Transcript 귀류법으로 증명해보는 명제들

귀류법으로 증명해보는 명제들
소속 :언남초등학교 6학년
이름 : 김민규
지도교사: 정혜수
 재미있는 패러독스에 관한 책을 보면 열에 아홉은
귀류법에 대한 내용이 나온다. 귀류법이란 어떤 한
명제를 부정하여, 그것이 틀림을 증명, 결과적으로
간접적인 증명을 하게 되는 연역적 증명법이다. 그
로 인해, 나는 귀류법에 흥미를 가지고, 이 귀류법
을 연구하게 되었다.
 목적은 귀류법을 적용하여 이미 증명되어있는 명
제들을 다시 한번 증명해보고, 그를 바탕으로 새로
운 방향에 적용시키는 것 이다.
 명제란 참, 또는 거짓을 구분할 수 있는 문장, 또는 식
을 의미한다. 따라서 명제는 참인 명제와 거짓인 명제
로 나뉘며, 명제는 역, 이, 대우로 변형할 수 있다.
 귀류법이란 연역적 증명법의 한 종류로, 어떤 한 명제
를 부정한 명제를 틀렸다는 것을 증명해 보여 증명하
고자 하는 명제를 간접적으로 증명할 수 있다.
‘ 광자의 부피는 0이다’는 명제를 증명.
 빛의 부피가 있다고 가정하자.
 그림자는 부피가 없다.
 빛에 부피가 있다면, 한 평면 위에 그림자와 빛이 있는
곳에서의 두께의 차이가 있을 것 이다.
 실제로는 그렇지 않으므로 처음가정이 틀렸다.
 빛의 부피는 0 이다.
날짜
연구계획
7/20~7/25
여러 가지 매체에서 귀류법에 대하여 정보를 얻는다.
7/25~7/30
찾은 정보를 보기 쉽게 정리한다.
귀류법을 적용하여 여러 명제를 증명 및 새로운 방향에 적용
7/30~9/30
한다.
9/30~10/25
한글 문서를 작성한다.
10/25~10/29
파워포인트 제작 및 대본을 작성한다.
π는 무한하다
𝛑는 끝이 없다.(무한하다)
π가 유한하다면 π = ba 로 나타낼 수 있다.(a, b 는 서로소)
b를
이향하면 π × b = a가된다. 이렇게 되면 ‘b 에 π를 곱하면 a 가된다.’ 라는
문장이 나오게 된다. 또는 유한소수라면 분자는 2n × 5m 이 된다. 즉 2n × 5m ×
π = a. 이때, b=짝수, a=짝수가 되는데, 이는 a, b 가 서로소라는 것에 위배된다.
즉, 이는 처음에 가정했던 ‘π 가 유한하다'라는 게 틀리므로 π는 무한하다고
할 수 있다.
2는 무리수다.
𝟐 =무리수다.
𝐚
𝟐 =유리수라면, 𝟐 = 𝐛로 나타낼 수 있다(a, b 는 서로소인 정수) 이때, b 를
이향한다면, 𝟐𝐛 = 𝐚가 된다.
양변에
를 소거하면, 2ba = a2 가 된다.
a2 = a × a, a2 = 짝수이므로 a × a 가 짝수일 때, 짝수×짝수만 짝수이므로(홀수×
홀수=홀수) a2 = 홀수일때, a = 짝수가된다.그러므로, a=는짝수다.그리고, 2ba = a2
a2
의 b2 에서 b 하나를 이향하면, 2b = b 가된다.즉,
a2
b
a
= 짝수다. (a 도 짝수) b =
자연수인 짝수가 된다는 것은 a, b가 서로소가 되지 않으므로‘ 𝟐 =
유리수다.’라는 가정이 틀렸으므로 처음 명제인‘ 𝟐 = 무리수다.’라는 것이
참으로 증명이 됐다.

X
0

4색정리 증명 – 그래프를 사용한 증명
A
색정리가 틀렸다고 가정하자.
그럼, 옆과 같은 그래프가 만들어질 것이다.
지도에서 2개 이상의 영역이 서로 겹칠 수는 없
다. 우선 5개를 재치고 4개부터 하자.
이 모양을 변형하면 이런 모양이 나온다.
B
E
->
즉, 4색으로 칠할 수 있다.
이제 5색으로 넘어가자. 여기서 외부나 어떤 점
을 찍든, 끊기지 않고 어떤 한 점과 이어질 수 없
다.
•• • •
•
즉, 이 그래프는 실제로 구현하기가
불가능하다.
그러면, 5색이 상을 필요로 하는 도형이 없으므
D
C
로 4색 정리가 맞는다는 것을 증명했다.
 지금까지의 연구를 통해 많은 방정식을 익혀서 직접 귀류법으로 명제를 증명
해보고 이를 토대로 짧은 소설을 지었고, 하인리히 헤슈와 동료들이 컴퓨터로
증명했던 난제인 4색정리를 증명해 보았다.
 나는, 이 연구를 위하여 읽은 책들을 읽으며 ‘귀류법이라는 게 아주 유용하구
나!’ 라고 생각했다.
 귀류법은 실생활에서도 쓰인다. 문제집의 OX퀴즈에서도 O가 아니면 X
 X가 아니면 O이라는 것도 실은 귀류법이 적용된 것 이다.
 처음에 귀류법과 이름이 헷갈렸던 귀납법, 알아보니 귀납법은 연역법과는 정
반대인 성질을 띠어 귀류법과도 반대의 성질을 띄고 있다.
 다음에는 이 귀납법을 한번 배워보고 싶다.