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人工智能原理
第4章 消解法
第4章 消解法
本章内容
4.1 消解法的基本思想
4.2 Herbrand定理
4.3 消解法
4.4 消解策略
参考书目
第4章 消解法
4.1 消解法的基本思想
第4章 消解法
消解法的基本思想
• 从第3章逻辑系统中可知，逻辑推理必须
考虑其有效性(即∑|=A)，即对论域中的
任何赋值都能保证公式为真
• 由可靠性定理知：逻辑系统中任何正确
的推理，都要具有“如果∑|—A则∑|=A”
的性质，即证明推理的有效性
• 从有效性和可满足性的关系可知，有效
性等价于其否命题的不可满足性
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第4章 消解法
消解法基本思想:反证法
• 这样就引出了消解法，其基本思想就是
反证法
• 即：要证命题(理解为经典逻辑的公式)A
恒为真，等价于证﹁A恒为假
• 从语义上解释，恒为假就是不存在一个
论域上的一个赋值(可称为解释)，使﹁A
为真，即对所有的论域上的所有赋值，
﹁A均为假
• 但是，论域本身和解释有无穷多个，不
可能一一验证
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第4章 消解法
基本思想(1)
• Herbrand提出：从所有解释当中选出一种
有代表性的解释，并严格证明一旦命题
在代表性解释中为假，则在所有解释中
为假
• Herbrand定义了这样的论域和代表性解释，
称为Herbrand论域(H论域)和Herbrand解
释(H解释)
• 有定理—公式A(无前束范式)是不可满
足的，当且仅当A在所有Herbrand赋值下
都取假值
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第4章 消解法
基本思想(2)
• 这样，在证假(不可满足)的意义上使公
式与子句集的语义解释等价、并与H解释
等价，作为消解法的开端
• 但如何找到H解释？引入语义树，让所有
解释都展现在语义树上
• 最后在改进寻找解释算法的复杂性中发
现了消解式，从而构成了消解法的完整
理论基础
• 消解也叫归结，本章混用这两个称呼
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第4章 消解法
4.2 Herbrand定理
4.2.1 公式到子句集的转换
4.2.2 Herbrand论域和解释
4.2.3 语义树
4.2.4 Herbrand定理
4.2.5 不可满足基子句集
第4章 消解法
证明的步骤
• 证明一个公式A在给定论域下恒为真，也
就是要证明﹁A恒为假
• 将﹁A转化为一个子句集，集合中元素为原
子公式或其析取 / 通过其中正负原子公式的
合并(此时恒为真，对证假不起作用，因此
消去) / 最后集合为空，说明是不可满足的，
即恒为假
• 通常形式：证明﹁(A→B)为假即A∧﹁B为
假，也即对应子句集归结为空子句
• 首先介绍基本术语复习和公式到子句集
的转换
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第4章 消解法
4.2.1 公式到子句集的转换
• 首先复习几个定义：
• 文字(literal)：正原子公式和负原子公式称为
文字，同一原子公式的正和负称为互补的。
• 子句(clause)：文字的析取称为子句。
• 合取范式：形如A1∧A2∧…∧An的公式，其中
A1～An均为子句。
• 前束范式：形如(Q1x1…Qn xn)M(x1…xn)的公
式，M中不再含有量词。
• Skolem标准形：在前束范式中消去存在量词
后得到的公式
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第4章 消解法
消去存在量词
• 消去存在量词的步骤：
(1)若存在量词不在任何全称量词之后，则公式
中被存在量词量化的变量以某个不同于公式
中任何其他常量名字的常量c代替，并消去存
在量词；
(2)若存在量词在k个全称量词之后，则公式中被
存在量词量化的变量用被前k个全称量词量化
的变量x1～xk 的某个函数f(x1 ～xk)的形式代替，
f的名字不同于公式中任何其他函数的名字，
但对函数形式没有要求；然后消去存在量词 /
函数f称为Skolem函数
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第4章 消解法
公式转化为子句集的步骤(1)
• 公式A化为子句集S，其实现步骤共9步，
如下：
(1)消去等价和蕴含符号：蕴含转化为析取
(2)将否定符号转移到每个谓词之前：应用
狄摩根定律
(3)变量标准化：约束变量各不相同
(4)消去存在量词：存在量词不受全称量词
约束，则变量用常量替换/如果存在量词
受全称量词约束，则使用Skolem函数替
换相应变量——得到Skolem标准形
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第4章 消解法
公式转化为子句集的步骤(2)
(5)公式化为前束型：全部全称量词移到公
式的最前面/得到的两部分称为前缀和母
式
(6)母式化为合取范式：外层连接符全部是
合取，里层连接符全部为析取
(7)去掉所有全称量词
(8)母式化为子句集：每个合取项间的合取
符号(∧)用逗号代替，即得子句集
(9)子句变量标准化：每个子句中的变量各
不相同
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第4章 消解法
公式与子句集的等价
• 实现消解法的基础是把参与推理的每个公式
都转化为子句集 / 通过逐步对消子句集合中
互补的文字(即L和﹁L)而最终得到一个空子
句□，证明原来的公式是不可满足的
• 反证法定理：给定公式A及相应的子句集S，
则A是不可满足的当且仅当S是不可满足的
• 使用子句集进行消解法推理，其过程是完备
的—即如果公式X是子句集S的逻辑推论，
则X可以从S中推出
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第4章 消解法
4.2.2 Herbrand论域和解释
• Herbrand论域定义
• Herbrand论域(H论域)： 设S为子句集，H0 是S中
子句所含的全体常量集，若S中子句不含常量，则任
选一常量a令H0={a}。
对i≥1令Hi=Hi-1∪{f(t1,…tn)| n≥1
f 是S中的任一函数符号，t1,…tn是Hi-1中的元素
H   Hi
i 0
则Hi 称为S的i阶常量集，H∞称为S的Herbrand论域，
其元素称为基项。
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第4章 消解法
H论域例子
例1：S={P(a), ﹁P(a)∨P(f(x))}
根据定义有
H0={a} / H1={a}∪{f(a)}={a, f(a)}
H2={a, f(a)}∪{f(a), f(f(a))}={a, f(a), f(f(a))}
……
H∞={a, f(a), f(f(a))…}
★
例2：S={P(x), Q(f(a))∨﹁R(g(b))}
H0={a, b} / H1={a, b, f(a), f(b), g(a), g(b)}
H2={a, b, f(a), f(b), g(a), g(b), f(f(a)), f(f(b)), f(g(a)),…}
……
H∞={a, b}∪{f(c), g(d)|c, d H∞} ★
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第4章 消解法
Herbrand原子集
• Herbrand原子集定义
• Herbrand基(原子集)：设S为子句集，H∞是其
H论域，则
H  {P(t1tn) | n  1, ti  H}
称为S的H基，~H中元素称为基原子 / 此为S
中所有原子公式取H论域上所有可能值的集
合
• 对于例1，其~H={P(a), P(f(a)), P(f(f(a))), …}
对于例2，其~H={P(a), Q(a), R(a), P(b), Q(b),
R(b), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), P(f(b))…}
★
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第4章 消解法
Herbrand解释(1)
• Herbrand解释是一种语义结构
• Herbrand解释：子句集S的H解释由下列基本
部分组成：
(1)基本区域H∞(H论域对应U)
(2)S的每个常量c对应H域中的同一c
(3)S的每个变量在H域中取值
(4)S中每个函数fn对应于一个映射
H∞×H∞×…×H∞(n个)→H∞，使得对于
(t1,t2,…tn) H∞则f(t1,t2,…tn)H∞
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第4章 消解法
Herbrand解释(2)
(5)S中的每个谓词Pn对应于一个映射
H∞×H∞×…×H∞(n个)→{T, F}
• 该定义表明，一旦给定一个子句集，其H
解释基本就确定了 / 唯一留下的自由度是
由谓词P代表的映射即~H到{T, F}的映射。
• ~H可以分解如下：~H=~H1∪~H2
h~H1，v(h)=T；h~H2，v(h)=F
这样，一旦给出~H1或~H2，则H解释就完全确
定了，通常是给出~H1
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第4章 消解法
H解释例子
• 例子：
• 在例2中设含有常量a的谓词都为T，含有常
量b的谓词都为F，则S的H解释={P(a), Q(a),
R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), P(f(f(a))…}★
• 显然，如果子句集S的H基(原子集)有n个元素
(谓词)，则谓词取不同真值的组合有2n 种，也
即2n不同种解释
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第4章 消解法
4.2.3 语义树
• 语义树的表示：要寻找S的H解释的不可满
足性质，可以把所有H解释展现在一棵语义
树上，然后观察S对应的各个原子公式的真
假值。这是一种很直观的研究方式，称为语
义树方法
• 设S={P, Q, R}，则H∞={a}，~H={P(a), Q(a),
R(a)} (只有一个常量a，在语义树中可省略)
• 因为是二值逻辑，研究每个基原子(即S的原
子公式)的取值可以通过原子及其否定(即文
字)来观察 / 构造如下二叉形式的语义树
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第4章 消解法
语义树示例
• 通常用I(Ni)表示从根节点到节点Ni分枝上所标
记的所有文字的并集。如：
I(N22)={P, Q}，I(N35)={P, Q, R}
N0
P
P
N11 
 N12
Q
Q
Q
Q
N21 
N22 
N23 
 N24
R
R

