalam
kasus 1 dan diperlakukan dengan cara yang sama

CONTOH
Pertimbangkan chance – constrained problem berikut
Max z = 5x1 +6x2+3x3
s.T P{a11x1 + a12x2 +a13x3 ≤ 8} ≥ 0.95
P{5x1 + x2 +6x3 ≤ b2} ≥ 0.10
x1, x2, x3 ≥ 0
Asumsikan bahwa aij adalah peubah acak yang bebas dan
menyebar normal dengan rata – rata dan ragam sebagai
berikut:
E{a11} = 1, E{a12} = 3, E{a13} = 9
var{a11} = 25, var{a12} = 16, var{a13} = 4

Parameter b2 menyebar normal dengan rata - rata 7
dan ragam 9
Dari tabel normal baku didapatkan
𝐾𝛼1 = 𝐾0.05 = 1.645, 𝐾𝛼2 = 𝐾0.10 = 1.285
Kedua kendala dirubah menjadi deterministik :
𝑥1 + 3𝑥2 + 9𝑥3 + 1.645 25𝑥12 + 16𝑥22 + 4𝑥32 ≤ 8
5𝑥1 + 𝑥2 + 6𝑥3 ≤ 7 + 1.285 3 = 10.855
Jika kita misalkan 𝑦 2 = 25𝑥12 + 16𝑥22 + 4𝑥32
 Maka permasalahannya menjadi
 Max z = 5x1 +6x2+3x3
 s.t 𝑥1 + 3𝑥2 + 9𝑥3 + 1.645𝑦 ≤ 8

25𝑥12 + 16𝑥22 + 4𝑥32 − 𝑦 2 = 0
5𝑥1 + 𝑥2 + 6𝑥3 ≤ 10.855
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0
Yang dapat diselesaikan menggunakan separable
programming