Transcript PowerPoint 프레젠테이션 - Metal Forming CAE Lab.

제2장. 고등역학의 이해
Metal Forming CAE Lab.
Department of Mechanical Engineering
Gyeongsang National University, Korea
Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University
총론 기본법칙
응용법칙 및 원리, 파생원리
평형조건식
뉴톤의
운동법칙
평형방정식
운동방정식
에너지
보존법칙
질량
보존법칙
열전도방정식
에너지 보존방정식
후크법칙
구성
방정식
F  ma , M
i
소성 유동법칙
Fourier의 열전도법칙
i
수
i
식
  vi ,i 
비
고
 I i
 ji , j  fi  0,  ij   ji
 ji , j  fi   vi
 k ,i ,i  qg   c t


 k ,i ,i  qg   c  t  , j v j 


vi ,i  0
연속방정식
자연 현상의 지배 법칙 총정리
Navier-Cauchy 방정식
Navier-Stokes 방정식
고체
유체
비압축성 물질

0
t
 ij  2 ij   kk  ij ,  ij 
2
 ij
3
qi   k ,i
압축성 물질
1
1    ij  kk  ij 
E
 ij 
열역학 제2법칙을 자동
적으로 만족시켜야 함
‥‥‥
필수경계조건
1
 ui, j  u j ,i 
2
1
 ij   vi , j  v j ,i 
2
ui  ui , vi  vi ,   
자연경계조건
ti    ji n j  ti , qi  k ,i  qi
변위-변형률 관계식
기타
속도-변형률속도 관계식
 ij 
n
- 56 -
총론 구 분
고체역학 문제의 총정리
탄성역학
소성역학
사용자 준비
P
Die
S ti
S ti
Sc
문제의 정의
V
S ti
미지수
평형방정식
변위-변형률 관계
V
i
 ij , j  fi  0 in V
 ij 
X
1
 ui, j  u j ,i 
2
 ij  2  ij    k k  ij
비압축성 조건
S
vi , p
ui
속도-변형률속도 관계
구성방정식
S ti
s
E , 또는  , 
2
 ij
3
1
 ij  1     ij   kk  ij 
E
 ij 
일반적으로 불필요
특별한 경우 ui ,i  0
vi ,i  0
    ,  , 
X
vi  vi on Sv i
경계조건
 ij n j  ti on St
ui  ui on Su i
 ij n j  ti on St
i
X
1
 ij   vi , j  v j ,i 
2
ui , vi
i
 t   n or mk on Sc
un  un on Sc
ti
m
un
또는

- 57 -
수학적 및 기계공학적 배경 - 기계량과 좌표계
기계량
벡터량과 좌표변환
• 연속체에 대한 온도, 변위, 응력 등의 기계량(Mechanical
quantity)은 질점의 위치의 함수
• 위치는 기준좌표계에 대한 질점의 상대적 위치, 즉 좌표
(성분)에 의해 표현됨
• 기계량의 정의는 좌표계와 불가분의 관계에 있음
• 직각좌표계(Rectangular or Cartesian coordinate system)
• 벡터 F의 수학적 표현
 x  y 좌표계 : Fx , Fy 
 x ' y ' 좌표계 : Fx ' , Fy ' 
 x '' y '' 좌표계 : Fx '' , 0 

 F  Fx2  Fy2  Fx2  Fy2  Fx


   sin Fy F
1
    sin 1 Fy F
(2,4)
x2
• 성분 사이의 관계 : 좌표변환
 Fx '   cos sin    Fx 
 
 
 Fy '    sin  cos    Fy 
 Fi '   Ti ' j Fj or F' = TF
j
x2
x1
 23
x1
cos 23  T23
x3
x3
• T : 변환행렬, 직교단위행렬
• 동일 점의 좌표와 그 점에서의 기계량은 서로 다른 좌표계에
서 보았을 때 그 수치가 다르며, 두 좌표계 사이에 정의되는
일정한 변환법칙을 따름, 좌표계에 따라 대상 물체 또는 질
점을 표현하는 좌표값과 기계량의 수치는 다르게 표현되지만
대상물체의 기하학적 모양과 기계량의 물리적 의미를 변화시
키지 않음
Ti ' p  cos  xi ' , x p   cos  i ' p
 Tij 또는 Ti ' j  는 xi '  축과 x j  축이 이루는 각도의 cosine값
  Tik T jk   ij ,
k
T T
ki kj
  ij 또는 TTT =I, TTT = I
k
- 58 -
수학적 및 기계공학적 배경 - 기계량의 분류와 좌표변환
2차 텐서량(다이아딕량, Dyadic)
0차 텐서량(스칼라량)
밀도, 온도, 에너지 등


  2, 4   150 C   ' 2  3,  1  2 3  150 C
좌표변환 : '  
응력, 변형률, 변형률속도, 편차응력, 편차변형률 등
 xx  110.0,  yy  50.0,  xy  40.0
  x ' x '  129.6,  y ' y '  30.4,  x ' y '   6.0
 x ' x '  x ' y '   cos  sin    xx  xy  cos 




 y ' x '  y ' y '    sin  cos    yx  yy   sin 
좌표변환 : i ' j '   Ti ' pT j ' q pq
p
q