 
 
 

N31
N32 N33 N34 N35 N36 N37
N38
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第4章 消解法
语义树定义(1)
• 子句集S语义树的定义
• [定义]设子句集S，对应H基为~H，S的语义树ST
定义如下：
(1)ST是一棵树；
(2)ST的节点均不带标记，而边的标记是基原子且不
包含其中的变量(边的标记可能不止一个，用逗号
分割)；
(3)从每个非叶节点只生成有限个边L1Ln ，令Qi 是
每个Li的标记的合取，则Q1Q2…Qn为永真；
(4)从根节点到任一叶子节点的路径上，所有边的标
记的并集中不含重复的基原子，也不含互补的基
原子
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第4章 消解法
语义树定义(2)
• [定义]规范语义树：如果一棵语义树的
每条边的标记均为一个原子公式
• [定义]完备语义树：如果一棵语义树从
根节点到任一叶节点的路径上所有边标
记的并集中包含子句集中每个原子或其
负原子，则该语义树称为完备的(完全的)
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第4章 消解法
语义树定义(3)
• 对于给定的S，其语义树一般都不唯一。
下图中语义树和前图中的语义树对应于
同一个H基。这两个图的语义树都是完
备的
P
P,R

Q

Q

Q,R


R

Q
R


R
R Q Q

 


