Transcript SISTEM - Sigit Kus

SISTEM
x(t)
input
output
y(t)
SISTEM
x[n]
y[n]

Suatu sistem yang merupakan proses fisik dapat
direpresentasikan dengan menggunakan model matematika
yang menghubungkan antara sinyal masukan (input /
excitation) dan sinyal keluaran (output/ respon).

Jika x adalah input sistem dan y adalah output sistem,
maka sistem dapat dipandang sebagai suatu transformasi
(pemetaan) dari sinyal x menjadi sinyal y.

Secara matematika, transformasi ini dapat ditulis dalam
notasi berikut :
y = L(p).x;
px(t) = dx(t)/dt
y = L(q).x;
qx[n] = x[n+1]
Contoh sistem



Menurut hukum Ohm, arus yang melewati resistor
sebanding dengan tegangan pada resistor :
i(t) = [vS(t) – vc(t)]/R
Kita juga dapat menetapkan hubungan antara i(t) dengan
laju perubahan tegangan pada kapasitor :
i(t) = C dvC(t)/dt
dari kedua persamaan di atas, kita memperoleh persamaan
diferensial yang menggambarkan hubungan antara input
vS(t) dengan output vC(t) :
MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL

Digunakan untuk memodelkan sistem waktu-kontinyu
i
N
a
d y(t)
i
dt
i= 0
N
aN
d y(t)
dt
N
+ a N -1
d
N -1
dt
y(t)
N -1
L(p) =
i
k
M
=
b
d x(t)
k
k= 0
dt
k
M
+ ... + a 0 y(t) = b M
bMp
M
+ b M -1 p
M -1
aNp
N
+ a N -1 p
N -1
d x(t)
dt
M
+ ... + b 0
+ ... + a 0
+ ... + b 0 x(t)
MODEL PERSAMAAN BEDA

Digunakan untuk memodelkan sistem waktu-diskrit
N
y[n] +
a
M
i
y[n-i] =
i= 1
 b x[n-i]
i
i= 0
a N y[n-N] + a N-1 y[n-N-1] + ... + y[n] = b M x[n-M ] + ...+b 0 x[n]
L(q) =
b 0q
q
M
N
+ b 1q
+ a 1q
M -1
N -1
+ ... + b M
+ ... + a N
CONTOH :

Tentukan operator sistem untuk sistem-sistem berikut :
3
2
a. d y(t) + 4 d y(t) + 11 dy(t) + 15y(t) = 2 dx(t) + 5x(t)
3
2
dt
dt
dt
dt
b. 3y[n] + 4y[n-1] + 7y[n-2] = 2x[n] + 5x[n-1]
CONTOH :
iC(t)
+
x(t) = i(t)
R
iR(t)
C
vC(t) = y(t)
-
SIFAT-SIFAT SISTEM
1. Sistem kausal dan sistem non kausal
Suatu sistem dikatakan sebagai sistem kausal
jika output pada setiap saat t1 hanya
tergantung pada nilai input saat sekarang dan
input saat sebelumnya (tidak dipengaruhi oleh
input yang akan datang; t > t1).
Dalam sistem kausal tidak mungkin didapatkan
suatu output sebelum suatu input diberikan
(dengan asumsi tidak ada energi awal/ zero
initial condition).
CONTOH :