1차 텐서량(벡터량)
50.0
좌표, 변위, 속도, 가속도, 힘, 열유량(Heat flux) 등

P  2, 4   P ' 2  3,  1  2 3
 2  3   cos


 1  2 3    sin 
좌표변환 :Pi ' 
T
i' j
sin  
cos  30

 sin  
cos   30
y
30.4
40.0
y
129.6
110.0
x

30
2
 4
 
x
x
60
2
6.0
53. 2 1 
y
O
x
x
Pj
j
변환행렬, T  Ti ' j 
Ti ' j  cos  xi ' , x j 
(2,4)
ex) T11  cos( x1 , x1 )  cos 
T12  cos( x1 , x2 )
x2
2차원 평면에서 변환행렬 x 2
 cos 
T
  sin 
sin  
cos  
x 1
θ
T는 직교단위행렬(Orthonormal matrix)
 T1  TT


 cos    
2

 sin 

x 1 T21  cos( x2 , x1 )
 cos(90   )
  sin 
- 59 -
수학적 및 기계공학적 배경 좌표축의 지수표현
텐서량 및 주요공식의 지수표현
편미분규약
,i 
x, y, z  축  x1 , x2 , x3  축
덧셈규약
j e2
e3
k
 ij


 2
, ,ij 
, i , j  i ,  ij , j 
xi
xi x j
xi
x j
i
e1
자유지수(Free index) : 한 항에 한번만 나옴
단순지수(Dummy index) : 한 항에 두번 나옴
3
덧셈규약 :   ij , j  fi  0   ij , j  fi  0
j 1
기계량의 지수표현
u , u 
x
y

 u1 , u2  ,  xy 또는  xy 
교반기호  ijk
  12
 ijk
단위벡터의 지수표현
i, j, k  e1 , e2 , e3
텐서량의 지수표현
ui  u 또는 u 
 11  12  13   xx  xy  xz 


 ij   ij    21  22  23    yx  yy  yz 
 31  32  33   zx  zy  zz 
크로네커 델타(Kronecker delta) δij
0 if i  j 
 ij  

1 if i  j 
 0 if i  j or j  k or k  i

  1 if  i, j , k   1, 2,3 or  2,3,1 or  3,1, 2 
1 if  i, j , k   1,3, 2  or  2,1,3  or  3, 2,1






지수표현의 예
W  a  b  W  ai bi
c  ab
 ci   ijk a j bk
grad 
 ,i
div v
 i , i
curl v
  ijkk , j
 2
 ,ii
외향법선단위벡터
n
Tangential plane
발산이론의 일반형
Q
V
jk ..m ,i
dV 
Q
S
n dS
SS
jk ..m i
여기서 ni는 면 S 상의 점에서 정의된 접촉면의 외향법선단위벡터임
- 60 -
수학적 및 기계공학적 배경 - 주요 기계량의 이해
변형률(Strain),  ij
좌표(Coordinate), xi
• 기준좌표계에 대한 질점의 상대적 위치
 xi '  Ti ' j x j
• 2차 텐서량으로 표현되는
무차원수
1
 ui, j  u j ,i 
2
 Ti ' pT j ' q pq
  ij 
 i ' j '
편차성분(Deviatoric components)
• 대각항에 대각항의 평균값을 뺀 텐서
• 편차응력텐서:

  ij   ij  kk  ij
3
변위(Displacement), ui
• 질점의 위치변화를 표현하기 위한 기계량
 ui '  Ti ' j u j
변형률속도(Strain rate),  ij
속도(Velocity), i
du
• 변위의 시간변화율, i  ui  i
dt
 i '  Ti ' j j
응력(Stress),  ij
가속도(Acceleration), ai
• 속도의 시간변화율, ai  i 
 ai '  Ti ' j a j
• 한 순간에서 단위시간당 변형률
변화량
1
  ij  i , j   j ,i 
2
  i ' j '  Ti ' pT j ' q pq
d 2ui
dt 2
• 단위면적당 작용하는 힘
  i ' j '  Ti ' p T j ' q  pq
• 편차변형률텐서:

  ij   ij  kk  ij
3
• 편차변형률속도텐서:
  ij   ij 
 kk
3
 ij
정수압(Hydrostatic pressure)
• 평균응력의 부

 p   m   ii
3
- 61 -
수학적 및 기계공학적 배경 -
2차 텐서와 불변치
상사변환
S  A1QA
• 행렬 S와 행렬 Q의 고유치(Eigenvalue)는 동일하며, 두 행렬의 고유벡터는 일정한 관계를 가짐
• 2차 텐서량은 행렬로 표현되며, 2차 텐서량의 좌표변환 법칙 ( ij  TipT jq pq ) 은 일종의 상사변환임. 텐서  i ' j ' 와  i j 의
고유치는 동일하며, 2차 텐서량에 속하는 변형률, 변형률속도, 편차응력, 편차변형률, 편차변형률속도 등도 마찬가지임
응력텐서  ij 의 고유치문제에 대한 특성방정식, 응력 불변치
 i ' j '   i ' j '  0
 ij n j   ni   ij   ij  0
 3  I1 2  I 2   I 3  0
 3  I1 2  I 2  I 3  0
 I1   ii  t r  ij 
 I 2   ii jj   ij ij  / 2
I i  I i
 I 3   ij  Det  ij 
 I1   i 'i '  tr  i ' j ' 
 I 2   i 'i '  j ' j '   i ' j '  i ' j '  / 2
 I 3   i ' j '  Det  i ' j ' 
• I i : 불변치(Invariant)
• 2차 텐서의 경우, 응력과 동일한 방법으로 이론 전개 가능
- 62 -
힘-
뉴톤의 운동법칙과 평형조건식
뉴톤의 운동법칙
평형조건식
하나의 질점에 작용하는 힘의 합이 0일(힘의 평
형상태) 경우, 그 질점은 정지해 있거나 직선상
에서 일정한 속도로 운동한다. (관성의 법칙)
제1법칙
정지하고 있는 물체
 (F   R
i
하나의 질점에 작용하는 모든 힘의 합 f 는 그
질점의 질량 m 과 가속도 a 의 곱과 동일하다.
즉, f  ma 이다. (가속도의 법칙)
제2법칙
두 질점 사이에 작용하는 두 내력(작용과 반작
용 힘)은 크기가 같고 방향이 반대이며, 작용선
은 동일하다. (작용과 반작용의 법칙)
제3법칙
i
F i   R ij
F
R
R
R
•
R
R
R
R
R
R
R
F
R
R R
 0
i, j
 1,2,  , 
 Fi  0
R ij  R ji
 R
•
R : j 번째 절점에 의하여
R
R
R
•
작용점 위반
R


