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Chapter 6
Quantum Theory of
the Hydrogen Atom
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 6 -1. Schrodinger's
equation for the hydrogen
atom
 6.2. Separation of
Variables
 6.3 Quantum Numbers
 6.4 Principle Quantum
Number
 6.6 Magnetic Quantum
Number
 6.7 Electron Probability
Density
 6.8 Radiative Transitions
 6.9 Selection Rules
 6.10 Zeeman Effect
 6.5 Orbital of angular
number
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6장 Quantum Theory of the Hydrogen Atom
 Schrodinger가 그의 Wave equation을
적용한 것은 “수소원자” 였음
 파동역학에서 양자화가 되는 것을 밝힘
 양자화는 어떤 특수함수가 유한하고
일가함수여야 한다는 필요성에 기초함
태양의 흑점에 연관되는 강력한 자기장을 Zeeman 효과 방법으로 탐지한다. 태양 흑점은 매우 뜨겁기는 하지만 나머지 태양 표면보다
는 차가우므로 어둡게 보인다. 흑점의 개수는 11년 주기로 변하고, 지구상의 몇 개 현상들은 이 주기를
따른다.
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6 -1. Schrodinger's equation for the hydrogen atom
Symmetry suggests spherical polar coordinates.
•
수소원자 : 전하량이 +e 인 양성자 (proton)
전하량이 -e 인 전자 (질량 : 양성자의 1/1836)
proton-stationary, electron-moving
(correction for proton motion  reduced mass m')
•
3-D SE for e for H atom
 2  2  2 2m
 2  2  2 ( E  U )  0
2
x y
z
h
(6.1)
그림 6.1 (a) 구면 극좌표. (b) 구 위에서 같은 천정 각 Θ 를 가진 점들을 연결한 곡선은
z축에 수직인 원이 된다.
(c) 같은 방위각  를 가진 점들을 연결한 곡선은 z축을 포함하는 원이 된다.
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Electric potential
energy

U 
e2
40 r
(6.2)
U 는 r 의 함수
직각 좌표계 (식 6.1)  구 좌표계 (spherical polar coordinates)
X,Y,Z
r, Θ, φ  Fg 6.1
Spherical polar
coordinates
Θ = angle between radius vector
and + z axis
= zenith angle (천정 각)
zz
cos
cos11
xx2 2yy2 2zz2 2
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r = length of radius vector from origin O to point P
 xx2 2yy2 2zz2 2
Ø = angle between the projection of the radius
vector in the xy plane and the +x axis,
measured in the direction shown
y Azimuth angle (방위 각)
 tan 1
x
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Spherical polar
coordinates S E

2

1   2   
1
 
1

 2m
 
r

sin

 2 E U   0
2
2
2
2




r  r   r  r sin   
   r sin    
U 대신 6.2 식을 대입하고 양변에

r 2 sin 2 

(6.3)
곱하면

  2  
 
   2 2mr 2 sin 2   e 2

sin   r

 E   0
  sin 
 sin 

2
r  r 
 
   2
2
4

e
r


2
(6.4)
: 수소원자의 전자에 대한 파동 함수 φ 의 편 미분 방정식

식 6.4의 φ는 Normalizable하고 미분 가능해야 하며 연속이며 일가이어야 한다.
식 6.4는 전자의 행동을 완전히 규정하는 것으로서 이것을 완전히 이해하려면 φ를 풀어야
한다.
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
Bohr 이론  양자수가 1개
식 6.4
 3개의 양자 수 필요
Bohr 이론에서는 전자의 움직임은 궤도상의 위치 뿐이므로 1차원적이다.
1개의 양자 수 만으로도 충분히 전자의 상태 규정 지을 수 있음
1차원 상자 안의 입자의 상태가 하나의 양자 수 만으로 충분히 규정됨

3차원 상자 안의 입자  ψ가 만족해야 할 경계조건 3개
 3개의 양자 수 필요
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6.2. Separation of Variables
A differential equation for each variable

S.E를 spherical polar coordinate 으로 표현할 경우 3개의 독립적인 방정식으로
분리시킬 수 있다.

