Transcript Презентация

Наибольшее и наименьшее значение
функции на отрезке. (В14 из ЕГЭ)
Усовершенствование знаний, умений и
навыков при работе с презентацией.
Интегрированный урок по алгебре
и началам анализа и
информатике.
«… нет ни одной области в математике,
которая когда-либо не окажется применимой
к явлениям действительного мира…»
Н.И. Лобачевский.
Алгоритм нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке:
• находим ООФ и проверяем, содержится ли
в ней весь отрезок [а,в];
• находим критические точки, т.е. f'(x)=0;
• вычислим значение функции на концах
отрезка и во всех критических точках
принадлежащих отрезку [а,в];
• из полученных чисел выбираем
наибольшее и наименьшее значение
функции.
Виды функций:
•
•
•
•
•
•
•
Целые рациональные
Дробно-рациональные
Иррациональные
Тригонометрические
Показательные
Логарифмические
Решение задач методом математического
моделирования
1. Целые рациональные функции
(Выполнили Москалев К. и Сулимов И.)
Найдём наименьшее значение
функции
y=3x2-2x3+1 на отрезке [-4;0].
Решение:
1.ООФ: х R
2.Найдем производную:
у‘(х)=(3х2)`- (2х3)`+1`
у‘(х)=6х-6х2
3.Найдём критические точки
у‘(х)=0 т.е.
6х-6х2=0;6х2-6х=0;
6х(х-1)=0
6х=0 или х-1=0
х=0
х=1
0 ϵ [-4;0]
1 ϵ [-4;0]
4.Вычислим значение функции на концах отрезка
и во всех критических точках принадлежащих
отрезку [-4;0]
y(-4)=3 . (-4)2-2(-4)3+1=48+64+1=113
y(0)=3.0-2.0+1=1
Наименьшее значение функции-1
Ответ:1
Самостоятельная работа
№1-найдите наибольшее значение функции
y=x3+5x2+3x на отрезке[-4;-1]
РЕШЕНИЕ
1.ООФ: х R
2.у‘(х)=(x3)`+(5x2)`+(3x)`
у‘(х)=3x2+10x+3
3.у‘(х)=0 т.е. 3x2+10x+3=0
D=b2-4ac=102-4.3.3=100-36=64
b D
x1, 2 
2a
x1=


1
3
 10  64
x1,2 
23
x2=-3
1
 [ 4;1]
3
4.y(-1)=(-1)3+5(-1)2+3(-1)=1
y(-3)=(-3)3+5(-3)2+3(-3)=-27+45-9=9
y(-4)=(-4)3+5(-4)2+3(-4)=-64+80-11=5
Наибольшее значение функции 9.
Ответ:9
Домашнее задание
Найдите наибольшее значение функции
y=4x2-4x-x3 на отрезке [1;3]
2. Дробно-рациональные функции.
(Выполнили Зорко М. и Жадько Д.)
Найдите наименьшее значение
функции.
x  16
y
x
2
• На отрезке [2;8]
Находим допустимую область значения,производную от y и
приравниваем к 0
D( y ) : x  0
( x 2  16)
( x 2  16) x  ( x 2  16) x x 2  16
y  (
) 

2
x
x
x2
 x 2  16  0  ( x  4)( x  4)  0
y  0  
,
2
x0
 x 0 
C учетом ОДЗ:
х-4=0
или
х=4
х+4=0
х=-4
 4  [ 2;8]; 4  [ 2;8]
2 2  16
y ( 2) 
 10
2
4 2  16
y ( 4) 
 8
4
8 2  16
y (8) 
 10
8
y min  y ( 4)  8
[ 2;8]
Ответ : 8
Пример для самостоятельной
работы.
Найдите наибольшее значение
функции
•
x  7 x  49
y
x
2
На отрезке [-14;-1].
D( y ) : x  0
( x 2  7 x  49) ( x 2  7 x  49) x  ( x 2  7 x  49) x
y 