 ri   F i   R ij   0
i
j


r
ij
  ri  R
i
 0
R
r
j
 ri  F i
 0
ri  R ij
i
 rj  R ji
모든 힘은 한정벡터임
F
내력 Action and reaction force
외력
작용선 위반
0
ij
절점 i 에 부과된 내력
F
힘
(Force)
ij
j
i
F : 질점 i 에 작용하는 외력의 합
R
R
무한 대개의 질점들의 집합
•
F
R
모든 힘은 내력임
• 작용선 위반 문제의 해결
F
R
)0
j
i
연속체(Continuum)
ij
j
표면력 Exerted load, Reaction force
체적력 Body force
평
형
조
건
식
 Fi
 0
 F  0
또는
 ri  F i  0
• 평형조건식은 작용점 위반 문제를 아직 해결하지
못했음
• 평형조건식은 물체 전체계뿐만 아니라 물체로부터
분리된 모든 부분계에 대해서 성립해야 함
i
또는 
M  0
미분방정식(평형방정식) 등으로 수식화됨
- 63 -
힘응력벡터(Stress vector)
응력과 평형방정식, 운동방정식
면의 방향의 정의
응력과 응력벡터의 관계
ti (n )   ji n j
F
F
4
Cauchy’s formula
1
F
평형방정식
F
2
 ji , j  fi  0
F
F
3
운동방정식
응력(Stress)
F
 ij  t j
F
n
( ei )
 ji , j  fi  i
 lim
Ai 0
Fj
Ai
,
A
 xx  xy  xz 


 yx  yy  yz 
 zx  zy  zz 
 x  face
응력의 대칭성
 ij   ji
F
F
 x  face
작용과 반작용
t (n)  t (-n) 또는 ti (n )  ti (  n )
Fi
F
, t i (n )  lim
A0 A
A0 A
t(-n )
n
t (n )  lim
응력의 좌표변환
 i ' j '  Ti ' pT j ' q pq
t(n )
n
- 64 -
힘–
코지의 공식과 표면력 벡터
코지의 공식(Cauchy’s formula)
ABC  S
OBC  n1S ,
F  0 :
i
OAC  n2 S ,
OAB  n3 S
ti (n ) S  ti (e1 ) n1S  ti (e2 ) n2 S  ti (e3 ) n3 S 
1
f i hS  0
3
 S  0, h  0
ti ( n )  t i
(e j )
n j   ji n j
t1(n )   11  21  31   n1 
 
 t2(n )    12  22  32   n2 
t3(n )   13  23  33   n3 
 
fi  body force
표면력 벡터(Traction vector)
n   n1 , n2 , n3  가 표면에서 접면에 수직한 방향일 때
Traction vector
t (n)
T
t (n )을 표면력 (벡터)라고 함
하중이 주어진 경계에서는 표면력 벡터가 주어진 것임
n
Outwardly directed unit normal vector
Tangential plane on the surface
→ Traction prescribed boundary condition이라고 함
- 65 -
힘 - 평형방정식과 운동방정식, 응력텐서의 대칭성
평형방정식
응력텐서의 대칭성
S
 x  t dS   x  f dV  0
 
 
  x t dS    x f dV  0  t   n
(n)

S
S
S
V
V
<연속체와 부분계>

ti (n) dS   fi dV  0

 ji n j dS   fi dV  0
S'
V'
V'
 
V'
ji , j
 fi  dV  0
n
V
j k
ijk
j
pk , p
ijk
j
k
k
Cauchy’s formula
보충설명
Divergence theorem
 xx  yx  zx


 fx  0
x
y
z
 xy  yy  zy


 fy  0
x
y
z
 xz  yz  zz


 fz  0
x
y
z
S'
ti (n ) dS   fi dV   i dV
V'
 ji , j  fi  i
V'
p
  xy   yx

  yz   zy
  
xz
 zx
 yy
 yx
y
 yy   yy
x
 xx
 xy
 xx
Infinitesimal
area
Point
F
 yx  Δ yx
 xy  Δ xy
 xx  Δ xx
 xy
운동방정식