Hydrogen-atom
wave
wavefunction
function
 r , ,    Rr     
(6.5)
R(r) : 핵으로부터 거리 r의 변화
() : r, Φ 가 일정 시 천정 각  에 따라 ψ의 변화
(Φ) : r,  가 일정 시 방위 각 ø 에 따라 ψ의 변화
From Eq 6.5
  R
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
R
 
 
r
r


 R
 R


 2
 2
 R 2  R
2


dR
dr
d
d
d 2
d 2
R,  , Φ는 r, θ, Φ 만의 함수이므로
partial derivatives(편도 함수)는
ordinary derivatives(전도함수)와
같다.
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
Substitute R   for ψ in SE and divide the entire Eq by R

sin 2  d  2 dR  sin  d 
d  1 d 2 2mr 2 sin 2   e 2

  0
r

sin




E




2
2

R dr  dr   d 
d   d

 40 r

(6.6)
Rearrange Eq 6.6

sin 2  d  2 dR  sin  d 
d  2mr 2 sin 2   e 2
1 d 2

 E   
r

 sin 

2
R dr  dr   d 
d 

 d 2
 40 r

(6.7)
 This Eq can be correct only if both sides of it are equal to the same constant.
 m2
2
l


1 d 
 ml2
2
 d
(6.8)
Substitute ml for the right-hand side of Eq 6.7, dividing the entire Eq by sin2
and rearrange the various terms
2
1 d  2 dR  2mr 2
r

R dr  dr 
2
 e2

ml2
1
d 
d 

 E  

sin



2
4

r
sin


sin

d

d



0


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(6.9)
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
Again, different variables appear on each side
 Require both sides be equal to the same constant.  l (l+1)
ml2
1
d 
d 

sin


  l l  1
sin 2 
 sin  d 
d 

1 d  2 dR  2mr 2  e 2



E
r

  l l  1
R dr 
dr 
2 
4

r
0


Equation for  
Equation for  
Equation for R 

d 2
 ml2  0
2
d
(6.10)
(6.11)
(6.12)
ml2 
1
d 
d  
 sin 
  l l  1 
  0
sin  d 
d  
sin 2  
(6.13)
 l l  1 
1 d  2 dR   2m  e 2

 
r


E



R  0
2
r 2 dr 
dr    2  40 r
r


(6.14)
윗 식들은 각각 하나의 변수에 대한 단일 함수의 전 미분 방정식이다. 의
편 미분 방석인 SE 를 단순화 하였다. (Eq 6.12,13,14)
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6.3 Quantum Numbers
Three dimensions, three quantum numbers

식 6.12 는 바로 풀리며 그 결과는
   Aeiml
(6.15)
One of conditions
Wave function must obey is that it has a
single value at a given point in space
Fig 6.2는  와 +2π 값이 같음을 보인다.
        2or
Aeiml  Aeiml  2 
이 조건은 ml=0 혹은 정수에서 만족된다.
그림 6.2 각 와 +2는 같은 자오선 평면을
나타낸다.
ml=0, 1, 2, 3,…..
Magnetic quantum number
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
식 6.13의 () 에 관한 미분 방정식 은 l이 ml의 절대치 ΙmlΙ 보다 크거나 같은 정수에만 풀 수 있
다. 이것을 ml의 조건에 대해 쓰면
ml = 0, 1, 2, 3….., l
ㅣ= 궤도 양자 수 (orbital quantum number)

R(r) 에 관한 식 6.14의 해도 어떤 요구 조건을 만족시켜야 한다.
① E가 +ve 이거나 아래 식으로 표시되는 –ve 값(전자가 원자에 속박되어있음)을 가져야 한다.
En  
 1  E1


32 2 02  2  n 2  n 2
me4
n= 1,2,3,…..
(6.16)
Bohr 가 얻은 수소원자의 에너지 준위의 관한 식과 일치

② 다른 조건 하나는 n 이 ㅣ+1보다 크거나 같아야 한다.
(n : principle quantum number), l= 0, 1, 2,….., (n-1)