P

Q

Q

P

Q

Q

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第4章 消解法
语义树定义(4)
• 因为一般H基是个无穷集合，所以其对应
的语义树也是无限的
• 因为在完备语义树的每一条路径上都有S
的全部原子(或负原子)，所以对这些原子
公式的真值判定就能决定S的一个解释
• 对于有限完备语义树来说，如果N是一个
叶节点，则I(N)便是S的一个解释 / 这样，
S的不可满足性就与完备语义树路径的真
值计算联系起来
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第4章 消解法
语义树定义(5)
[定义]基例：如果S的某个子句C中所有变量符
号均以S的H域的元素(常量)代入时，所得的
子句C’称为C的一个基例
[定义]否节点：如果语义树节点N的从根节点
到N的路径I(N)使S的某个子句的某个基例为
假，而其父辈节点不能判断此事实(即I(N)
是使基例为假的最小路径)，则称N为否节
点(或失败节点)
[定义]封闭语义树：如果一棵完全语义树的每
个分枝上都有一个否节点，则称为封闭语义
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树
第4章 消解法
封闭语义树例子(1)
• 例：设子句集S={﹁P(x)∨Q(x),P(f(x)), ﹁
Q(f(x))}
则H∞={a, f(a), f(f(a)), …}={P(a), Q(a),
P(f(a)), Q(f(a)), …}
• 包括3个子句: ﹁P(x)∨Q(x), P(f(x), ﹁ Q(f(x))
• 其封闭语义树如下图所示
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第4章 消解法
封闭语义树例子(2)
● N0
P(a)
﹁P(a)
● N1/1
● N1/2
Q(a)
﹁Q(a)
Q(a)
﹁Q(a)
●N2/1
★N2/2
● N2/3
● N2/4
P(f(a))
P(f(a))
●N3/1
★N3/2
● N3/5 ★N3/6● N3/7
★ N3/8
Q(f(a))
Q(f(a))
★
★
★
★
★
★
N4/1
N4/2
N4/9
N4/10 N4/13
N4/14
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第4章 消解法
封闭语义树例子(3)
• 封闭语义树中每个否节点用★表示
• 在上图中，每个否节点的路径为：
• I(N2/2)={P(a),﹁Q(a)}，使(﹁P(a)∨Q(a))=F；
• I(N3/2)={P(a),Q(a),﹁P(f(a))}，使P(f(a))=F；
• I(N4/9)={﹁P(a),Q(a),P(f(a)),Q(f(a))}，使Q(f(a))=F
如此等等•
• 上述每个路径所代表的解释已经使S的某个子句
为假，因此再扩充路径仍然只能使同一子句为
假，所以没有扩充、延伸的必要 □
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第4章 消解法
有限封闭语义树
• 上例说明，从不可满足的角度来说，对于
无限完备语义树只需搜索到一个否节点，
则该分枝即被证明为不可满足。这样实际
上构成的是一个有限树
• 所以就有Herbrand定理：子句集S不可满
足，当且仅当它所对应的每棵完备语义树
均包含一个有限的封闭子树(封闭语义树)
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第4章 消解法
4.2.4 Herbrand定理
• Herbrand定理有两种形式
• Herbrand定理I：子句集S不可满足，当且
仅当它所对应的每棵完备语义树均包含
一个有限的封闭子树(封闭语义树)
• 证明：
• [充分性]设S是不可满足的，T是S的一株完备
语义树。设B是T的任意一个分支路径，则IB是
对应该分支上S的一个解释
由S的不可满足性知IB使S的某子句的某个基例
为假。则B上有节点N且N是T的否节点
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第4章 消解法
Herbrand定理I的证明
因为S中子句的个数有限，每个子句所含的文
字也有限，则IB中的文字个数也有限，因此否
节点N离T的根节点只有有限步。
因为T是二叉树且每个节点只有两个子节点，
由B的任意性可知，T所有分支上的否节点所构
成的封闭语义树必是有限的。
• [必要性]已知S存在有限的封闭语义树T。设I是
S的任一解释，则其落在T的某个分支B上，B
上必有否节点N存在
可知I(N)使S的某子句的某个基例C’为假。由I
(N)I及任意性，可知S是不可满足的 ★
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第4章 消解法
Herbrand定理II(1)
• Herbrand定理II：S是不可满足的，当且
仅当存在S的一个不可满足的有限基例集
• 证明：
• [充分性]设S是不可满足的，及T是S的一个
完备语义树。由Herbrand定理I知存在T的有
限封闭子树T’。T’存在有限路径和末端否节