pk
 f k    jk  dV  0
 ijk jk  0   ij   ji 또는
 ji , j  fi  0









ijk
   x 
V
S'
V
n
x
Δy
Δx
 yx
 yy
 xx
Δx
x

Δ yx  yx Δy
y
etc.
Δ xx 
 0 ;  xx   xx  y   xx y   yx   yx  x   yx x  f x xy  0

 xx  yx

 fx  0
x
y
- 66 -
힘 - 주응력과 응력불변치
특성방정식과 주응력 및 주응력 방향
응력벡터의 법선 성분
 N  t (n)  n  ti (n) ni   ij ni n j
t
 ij   N  ij  0 또는
(n )
 xx   N
 xy
 xz
 yx
 yy   N
 yz  0
 zx
 zy
 zz   N
 3 N  I1 2 N  I 2 N  I 3  0   N   1 ,  2 ,  3
(n)
t
 1   2   3 
 ij n j ( k )   k ni ( k ) , k  1, 2, 3
n
n (i )  n ( j )   ij
 Nn
주응력(Principal stress)
n ( k ) : 주응력  k에 대응하는 주응력축의 방향
고유치 벡터의 직교성
<응력벡터와 법선 및 접선 응력 성분>
두 개의 고유치 :  N ( k ) ,  N ( l ) (단, k  l )
 S  t (n )  t (n )   N n
고유치에 대응하는 고유벡터 : ni ( k ) , ni (l )
 ij n j ( k )   N ( k ) ni ( k )   ij n j ( k ) ni(l )   N ( k ) ni ( k ) ni(l )
 ij n j (l )   N (l ) ni (l )   ij n j (l ) ni( k )   N (l ) ni (l ) ni( k )
고유치 문제(Eigenvalue problem)
 ij   ji
0  ( N ( k )   N (l ) ) ni ( k ) ni (l )
ti
(n)
  ji n j   N ni 또는
 xx  xy

 yx  yy
 zx  zy

 xz   nx 

 yz   n y    N
 zz   nz 
 nx 
n 
 y
 nz 
①  N ( k )   N (l ) 이면, ni ( k ) ni (l )  0
②  N ( k )   N (l ) 이면, 고유벡터를 결정하는데 선택의 폭이 넓어짐.
즉 고유벡터간의 직교성이 유지되도록 ni ( k )와 ni ( l )를 잡으면 됨.
ni( k ) ni(l )   kl 또는 n(i ) n( j )   ij
- 67 -
힘 - 주응력과 응력불변치
응력 불변치(Stress invariants)
응력의 2차텐서 증명
Cauchy의 공식
t
(n )
i
   ji n j 또는 t
(n )
i
  ji n j
j
Cauchy의 공식에서 n이 e k  (xk  -축)과 일치할 경우 n
 n1  cos( xk  , x1 )  Tk 1
 n2  cos( xk  , x2 )  Tk  2
ni  cos( xk  , xi )  Tk i
 n3  cos( xk  , x3 )  Tk 3
I1   ii   xx   yy   zz   1   2   3
1
 ij ij   ii jj 
2
  xx yy   yy zz   zz xx   2 xy   2 yz   2 zx
I2 
  1 2   2 3   3 1
I 3   ij   xx yy zz  2 xy yz zx   xx 2 yz   yy 2 zx   zz 2 xy
  1 2 3
 mi nm   miTk m

ti (ek )   miTk m
 k j : ti (e )의 x j  축 성분
k

  k j  t (ek )  e j  ti (ek )Tji  Tk mTji mi  응력은 2차 텐서량


응력은 2차 텐서량 :  ij   TipT j q pq
Tij : 직교단위 행렬
 pq와  ij는 유사변환 관계에 있음. 따라서 다음의
두 특성방정식의 해는 동일해야 함
 pq    ij  0 또는  3  I1  2  I 2   I 3  0
 ij    ij  0 또는  3  I1  2  I 2   I 3  0
I1  I1 , I 2  I 2 , I 3  I 3  I1 , I 2 , I 3은
응력불변치(Stress invariants)
- 68 -
힘 - 편차응력텐서와 유효응력
평균응력  m 과 정수압 p
 m   ii / 3  I1 / 3   p
편차응력텐서  i j 의 불변치
1
1
J1   ii   1   2   3  0, J 2   i j i j   12   2 2   32  , J 3   i j   1 2 3
2
2
2
2
2
1
1
I 2   I12   x x   y y    y y   z z    z z   x x   6 x y 2  6 y x 2  6 z x 2 


3
6
1
1
2
2
2
  I12   1   2    2   3    3   1  


3
6
1
1
  I12  J 2
 J 2  ( 1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2  ( 3   1 ) 2 
3
6
1
1
J1  0, J 2  I 2  I12 , J 3   2 I13  9 I1 I 2  27 I 3 
3
27
편차응력텐서  i j
 ij   ij 
 kk
3
 ij
 12
 13 
 11   m

 ij    21
 22   m  23 
  31
 32
 33 m 
 ij 의 고유치 :  1 ,  2 ,  3
특성방정식 :  ij    ij  0
 3  J 2   J 3  0
유효응력/상당응력 
  3J 2 
3
 i j i j
2

2
2
2
1
 x x   y y    y y   z z    z z   x x   6 x y 2  6 y z 2  6 z x 2 



2

1
2
2
2
 1   2    2   3    3   1  


2
- 69 -
2차원 연속체역학 문제와 축대칭 문제
2자원 연속체역학 문제
평면응력 문제
평면변형 문제
축대칭 문제
평면응력(Plane stress)
3차원 공간에서 어떤 하나의 방향에 대한 응력 성분이 모두 0인 경우
일반적으로 z ( x3 )-방향을 응력 성분이 0인 방향으로 잡음
 xx  xy 
 11  12 
   또는   
yy 
 21 22 
 yx
<평면응력>
축대칭 문제(Axisymmetric problem)
하중 조건, 재료의 성질, 경계조건 등이 모두 축대칭인






