Transcript Q. 시간 복잡도

자료 구조
제 2 장 : 배열과 구조
이형원
강릉대학교 컴퓨터공학과
학습 내용
배열과 구조체의 정의 및 C 언어에서의 표현
배열과 구조체를 이용한 예제
 다항식
 희소 행렬
다양한 정방 행렬과 배열 표현
2
배열 ADT
배열
i) 일련의 연속적인 메모리 위치  구현 측면
ii) <index, value> 쌍으로 구성된 집합
Structure Array
objects: index의 각 값에 대해 집합 item에 속한 한 값이 있는
<index,value>쌍의 집합. index는 일차원 or 다차원의
유한 순서 집합.
functions: A Array, i index, x item, j, size integer
Array Create(j,list) ::= return j차원의 배열.
Item Retrieve(A, i) ::= if (iindex) return 배열 A의 인덱스 i와 관련된 항
목
else return 에러.
Array Store(A,i,x) ::= if (iindex) return 새로운 쌍<i,x>가 삽입된 배열
A
3
else return 에러.
C에서의 일차원 배열
int list[5], *plist[5];






5 개의 연속적인 메모리 장소 할당
list[i]: 정수, plist[i]: 정수로의 포인터
addrlist[i] = addrlist[0] + i*sizeof(int)
list = list[0]를 가리키는 포인터
list + i = list[i]를 가리키는 포인터
(list+i) = &list[i], *(list+i) = list[i]
배열이 함수의 매개 변수로 사용되는 경우
 일차원 배열의 범위는 주프로그램에서만 정의
• Q. 배열의 크기가 부프로그램에서 필요하다면 ?
 call-by-value를 이용한 call-by-reference 효과
4
배열 프로그램의 예
#define MAX_SIZE 100
float sum(float [], int);
float input[MAX_SIZE], answer;
int i;
void main(void) {
float sum(float list[], int
n) {
for (i = 0; i < MAX_SIZE; i++)
float tempsum = 0;
input[i] = i;
for (i = 0; i < n; i++)
answer = sum(input, MAX_SIZE);
tempsum +=
list[i];
printf("The sum is: %f", answer);
return tempsum;
}
}
 호출시 input(=&input[0])은 임시 장소에 복사되고
5
formal parameter list와 연관됨
구조 : struct
type이 다른 데이타를 그룹화(레코드)
 항목은 타입과 이름으로 식별
struct {
char name[10];
int age ;
float salary;
} person;
 typedef 문장을 사용한 구조 데이타 타입 생성
typedef struct human_being {
char name[10];
int age;
float salary;
};
또는
typedef struct {
char name[10];
int age;
float salary;
} human_being ;
 변수 선언 : human_being person1, person2 ;
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구조 : struct(계속)
 구조 속의 또다른 구조 정의
typedef struct {
human_being {
int month;
int day;
int year;
} date ;
typedef struct
char name[10];
int age;
float salary;
date dob;
};
[예] person1.dob.month = 2;
person1.dob.day = 11;
person1.dob.year = 1944;
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유니언
union의 필드들은 메모리 공간을 공용
 한 필드만 어느 한 시점에 활동적이 되어 사용 가능
typedef struct sex_type {
enum tag {female, male} sex;
union {
int children;
int beard;
}u;
};
typedef struct human_being {
char name[10];
int age;
float salary;
date dob;
sex_type sex_info;
};
 값 할당
human_being person1, person2;
person1.sex_info.sex = male;
person1.sex_info.u.beard = FALSE;
person2.sex_info.sex = female;
person2.sex_info.u.children = 4;
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자체 참조 구조
구성요소 중 자신을 가리키는 포인터가 있는 구조
동적 기억장소 관리 루틴(malloc, free)이 필요
typedef struct list {
char data;
list *link;
};
list item1, item2, item3;
item1.data = 'a';
item2.data = 'b';
item3.data = 'c';
item1.link = item2.link = item3.link = NULL;
item1.link = &item2;
item2.link = &item3;
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순서 리스트
 순서 리스트(ordered list, linear list)
 원소들의 순서가 있는 모임 : (a0, a1, ..., an-1)
예) Days-of-week : (Mon, Tue, Wed, Thu, Fri, Sat, Sun) : list
1st 2nd 3rd 4th 5th 6th 7th : order
 연산
ⅰ. length n
ⅱ. reading (R L, L  R)
ⅲ. retrieve i-th element, 0 ≤ i < n
ⅳ. update i-th element's value, 0 ≤ i < n
ⅴ. insertion (i번째 위치, 0 ≤ i ≤ n) : i, i+1, ..., n-1  i+1, i+2, ..., n
ⅵ. deletion (i번째 항목, 0 ≤ i < n) : i+1, ..., n-1 i, i+1, ..., n-2
 표현
• 순차적 사상(배열)
• 비순차적 사상(연결 리스트)
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다항식
다항식의 기초
 A(x)=anxn + an-1xn-1 + … + a1x1 + a0x0
 각 항이 axe
where a : 계수(coefficient) an  0
e : 지수(exponent) - unique
x : 변수(variable)
 차수(degree) : 다항식에서 가장 큰 지수
 A(x) = aixi, B(x) = bixi
• A(x) + B(x) =  (ai + bi) xi
• A(x) B(x) =  (aixi  ( bjxj ))