点，即使S的某个子句的某基例为假。
将基例加起来，即得一 个不可满足的有限
基例集
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第6章 消解法
Herbrand定理II(2)
• [必要性]设S’S且不可满足的有限基例集。
设I是S的任一解释，应有S’的解释I’I，已
知I’使S’的某个基例为假，于是I使其为假，
即使S为假，故S不可满足
★
• 如同语义树的结构不唯一，不可满足
的有限基子句集也不唯一
• 从自动证明的角度，定理II是基础
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第4章 消解法
4.2.5 不可满足基子句集
• 不可满足基子句集的生成：可通过逐
步测试基子句集中各有限子集的方法
来找出，此为Gilmore算法(算法略，参
见陆著) / 当S不可满足时，该算法一定
结束(半可判定)
• 但该算法具有指数复杂性，为此提出
了改进规则，改进的规则称为DavisPutnam预处理
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第4章 消解法
Davis-Putnam预处理(1)
• Davis-Putnam预处理：
(1)重言式(永真式)删除规则：删去所有重言式子
句，因为与不可满足性无关；
(2)单文字(单句节)删除规则：如果S中包含一个单
文字子句L(即只有一个原子公式)，则从S中删
去所有含L的子句，从S中删去所有子句中的
﹁L文字。经过如此处理的子句集为S’，若S’为
空，则S是可满足的，若S’非空，则S’与S同是
不可满足的；
(3)纯文字删除规则：如果S中只包含文字L而不包
含﹁L，则删去所有包含L的子句；
37
第4章 消解法
Davis-Putnam预处理(2)
(4)分离规则(分裂规则)：如果
S=(L∨A1)∧…∧(L∨Am)∧(﹁L∨B1)∧…∧
(﹁
L∨Bn)∧R
其中Ai、Bj、R皆不包含L或﹁L，
则令
S1= A1∧…∧Am∧R
S2= B1∧…∧Bn∧R
S是不可满足的等价于S1∨S2是不可满足的(即S1、
S2同时不可满足)。经过Davis-Putnam预处理以后
的子句集与原子句集在不可满足性上等价
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第4章 消解法
4.3 消解法
4.3.1 置换与合一
4.3.2 消解式
4.3.3 消解法的实施
第4章 消解法
消解法的形式
• 进一步推广Davis-Putnam规则，就得到了
消解法。例如设
P
S 
P  Q
• 此时只要使用单文字删除规则就可以推
出结论Q。但是如果子句中包含变量，则
常常必须经过变量置换才能进行消解
• 本节的内容：置换与合一 / 合一算法 / 子
句化简与消解式 / 消解法实施 / 消解法合
理性和完备性
40
第4章 消解法
4.3.1 置换与合一
• [定义]置换(或代换)：设x1～xn是n个变
量，且各不相同，t1～tn是n个项(常量、
变量、函数)，ti≠xi，则有限序列{t1/x1,
t2/x2 …tn/xn}称为一个置换
• 置换可以作用于谓词公式，也可以作
用于项。置换θ={t1/x1, t2/x2 …tn/xn}作
用于谓词公式E就是将E中变量xi均以ti
代替，其结果用E表示 / 作用于项的
含义相同
41
第4章 消解法
关于置换
• 例：={a/x, f(b)/y, u/z}
E=P(x, y, z)
E=P(a, f(b), u)
t=g(x, y)
t=g(a, f(b))•
• [定义]置换乘积(合成)：设和是2个
置换，则先后作用于公式或项，称
为置换乘积，用表示(E)
• 一般来说，置换乘积的结合律成立，
即()=()，但交换律不成立
42
第4章 消解法
合一置换
• [定义]合一置换：设有一组谓词公式{E1～
Ek}和置换，使E1=E2=…=Ek，则称为
合一置换，E1～Ek称为可合一的。合一置换
也叫通代
• [定义]最一般合一置换(最广通代)：如果
和都是公式组{E1～Ek}的合一置换，且有
置换存在，使得=，则称为公式组
{E1～Ek}的最一般合一置换，记为mgu
(most general unification)
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第4章 消解法
分歧集
• 在介绍mgu求解算法之前，首先说明什么是
分歧集 / 合一的过程就是消除分歧
• [定义]分歧集(不一致集)：设W是一个非空谓
词集，从左至右逐个比较W中的符号，如果在
第i(i1)个符号处W中各谓词第一次出现分歧
(即至少存在Ej和Ek在第i个符号处不一样，而在
i之前各谓词符号均一样)，则全体谓词的第i个
符号构成了W的分歧集D。
• 分歧集性质：分歧集的出现处一定是谓词或
项的开始处 / 求最广合一置换只考察项的分
歧
44
第6章 消解法
mgu求解算法
• 求mgu算法(合一算法)
• 设W是谓词组， 表示空置换(即置换序列为空)，则
算法如下：
(1)k=0，W0=W，0=；
(2)如果Wk中各谓词完全一样，则算法结束，k是W的
mgu，否则求Wk的分歧集Dk；