연속체 역학 문제
축대칭 문제는 실제 3차원 문제이지만 2차원 평면상에서
해석이 가능함









 축대칭 문제는r   z 원통좌표계로 수식화됨
 rr  r  rz 
 rr 0  rz 
         0   0 
0 
r
z

  z   z 

 zr  z  zz 
 zr 0  zz 
a) 3차원 문제
b) 축대칭 문제
<원통좌표계의 응력텐서와 축대칭 문제>
- 70 -
변형 변위와 평면변형
평면변형과 변형률
평면변형에서 변형률  ij 의 정의
예제: 변형모양의 도시
변위장 : u x  xy, u y 
• 변위=변형+강체운동
1 2
( x y  1)
2
• 변형의 정량화
3차원공간에서의 변위
 u x ( x, y , z ) 


 u  u ( x , y , z )   u y ( x, y , z ) 
 u ( x, y , z ) 
 z

 u  u(t , x, y, z )
평면변형 문제의 변위
 u x ( x, y ) 


 u  u ( x, y )   u y ( x , y ) 
 0 


점 1 : (0, 0)  (0, 0.5)  (0, 0.5)
undeformed
deformed
점 3 : (1,1)  (1,1)  (2, 2)
• 변형률의 정의
평면변형에서의 변위장 ui
OC   OC
C 0
OC
OE   OE
  yy  lim
C 0
OE
  xx  lim
u
u
  xy  2 xy 
u
undeformed
deformed

2
 xx
 ij   
 yx
 xy 
 yy 
 E OC 
- 71 -
변형 -
변위와 변형률의 관계
평면변형에서 변위-변형률 관계
3차원 공간에서 변위-변형률 관계
 xx 
  2 y
u
u x
u
,  yy  y ,  zz  z
x
y
z
1  u
u 
1  u
u 
1  u
u 
 xy   x  y    ij   ui , j  u j ,i    ji
2  y
x 
2
2
 1x
1
1
 yz   y  z 
2  z
y 
 zx   z  x 
2  x
z 
변형률의 2차 텐서량 증명
undeformed
deformed
u
u
OC   x  x x, OC  x, OE   y  y y, OE  y
x
y
 xx  lim(OC   OC ) / OC 
C O
 yy  lim(OE  OE ) / OE 
E O
u x
u
 lim x
x x0 x
u y
y
2 xy  lim (EOC  EOC )  1   2 
C , E O
u j 
1  u u j 
1  u
변형률 :  ij   i 
,  ij   i 


2  x j xi 
2  x j  xi 
변위의 좌표변환: ui  Tip u p
변위구배 : ui, j   Tip u p , j   TipT j q u p ,q
변형률의 좌표변환
y fixed
  ij  
(ui, j   u j ,i )
2
 ij  TipTjq pq
u x u y
1 u u

  xy  ( x  y )
y
x
2 y
x
 TipT j q
(u p ,q  uq , p )
2
 TipT j q  pq
 변형률은 2차 텐서량
- 72 -
변형 속도장  i
변형률과 변형률속도의 정의
변형률속도  i j
평면변형 문제에서의 속도장 : v  v  x, y 
u  vt
P
2  z
y 
1    
 zx   z  x 
2  x
z 
P
2
At t  t
변형률 증분  i j 와 변형률속도의 정의
 xx 

 x

,  yy  y ,  zz  z
x
y
z
 
1  
 xy   x  y 
2  y
x 
1  
 
1
 yz   y  z    ij  i , j   j ,i 
v
At t
 xx 
  x t   x

t   xx t
x
x
1    
1   (i t )  ( j t )  1
 zx   z  x  t   ij  

  (i , j   j ,i )t
2  x
z 
2  x j
xi  2
1    
d  ij   i  j  dt   ij dt
2  x j xi 
t
변형률속도(Strainrate)
 ij    ij dt
변형률속도의 2차 텐서량 증명
속도의 좌표변환: vi  Tip v p
속도구배 : vi, j   Tip v p , j   TipT jq v p ,q
변형률의 좌표변환
  ij  
(vi, j   v j ,i )
2
  ij   TipT j q pq
 TipT j q

(v p ,q  vq , p )
2
 TipTj q  pq
변형률속도는 2차 텐서량
0
- 73 -
변형 변위와 변형률의 관계
원통좌표계에서 변위와 변형률 및 응력
원통좌표계에서의 변위와 응력의 정의
변형률
r    z 직각좌표계에서
  rr
 ij    r

 zr
ur
r
1 u ur
  

r 
r
u
  zz  z
z
1  1 ur u u 
  r  

 
2  r 
r
r 
1  u 1 u z 
  z    

2  z r  
  rr 
 r

 z
 rz 
 z 
 zz 


u u

u




응력

 rr
 ij     r

 zr
1  u u 
  zr   z  r 
2  r
z 
 r  rz 
    z 
 z  zz 
변위
응력
a) 3차원 문제 ÀÀ·Â
º¯À§
Â÷¿ø ¹®Á¦