suatu sistem waktu-kontinyu dinyatakan dengan
hubungan input/output berikut :
y(t) = x(t + 1)
sistem di atas adalah non kausal, karena nilai
output y(t) pada saat t tergantung pada nilai
input di saat (t + 1).
Suatu sistem waktu-kontinyu dinyatakan dengan
persamaan berikut :
y(t) = x(t – 1)
Sistem di atas adalah kausal, karena nilai output
pada saat t hanya tergantung pada nilai input
saat (t – 1)
SIFAT-SIFAT SISTEM
2. Sistem dengan memori dan sistem tanpa memori
Suatu sistem dikatakan tanpa memori (memoryless)
jika outputnya hanya tergantung dengan nilai input
pada waktu yang sama.
Contoh : resistor adalah suatu sistem tanpa
memori; dengan input x(t) adalah menyatakan arus,
maka tegangan y(t) pada resistor dapat dinyatakan
dengan persamaan :
y(t) = R x(t)
dengan R adalah resistansi.
SIFAT-SIFAT SISTEM
kapasitor adalah salah satu contoh sistem dengan
memori. Jika input x(t) adalah arus yang lewat
kapasitor, maka tegangan y(t) pada kapasitor dapat
dinyatakan dengan persamaan :
y(t) =
1

C
t
-
x(  ) d 
dengan C adalah kapasitansi.
SIFAT-SIFAT SISTEM
3. Sistem time-varying dan sistem timeinvariant
Suatu sistem disebut sebagai time-invariant jika
pergeseran waktu pada sinyal input akan
menyebabkan pergeseran yang serupa pada
sinyal output.
Jika suatu sistem diberi sinyal input x(t) akan
menghasilkan sinyal output y(t), maka jika sinyal
input yang diberikan adalah x(t – t0) maka sistem
akan menghasilkan output y(t – t0).
SIFAT-SIFAT SISTEM
y(t)
Sistem
Geser
y(t-t0)
x(t)
x(t-t0)
Geser

Sistem
y(t) = sin [ x(t) ]

y[n] = n x[n]
yt0(t)
SIFAT-SIFAT SISTEM
4. Sistem linear dan sistem non linear
Additivitas
x1(t)  y1(t)
x2(t)  y2(t)
x1(t) + x2(t)  y1(t) + y2(t)
Homogenitas (scaling)
x(t)  y(t)
ax(t)  ay(t)
bx(t)  by(t)
SIFAT-SIFAT SISTEM
Kedua sifat tersebut dapat digabungkan
menjadi satu, dan disebut dengan sifat
superposisi; yaitu :
x1(t)  y1(t)
x2(t)  y2(t)
ax1(t) + bx2(t)  ay1(t) + by2(t)
LATIHAN

Sebutkan sifat-sifat yang dimiliki oleh sistem-sistem berikut :
a. y[n] = x[n] + x[n-1]
b. y(t) = x(t) + 1
c. y(t) = exp(-t).x(t)
d. y[n+1] = y[n] x[n]
INTERKONEKSI SISTEM



Sistem real dibangun berdasarkan interkoneksi dari
beberapa subsistem
Contoh :
sistem audio : interkoneksi dari radio receiver, CD player,
amplifier, speaker
Representasi diagram blok
INTERKONEKSI SISTEM
input
output
Sistem 1

Representasi seri / cascade
Sistem 2
INTERKONEKSI SISTEM
input
Sistem 1
output
+
Sistem 2

Representasi paralel
INTERKONEKSI SISTEM
input
Sistem 1
Sistem 2
output
+
Sistem 3
Sistem 4
INTERKONEKSI SISTEM

Interkoneksi feedback
LATIHAN
x[n]
Sistem 1

y[n]
w[n]
Sistem 2
Dua sistem waktu-diskrit dihubungkan secara seri seperti
gambar. Sistem 1 dinyatakan dengan persamaan beda :
w[n+1] = x[n]
Sistem 2 dinyatakan dengan persamaan beda :
y[n+1] + 2y[n] = w[n]
Tentukan persamaan beda dari sistem keseluruhan
RESPON SISTEM
Tujuan utama dalam analisis sistem adalah
mendapatkan respon sistem (output sistem).
Respon sistem ini dapat diperoleh dari dua
keadaan :

yang pertama adalah jika sistem mendapatkan
sinyal masukan (input) yang berasal dari luar
(external input/ forcing function);

yang kedua adalah respon yang diperoleh karena
adanya suatu gaya internal yang merupakan
kondisi awal dari sistem tersebut.
RESPON SISTEM

Jika sistem dinyatakan dalam persamaan diferensial
(differential equation) atau dalam persamaan beda (difference
equation) maka respon sistem dapat dicari dengan menghitung
penyelesaian dari persamaan-persamaan tersebut.