(3)若Dk含变量x k以及项t k的首符号且x k在t k中不出现，
则继续执行算法，否则W的mgu不存在，算法停止；
(4)令k+1=k{t k/x k}，Wk+1= Wk{t k/x k}；
(5)k=k+1，转(2)
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第4章 消解法
mgu存在条件
• mgu存在的条件：如果有限谓词组W是
可合一的，则上述算法一定成功结束
并给出其存在
• 求mgu的预置条件：应把所有谓词中的
变量换成不同名字的变量。(不过，这
在将公式化为子句集时已经完成。)
46
第4章 消解法
mgu求解例子(1)
• 例1：求W={P(a, x, f(g(y))), P(z, f(a), f(u))}的
mgu
(1)0=，W0=W，D0={a, z}
(2)1=0{a/z}={a/z}，W1= W01={P(a, x, f(g(y))), P(a,
f(a), f(u))}，D1={x, f(a)}
(3)2=1{f(a)/x}={a/z, f(a)/x}，W2= W12= {P(a, f(a),
f(g(y))), P(a, f(a), f(u))}，D2={g(y), u}
(4)3=2{g(y)/u}={a/z, f(a)/x, g(y)/u} ， W3= W23=
{P(a, f(a), f(g(y))), P(a, f(a), f(g(y)))}, D3=
此时W已合一，mgu=3={a/z, f(a)/x, g(y)/u} ★
47
第4章 消解法
mgu求解例子(2)
• 例2：求W={P(x, x), P(x, f(x))}的mgu
首先换名：W={P(x, x), P(y, f(y))}
(1)0=，W0=W，D0={x, y}
(2)1={x/y}，W1={P(x, x), P(x, f(x))}，D1={x,
f(x)}
(3)2不存在，因为f(x)中含有变量x。
故W的mgu不存在。★
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第4章 消解法
4.3.2 消解式
• [定义]文字合并规则：若子句C含有n(n>1)
个相同的文字(也称为句节)，则删去其中的
n-1个，结果以[C]表示。
• [定义]因子：若子句C中的多个文字具有
mgu，则[C]称为C的一个因子。当[C]为
单文字时称为C的单因子
• 通过取因子可以简化一个子句。这是因为取
因子之后，子句C中可能出现相同的文字，
而根据文字合并规则就可以删除重复部分
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第4章 消解法
二元消解式
• 例子：
C=P(x, a)∨P(b, y)∨Q(x, y, c)，={b/x, a/y}
则[C]=[P(b, a)∨P(b, a)∨Q(b, a, c)]= P(b, a)∨Q(b, a,
c)
• [定义]二元消解式：设C1、C2是无公共变量
的子句，分别含文字L1、L2，而L1和L2有mgu ，
则子句R(C1, C2)=[(C1L1)∨(C2L2)]
称为C1和C2的二元消解式，其中(C1L1)和
(C2L2)分别表示从C1、C2删去L1、L2所
余部分。L1和 L2称为被消解的文字，C1、C2称
为父子句
50
第4章 消解法
二元消解式例子
• 例子：
设C1=P(x)∨Q(x), C2=P(g(y))∨Q(b)∨R(x)，则C
1和C2有2个二元消解式(一个消P，一个消Q)
如果取={g(y)/x}，得R(C1, C2)=Q(g(y))∨Q(b)∨
R(g(y))
如果取={b/x}，得R(C1, C2)=P(b)∨P(g(y))∨R(b)
★
• 注意：求消解式不能同时消去2个互补对文字，
如同时消去P和P、Q和Q，那样所得结果就
不是C1, C2的逻辑结果了
51
第4章 消解法
子句的二元消解式
• 子句的二元消解式：以下4种二元消解
式都是子句C1和C2的二元消解式：
(1)C1和C2的二元消解式；
(2)C1的一个因子(即经过取因子处理)和C2的
二元消解式；
(3)C1和C2的一个因子的二元消解式；
(4)C1 的一个因子和C2 的一个因子的二元消
解式
52
第4章 消解法
4.3.3 消解法的实施
• 消解法的实施：为证├A→B，则建立
G=A∧﹁B(﹁(A→B))，再求出G对应的
子句集S，进而只需证明S是不可满足
的
• 为证S的不可满足，只要对S中可以消
解的子句求消解式，并将消解式(新子
句)加入S中，反复进行这样的消解过
程直到产生一个空子句□
53
第4章 消解法
子句的推导
• 子句的推导定义：
• 给定子句集S，如果存在一个有限的子句
序列C1,C2,…,Ck ，使得每个Ci 或者属于S，
或者是C1∼Ci-1的某些子句的消解式，且C
k=C，则从S可以推导出子句C，称此子句
序列为C的推导。当C为空子句□时，也
称该序列为S的一个否证。
54
第4章 消解法
消解法的合理性
• [合理性定理]若从子句集S可以推导出子句C，
则C是S的逻辑推论(或S逻辑蕴含C)。
• [推论]若S是可满足的，则S推导出的任一子
句也是可满足的，即不能推出空子句。
• 其逆否形式：若S推导出空子句□，则S是
不可满足的。
• 此为消解原理的合理性定理。即只要找出一