u u
u

u
속도와 변형률속도텐서의 관계




u


위 식에서 u 대신  를,  대신  를 대입



변위
º¯À§
ÀÀ·Â
Â÷¿ø ¹®Á¦
º¯À§
응력
b) 축대칭 문제ÀÀ·Â
Ãà´ëĪ ¹®Á¦
<원통좌표면에서 변위와 응
력>
- 74 -
변형 평면변형 문제의 정의와 변형률
변위 : u x  u x  x , y  , u y  u y  x , y  , u z  0
속도 :  x   x  x , y  ,  y   y  x , y  ,  z  0
 xx
  ij   
 yx
 xx
  ij   
 yx
예 : 압연, 댐
 xy  11 12 

 yy   21  22 
 xy  11 12 

 yy   21  22 
평면변형과 축대칭 문제
축대칭 문제의 정의, 변위와 변형률의 관계
변위: ur  ur  r , z  , u  0, uz  uz  r , z 
ur




r


  rr  
ur

  

r
    

u z
  zz  

  


z
  rz  
1 u u 
  r  z  
r  
 2  z
속도 : r  r  r , z  ,   0, z  z  r , z 
r




r


  rr  
r

  

r
    

 z
  zz  

  


z

 rz  
1   
  r  z  
r  
 2  z
- 75 -
변형의 기하학적 적합성
연속체의 조건
• 하중의 부과로 인하여 내부 크랙 등이 발생하지 않음
• 변형 이전의 모든 질점들이 변형체와 일대일 대응관계에 있는 물체
연속체 조건의 수식화 ⇒ 변형의 기하학적 적합성
``
• 변형률이 주어졌을 때 그 결과로 얻어지는 변위함수가 단일값을 가져야 하고 연속이라는 조건
• 구속조건식을 적합성방정식(Compatibility equation)이라고 함
• 적합성방정식 :
 ij ,kl   kl ,ij   ik , jl   jl ,ik  0, i, j, k , l  1, 2, 3
• 적합성방정식: 총 81개 중 독립적인 식은 다음의 6개임
2
 2 xy
 2 x   y

 2 2
y 2
x
xy
 2 y
 2 yz
 2 z

 2 2
z 2
y
yz
 2 zx
 2 z  2 x
 2  2 2
x
z
zx
2
2
 2 x   yz  2 xz   xy




yz x 2
xy xz
2
2
 2 z   yz  2 xz   xy




xy zx zy z 2
 2 y
 2 yz
2
 2 xz   xy




zx yx y 2
yz
- 76 -
변형 -
주변형률, 유효변형률
고유치 문제
 ij n j   ni
변형률 불변치 Li
 xx

또는  yx
 zx

 xy  xz   nx 
 nx 
 
 yy  yz   n y     n y 
 nz 
 zy  zz   nz 
L1   ii   xx   yy   zz
L2 
1
 ij  ij   ii jj    xx yy   yy zz   zz xx   xy 2   yz 2   zx 2

2
L3   ij   xx yy zz  2 xy yz zx   xx yz 2   yy zx 2   zz xy 2
특성방정식과 고유치
 ij   ij  0
비압축성 조건
v 
 3  Li 2  L2  L3  0
L1  ii

0
3
3
  1 ,  2 ,  3  주변형률
고유벡터
   k 일 경우 :  ij n j   k ni  ni  ni( k )  주변형률 축의 방향
 ij n(jk )   k ni( k )
ni( k ) ni(l )   kl  주변형률 축은 직교함
유효변형률 
 
2
 ij  ij
3
1
2
2
2
2
2








   zz   xx   6   xy 2   yz 2   xy 2  




xx
yy
yy
zz



3
- 77 -
변형 –
주변형률속도, 유효변형률속도
고유치 문제
 ij n j   ni
변형률속도 불변치 Li
 xx

또는  yx
 zx

 xy  xz   nx 
 nx 
 
 yy  yz   n y     n y 
 nz 
 zy  zz   nz 
L1   ii   xx   yy   zz
L2 
1
 ij ij   ii jj    xx yy   yy zz   zz xx   xy 2   yz 2   zx 2

2
L3   ij   xx yy zz  2 xy yz zx   xx yz 2   yy zx 2   zz xy 2
특성방정식과 고유치
 ij   ij  0
비압축성 조건
v 
 3  L1 2  L2  L3  0
L1  ii
 0
3
3
  1 ,  2 ,  3  주변형률속도
고유벡터
   k 일 경우 :  ij n j   k ni  ni  ni( k )  주변형률속도 축의 방향
 ij n(jk )   k ni( k )
ni( k ) ni(l )   kl  주변형률속도 축은 직교함
유효변형률속도 
 
2
 ij  ij
3
1
2
2
2
2
2












 6   xy 2   yz 2   xy 2  






xx
yy
yy
zz
zz
xx



3
- 78 -
구성방정식 -
인장시험
 e ,  t ,  e ,  t 의 정의 및 관계
인장시험
e 

L0
 t  ln
t 

, e 
Lf
L0
P
A0
 ln 1   e 
P P A0


A A0 A
P Lf

  e 1   e 
A0 L0
 e : engineering , t : true
<공칭응력 e  -공칭변형률e  곡선 >
<인장시험의 해석>
단축인장시험에서 후크법칙
Lf
 L0  
 t  E t
L0
P
P
단면적 A
단면적 A0
N
<네킹 발생 이전>
=l n(1+ U)
N
<진응력 t ,  -진변형률t ,   곡선 >
- 79 -
구성방정식 –
등방성 재료의 단축인장 및 후크법칙
등방성재료의 후크법칙
등방성 재료의 순수전단 및 후크법칙
 xx  0,  yy   zz   xy   yz   zx  0
 xy  0,  xx   yy   zz   yz   zx  0
1   xx

