Pemfaktoran

A. Pemfaktoran Suku Bentuk Aljabar Suatu bentuk aljabar dapat membagi habis bentuk aljabar yang lain disebut

faktor

dari bentuk aljabar yang lain tersebut. Setiap bentuk aljabar memiliki minimal dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Pemfaktoran merupakan proses menyatakan suatu bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian faktor-faktornya.

Hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan bilangan bulat menyatakan bahwa ab + ac = a(b + c), untuk setiap a,b,dan c bilangan real. Hukum ini menunjukan bahwa penjumlahan dari suku-suku yang mempunyai faktor persekutuan dapat dinyatakan sebagai bentuk perkalian.

a(b + c) a b + c Memfaktorkan adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian Bentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki faktor yang sama dapat difaktorkan dengan menggunakan hukum distributif

Faktorkan bentuk-bentuk berikut : a.

4a+8 Jawab : b. 6ab-4a² a.

4a dan 8 memiliki faktor persekutuan terbesar 4,maka: 4a+8= 4(a)+4(2)=4(a+2) b. 6ab dan 4a² = 2a(3b)-2a(2a)=2a(3b-2a)

Sebelumnya telah kita pelajari bahwa pengkuadratan suku dua dapat dijabarkan sebagai berikut : 1.

(x+3)²= x²+6x+9 2.

Dari contoh-contoh diatas, diperoleh bahwa hasil pengkuadratan suku dua menghasilkan suku tiga dengan ciri-ciri sebagai berikut : I.

(3x-4)²= 9x²-24x+6 Suku pertama dan suku ketiga merupakan bentuk kuadrat.

II.

Suku tengah merupakan hasil kali 2 terhadap akar kuadrat suku pertama dan akar kuadrat suku ketiga.

x² + 6x + 9 (x²) (3) ² 2(x) (3) 9x² – 24x + 16 (3x) ² 2(3x) (4) (4) ² Dengan demikian, kedua bentuk penjumlahan di atas dapat difaktorkan dengan cara sebagai berikut : 1.

2.

x² + 6x + 9 = (x²)+2(x)(3)+(3)² = (x+3)² 9x² – 24x + 16 = (3x) ² - 2(3x)(4)+(4)² = (3x-4)² x² + 2xy + y² = (x + y) ² x² - 2xy + y² = (x - y) ²

Faktorkan Bentuk aljabar berikut!

x² + 10 xy+ 25 y ² Jawab: x² + 10 xy+ 25 y ² = x² + 5 xy+ 5xy + (5 y) ² = x(x+5y) + 5y(x+5y) = (x+5y)(x+5y)

Untuk setiap bilangan cacah x dan y, telah dijelaskan bahwa (x+y)(x-y) dapat di jabarkan sebagai berikut: (x+y)(x-y) = x ²+xy-xy-y² = x ²-y² Ruas kiri persamaan di atas merupakan bentuk pengurangan suku-suku aljabar sedangkan ruas kanan merupakan bentuk perkalian faktor-faktor.

Pemfaktoran selisih dua kuadrat adalah: x ²-y² = (x+y)(x-y)

Faktorkan bentuk berikut!

a.

9p²-25q² b. 4x²-16y² Jawab: a.

9p²-25q² = 3(p)²-(5q)² =( 3p+5q )( 3p-5q ) b. 4x²-16y² = ( 2x)² -( 4y ) ² = ( 2x+4y )( 2x-4y )

Pemfaktoran bentuk ax ²+bx+c dengan a = 1. Misalnya bentuk seperti berikut : x ² + 10x -21, berarti a= 1, b = 10 dan c = -21 Pada bentuk ax ²+bx+c, a disebut koefisien x², b koefisien x dan c bilangan konstan (tetap) Untuk memahami pemfaktoran bentuk ax ²+bx+c dengan a = 1 yang selanjutnya dapat kita tulis dengan x ²+bx+c.

(x + 3)(x + 4) = x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x +12 Dari conto diatas di peroleh hubungan sebagai berikut : x² + 7x +12 = (x + 3)(x + 4) 3+4 3x4 Ternyata memfaktorkan bentuk x²+bx+c dapat dilakukan dengan cara menentukan pasangan bilangan yang memenuhi syarat sebagi berikut.

a.

b.

Bilangan kostanta c merupakan hasil perkalian.

Koefisien x, yaitu b merupakan hasil penjumlahan.

Pemfaktoran bentuk x ²+bx+c adalah: x ²+bx+c = (x+p)(x+q) Dengan syarat c = p x q dan b = p + q

Pemfaktoran bentuk ax ²+bx+c dengan a≠ 1 seperti berikut : 8 x 15 = 120 10 X 12 = 120 (2x+3)(4x+5) = 8x ² + 10x +12x + 15 = 8x ² + 22x + 15 Dari skema pada ruas kanan dapat disimpulkan bahwa untuk memfaktorkan 8x ²+22x+15, terlebih dahulu 22x diuraikan menjadi dua suku dengan aturan sebagai berikut : a.

Jika kedua suku itu dikalikan, maka akan menghasilkan koefisien x b.

Jika kedua suku itu dikalikan, maka hasilnya sama dengan hasil kali koefisien x ² dengan bilangan konstan.

Faktorkan bentuk aljabar berikut!

2p²-20p+18 Jawab: 2p²-20p+18 dapat diubah menjadi 2(p²-10p+9) Sehingga untuk memfaktorkannya kita cukup mencapai bilangan-bilangan yang hasil jumlahnya -10 dan hasil kalinya 9,yaitu -1 dan-9, sehingga 2p²-20p+18 = 2(p ²-10p+9 )=2(p-1)(p-9) =(2p-2)(p-9)