Transcript Приложение

МОУ Гимназия п.г.т. Б.Сабы
Методика преподавания темы
«Система счисления»
Подготовка учащихся к ЕГЭ по информатике
Учитель информатики
высшей категории
Зигангараева Рамзия
Накиповна
2009 г
Структура
подготовки:
Справочный
материал
Разбор заданий
Задания для
самостоятельной
работы
Кодирование чисел в разных системах счисления.
Вычисления в разных системах счисления.
Позиционные системы счисления.
Справочный материал
Система счисления.
Позиционные и непозиционные системы счисления
• Система счисления – совокупность приемов и правил для
обозначения чисел и действий над ними.
• Системы счисления принято делить на две основные
группы: позиционные и непозиционные.
• Алфавит системы счисления – это упорядоченное
множество всех символов, используемых для записи чисел
в данной системе счисления.
В непозиционных системах счисления значение
цифры не зависит от ее положения в записи числа
Примером может служить римская система счисления.
Римские цифры обозначаются буквами латинского алфавита:
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
Примеры:
VI = 5 + 1;
IV = 5 – 1;
VIII = 5 + 3; XL = 50 – 40;
CCCXXVII = 100 + 100 + 100 +10 +10 +5 + 1 + 1=327;
CCXCIX = 100 + 100 + (-10 + 100) + (-1 + 10) = 299
Позиционная система счисления - это система
счисления, в которой величина, обозначаемая цифрой в
записи числа, зависит от ее позиции в числе.
Например, десятичное число 555. В нем первая цифра 5
означает пять сотен, вторая – пять десятков, а третья – пять
единиц.
То есть его можно записать вот так:
555 = 5 × 100 + 5 × 10 + 5 × 1 или
555 = 5 × 102 + 5 × 101 + 5 × 100.
547,25 = 5 × 102 + 4 × 101 + 7 × 100 + 6 × 10-1 + 5 × 10-2
Любое число в позиционной системе счисления имеет вид:
Aq = ±an-1qn-1 + an-2qn-2 +...+ a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + a-mq-m,
Aq – само число, q –основание системы счисления,
ai – цифры данной системы счисления.
Количество используемых цифр в алфавите
системы счисления называется ее основанием
Система
счисления
Основание
Алфавит
Десятичная
10
012456789
Двоичная
2
01
Троичная
3
012
Восьмеричная
8
0124567
Шестнадцатеричная
16
0 1 2 4 5 6 7 8 9AB C D E F
Перевод чисел в десятичную систему счисления
Пример 1. Найти сумму чисел 1112 + 1118 + 11116.
Решение
1112= 1х22 + 1х21 + 1х20 = 4 + 2 + 1 = 710;
1118= 1х82 + 1х81 + 1х80 = 64 + 8 + 1 = 7310;
11116= 1х162 + 1х161 + 1х160 = 256 + 16 + 1 = 27310.
1112 + 1118 + 11116 = 7 + 73 + 273 = 35310.
Пример 2. Перевести в десятичную систему счисления
по схеме Горнера числа 1038; 101012.
Решение
1038 = (1х8 + 0)х8 + 3 = 6710.
101012 = (((1х2 + 0)х2 +1)х2 + 0)х2 + 1= 2110.
Перевод чисел из десятичной в другие системы счисления.
Алгоритм перевода целого десятичного числа N в
позиционную систему с основанием p
1.
2.
3.
4.
5.
Разделить нацело число N на p.
Полученный остаток от деления дает цифру, стоящую в
нулевом разряде p-ичный записи числа N .
Полученное частное снова разделить нацело на p и снова
запомнить полученный остаток – это цифра первого
разряда, и.т.д.
Такое последовательное деление продолжается до тех пор,
пока частное не станет равным 0.
Цифрами искомого числа являются остатки от деления,
выписанные слева направо, начиная с последнего
полученного остатка.
Пример.
Перевести десятичное число 20 в двоичную, троичную,
восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
Решение
q, p –основания системы счисления
q=10, p=2
q=10, p=3
q=10, p=8
q=10, p=16
20
0
20
2
20
4
20
4
10
0
6
0
2
2
1
1
5
1
2
2
2
0
1
1
Результат:2010=101002, 2010=2023, 2010=248, 2010=1416.
Таблица соответствия для двоичной и десятичной систем.
Степень числа 2
Десятичное значение
Двоичное значение
20
1
1
21
2
10
22
4
100
23
8
1000
24
16
10000
25
32
100000
26
64
1000000
27
128
10000000
28
256
100000000
29
512
1000000000
210
1024
10000000000
Связь между родственными системами счисления
десятеричная
двоичная
восьмеричная
шестнадцатеричная
0
0
0
0
1
1
1
1
2
10
2
2
3
11
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
Пример1. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную
системы счисления число 1011000010,00110012.
Решение
Разобьем исходное число на группы по 3 цифры, начиная
от десятичной запятой, и заменим триады
восьмеричными цифрами:
001
011
000
010 , 001
100
100 – двоичное число;
1
3
0
2 , 1
4
4 - восьмеричное число.
Разобьем число на группы по 4 цифры, начиная от
десятичной запятой, и заменим тетрады
шестнадцатеричными цифрами:
0010
1100
2
С
0010 , 0011 0010 - двоичное число;
2
,
3
2 - шестнадцатеричное число.
Результат: 1011000010,00110012 = 1302,1448 = 2С2,3216.
Пример2. Заменить числа 2607,348 и 6В07,D416 равными им
двоичными значениями.
Решение
Заменим каждую цифру числа 2607,348 восьмеричной триадой:
2
6
0
010
110
000
7 , 3
4 – восьмеричное число;
111, 011 100 – двоичное число.