个推出空子句的过程，则S就不可满足
55
第4章 消解法
消解法的完备性(1)
• [完备性定理]子句集S是不可满足的，当
且仅当从S可推导出空子句□
• 为了说明完备性定理的证明过程，需要
说明消解过程与语义树倒塌之间的联
系：
• 从S的语义树T出发，必有两个否节点所对应
的子句可作归结，将归结式放入S，则否节
点的位置提升，即原来两个否节点的父节点
成为否节点。从而使新否节点下面的语义树
分支无必要存在，即引起语义树的倒塌
56
第4章 消解法
消解法的完备性(2)
• 重复上述语义树的倒塌过程，直到语义树仅由
树根组成为止。此时树根是否节点，则I(N0)=
，即已归结为空子句□。
• 举例如下：S={P, ¬P∨Q, ¬P∨¬Q}
T
N0
P
Q
N21
T*
¬P
N11
¬Q
N22 N23
N12
Q
N24
N21
T*1
N0
P
N11
¬Q
N0
¬P
N12
N11
N12
N22
57
第4章 消解法
提升引理
• 归结过程与语义树的倒塌过程是一致的
• 进一步推广：由基例间(语义树对应的形
式)可作归结，到实现子句间可作归结：
即常量子句到变量子句的归结 / 于是得到
提升引理
• [提升引理]若C1’和C2’分别是子句C1和C2的
例子句，C’是C1’和C2’的归结式，则存在C1
和C2的一个归结式C，使得C’是C的例子句
58
第4章 消解法
消解法完备性定理(1)
• 简述完备性定理的证明过程：
(1)必要性：存在S到□的归结过程，□是S的逻辑
推论，由合理性定理知S是不可满足的
(2)充分性： S不可满足，由Herbrand定理知存在
有限封闭语义树，必有二叉树中2个兄弟节点均
为否节点，即使某2个S的基例为假
该2个基例必可作归结(有互补原子)，则归结式
使其父节点成为否节点(使归结式为假)
59
第4章 消解法
消解法完备性定理(2)
• 将归结式并入S，则该父节点是并集的否
节点，因此引起语义树的倒塌
• 重复上述过程至语义树倒塌为只剩根节
点且为否节点，说明S∪{R’,...}有限集必
包含□。即存在S到□的基例归结过程
• 由提升引理知必存在S到□的子句归结过
程
★
• 关于消解法完备性的一个证明(Robinson)
见教材p230~231
60
第4章 消解法
4.4 消解策略
4.4.1 常用消解策略
4.4.2 支持集消解
4.4.3 有序消解策略
4.4.4 消解法举例
第4章 消解法
消解过程的计算复杂性
• 定理证明的过程就是在子句集S中不断求消
解式，直到生成一个空子句□。现在涉及到
求消解式的计算复杂性问题。通常不考虑任
何消解策略的盲目消解具有指数级的计算量：
对于有n个子句的子句集，如果进行i次求消
解式后得到空子句，则计算复杂性是O(n2i)
• 所以要研究加快消解速度、提高效率的各种
消解策略
62
第4章 消解法
4.4.1 常用消解策略
• 本节介绍相关的消解策略，主要内容包
括：
• 删除无用的子句—永真式和隐含子句
• 求隐含关系—归类算法
• 禁止无用子句产生—限制参加消解的子句 /
限制被消解的文字 / 限制消解方式
• 第1种策略：支持集策略和动态支持集策略
• 常用动态支持集策略—线性消解 / 输入消解
/ 单元消解
• 第2种策略—有序消解
• 消解法例子
63
第4章 消解法
删除策略
• 最直观的一种策略就是删除对消解没有任何贡
献的子句，减少进行消解的子句数量，从而提
高效率。这就是删除策略
• 删除哪些子句？有2类：永真式和隐含式
• 第1类是重言式(永真式)，即包含﹁P∨P形式的
子句，因为它是永远被满足的，对判定不可满
足性没有作用
• Davis-Putnam预处理中的重言式删除规则也说明了
这一点。这时，只要判断子句或子句的消解式中是
否包含互补对即可。如果消解式中包含互补对，则
从子句集中删除新生成的消解式及其父子句
64
第4章 消解法
隐含关系
• 另一类是被子句集中其他子句所隐含的子句
• 首先定义隐含关系
• [定义]设C1、C2是2个子句，lit(Ci)表示Ci中
各个文字的集合，如果存在置换，使
lit(C1)lit(C2)，则称C1隐含C2 (C2被C1隐
含)，或称C1把C2归类
• [定理]如果S中的子句C1隐含C2，则S是不可
满足的当且仅当S {C2}是不可满足的
65
第4章 消解法
归类算法(1)
• 为了说明求隐含关系的算法(也称归类算法)，
首先说明求隐含关系也化为消解问题
• 给定子句C、D，x1xn 是D中所有变量，a1an
是C、D中均未出现的常量，令={ a1/x1…an/xn}
• 设 D=L1∨…∨Lm ， 令 ﹁D=﹁L1∧…∧﹁Lm ，
则求隐含关系就成为C与W={﹁L1, …﹁Lm}
消解为空子句的过程
66
第4章 消解法
归类算法(2)
• 归类算法：
• 给定子句C、D，并令W={﹁L1, …﹁Lm}，
其中如上述定义
(1)设i=0，U0={C}
(2)如果Uk包含□，则C隐含D，算法停止
(3)令Uk+1={R(C1, C2)| C1∈Uk, C2∈W}
(4)如果Uk+1=Φ，则C不隐含D，算法停止
(5)i=i+1，转(2)。
67
第4章 消解法
归类算法(3)
• 注意：Uk+1=Φ表明Uk 和W中已不存在可消
解的子句，所以没有R(C1, C2)，其中C1∈Uk,
C2∈W