2
x
x
( 2 x  7) x  x  7 x  49 2 x 2  7 x  x 2  7 x  49



2
2
x
x
x 2  49

x2
 x 2  49  0  ( x  7)( x  7)  0
y  0  
,
2
x0

 x 0
x-7=0
x=7
7  [14;1]
или
х+7=0
x=-7
7  [14;1]
Находим наибольшее значение функции
y(x)
(14) 2  7(14)  49 196  98  49 147
y (14) 


 10,5
 14
 14
 14
(7) 2  7(7)  49 49  49  49
y (7) 

 7
7
7
(1) 2  7(1)  49 1  7  49
y (1) 

 43
1
1
y (max)  y (7)  7
[14;1]
Ответ : 7.
Пример для домашней работы.
Найдите наименьшее значение
функции.
25  x  x
yx 
x
2
2
3
На
от резке
[1;10]
3.Иррациональные функции.
(Выполнили Ефимова А. и Евлашкина А.)
•
y  7  6 x  5x
На отрезке [1;4]
3
D( y ) : x  0
2
6

3

3

15
x
x
2
2
y 
 15 x 
 15 x 
;
2 x
x
x
 3  15 x 2 x  0  15 x 2 x  x 2 x   3  x 5  9
y  0  
,
,
15 , 
225
 x  0
x  0
 x  0
 x  0
1
x 
25
1
5
x
1
25
5
5
1
 [1;4]
25
y (1)  7  6 1  5  13  4
y (4)  7  6 4  5  43  325
y max  y (1)  4
[1;4]
• Найдите наименьшее значение функции
y  x
3
2
На отрезке [1;9]
 3x  1
D( y) : x  0
1
2
3
y  x  3
2
3
y   ( x  2)
2
y  0  x  2  0
x 2
x  4,4  [1;9]
y (1)  1
y ( 4)  3
y (9)  1
y min  y ( 4)  3
[1;9]
y  ( x  12)
На отрезке [1;9]
x
4.Тригонометрические функции.
(Выполнили Чумакова В. И Симоненко А.)
Найти наибольшее значение
функции на отрезке:
 5 
 6 ;0
36
y  6 sin x  x  7

Найти наибольшее значение 5  ;0
 6 
функции на отрезке:
36
y  6 sin x  x  7

36
y  6 cos x 

y  0
6
cos x  ;   3,14

cos x  1,9;1,9  1 Т.к. cosx ϵ [-1;1]
О.Д.З : x ϵ R
cosx ϵ [-1;1]
36
y  6 cos x 

_
y(x)
y (x)
36
y  6 sin x 
x7

5

6
0
36
y  6 cos x 

_
y(x)
y (x)
36
y  6 sin x 
x7

5

6
0
Домашнее задание:
• Найдите наименьшее значение функции
на отрезке:
3 5 
 4 ; 4 
y  4 x  5tgx  5  4
5.Показательная функция.(I)
(Выполнила Агапова В.)
Найти наибольшее значение
выражения на отрезке [5;15]:
У=(x-11)е12-x +13
[5;15]

y  x  11 e
12 x

 x  11 e
12 x


y  
12 x
y  
12 x
y  
12 x
 12  x 
  x  11  1
  x  11 
12 x
12 x
  x  11
12 x
y   12 x 1   x  11
y   12 x 1  x  11
y   12 x  x  12 
y   12 x  x  12 
y  0
 12 x  x  12   0
12 x  0
x  12  0
x  12
y 5  1445
y 12   14
y 15  13
Ответ. 14
т.к.
12 x  0 
y  8  x  7 
Д y: x  
 x 6
3;9

y  1 x 6   x  7  x 6  x  6
y   x 6   x  7  x 6
y   x 6 1   x  7 
y   x 6 x  6
y  0
 x 6  x  6  0
т.к.  x 6  0,
т.к.
x6  0
x6
6  3;9
 x 6  0
y 3  8  3  7  36  8  (4) 3  8  4 3  8 
y 6  8  6  7  66  8  (1) 0  8  1  7
4
4