Результат: 2607,348 = 10110000111,0111002.
Заменим каждую цифру числа 6В07,D416 шестнадцатеричной
тетрадой:
6
B
0
7,
D
4 – шестнадцатеричное число;
0110 1011 0000 0111, 1101 0100 –двоичное число.
Результат: 6В07,D416 =110101100000111,1101012.
Разбор заданий
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2010 г.
А1. Дано А=9D16, В=2378. Какое из чисел С, записанных в
двоичной системе, соответствует условию A<C<B ?
1) 100110102
2) 100111102
3) 100111112
4) 110111102
Решение. (1 способ).
Через десятичную систему А=9D16=9·161 + 13·160= 144 + 13=157,
В=2378=2·82 + 3·81 + 7·80=128 + 24 + 7=159.
Ответы запишем в десятичной системе:
1) 100110102 =1·27 + 1·24+ 1·23+ 1·21=128+16+8+2=154
2) 100111102 = 1·27 + 1·24+ 1·23 + 1·22 + 1·21 =128+16+8+4+2=158
3) 100111112 = 1·27 + 1·24+ 1·23 + 1·22 + 1·21 + 1·20 = 128 + 16 + 8 + 4
+ 2+1=159 4) 110111102 = 1·27 + 1·26+ 1·24 + 1·23 + 1·22 + 1·21 =
128 + 64 + 16 + 8 +4+2= 222. Между 157 и 159 будет число 158.
Значит, ответ – 2.
(2 способ) Через двоичную систему счисления:
9 = 10012 и D16=11012, значит А=9D16=100111012.
2= 0108 , 3= 0118 , 7= 1118 , значит В=2378=10011112.
100111012 < 100111102 < 10011112 , C=100111102
Ответ – 2.
В3.
В системе счисления с некоторым основанием десятичное
число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.
Решение.
4910= 100х, 49 = 1·х2 + 0·х1 + 0·х0,
х2 = 49, х = 7.
Проверка: 1007 = 1·72 = 49.
Ответ: 7.
А4.Чему равна сумма чисел Х и Y, если Х=1101112 и Y=1358.
Результат представьте в двоичном виде.
1) 110101002 2) 101001002 3)100100112 4) 100101002
Решение.
Х=1101112 Y=1358 = 10111012
Сумма: 1101112 + 10111012 = 100101002
таким образом, верный ответ – 4 .
B31. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи
чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.
Решение:
переведем все указанные числа в систему счисления с
основанием 5:
10 = 205,
15 = 305,
11 = 215,
16 = 315,
12 = 225,
17 = 325 .
13 = 235,
14 = 245,
считаем цифры 2 – получается 7 штук
таким образом, верный ответ – 7 .
1
Источники заданий:http://kpolyakov.narod.ru
Задания для самостоятельной работы
Задачи для тренировки1:
1. Как представлено число 8310 в двоичной системе
счисления?
1) 10010112
2) 11001012
3) 10100112
4) 1010012
2. Сколько единиц в двоичной записи числа 195?
1) 5
2) 2
3) 3
4) 4
3. Сколько единиц в двоичной записи числа 173?
1) 7
2) 5
3) 6
4) 4
4. Как представлено число 25 в двоичной системе счисления?
1) 10012
2) 110012
3) 100112
4) 110102
5. Как представлено число 82 в двоичной системе счисления?
1) 10100102
2) 10100112
3) 1001012
4) 10001002
1) 3018
2) 6508
3) 4078
4) 7778
6. Как представлено число 263 в восьмеричной системе
счисления?
1
Источники заданий:http://kpolyakov.narod.ru
7. Как записывается число A8716 в восьмеричной системе
счисления?
1) 4358 2) 15778 3) 52078
4) 64008
1) 73816 2) 1A416 3) 1EC16
4) A5616
8. Как записывается число 7548 в шестнадцатеричной системе
счисления?
9. Дано: a  3228 , b  D416 . Какое из чисел С, записанных в
двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1)11010011
2) 11001110
3) 11001010
4) 11001100
10. Вычислите сумму чисел x и y, при x = 2718, y = 111101002.
Результат представьте в шестнадцатеричной системе
счисления.
1) 15116
2) 1AD16
3) 41216
4) 10B16
1) 204
2) 152
3) 183
4) 174
11. Вычислите сумму чисел x и y, при x = A116, y = 11012.
Результат представьте в десятичной системе счисления.
12. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем
счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.
13. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается
в виде 110. Укажите это основание.
14. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем
счисления, в которых запись числа 27 оканчивается на 3.
15. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа,
не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления
оканчивается на 22?
16. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 19,
20, 21, …, 33 в системе счисления с основанием 6.
17. Десятичное число, переведенное в восьмеричную и в девятеричную
систему, в обоих случаях заканчивается на цифру 0. Какое
минимальное десятичное число удовлетворяет этому условию?
Заключение
Для подготовки к ЕГЭ по информатике
нужно выбирать задания из имеющихся на
сегодняшний день в базе данных
контрольно-измерительных материалов
(КИМ), из демонстрационных КИМ за
прошедшие годы.
Желаю вам творческих успехов
в новом учебном году.
Ресурсы
http://www.ege.edu.ru/
http://kpolyakov.narod.ru/
http://g2p.tatar.ru/rus/ege_documents_2009_rus.htm
http://www.it-n.ru/communities.aspx?cat_no=85737&tmpl=com
( форум)
Литература.
Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии.
Учебник для 10-11 классов. – М.: Бином Лаборатория знаний,
2002г.