1
 xx
1
Poisson’s ratio
x
 xx 1  ( xx )
1

 xx   xx ,  yy   zz    xx
E
E
 xy
y

 xx   yy   zz   yz  izx00

 yy   zz   xx    xx
E
 xy   yz   zx  0
 xy 
1
 xy
2G
G
E
2(1  v)
등방성 재료의 일반화된 후크법칙
1
 xx  v  yy   zz    T

E
1
 yy   yy  v  zz   xx    T
E
1
 zz   zz  v  xx   yy    T
E
1  v  
 xy 
xy
E
1  v  
 yz 
yz
E
1  v  
 zx 
zx
E
 xx 
1
1  v   ij  v kk  ij   T  ij
E
 ij  2 ij   kk  ij   3  2 T  ij
E
vE


2(1  v)
(1  v)(1  2v)
 ij 

Lame’ constants
- 80 -
구성방정식 –
후크법칙의 일반화
후크법칙의 일반화
 ij  Cijkl  kl
하나의 탄성대칭면이 존재할 경우
 독립적인 성분 수 : 13개
탄성상수(Elastic constants) Cijkl
성분 수 : 81개
응력과 변형률이 대칭텐서
 Cijkl  C jikl  Cijlk  독립적인 성분 수 : 36개
 xx   C11
  C
 yy   21
   C
  zz    31
 xy  C41
 yz  C51
  
 zx  C61
C12
C13
C14
C15
C22
C32
C23 C24
C33 C34
C25
C35
C42
C43 C44
C45
C52
C62
C53
C63
C55
C65
C54
C64
C16    xx 
C26    yy 
C36    zz 


C46   2 xy 
C56   2 yz 


C66   2 zx 
변형에너지 밀도함수 존재 조건
 Cijkl  Cklij  독립적인 성분 수 : 21개
 xx   C11
  C
 yy   12
   C
  zz    13
 xy  C14
 yz  C15
  
 zx  C16
C12
C22
C13 C14
C23 C24
C23
C24
C25
C26
C33 C34
C34 C44
C35 C45
C36 C46
C15 C16    xx 
C25 C26    yy 
C35 C36    zz 


C45 C46   2 xy 
C55 C56   2 yz 


C56 C66   2 zx 
 xx   C11 C12
  C
 yy   12 C22
   C
C23
  zz    13
0
 xy   0
 yz   0
0
  
 zx  C16 C26
C13 0
C23 0
C33 0
0 C44
0 C45
C36 0
0
0
0
C45
C55
0
C16    xx 
C26    yy 
C36    zz 


0   2 xy 
0   2 yz 


C66   2 zx 
직교이방성 재료(3개의 탄성대칭면이 직교할 경우)
 독립적인 성분 수 : 9개
 xx   C11 C12
  C
 yy   12 C22
   C
C23
  zz    13
0
 xy   0
 yz   0
0
  
0
 zx   0
C13
C23
C33
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
0
0
C55
0
0    xx 
0    yy 
0    zz 


0   2 xy 
0   2 yz 


C66   2 zx 
횡등방성 재료 : 탄성상수 5개
등방성 재료 : 탄성상수 2개 ( E , v)
- 81 -
선형등방성 재료의 탄성행렬, 응력텐서 벡터, 변형률텐서 벡터
탄성행렬의 정의
  i  Dij  j
  i : 응력텐서 벡터
  i : 변형률텐서 벡터
 D: 탄성행렬(Elasticity matrix)
3차원 문제
평면응력 문제
1


E (1  ) 
D

(1   )(1  2 )  0
0

0


(1  )
,


1 
 1
0
0
0
0
0
0
0 0 
0
0 0
0

0 0
0
0
0
0 
0

0
0


 xx 
 
 yy 
 
 i   zz 
 xy 
 yz 
 
 zx 
0
1 

E 

D
 1
0
2 

1  2
 0 0 (1  ) / 2 
 xx 
 
 i   yy 
 xy 
 
  xx 


 i    yy 
 2 xy 


  )
2 )
축대칭 문제
평면변형 문제
 /(1  )
0
 1

E (1  ) 

D
 /(1  )
1
0

(1   )(1  2 ) 
 0
0
(1  2 ) / 2(1  ) 
 xx 
 
 i   yy 
 xy 
 
  xx 
 
 yy 
 
 i   zz 
 2 xy 
 2 yz 


 2 zx 
  xx 


 i    yy 
 2 xy 


1

E (1  ) 
D
(1   )(1  2 ) 

0


(1  )
,


1 
 1
0
0 
0

0 0 
 rr 
 
 i    
 zz 
 
  rz 
  rr 
 
 i    
  zz 


 2 rz 
  )
2 )
- 82 -
초기변형률 초기응력을 고려한 후크법칙
초기 변형률과 초기 응력을 고려한 후크법칙
o
o
  j : 초기 변형률,  i : 초기 응력
o
0
  i  Dij ( j   j )   i
열팽창을 초기 변형률로 간주할 경우
 3차원 문제
T 
T 