• 算法工作前，让D中变量均以常量置换，是
隐含关系定义所要求的：因为根据定义，置
换只能对C实行，当算法进行中又要作消
解，即D的部分(W中文字)要作消解，则必
然要作置换，所以只能先把D中变量全部置
换为常量后才能阻止消解中对D的置换
68
第4章 消解法
归类算法举例
• 例子：C=﹁P(x)∨Q(f(x), a)
D=﹁P(h(y))∨Q(f(h(y)), a)∨P(z)
• 首先作={b/y, c/z}，则W={P(h(b)),﹁
Q(f(h(b)), a),﹁P(c)}={W1, W2, W3}
(1)U0={C}={﹁P(x)∨Q(f(x), a)}
(2)U0 不包含□，则U1={R(C, W)}={Q(f(h(b)), a), ﹁
P(h(b))}，其中Q(*)是U0 与W1的消解式，﹁P(*)是
U0与W2的消解式，U1不空继续
(3)U2显然包含□，因为Q(f(h(b)), a)∈U1而﹁Q(f(h(b)),
a)∈W可消解为□，同样﹁P(h(b))∈U1而P(h(b))∈W可
消解为□。★
69
第4章 消解法
禁止无用子句产生
• 禁止无用子句的产生：删去重言式和被隐含
子句的策略提示我们，如果不让无用子句产
生，其效率会更高。因为检查哪些子句是无
用的也要花费时间。
• 禁止无用子句的产生可以通过下述三个方面
来进行：
(1)限制参加消解的子句；
(2)限制子句中被消解的文字；
(3)限制消解的方式。
• 主要介绍第1种策略，即对每次参加消解的
子句作出规定
70
第4章 消解法
4.4.2 支持集消解
•一般来说，消解法常常用来证明
C1∧C2∧…∧Cn∧﹁C 不 可 满 足 ， 此 即
C1∧C2∧…∧Cn→C
• 因为前提子句集合{Ci}应该是可满足
的，所以消解不应在各个Ci 间进行，
而应在Ci和﹁C之间或﹁C内部进行
• 支持集策略：推广此想法，限定消解
双方不能都取自子句集的某个子集
71
第4章 消解法
支持集消解(2)
• [定义]支持集消解：设S为子句集，S’为其
子集，若S―S’是可满足的，则称S’是S的一
个支持集。如果限定消解双方不能都取自S
―S’，则此消解称为支持集消解
• 给定S’之后，若每一步消解都是支持集消解，
则此推导称为支持集推导，其结果为空子句
时称为支持集否证。
• 注意：这里只要说明S―S’可满足即可，并
未指明S’不可满足，但此时必然指定某种真
值规定
72
第4章 消解法
支持集消解例子
• [定理]支持集消解是完备的，即S是不可满足的当且
仅当存在一个以S’为支持集的否证，其中S’是S的子
集，S―S’是可满足的。
• 例1：S={P∨Q,﹁P∨Q, P∨﹁Q, ﹁P∨﹁Q}，则 S’=
{﹁P∨﹁Q}是S的支持集(当P、Q取真值时S―S’可
满足)。其消解过程可由下图说明
○﹁P∨Q
S’
○﹁P∨﹁Q
○ ﹁P
○ P∨﹁Q
S’
○﹁P∨﹁Q
○﹁Q
○ P∨Q
○
Q
○ □
73
第4章 消解法
动态支持集消解
• 判断S―S’是否可满足，需要花费时间，所以要寻
找更好的策略。支持集消解的进一步改进就得到
了动态支持集消解
• [定义]动态支持集消解：设S是子句集，S0=S，
Sn=Sn-1 ∪{Cn}，其中Cn是Sn中两个子句的消解式，
如果有一种根据子句的语法结构划分子句集的统
一方法，使每个Sn都划分为Sn1和Sn2两部分，且在
消解时限定双方不能都取自Sn1 ，则称Sn2是Sn的一
个动态支持集，此消解称为动态支持集消解。同
时亦定义动态支持集推导、动态支持集否证。
74
第4章 消解法
常用动态支持集消解策略
• 常用的动态支持集消解有下列几种策略：
(1)线性消解
(2)输入消解
(3)单元消解
• [线性消解定义]在动态支持集消解定义中令
Sn2={Cn }，则此策略称为线性消解策略。Cn
称为消解时的中心子句，另一方称为边子句
• 线性消解是完备的
75
第4章 消解法
线性消解
• 注意：在现行消解过程中，初始中心句的选取
很重要，不能任意选择。
• 例2：S={ P∨Q,﹁P∨Q, P∨﹁Q, ﹁P∨﹁Q }，其
线性消解过程可由下图说明。★
S2
○ P∨Q
○ ﹁P∨Q
Q ○
○ P∨﹁Q
P ○
○ ﹁P∨﹁Q
﹁Q ○
○ Q
□ ○
76
第4章 消解法
输入消解
• [输入消解定义]在动态
支持集消解定义中令Sn2
=S，则此策略称为输入
消解策略。因为每次消
解必须有原子句集S中的
子句参加(即输入子句)
由此得名
• 例3：S={﹁P, P∨﹁Q, Q
∨﹁R, R }，其消解过程
如图所示。★
﹁P ○
S2
○ P∨﹁Q
﹁Q ○
○Q∨﹁R
﹁R ○
○R
□ ○
77
第4章 消解法
单元消解
• [单元消解定义]在动态
支持集消解定义中令Sn
n 中所有单子句和
={S
2
单因子}，则此策略称
为单元消解策略(也叫
单项消解) / 这样，每次
参加消解的一方总有一
个是单项
• 例 4 ： S={P∨Q,﹁P∨R,
﹁Q∨R,﹁R} ， 其 消 解
过程如图所示。★
S2
﹁R ○
﹁Q ○
○﹁Q∨R
○ P∨Q
P ○
○﹁P∨R
R ○
○﹁R
□ ○
78
第4章 消解法
输入消解和单元消解的关系
• 可以证明如下定理：输入消解和单元消解是
等价的，即一个子句集S可以用输入消解来
否证，当且仅当S可以用单元消解来否证。
