Transcript Progressioni geometriche e modello di Malthus
PROGRESSIONI GEOMETRICHE E MODELLO DI MALTHUS
Definizioni
Definizione di: Progressione geometrica Una progressione geometrica è una successione numerica tale che il rapporto tra un termine, escluso il primo, e il precedente è costante.
Definizione di: Ragione di una Progressione geometrica In una Progressione geometrica il rapporto costante tra un termine e il suo precedente prende il nome di ragione.
Generalmente la ragione di una progressione geometrica si indica con la lettera “q”.
Sia dunque: a
1
a
2
a
3
… a
n
… Una progressione geometrica. Per definizione si ha a
2
/a
1
=q a
3
/a
2
=q … e, generalizzando, si ottiene a
n
/a
n-1
=q con n>1 Dalla precedente relazione si ricava la formula generale
a n = a n-1 x q
E quindi, dalla formula precedente, si può dire che precedente moltiplicato per la ragione.
in una progressione geometrica un termine è uguale al Se di una progressione si considerano solo n termini consecutivi, si parla di progressione finita. ESEMPI 1) I Numeri 5 10 20 40 … sono in progressione geometrica perché 10/5 = 20/10 = 40/20 = … = 2 La ragione è 2 2) La successione 3, 2, 4/3, 8/9, … è una progressione geometrica di ragione 2/3; infatti è : 2 : 3 = 2/3 4/3 : 2 = 2/3 8/9 : 4/3 = 2/3 …
Termine generale di una progressione geometrica
Osserviamo che se la ragione è positiva, tutti i termini sono
dello stesso segno; se è negativa, sono di segno alterno.
Supporremmo, per ora, q > 0 e a
1
progressioni a termini positivi.
> 0 e quindi considereremo
Osserviamo che:
Se q = 1, tutti i termini della progressione sono uguali tra loro, cioè la progressione è costante; non considereremo questo caso e, d ‘ora in avanti, supporremo q 1;
Se q > 1, ogni termine è maggiore del precedente: la progressione è crescente; Se 0 < q < 1, ciascun termine è minore del precedente: la progressione è decrescente
TEOREMA
In una progressione geometrica a
1
, a
2
, … , a
n
, … il termine generale è dato dalla formula
a
n
= a
1
x q ^
n-1
^
Ci proponiamo di determinare un’espressione dell’ennesimo termine. Per definizione si ha: a
2
= a
1
x q a
3
= a
2
x q … a
n
= a
n-1
x q Moltiplicando membro a membro queste n -1 uguaglianze, otteniamo: a
2 x
a
3 x … x
a
n-1 x
a
n =
a
1 x
a
2 x … x
a
n-1 x
q
x
q
x … x
q e, dividendo ciascun membro per i fattori comuni ai due membri, si ha: c.v.d
a
n
= a
1
x q ^
n-1
^
IL MODELLO DI
MALTHUS
Chi è Malthus? Cosa pubblicò?
Thomas Robert Malthus fu un economista e demografo inglese che nel 1798 pubblicò An Essay on the Principle of Population , di Malthus saggio riguardante l’incremento demografico e i futuri sviluppi della società. Secondo la teoria le risorse e i mezzi di sussistenza tendono a crescere in progressione aritmetica, mentre la popolazione cresce in progressione geometrica.
L’incremento della popolazione permette una maggiore forza lavoro e quindi un aumento della produzione delle risorse di sostentamento. Perché allora alcune popolazioni non riescono a sopravvivere? Incremento demografico Progressione geometrica Un termine è uguale al precedente moltiplicato per la ragione a
n
= a
n-1
Oppure x q a n = a
1
x q ^
n-1
^ Produzione delle risorse Progressione aritmetica Un termine è uguale al precedente aumentato della ragione a n = a
n-1
+ d Oppure a n = a
1
+ (
n-1
) x d
quantità popolazione risorse alimentari anni
Entrambe le progressioni sono crescenti perché hanno ragione positiva; tuttavia la popolazione; crescendo in progressione geometrica; ha un potenziale di incremento molto più grande rispetto a quello delle risorse che invece crescono in progressione aritmetica.
In questo modo la produzione delle risorse, soprattutto quelle alimentari, non riesce a sostenere la crescita della popolazione: una sempre maggiore quantità di persone produrrà in proporzione una sempre minore quantità di risorse sufficienti a sfamarla.
Tale squilibrio tra crescita demografica e risorse disponibili può portare, secondo Malthus, all’ arresto dello sviluppo economico e progressivo immiserimento della popolazione.
Conseguentemente la mancanza di risorse produce l ‘aumento del tasso di mortalità e quindi una riduzione della popolazione fino a una dimensione
sostenibile rispetto alle risorse stesse.
Karl Marx
Secondo gli economisti del diciannovesimo secolo, come KARL MARX, la rivoluzione industriale, grazie soprattutto all’ innovazione tecnologica, avrebbe invece consentito di superare i vincoli maltusiani e quindi permesso di sostenere la crescita demografica.
REALIZZATO DA: Angelo Iallonardi Alessandro Mauthe Grazie per l attenzione