 Q. 다항식과 순서 리스트와의 관계 ?
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다항식: ADT Polynomial
Objects : P(x) =a1xe1+…+anxen:<ei,ai>의 순서쌍 집합 (ei (≥0):정
수)
Functions : poly, poly1, poly2  다항식, coef  계수, expon 
지수
Polynomial Zero() ::= return p(x) = 0
Boolean IsZero(poly) ::= if (poly) return FALSE else return TRUE
Coefficient Coef(poly,expon) ::= if (exponpoly) return 계수 else return 0
Exponent Lead_Exp(poly) ::= return poly에서 제일 큰 지수
Polynomial Attach(poly, coef, expon) ::=
if (expon poly) return 오류
else return <coef, exp>항이 삽입된 다항식 poly
Polynomial Remove(poly, expon) ::=
if (expon poly) return 지수가 expon인 항이 삭제된 다항식 poly
else return 오류
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Polynomial SingleMult(poly,coef,expon) ::= return 다항식 poly coef xexpon
다항식: 함수 padd
/* 다항식 d=a+b (다항식 표현에 독립) */
d = Zero();
while (! IsZero(a) && ! IsZero(b)) do {
switch COMPARE(Lead_Exp(a), Lead_Exp(b)) {
case -1: d = Attach(d, Coef(b, Lead_Exp(b)), Lead_Exp(b));
b = Remove(b, Lead_Exp(b));
break;
case 0 : sum = Coef(a, Lead_Exp(a)) + Coef(b, Lead_Exp(b));
if (sum) { Attach(d, sum, Lead_Exp(a));
a = Remove(a, Lead_Exp(a));
b = Remove(b, Lead_Exp(b)); }
break;
case 1 : d = Attach(d, Coef(a, Lead_Exp(a)), Lead_Exp(a));
a = Remove(a, Lead_Exp(a));
}
}
a 또는 b의 나머지 항을 d에 삽입한다.
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다항식: 표현 방법
다항식의 표현 방법 (I)
 #define MAX_DEGREE 101 /* 다항식의 최대 차수 + 1 */
typedef struct {
int degree;
float coef[MAX_DEGREE];
} polynomial;
 예) x4+10x3+3x2+1를 polynomial type a에 저장
a.degree = 4
a.coef
1 10 3 0 1 …..
 단점 : 기억 장소의 낭비 가능성 Q. when ?
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다항식: 표현 방법(계속)
다항식의 표현 방법 (II)
 typedef struct {
float coef;
int expon;
} polynomial;
polynomial terms[MAX_TERMS];
 예) A(x)=2x1000+1, B(x)=x4+10x3+3x2+1를 배열 terms에 저
장
coef
exp
starta finisha startb
2
1
1
1000
0
4
10
3
finishb avail
3
1
2
0
 장점: sparse polynomial의 경우 기억 장소 문제 해결
terms안에 저장될 다항식의 수에 제한이 없음
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 단점: 최악의 경우, (I) 보다 2배의 기억장소 Q. when ?
다항식: 알고리즘 padd
void padd(int starta, int finisha, int startb, int finishb, int *startd, int *finishd)
{
float coefficient;
*startd = avail;
while (starta <= finisha && startb <= finishb)
switch (COMPARE(terms[starta].expon, terms[startb].expon))
case -1: attach(terms[startb].coef, terms[startb].expon);
startb++; break;
case 0: coefficient = terms[starta].coef + terms[startb].coef;
if (coefficient) attach(coefficient, terms[starta].expon);
starta++; startb++; break;
case 1: attach(terms[starta].coef, terms[starta].expon);
starta++;
for(; starta <= finisha; starta++)
attach(terms[starta].coef,terms[starta].expon);
for(; startb <= finishb; startb++) attach(terms[startb].coef,
terms[startb].expon);
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*finishd = avail-1;
다항식: 알고리즘 padd(계속)
void attach(float coefficient, int exponent) { /* 새 항을 다항식에 첨가 */
if (avail >= MAX_TERMS) {
fprintf(stderr, "다항식에 항이 너무 많다."); exit(1); }
terms[avail].coef = coefficient;
terms[avail++].expon = exponent;
}
padd의 분석 (m,n: A와 B의 0이 아닌 항의 수)
 시간 복잡도
while 루프 : 각 반복마다 starta나 startb 또는 둘 다 값이 증가
최대 반복 횟수 = m+n-1 Q.When ?
for 루프 : O(m+n)
 문제점 : avail = MAX_TERMS ?