3개의 양자 수 n, l, m 의 가능한 값들은
Principle quantum number
Orbital quantum number
Magnetic quantum number
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n = 1, 2, 3, …..
l = 0, 1, 2, … ,(n-1)
ml = 0, 1, 2, 3….., l
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
To exhibit the dependence of R,  and  upon the quantum numbers n, l, m we may write for
the electron wave functions of the hydrogen atom
  Rnl  lm  m
l
l
표 6.1
수소원자의
규격화된
파동함수
; n~=1,2,3*
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6.4 Principle Quantum Number
Quantization of energy

고전적으로 수소원자의 quantum number 을 해석.
전자를 핵이 붙잡아 두는 힘이 “중력” 이 아니라 “전기력”임.
태양계의 행성 운동과 일치
Scala 양 (행성의 총에너지)
행성운동에서
2가지 양이 보존
Vector 양 (angular momentum)

고전적으로 총 에너지는 어떤 값이든 가질 수 있다. 행성이 영원히 태양에 구속되기 위해서는 –ve 값을 가져야
한다. 전자가 영원히 핵에 구속되기 위해서는 –ve 값을 가져야 한다.
음의 값인 경우 En = E1 / n2 에 해당하는 값만 가짐.
전자에너지의 양자화는 principle quantum number 에 의해 기술된다.

행성의 운동 이론도 SE 으로 풀 수 있다.
Principle quantum number “n”이 매우 큰 값을 갖기 때문에 허용된 준위간의
간격이 너무 작음  관측 불가능
 고전 물리가 행성운동에 적절함
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6.5 Orbital of angular number
Quantization of angular momentum magnitude

Orbital quantum number is less obvious.
Look at differential equation for the radial part R(r) of the wave function 
 l l  1  
1 d  2 dR   2m  e 2
 E   2  R  0
r
   2 
2
r dr  dr     40 r
r 

Orbital 부분은 없는
방정식임 radial
(6.14)
part 만 고려했음

식 6.14는 전자 운동의 radial aspect(반지름 방향) 쪽 nucleus로 부터 멀어지거나 가까워
지는 운동에만 관계한다.  (n 과 관련)

그러나 식 가운데 존재하는 total energy E 는 반지름 (radial) 방향 운동과는 무관한 전자
의 궤도 운동 (orbital motion) 에너지 (kinetic E of orbital motion)도 포함한다.  (l 과
관련)
 모순점 발생
즉 동경 방향 (radial)에 대한 미분 방정식 이라는 것에 모순
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
모순점 해결
전자의 운동에너지는 2부분을 갖고 있다.
KE radial : 핵에서 멀어지고 가까워지는 운동에 의한 것
KE orbital : 핵주위를 도는 운동에 의한 것
Potential energy U of
electron
Hence the total energy of
the electron is
U 
e2
40 r
(6.2)
E  KEradial  KEorbital  U
 KEradial  KEorbital 
식 6.14에 윗 식 삽입
1 d  2 dR  2m 
 2l l  1
R0
r

 KEradial  KEorbital 

r 2 dr  dr   2 
2mr 2 
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e2
40 r
식 6.14 의 radial part 와
orbital part를 고려한 식
(6.19)
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
[ ] 안의 마지막 2항이 같다면 R(r) 의 미분 방정식은 radius vector r 만의 함수가 된다.
이 조건을 만족시키기 위해서는
2
KEorbital 
 l l  1
2mr 2
(6.20)
전자의 궤도 운동에너지와 각운동량의 크기는 옆과 같고
KEorbital 
L
 l l  1

2mr 2
2mr 2
From 6.20 으로 부터
Electron angular
momentum
2

1 2
mv orbital
2
L2 L2
KEKE
orbital
orbital  2
2mr 2mr 2
2
L  l l  1 
LL

mvmv
r r
orbital
orbital
(6.21)
Orbital quantum number l 은 ㅣ=0, 1, 2, …(n-1)로 제한되므로 전자는 특정한 각 운동량
L 만을 가질 수 있다.
총 에너지 E 와 마찬가지로 angular momentum (L) 도 보존되며 (conserved) 양자화(quantized)
되어 진다. (아래는 각운동량의 단위가 된다)
The quantity