- penyelesaian homogen ( yh(t) atau yh[n] ) dan
- penyelesaian partikular ( yp(t) atau yp[n] )

Penyelesaian homogen adalah respon sistem karena adanya
kondisi awal pada sistem (tanpa memberikan sinyal masukan
luar).  natural response/ free response
Penyelesaian partikular adalah respon sistem karena adanya
sinyal masukan dari luar.  forced response

RESPON SISTEM

Definisi 1. Respon sistem linear (kontinyu / diskrit) yang
dihasilkan karena adanya kondisi awal sistem (tanpa
external input) disebut dengan respon zero-input (fungsi
masukan dibuat sama dengan nol). Ditulis dengan yzi.

Definisi 2. Respon sistem linear (kontinyu / diskrit) yang
dihasilkan karena adanya sinyal masukan dari luar (kondisi
awal sama dengan nol) disebut dengan respon zero-state.
Ditulis dengan yzs.


y(t) = yzi(t) + yzs(t)
y[n] = yzi[n] + yzs[n]
RESPON SISTEM

Dalam menganalisis respon sistem dinamik, kita juga bisa
memandang respon sistem menjadi dua komponen yaitu
respon transien (transient response) dan respon keadaan
tunak (steady-state response)
RESPON SISTEM






free-response (zero-input response) adalah respon
sistem tanpa adanya sinyal input (masukan) dari luar.
forced-response (zero-state response) adalah respon
sistem jika kondisi awal sistem (state) adalah nol (zero
initial condition)
respon total adalah penjumlahan dari free-response dan
forced-response
steady-state response adalah bagian dari respon total
yang nilainya tidak mendekati nol ketika waktunya
mendekati tak berhingga
transient response adalah bagian dari respon total yang
nilainya mendekati nol ketika waktunya mendekati tak
berhingga
sehingga respon total dapat juga dipandang sebagai
penjumlahan dari steady-state response dan transient
response
CONTOH
C
dy(t)
+
dt

y(t) = i(t) = x(t)
R
jika x(t) = 0 untuk semua t > t0
y(t) = e

1
-(1/R C )(t-t 0 )
y(t 0 ),
t  t0
Jika x(t)  0 untuk t  t 0
y(t) = e
-(1/R C )(t-t 0 )
y(t 0 ) +

t
t0
1
C
e
-(1/R C )(t-  )
x(  ) d  ,
t  t0
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

Penyelesaian persamaan homogen (fungsi komplementer)
1. hitunglah akar-akar persamaan polinomial D(n)
2. untuk akar-akar real yang berbeda (ri), maka
yh(t) = exp(-rit)
3. untuk akar-akar komplek konjugat a + jb, maka fungsi
homogen dinyatakan dalam bentuk
exp(at)cos bt dan
exp(at)cos bt
4. untuk m akar-akar real yang sama, maka fungsi homogen
dinyatakan dalam bentuk
exp(rt), t.exp(rt),…
5. untuk m akar-akar komplek konjugat a + jb, maka fungsi
homogen dinyatakan dalam bentuk
exp(at)cos bt dan
exp(at)cos bt
CONTOH
2
d y(t)
dt
2
+6
dy(t)
dt
+ 25y(t) = 0
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

Penyelesaian integral partikular
1. tulis persamaan diferensial dengan menggunakan
operator p.
D(p)yp(t) = N(p)x(t)
2. input adalah sinyal komplek dalam bentuk polar
x(t) = A.exp(st)
3. sehingga
yp(t) = N(p)/D(p). A.exp(st)
CONTOH :
2
d y(t)
dt
2
+6
dy(t)
dt
+ 25y(t) = 50