Transcript Приложением.

задачи для
активного обучения
Решение задач есть вид творческой деятельности, а поиск
решения есть процесс изобретательства.
Многообразие текстовых задач
Задачи
на движение:
а) движение по прямой; б) движение по реке; в) движение по
окружности.
Задачи
на работу и наполнение резервуара.
Задачи
на смеси и сплавы.
Задачи
на многократные переливания.
Задачи
на проценты.
Этапы решения задачи:
1) этап составления математической модели (этап
формализации) выбор неизвестного, обозначаемого, как
правило, через x
(или нескольких неизвестных, обозначаемых x,y,z...), и
составление уравнения (или системы уравнений),
связывающего некоторой зависимостью выбранное
неизвестное с величинами, заданными условием задачи;
2) этап работы с составленной моделью (этап
внутримодельного решения)
решение полученного уравнения (или системы уравнений);
3) этап интерпретации
отбор решений по смыслу задачи.
Задачи на движение.
В задачах “ на движение “ полезно составить
иллюстративный чертеж. Этот чертеж следует делать таким,
чтобы на нем была видна динамика движения со всеми
характерными моментами - встречами, остановками и
поворотами. Хороший чертеж позволяет понять содержание
задачи, не заглядывая в ее текст.
Допущения , которые обычно принимаются (если не
оговорено противное) в условиях задач “на движение”,
состоят в следующем:
а) движение на отдельных участках считается равномерным;
при этом пройденный путь определяется по формуле
S = Vt
б) повороты движущихся тел принимаются мгновенными, т.е.
происходят без затрат времени; скорость при этом также
меняется мгновенно.
Войсковая колонна имеет длину 1 км.
Связной, выехав из начала колонны,
передал пакет в конец колонны и
вернулся к началу. Колонна за это
время прошла 3 км. Какой путь проехал
связной?
Слайд
Колонна
а) Движение навстречу друг другу.
1км
V кол.
V связн.
б) Движение вдогонку.
1км
V связн.
Пусть скорость движения связного
V кол.
V связн.,
а скорость движения колонны V кол.
Решение:
а) Движение навстречу друг другу:
Скорость сближения:V сбл.  V кол.  V связн.
Время, через которое встретится связной с колонной:
S
1

.
V сбл. V кол.  V связн.
б) Движение вдогонку:
V сбл.  V связн.  V кол.;
Скорость сближения:
S
V сбл.
Время, через которое встретится связной с колонной: 
1
1

.
V связн.  V кол. V связн.  V кол.
Время движения связного:
3
.
V кол.
Время движения колонны:
1
.
V связн.  V кол
Уравнение:
1
1
3


;
V связн.  V кол. V связн.  V кол. V кол.
2V связн.
3

; (1)
2
2
V
кол
.
V связн.  V кол.
3V св.2  3V кол.2  2V св.  V кол.  0;
3V св.2  2V кол.  V св.  3V кол.2  0;
D  V кол.2  9V кол.2  10V кол.2 ;
4
V св. 
V кол.  10 V кол.
3

1  10
 V кол.;
3
Умножим обе части уравнения (1) на V связн.
получим
S
3V связн.
V кол.
Ответ : 1  10 км.

3  (1  10)  V кол.
 1  10.
3  V кол.
От пристани А вниз по течению реки к
пристани В отплыл плот. Одновременно из В
отплыл в А катер и через 25 минут встретил
плот. После прибытия в А катер сразу
развернулся и прибыл в В вместе с плотом.
Больше или меньше часа заняло плавание?
слайд
А
В
плот
A
V теч.
катер
V соб.  V теч.
C
S
катер
B
V соб.  V теч.
V теч.,
Пусть собственная скорость катера:
V соб. ;скорость течения:
тогда скорость катера против течения равна
V соб.  V теч.
а по течению:V соб.  V теч.,
Скорость плота равнаV теч. Путь AB  S
1) S  AC  CB 
5
5
5
5
(V соб.  V теч.)  V теч.  (V теч.  V соб.  V теч.)  V соб.;
12
12
12
12
.
S
5
V соб.(*).
12
2)
t плота  t катера против течения t катера по течению;
S
S
S


;
V теч. V соб.  V теч. V соб.  V теч.
1
2V соб.