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h
 1.054  10 34 J .S
2
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
에너지 경우와 같이 거시적 행성 운동에서 angular momentum 을 기술하는 양자수가
너무 커서 불연속적인 angular momentum 을 구별하는 것은 불가능.
L  22  1  6
(L) Angular momentum
(orbital quantum number 가 2인 경우)
 2.6 1034 J .S
Orbital angular momentum of the earth (L) is 2.71040 J.S
Designation of Angular Momentum States
Specify electron angular momentum states by a letter
Angular momentum
states
l
=
0
1
2
3
4
5
6
…
s
p
d
f
g
h
i
…
This peculiar code originated in the empirical classification of spectra
s harp,
p rinciple,
d iffuse,
f undamental
S state : no angular momentum
P state : 2
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표 6.2 원자 전자 상태
l=0
l=1
l=2
l=3
L=4
n=1
1s
n=2
2s
2p
n=3
3s
3p
3d
n=4
4s
4p
4d
4f
n=5
5s
5p
5d
5f
5g
n=6
6s
6p
6d
6f
6g
l=5
6h
Gives the designations of electron states in the atom through n=6, n=5
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6.6 Magnetic Quantum Number
Quantization of angular momentum direction

궤도 양자 수 l 은 전자의 각 운동량 L 의 크기를 결정한다.
(angular momentum L 은 vector 양이다  크기와 방향 필요)
Vector L 은 회전운동이 행해지는 평면에 수직
l : 궤도 양자 수 l 은 전자의 각
운동량의 크기를 결정
L(각 운동량)
ml : 자기 양자 수 ml 은 전자의 각
Vector 량 크기와
방향 필요
운동량의 방향을 결정 (L)
그림 6.3 각운동량에 대한 오른손법칙.
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
공간상에서 방향을 갖는 다는 것이 수소원자에서 어떤 중요성을 가질 수 있는가.
핵 주위를 도는 전자는 미세한 current loop를 형성하고 magnetic dipole 과 같은 magnetic field 를 형
성한다.
 따라서 원자 내에 각 운동량을 갖는 전자는 외부 자기장 B 와 상호 작용을 한다.
 자기양자수 ml 은 외부 자기장 방향에 대한 L성분을 결정함으로써 L의 방향을 지정
 이 현상을 space quantization (공간 양자화)라고 한다.
Space quantization
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LZ =
ml 
ml =0, 1, 2, 3, …..
l
(6.22)
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
ml 의 가능한 값은 – l0l 이므로 Angular momentum
vector L의 수는 2 l+1이다.
그림과 같이 l=2 이면
5개 수를 갖는다.
Lz  2, , 0, , 2 의

원자가 외부 자기장 (B)에 놓이게 되면 외부 자기장과
관련된 각 운동량 L의 방향은 ml 에 의해 결정된다.

l l  1 의 크기보다 항상
LZ 는 총 각운동량
작기 때문에 L 과 B 는 완전히 같은 방향이거나 반대
방향일 수 없다.
그림 6.4 궤도 각운동량의 공간 양자화

외부 자기장이 없게 되면 z축 방향은 임의로 선택 가능 그러나 어느 방향이고 L의 성분이
ml  가 되어야 한다. 외부 자기장은 기준 방향을 제공
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
The uncertainty principle and space quantization

L 의 한 성분만 양자화 되는 이유는?
불확정성의 원리에 의하면 L이 z 방향과 같은 특정한 방향을 못 갖는다.
 즉 z 방향 성분 LZ 가

ml  가 되도록 L 이 원추상 어느 곳을 가리킨다.
L 이 공간상에서 고정되어 있으면 Lx LY LZ 도 고정되게 되고 전자도 일정한
평면상에서만 운동 (그림 6.5a)
 전자의 z 방향 운동량의 불확실성이  가 됨 (불가능)
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
Fg 6.5b  L 은 단 하나의 성분 LZ 와 L 의 크기 L 만이 정의된
값을 갖게 되며 그 관계는 ΙLΙ > ΙLZΙ 가 된다.
이때 전자는 일정한 평면상에 머물 수 없다.
 전자의 z 축 불확실성이 생긴다.