8

8
3
27
y 9  8  9  7  96  8  2 3  8  2 5  251
Ответ. 7 наименьшее значение функции .
Домашняя работа
Найти наименьшее значение функции : 0;7
y  5  x  3e 4 x
5.Показательная функция (II)
Различные способы исследования
показательной функции на наибольшее
и наименьшее значение.
(Выполнила Лидяева Е.)
Задание: Найти наименьшее
значение функции
x
-8x+20
y=2
-12
2
I способ решения:
y2
x 2 8 x  20
12
О. Д .З : х  R
f ( x)  x 2  8 х  20  график парабола (ветви вверх)
b 8
x0 
 4
2a 2
y0  4 2  8  4  20  4
Наименьнее значение y(4)  24  12  16  12  4
II способ решения:
y2
x 2 8 x  20
12
О. Д .З : х  R
Найдём наименьшее значение функции
f ( x)  x 2  8 x  20
f ' ( x)  ( x 2  8 x  20)'
f ' ( x)  2 x  8
f ' ( x)  0, т.е.
2x  8  0
2x  8
x4
Подсчитаем знаки
f ' (0)  2  0  8  8
f ' ( x)

f (x )

4
min
х  4, точка минимума функции , т.к.она единственная точка, то в
ней функция получит своё наименьшее значение
f (min)  4 2  8  4  20  4
y (min)  2 4  12  16  12  4
III способ решения:
Найдём производную функции по формуле
(а х )'  a x  ln a
y '  (2
y'  2
x 2 8 x  20
x 2 8 x  20
 12)'
 ln 2  ( x  8x  20)'
y'  (2 x  8)  ln 2  2
2
x 2 8 x  20
Найдём критические точки
y ' ( x)  0, т.е. (2 x  8)  ln 2  2
x 2 8 x  20
x 2 8 x  20
ln 2  0 2
 0, т.к. 2  0
значит 2 x  8  0
2x  8
x4
t
 0 т.к.
Подсчитаем знаки
y' (0)  (2  0  8)  ln 2  2
x 2 8 x  20
0
y ' ( x)
y (x)
Наименьшее значение y(4)  24
2
84 20
12  24 12  4
Домашнее задание
Найти наибольшее значение функции
y2
6 x x 6
2
2
6.Логарифмическая функция.
(Выполнили Тишкин И. и Щеблетов С.)
 1 1
;

13 3 

•
•
•
•
•
ОДЗ: х>0
y`=(7-7x+ln(7x))`
1
y`=-7+ x
 7x 1
y`=0
x
=0
1

 7 x  1  0  7 x  1  x 
,
,
7

x

0
x

0



x  0
1 1

7 3
3
7

21 21
1 1

13 7
7 13

91 91
•y( ) ≈ 0,3
1
13
•y( )=7- 1 + 0 = 6
1
7
•ymax= 6
•Ответ:6

1  1 1
 ; 
7 13 3 
• ОДЗ: x>0
• y`=(x2-2lnx+1)`
2
x
• y`=2x2
• 2x- x=0
• 2x2-2  0
• x


2

2=1
• 2x2-2=0
2x
=2
x


• x≠0
x≠0
x≠0
• -1 не подходит т.к. X>0
• 1⊂ [0,3; 3,3]