;
V теч. V соб.2  V теч.2
V соб.2  V теч.2  2V теч.  V соб.  0;
V соб.2  2V теч.  V соб.  V теч.2  0;
D
4
 V теч.2  V теч.2  2V теч.2 ;
V соб.  V теч. 
2V теч.  (1 
D
4

2V теч.
2) V теч.;(**).
Подставим равенства (*), (**) в формулу:
3)
t
5(1  2) V теч. 5(1  2)
S
5V соб.
5  50




 1;
V теч. 12  V теч.
12  V теч.
12
12
Ответ : больше часа.
В 12 часов часовая и минутная стрелки
часов совпадают.
Когда они совпадут в следующий раз?
12
1
2
9
3
6
просмотр
Решение:
Пусть длина окружности циферблата
S
метров.
V м.  S м ,
Минутная стрелка движется со скоростью
ч
S
V ч.  м .
а часовая стрелка движется со скоростью
12 ч
За время t ч минутная стрелка прошла путь
St м,
а часовая St
- м . За данное время минутная стрелка прошла
путь на 12
Sм
больше, чем часовая. Составим математическую модель:
St 
St
 S;
12
11
t  1;
12
12
1
t
1 .
11
11
Ответ : стрелки совпадут, когда часы будут показывать 1
1
часа.
11
Задачи на работу и наполнение резервуара
Задачи, в которых кто-либо выполняет работу, или
задачи, связанные с наполнением и опорожнением
резервуаров решаются аналогично задачам “на
движение”.
Работа (объем резервуара) играет роль
расстояния.
Производительность объекта – скорости.
Допущения: в таких задачах объем всей работы
(резервуара) принимается за единицу – 1.
Производительность труда V – величина работы,
выполняемая за единицу времени:
Резервуар снабжается водой по пяти трубам.
Первая труба наполняет резервуар за 40
минут; вторая, третья и четвертая, работая
одновременно, - за 10 минут; вторая, третья и
пятая – за 20 минут и, наконец, пятая и
четвертая – за 30 минут. За сколько времени
наполняют резервуар все пять труб при
одновременной работе?
Решение
Время
наполнения
резервуара (мин.)
I труба
II труба
III труба
IV труба
V труба
Производительность
(резер. /мин.)
40
1
40
y
1
y
z
1
z
n
1
n
m
1
m
Составим и решим систему:
1 1 1

10
(
  )  1;

y z n

1 1 1

20
(
  )  1;

y
z m


1 1
30(  )  1;
n m

1
1 1 1



 y z n 10 ;

5
1
2
 ;
 
 n 60 12
1 1
1

 m 30  n ;

1
1 1 1



 y z n 10 ;

1
1 1 1



;

y
z
m
20

1 1
1

;
 
 n m 30
1
1 1 1



 y z n 10 ;

1
1 1


;

n
m
20

1
1 1


 n m 30 ;

1
1 1 1



 y z n 10 ;

1
1
;
 
n
24

1 1 4 1 5
1


;
 
24
120
 m 30
1 1 1 1 1
1 3 1 12
1
14 120 60
4
t  1: (     )  1: ( 

)  1:


 8 (мин.)
40 y z n m
40 10 120
120 14
7
7
4
Ответ : 8 минуты.
7
Задачи на смеси и сплавы, многократные
переливания.
Основные допущения,
как правило, принимаемые в задачах подобного рода, состоят в следующем:
а) все получающиеся сплавы или смеси однородны;
б) при слиянии двух растворов, имеющих объёмы V1 и V2,
получается смесь, объём которой равен V1+V2, т.е.
V= V1+V2,
Отношение объема чистой компоненты (VA) в растворе
ко всему объему смеси (V):
VA
VA
cA= V = V  V  V ;
A
B
C
называется объёмной концентрацией этой компоненты.
Объёмным процентным содержанием компоненты
А называется величина:
pA=cA·100%,
т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.
Каждый из двух сплавов состоит из
вещества А и B. Первый сплав содержит
20 % вещества А, а второй – 40 %
вещества B. Некоторое кол-во первого
сплава и вдвое меньшее по массе кол-во
второго сплава сплавили с 5 кг чистого
вещества А и 3 кг чистого вещества B. В
результате %-ое содержание вещества А
в новом сплаве стало больше %-ого
содержания вещества В во втором
сплаве на 10 %. Найти массу нового
сплава.
3 кг
чистое
вещество
В
1 сплав
20%
А
?
Новый сплав
5 кг
чистое
вещество
А
2 сплав
40%
B
Решение:
Пусть масса 1 сплава с кг, тогда 2
0,5с кг.
сплаваМасса вещества А в 1 сплаве: 0,2с кг.
Масса вещества В в 1 сплаве: 0,8с кг.
Масса вещества А во 2 сплаве: 0,3с кг.
Масса вещества В во 2 сплаве: 0,2с кг.
Масса 2 сплава: 0,3с +0,2с=0,5с (кг), значит % содержание
вещества В во 2 сплаве:
0,2с
·100%=40%
0,5с
В новом сплаве вещества А: 0,2с+0,3с+5=0,5с+5.
Масса нового сплава: с+0,5с+8=1,5с+8.
0,5c  5
·100%
Процентное содержание вещества А в новом сплаве:
1,5c  8
По условию известно, что
получили уравнение:
0,5с  5
·100%>40% на 10%,
1,5с  8
Уравнение
0,5с  5
·100=40+10;
1,5с  8
0,5с  5
=
1,5с  8
1
;
2
1,5c+8=c+10;
0,5c=2;
c=4;
Если с=4, то 1,5c+8=1,5·4+8=14;
Ответ: 14кг.
В сосуде, объем которого равен V л
содержится p%-ый раствор кислоты.
В сосуд доливается а л воды, смесь
тщательно перемешивают, а затем
отливают а л раствора. Эта
процедура повторяется n раз. По
какому закону меняется
концентрация кислоты в сосуде?
Эта процедура
повторяется n раз
а л воды
а л смеси
Вода
В данном сосуде
находится p%-ый
раствор кислоты
Сосуд,
объёмом
Vл
Таблица
№ Процедура
Объём кислоты
Концентрация
раствора
p
100 ·V
1.
p
100
Долили а л воды
pV
100  (V  a)
Отлили
раствора
2.
а
л
p
p
a
pV
·V
·V·
=
100
100
100
V a
Долили а л воды
·(1- a )
V a
c1=
a
p
·(1- V  a )
100
a
1
pV ·(1
)·
V a V a
100 -
Отлили
раствора
а
л
pV
a
pVa
a
1
·(1)·(1)·
100
V  a 100
V a V a=
=
pV
a
a
(1 
)(1 
) =
100
V a
V a
pV
a
= 100 (1- V  a )2
c2=
a
p
·(1- V  a )2
100
n
p
a
Проделывая ту же процедуру n раз, убеждаемся что с n=· (1- V  a )n
100
p
с n=100 ·
a n
(1- V  a )
К 9 литрам водного раствора кислоты
добавили 3 литра чистой воды. Смесь
тщательно перемешали, а затем такое
же количество, т.е. 3 литра, отлили.
Операцию повторили трижды, после
чего концентрация кислоты составила
27 %. Какова исходная концентрация
кислоты в растворе?
Дано:
Решение:
а=3 л;
с3=
V=9 л;
р=
n =3;
p
a
· (1-V  a )3;
100
100  0,27
100  с3
=
3 =
а 3
(1  ) 3
(1 
)
12
V а
27  64
27
=
3
27 =64%
( )3
4
с3=0,27
Найти р-?
Ответ: 64%.
.
Мне приходится делить все время между
политикой и уравнениями. Однако
уравнения, по-моему, гораздо важнее,
потому что политика существует только
для данного момента, а уравнения
будут существовать вечно.
А.Энштейн