그림 6.6a  L 의 방향은 항상 변화하며 Lx LY 의 평균값은 0 이
되고 LZ 는 특정 값 ml  를 갖는다.
그림 6.5 불확정성
원리에 의해 각운동
량 벡터 L은 공간에
서 확정된 방향을 가
질 수 없다.
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그림 6.6 각운동량 벡터 L은
z축 주위로 계속하여 세차
운동을 한다.
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6.7 Electron Probability Density
No definite orbits

수소 원자의 Bohr 모델 – 전자가 핵 주위의 원 궤도를 도는 것
전자는 항상 핵으로부터 거리 r=n2a0 만큼 떨어져 있고
(n : principle quantum number, a0 : 가장 안쪽의 내부반경),
방위각 는 시간에 따라 변하고 는 = 90 인
적도 면상에서 발견된다.
그림 6.7 구면 극좌표계에서의 수소 원자의 Bohr 모형
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
The quantum theory of the H atom modifies the Bohr model in two ways
1. r, ,  에 대해 특정한 값이 주어지는 것이 아니라 여러 위치에서 전자를 발견할 수
있는 상대적인 확률만 주어진다.
이 같은 불확정성은 전자의 파동성에 기인한다.
2. 확률 밀도 ΙΙ2 는 시간에 무관하고 위치에 따라 변하므로 전자가 핵 주위를 회전한
다는 (Bohr Model) 종래의 개념과는 다름.

확률 밀도 ΙΙ2 는 전자의 파동함수 =R   로 부터
  R  
2
2
  
2
2
2
이므로

  Aeiml
    A2 e  iml eiml  A2 e 0  A2
2
(6.23)
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어떤 특정한 방위각  에서 전자를 찾을 확률은 와 무관한 상수가 된다.
확률밀도는 전자 상태와는 상관없이 z 축에 대해 대칭이며 전자는 모든 방위각 에서
똑같은 확률로 발견된다.

Wave function 의 radial part R 은  와 달리 r 뿐만 아니라 n 과 l 의 조합에 따라 달라진다.
R is max at r=0 for all states which correspond to
L=0 since l=0 for all state (빨간 곡선)
R is zero at r=0 for states that possess angular
momentum (L0) (검은 곡선)
그림 6.8 다양한 양자 상태에서의 수소원자 지름
파동함수의 핵으로부터의 거리에 따른 변화
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Probability of Finding
the Election
Probability density of the e at point r, ,  is proportional
to ΙΙ2
미소체적 dV 안에서 전자를 찾을 확률은 ΙΙ2dV
Volume element
dV = (dr) (r d) (r sin d)
= r2 sin dr d d
(6.24)
그림 6.9 구면 극좌표계에서의 부피 요소 dV
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
Θ와 는 규격화된 함수이므로 수소원자에서 핵으로부터의 거리 r 과 r+dr 사이에서
전자를 발견할 실제 확률 P(r) dr 은
•zenith angle 은 0~ 까지
•azimuth angle 은 0~2 까지

2
Pr d r   r R dr   sin  d 
2
2
0
 r 2 R dr
2
0
2
 d
2
(6.25)
그림 6.10 핵으로부터의 거리가 r과 r+dr
사이인 공 껍질에서 수소원자의 전자를
발견할 확률은 P(r)dr이다.
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
Radial function R 이 Fig 6.8 과 같을 때 식 6.25 의 결과 Fig 6.11 과 같다. 즉 R 과는 달리 P
는 s 상태에서가 아니라 어느 정도 떨어진 데에서 최대값을 보인다.
1s 상태에서 most probable value of “r” 은 Bohr model 의 ground-state 의 orbital radius
( a0 ) 와 같다. r= a0
그러나 1s 전자의 r 에 대한 평균값은 1.5 a0 인데
양자역학이나 Bohr 의 원자 Model 에서나 에너지
준위는 같으므로 “이상한 결과”로 생각되어짐
 이 모순점은 전자의 energy 는 r 에 의존하는
것이 아니라 1/r 에 의존한다.
1s 전자에 대한 1/r 의 평균값은 1/ a0 이다.
 example 6.2
그림 6.11 그림 6.8 에서 나타낸 상태들에 대한,
핵으로부터의 거리 r과 r+dr 사이에서 수소원자의
전자를 발견할 확률
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Angular Variation of Probability Density