x=-1 или
x≠0
x=1
• y(1)=12-2ln1+1=1-2.0+1=2
1
3
• y(0,3)=0,32-2ln3 +1=0,09+2+1=3,09
• y(3,3)=3,32-2ln33+1=10,89-2+1=9,89
• ymin=y(1)=2
• Ответ:2
Найдите наименьшее значение функции
y=5x-ln(x+5)5 на отрезке [-4,5; 1].
8.Решение задач методом
математического моделирования.(I)
(Выполнил Иванов С.)
Задача
Найти размеры автомобильной стоянки прямоугольной формы,
•имеющую наибольшую площадь.
Решение
A
B
X
D
C
y
PABCD=200 М,
AD=x
PABDC=(x+y) 2 = 200
x+y=100, отсюда y=100-x, 0<x<100
DC=y
S=xy=x(100-x)=100x-x2
•
Найдём производную:
•
S|(x)=(100x-x2)|=100-2x.
•
Найдём наибольшее значение функции S(x)=100x-x2 на
интервале (0;100)
S(x)=0
•
•
•
•
Найдём критические точки функции (f(x)=0):
100-2x=0
x=50
•
Найдём значение функции на концах отрезка и в
критических точках:
S(0)=0
S(50)=2500
S(100)=0
•
Значит, стороны стоянки 50м и 50м.
•
8.Решение задач методом
математического моделирования.(II)
(Выполнил Бодничук В.)
Задача: Точка Р означает
местонахождение буровой вышки,
прямая l – шоссе, В – населенный
пункт, РА=9км, АВ=15км. РМ
велосипедист проехал со
скоростью 8км/ч, а МВ со
скоростью 10км/ч.
Нужно найти расстояние АМ и МВ
Решение:
Пусть t – время движения курьера из точки Р
в точку В.
Нужно найти t наименьшее.
Обозначим АМ через х, где 0≤х≤15, так как 15
эта вся длинна прямой АВ.
По рисунку мы видим что прямоугольник (РАM)
прямоугольный,
Т.е по теореме Пифагора можно найти
РМ  РА2  АМ 2  81  x 2
Этот путь велосипедист проезжает со скоростью 8км/ч.
Т.е. время которое он затратил на этот путь равно
81  x 2
t1 
8
Это время движения по отрезку дороги РМ
МВ=15-х, этот путь велосипедист проезжает
со скоростью 10км/ч
На этот отрезок пути велосипедист затратил
t2
времени
Т.е.
15  x
t2 
10
Суммарное время движения
велосипедиста равно (t1  t2 )
81  x
15  х
t (
)(
)
8
10
2
Найдем производную:
2
81

x
15  х
|
t 

8
10
Найдем критические точки, т.е. t =0
1

1
1 1
2
|
2
t  * * (81  х ) * 2 х  * (1)
10
8 2
1
2
х /(8 * 81  х )   0
10
5 х  4 81  х 2
25 х  16 * (81  х )
2
2
9 х  16 2 * 81
х  4*3
х  12
Значения х принадлежит отрезку [0;15]
Найдем значение t от 0, 12, 15
81  0 2 15  0
81 15 9 15 90  120 105
t (0) 


   

8
10
8
10 8 10
80
40
81  12 2 15  12 15 3 87
t (12) 

  
8
10
8 10 40
t (12) - наименьшее значение функции
81  152 15  15 5 306
t (15) 


8
10
40
Т.е. АМ=12 км.
МВ=15-12=3 км.
Ответ: АМ=12 км. а МВ=3 км.
Домашнее задание
• Площадь прямоугольного участка земли 64
см2. Каковы его стороны, если периметр
наименьший?
Оценка самого себя.
1) На уроке мне было интересно:
o да
o нет
o затрудняюсь ответить
2) Я присутствовал в хорошем настроении:
o да
o нет
o затрудняюсь ответить
3) На уроке я больше люблю работать:
o с помощью учителя
o самостоятельно
o с помощью одноклассника
4) Мне нравится выполнять задания:
o простые и понятные
o сложные и интересные
o творческие и оригинальные
5) Большую часть времени на уроке:
o активная работа
o думаю о своем
o ждал окончания урока
6)Темп работы на уроке был для меня:
o слишком быстрым o нормальным
o слишком медленным
3 пути ведут к знанию:
• Путь размышления самый благородный.
• Путь подражания – легкий.
• Путь опыта - горький