• 输入消解和单元消解都不是完备的。但是，
如果把子句集加以限制，就可以使这两种消
解成为完备的。
• 只含Horn子句的集合称为Horn子句集。
• [定理]输入消解和单元消解对于Horn子句集
都是完备的
79
第4章 消解法
4.4.3 有序消解策略
• 有序消解策略：对子句中被消解的文
字加以限制(第2种策略)，通常要对子
句中的文字进行排序。这就是有序消
解策略。
• 有序消解一般和其他消解策略连用，
以提高效率。这里只介绍一种有序谓
词消解和简单语义消解连用的策略
80
第4章 消解法
有关定义(1)
• [两分法消解定义]设S是子句集，S0=S，Sn=Sn-1
{Cn}，其中Cn是Sn中两个子句的消解式，如果
有一种统一划分子句集的方法，使每个Sn都划
分为Sn1和Sn2两部分，且在消解时限定双方从Sn
n 中各出一个父子句，则此消解称为两分
和S
1
2
法消解。
• [简单语义消解定义]设HI是子句集S的一个H解
释，Sn(n=0, 1, …)定义如前，Sn1和Sn2分别为HI
解释中取真值和假值的子句集。按此规定划分
的两分法消解称为简单语义消解(因为由HI解
释控制)
81
第4章 消解法
有关定义(2)
• 简单语义消解是不完备的
• [有序谓词消解定义]把子句集S中出现的谓词
按照名字排成全序(即按字母排序)，并规定在
消解时只有父子句中排序最大(即按字母序最
前)的谓词文字被消解，则此策略称为有序谓
词消解。
• [有序谓词语义消解定义]如果规定每次消解时
必须同时满足有序谓词消解和简单语义消解的
定义，且规定中的子句(HI解释取假值)以排序
最大的谓词进行消解，则此消解称为有序谓词
语义消解
82
第4章 消解法
有序谓词语义消解例子
• 例 5 ： 设 S={P, Q,﹁P∨
﹁Q∨R, M,﹁R∨﹁M∨
﹁P} ， 规 定 HI 解 释 为
使正原子为真，则
• S01 ={ P, Q,﹁P∨﹁Q∨R,
M }， S02 ={﹁R∨﹁M
∨﹁P }
• 谓词排序为M>P>Q>R
• 其消解过程如图所示
S1
○ M
S2
○﹁R∨﹁M∨﹁P
○ P
○﹁R∨﹁P
○﹁P∨﹁Q∨R ○﹁R
○ P
○﹁P∨﹁Q
○ Q
○﹁Q
○□
83
第4章 消解法
4.4.4 消解法举例
• 例 “快乐学生”问题
• 假设：任何通过计算机考试并获奖的人
都是快乐的，任何肯学习或幸运的人都
可以通过所有考试，张不肯学习但他是
幸运的，任何幸运的人都能获奖。求证：
张是快乐的。
84
第4章 消解法
解：先将问题谓词表示如下：
“任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的”
( x )( Pass ( x, computer)  Win ( x, prize ))  Happy ( x))
“任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试”
( x)( y )( Study( x) ) Lucky( x )  Pass ( x, y ))
“张不肯学习但他是幸运的”
￢ Stusy(zhang )  Lucky(zhang )
“张不肯学习但他是幸运的”
( x )( Lucky (x )  Win ( x, prize ))
结论“张是快乐的”的否定
￢ Happy (zhang )
85
第4章 消解法
将上述谓词公式转化为子句集如下：
(1)￢ Pass ( x, computer)  ￢ Win ( x, prize )  Happy ( x )
(2)￢ Study( y )  Pass ( y , z )
(3)￢ Lucky(u )  Pass (u , v )
(4)￢ Study(zhang )
(5) Lucky(zhang )
(6)￢ Lucky( w)  Win ( w, prize )
(7)￢ Happy (zhang )
(本子句为结论的否定)
按谓词逻辑的归结原理对此子句进行归结，其归结反演过程如下图所示。由于归结出
86
了子句，这就证明了张是快乐的。
第4章 消解法
￢ Pass ( x, computer)  ￢ Win ( x, prize )  Happy ( x)
Lucky( w)  Win ( w, prize )
{w/x}
￢ Pass( w, computer)  Happy (w)  ￢ Lucky(w)
￢ Happy (zhang )
{zhang/w}
￢ Pass ( zhang , computer)  ￢ Lucky(zhang )
Lucky(zhang )
￢ Lucky(u )  Pass (u, v)
￢ Pass ( zhang , computer)
{zhang/u,computer/v}
Lucky(zhang )
￢ Lucky(zhang )
用的是什么消解策略？
NIL
“快乐学生”问题的归结反演树
87
第4章 消解法
参考书目
• Stuart Russell / Peter Norvig: AIMA 第9章
• 陆汝钤 编著: 人工智能(下册) 第17章
• 石纯一、黄昌宁、王家[广钦]，人工智能
原理，清华大学出版社，1993年10月第1
版
• 田盛丰、黄厚宽，人工智能与知识工程，
中国铁道出版社，1999年8月第1版,第5章
88