 는 l= ml = 0 인 s 상태를 제외한 모든 양자수 l과 ml 에서 천정각(zenith angle)() 에
따라 변한다.
s 상태에서의 확률밀도 ΙΙ2 는 ½
 이것이 뜻하는 것은 ΙφΙ2 이 상수이므로 주어진 모든 r에 대해 모든 방향의 전자
확률 밀도 ΙψΙ2 가 같아야 한다.(s 상태는 구면 대칭)
 다른 상태의 전자는 방향에 대한 선호도를 달리하며 때로는 아주 복잡해진다.
 Fig 6.12 몇 가지 원자 상태에 대한 전자의 확률 밀도가 r 및 θ 의 함수로 표시
되었다
ΙψΙ2 은 φ와 무관  세로축에 대해 회전시키면 ΙψΙ2의 3차원적인 그림을 얻을 수 있다.
 확률 밀도는 구 대칭 (s 상태)
많은 상태에서 둥근 돌출부는 화학적으로 매우 중요
 분자 상호작용에서 인접원자간의 상호작용을 말해줌
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그림 6.12
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 Example)
ml= ±1 인 2p 상태의 전자 확률 밀도 분포는 핵을 중심으로 하는 적도
면상에 있는 도넛 모양과 같다.
이때의 전자의 most probable distance 는 4a0 이다.
 주 양자 수 n=2 를 갖는 것과 정확히 일치
(ml=±2 인 3d 상태와 ml=±3 인 4f 상태에서도 똑같이 일치)
 위의 경우는 주어진 에너지 준위에서 가질 수 있는 가장 큰 각원동량을
가지는 상태임
 각운동량 벡터는 가능한 한 z 축으로 가까워져야 되는 상태가 되고
전자를 발견할 확률밀도도 가능한 한 적도 면에 가까이 몰리게 된다.
따라서 Bohr 모델은 에너지 level 의 여러 가능한 state 에서 전자의
most probable location 를 예측할 수 있다.
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6.8 Radiative Transitions
What happens when an electron goes from one state to another

Energy level En 에서 Em 으로 떨어질 때의
복사선의 진동수 ()?

전자가 x 방향으로 움직이는 system 을 고려하면

Em  En
h
양자 수 n 에너지 En 인 상태에 있는 전자의 시간에 의존하는 파동함수 : Ψn
시간에 무관한 파동함수 n
 (e
iEn / h ) t
n 



e
n
n
n
주파수 νn= En/h 인 시간의존함수의 곱
iEn /  t
n   n e 
n  ne
 ( iEn / h ) t 
 iEn /   t
이러한 전자의 위치에 대한 기대치 <x> 는