• 불필요한 다항식 제거 후 배열 끝에 연속적인 가용공간 생성
• 데이타 이동시간, 각 다항식의 starti, finishi 변경
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희소행렬의 표현
행렬의 표준 표현
 2차원 배열
 희소 행렬(sparse matrix)의 경우 기억 장소 낭비
 희소 행렬의 표현 방법
 store only the nonzero elements
typedef struct {
int col;
int row ;
int value ;
} term;
term a[MAX_TERMS];
 추가 고려 사항
• 행의 수, 열의 수, non-zero elements의 수, 순서 (열 우선 or 행 우선)
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희소행렬의 표현(계속)
 표준 표현
행0
행1
행2
행3
행4
행5
열0 열1 열2 열3 열4 열5
15
0
0 22
0 -15
0 11
3
0
0
0
0
0
0 -6
0
0
0
0
0
0
0
0
91
0
0
0
0
0
0
0 28
0
0
0
희소 행렬 표현
a[0]
a[1]
a[2]
a[3]
a[4]
a[5]
a[6]
a[7]
a[8]
행 열 값
6
6
8
0
0 15
0
3 22
0
5 -15
1
1 11
1
2
3
2
3 -6
4
0 91
5
2 28
 a[0].row: 행수, a[0].col: 열수, a[0].value: 0이 아닌 항의 총
수
 행 우선 & 행 내에서는 열우선
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행렬의 전치
⑴ 일반적인 행렬 표현법
 행렬 전치의 예
 15
 5
 0
10
0
20
0 
 15
0  ==>  10
0 
 0
5
0
0
0 
20 
0 
 알고리즘
void normal_transpose(term a[], term b[], int columns, int rows) {
/* a를 전치시켜 b에 저장 */
int i, j;
for (j=0; j<columns; j++)
for (i=0; i<rows; i++)
b[j][i] = a[i][j];
}
Q. 시간 복잡도 ?
20
행렬의 전치(계속)
⑵ 희소 행렬(행우선) 표현법
a[0]
a[1]
15
a[2]
a[3]
11
a[4]
3
a[5]
28
a[6]
a[7]
-6
행
6
0
열
6
0
값
8
15
0
0
3
5
22
-15
1
1
1
2
4
행
열
값
8
0
b[0]
6
b[1]
6
0
b[2]
0
b[3]
4
1
91
1
11
b[4]
2
1
2
3
b[5]
2
5
3
0
-6
91
3
b[7]
0
3
b[6]
22
2
21
행렬의 전치(계속)
void transpose(term a[], term b[]) { /* a를 전치시켜 b에 저장 */
int n, i, j, currentb;
n=a[0].value; b[0].row=a[0].col; b[0].col=a[0].row;
b[0].value=n;
if (n > 0) {
currentb = 1;
for (i =0; i < a[0].col; i++) /* a에서 열별로 전치*/
for (j = 1; j <= n; j++) /* 현재 열로부터 원소를 찾는다. */
if (a[j].col == i) { /* 현재 열에 있는 원소를 b에 첨가 */
b[currentb].row = a[j].col;
b[currentb].col = a[j].row;
b[currentb].value = a[j].value;
currentb++;
}
22
}
행렬의 전치(계속)
⑶ 희소 행렬의 빠른 전치
void fast_transpose(term a[], term b[]) { /* a를 전치 b에 저장 */
int row_terms[MAX_COL], starting_pos[MAX_COL];
int i,j, num_col = a[0].col, num_terms = a[0].value;
b[0].row = num_cols; b[0].col = a[0].row; b[0].value = num_terms;
if (num_terms > 0) {
for(i=0; i < num_cols; i++) row_terms[i] = 0;
for(i = 1; i <= num_terms; i++) row_terms[a[i].col]++;
starting_pos[0] = 1;
for(i=1; i<num_cols; i++) starting_pos[i]=starting_pos[i-1]+row_terms[i1];
for(i = 1; i <= num_terms; i++) {
j = starting_pos[a[i].col]++;
b[j].row = a[i].col; b[j].col = a[i].row;
b[j].value = a[i].value;
}
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}
행렬 전치 알고리즘의 분석
시간 복잡도
 희소 행렬 (원소 수 << columns*rows)
⑴ Ο(columns·rows)
⑵ Ο(columns·elements)
⑶ Ο(columns+elements)
 희소 행렬이 아닌 경우 (원소 수  columns*rows)
⑴ Ο(columns·rows)
⑵ Ο(columns·elements) = Ο(columns2·rows)
⑶ Ο(columns+elements) = Ο(columns·rows)
Q. What can you say from these ?
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다양한 형태의 정방 행렬
대각 행렬(diagonal matrix) A[n][n]
x000
0x00
00x0
000x
A[i][j] = 0 if i  j
하삼각 행렬(lower triangular matrix) A[n][n]
x000
xx00
xxx0
xxxx
A[i][j] = 0 if i < j
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다양한 형태의 정방 행렬(계속)
상삼각 행렬(upper triangular matrix) A[n][n]
xxxx
0xxx
00xx
000x
A[i][j] = 0 if i > j
3원 대각 행렬(tridiagonal matrix) A[n][n]
xx000
xxx00
0xxx0
00xxx
000xx
A[i][j] = 0 if |i - j| > 1
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