iE

iEnn //
iE
iEnn //t t
xx 
x


dx

x


e
dx
n
n
n
  x n dx   x n n e
dx









nn

xx
nnnndx
dx
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
(6.27)
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* 양자 수 n 에너지 En 인 상태에
<x> 는 n 과 n* 가 위치만의 함수로 정의되기 때문에, 시간에 따라 변하지 않는 상수이다
 전자는 진동하지 않으므로 어떠한 복사(radiation)도 일어나지 않는다
 양자역학은 특정한 양자 상태에 머물러 있는 원자는 복사하지 않는다는 것을
예측하여 주고 있고 관측 결과와 일치한다.
* Next, consider an electron that shifts from one energy state to another.
Ground state (n)  excited state (m)  ground state (n)
(다른 particle 과 충돌 혹은 radiation 을 emit )
 during the intervening period, the system existed in the state m.
What is the frequency of radiation?
n 상태와 m 상태 모두 있을 수 있는 전자의 파동 함수 Ψ.
Ψ = a Ψn + b Ψm
(6.28)
a*a  probability that “e” is in state n
b*b  probability that “e” is in state m
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a*a + b*b = 1
a= 1 , b = 0  e in the ground state (initial)
a= 0 , b = 1  e in the excited state
전자가 위 상태 중 어느 곳에 있든지 복사 (radiation)을 발생하지 않음 그러나
m 에서 n 으로 천이하는 과정 (a 와 b 어느것도 0이 아님) 에서는 전자기파가
발생된다.

식 6.28  중첩된 파동함수의 기대 값 <x>는


x   x an  bm



 a
n
 bm  dx

  x a 2 nn  b*am* n  a*bn*m  b 2 m* m dx

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(6.29)
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

Let a*a =a2 b*b=b2
Expand Eq 6.29 to give(적분의 1항과 4항은 시간에 무관, 2,3항은 시간에 따라 변화)
x a
2




x  n dx  b a  x m* e iEm/  t n e iEn /  t dx
*
n
*


*  iEn /  t
n
 a b  x e
*

e i  cos   i sin 
and
me
 iEm /  t
dx  b
2


x m*  m dx

(6.30)
e i  cos  i sin 
식 6.30 의 가운데 2항(시간에 따라 변하는 항)은


 E  En  
*
*
*
*
cos m
t  x b a m n  a b n m dx



 E  En
 i sin  m


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

 
*
*
*
*
t  x b a m n  a b n m dx

(6.31)
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
이 결과의 Real part 는 시간에 따라 다음과 같이 변한다.
 E  En 
 E  En 
cos m
t  cos 2  m
t  cos 2t

h





따라서 전자는 삼각함수 모양으로 진동을 하게 되며 그 진동수는


(6.32)
Em  En
h
(6.33)
전자가 n 상태나 m 상태에 머물러 있을 때 전자의 위치에 대한 기대 값은
상수이다.
 진동하지 않고 복사도 안 일어난다
전자가 두 상태 사이에서 전이 할 때 전자는 진동수 로 진동한다.
 이러한 전자는 electric dipole 같이 electromagnetic wave 를 복사한다.
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6.9 Selection Rules
Some transitions are more likely to occur than others

진동수  를 알기 위해서는 시간의 함수로서 a, b 의 확률이나 파동함수 n 과 m 를 알 필
요는 없다.
그러나 어떤 전이가 일어날 확률을 계산하기 위해서는 이 값들이 필요하다.
the general condition necessary for an atom in an excited state to radiate is that
the in integral



x n m* dx  0
≠0 이어야 하는데 그것은 복사의 강도가 적분 값에 비례하기 때문이다.
허용된 전이 (allowed transition) ← 적분 값 ≠0 인 경우
금지된 전이(forbidden transition) → 적분 값 =0 인 경우
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
수소 원자의 경우 three quantum numbers are needed to specify the initial and final states.
Initial state : n’, l’, ml’
Final state : n, l, ml
Allowed
transition




un,l ,ml  *n ',l ',ml'  0
(6.35)
수소원자의 n,l,ml 을 알고 있으므로 u=x, u=y, u=z 인 경우
6.35 식의 값을 구할 수 있다.
 그 결과 l 이 +1과 –1 만큼 변하고 ml 이 바뀌지
않거나 +1 또는 –1 만큼 바뀌는 전위만 일어난다.
Selection 
rules

l = ±1
ml = 0, ±1
(6.36)
(6.37)
주 양자 수 n의 변화는 제한 받지 않는다.
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그림 6.13 선택 규칙 l = +- 1 에 의해 허용되는 전이를 보여주는
수소 원자의 에너지 준위 그림 그림에서 수직 축은
바닥 상태 위의 여기 에너지를 나타낸다.
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
Selection rule
원자가 복사를 일으키기 위해서 l 의 변화가  1 이 되어야 한다는 selection rule 은
photon 이 처음과 나중의 각 운동량 차이에 해당하는 각 운동량 (angular momentum)
 h 를 갖고 방출된다는 것이다.
 각운동량  h 를 가지고 있는 광자의 고전적 유사는 좌 혹은 우로 편광된 전자기파이라는
것이며 이것(즉 광자가 각운동량을 갖는다는 것)은 양자이론에만 있는 독특한 것은 아님.
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6.10 Zeeman Effect
What happens to an atom in a magnetic field

외부 자기장 B 안에 있는 magnetic dipole 은 자기 모멘트의 크기 μ 및 potential
energy Um 를 갖는다
자속 밀도 B 인 자기장내의 자기 쌍극자가 받는
torque  는
= μB sin Θ
Magnetic dipole 은 수직일 때   최대
Magnetic dipole 은 평행일 때   최소 (0)
Pot. E Um 를 계산하기 위해 Θ = 90˚ 수직일 때
Um=0 로 놓는 것이 편함.


 /2
 /2
U m   d  B  sin d  B cos
그림 6.15 자기장 B에 대해 각 Θ인
자기 쌍극자 모멘트 μ.
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(6.38)
μ 와 B가 같은 방향이면 최소치 Um=-μb를 갖는다.
즉, μ 와 B 는 방향이 같아지려는 경향이 있다.
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
Magnetic moment of orbital electron in a H-atom depends on its angular momentum L
각 운동량 (L) 의 크기와 방향은 자기장내의 전자의 총 에너지에 기여한다.
원형 전류의 자기 moment 는
μ = IA
I = current , A=area
반경이 r 인 원형 궤도를 f rev/s 로 돌고 있는 전자에 의한 전류는 – ef 이므로
자기 moment 는
μ = - ef πr2
f rev/s 로 돌고 있는 전자의 선 속도는 2πfr 이므로
각 운동량은

L = mvr = 2 πmfr2
μ 와 L 간의 관계 식
Electron magnetic
moment
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 e 
L
 2m 
  
(6.38)
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그림 6.16
(a) 면적 A를 둘러싼
전류루프의 자기
모멘트.
(b) 각운동량 L을 가진
궤도 전자의 자기
모멘트.
 e   전자의 전하량과 질량 만을 포함한 gyromagnetic ratio (자기회전비율)


라고 한다.
 2m 
 e 
자기장 내의 원자의 자기적 potential energy 는

Um  
 LB cos 
2
m


Fig 6.4 로 부터 L 와 z 의 방향의 사이 각 Θ 는
cos  
ml
l l  1
Magnetic energy
Bohr magneton
L
l l  1 윗 두식을 6.40 에 대입
 e 
U m  ml 
B
 2m 
B 
(6.40)
(6.41)
e  Bohr magneton
2m
e
 9.274 10  24 J / S  5.788 10 5 eV / T
2m
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
자기장 내에서는 특정 원자 상태의 에너지는 n 값 뿐만 아니라 ml 의 값에도 관계한다.
주 양자수가 n인 상태에
자기장을 걸어주면 substate로
갈라진다.
 자기장이 없을 때보다
크거나 같다.
갈라진 선의 간격은 자기장의
세기에 관련 있다.
 1896년 Zeeman 에 의해
처음 발견됨.
 공간 양자화의 증거
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그림 6.17
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ml : +l … 0 … -l 까지 2l+l 개의 값을 가짐
∴ 자기 양자수가 l 인 경우 에너지 간격이 μ0B 인 2l+l 개의 substate 로 갈라진다.
그러나 ml 의 변화가  ml = 0, 1 로 제한되기 때문에 서로 다른 l 를 가진 갖는
두 상태에서 생기는 spectrum 선은 3개로만 갈라진다.
진동수가 0 인 spectrum 선이 다음과 같은 진동수를 갖는 3개의 성분으로 분리됨.
Normal Zeeman
Effect
1   0   B
2 0
3  0  B
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B
e
0 
B
h
4m
B
e
0 
B
h
4m
(6.40)
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