T
  oj  

 0 
 0 


 0 
 평면응력 문제
 xxo 
 o
 yy 
 o 
 oj   zzo 
 xy 
 o 
 yzo 
 zx 
 평면변형 문제
T 
o
  j  (1   ) T 
 0 
T 
o
  j  T 
 0 
 xxo 
 
 oj   yyo 
 xyo 
 
 평면변형 문제
 xxo 
 
 oj   yyo 
 xyo 
 
T 
T 
o

 j  
T 


 0 
 rr 
  

o
 j    
 zz 
 
  rz 
- 83 -
이방성재료
이방성재료와 등방성재료의 차이
'
'
 탄성행렬 D의 차이
 x, y : 기준좌표계

횡방향등방성(Transversely isortopic) 재료의 탄성행렬 유도
 D11

 D   D12
 D13
D12
D22
D23
D13 
D23 
D33 
주축에 대하여 변형률과 응력의 정의
D1 2
D22
D23
D1 3    xx 


D23    yy 
D33   2 xy 
 i  Dij j
 cos 2 

sin 2 
 [ Aij ]  
 2 cos  sin 

 Dij : 기준좌표계에 대한 탄성행렬
 Dij : 주축좌표계에 대한 탄성행렬
 단위부피당 변형에너지는 스칼라량으로 좌표계에
무관한 값임. 즉, 1
1
 i      j  j
2
2
변형률텐서 벡터의 좌표변환 공식
  xx 


  j    yy 
 2 xy 


<횡방향등방성 재료>
탄성행렬의 좌표변환
 Dij : 주축에 대한 이방성재료의 탄성행렬
  i  A ij  j
재료의 주축
 i  Dij j
 2차원 문제의 기준좌표계에 대한 이방성재료의 탄성행렬
 xx   D1 1

 
  yy    D1 2
 xy   D1 3


 x , y  : 2차원 문제에서
  xx 


 j    yy 
 2 xy 


sin 2 
cos 2 
2 cos  sin 
cos  sin  

 cos  sin  
cos 2   sin 2  
  i    l  Dl k  k    Al i Dl k  A k j  j     i   i D ij  j
 Dij  Al i Dl k  Ak j 또는  Dij    Al i 
T
 Dlk    Ak j 
기준좌표계에 대한 응력-변형률 관계식
    Dij  j  Al i Dl k  Ak j  j
- 84 -
힘과 변형의 관계 진응력-진변형률 곡선
항복이론
항복함수의 특징
P11
P11
P
,  22   33  0
A
 12   23   31  0
 11 
B
A
항복함수 f  f  ij  는 볼록(Convex)해야 함(Drucker의 가설)
항복이 좌표계에 무관하므로 f  f  I1 , I 2 , I 3 
정수압이 소재의 항복에 미치는 영향을 무시할 경우 ,
 f  f  J 2 , J3 
J 2는  i 에 대해 우함수, J 3 는  i 에 대해 기함수
1
 J 2  ( 12   2 2   32 ), J 2 ( 1,  2 ,  3 )  J 2 ( 1,  2 ,  3 )
2
 J 3   1 2 3 , J 3 ( 1,  2 ,  3 )   J 3 ( 1,  2 ,  3 )
 등방성재료에 대한 항복함수는 J 3 에 대하여 우함수 ( J 32 , J 34 등) 가
O
C
되어야 함
항복함수 f  f ( ij ) 의 정의
f  ij   0
 13
<진응력-진변형률 곡선>
 11

 22
 12
f  ij   0 :  ij 는 탄성영역내에 존재한다.
Yield-surface
f  ij   0 :  ij 는 항복면상에 존재한다.
f  ij   0 : 불가능하다.

 23
Yo , Initial
Y , Strain-hardened
 33
- 85 -
힘과 변형의 관계 -
von Mises 항복이론
von Mises 항복함수
Tresca 항복이론
1
f  J 2  k 2   ij ij  k 2  0,
2

Y 

k 

3

f   max  k  0
k


1
2
 xx   yy    yy   zz    zz   xx   3  xy 2   yz 2   zx 2   Y

2

1
2
2
2
 1   2    2   3    3   1   Y
2
2
2

Y
2

Y  Y   p ,  p ,   또는 Y   ,  ,  
3차원 문제의 von Mises 항복함수
평면응력 문제의 항복함수
1 2
 1 ,  2 2 ,  32   k 2  0

2
1
2
2
2
f  1 ,  2 ,  3    1   2    2   3    3   1    k 2  0

6
f  1 ,  2 ,  3  
1  0   2
  2 Y
 max  1

2
2
Y
Y
3  0
1   2   3  0
von Mises
Tresca
 12   1 2   2 2  Y 2  0
<평면응력에서 항복궤적>
a)  1 ,  2 ,  3 좌표계
b)  1 ,  2 ,  3 좌표계
<3차원 응력공간에서 항복궤적>
- 86 -
힘과 변형의 관계 -
소성유동법칙
변형의 이상화
 ij   ij p   ij d
  ij p : Plastic strain- rate
  ij d : Difference strain- rate
탄소성 :  ij d   ij e ,  ij e : Elastic strain- rate
강소성 :  ij d  0
등방성 재료의 소성유동법칙
• 비압축성 재료의 항복시 변형률속도텐서는 항복곡면에 직교함(Normality)(Drucker의 가설의 결과)
 ii  0
 ii  0
f
f
  ij   ij  
또는  ij   ij  
 ij
 ij
• von Mises 항복이론을 따를 경우
1
 f  pq    ij ij  k 2
2
f
f
  ij  
  ij ,  ij  
 ij
 ij

f


 ij  ij
  ij 
1

 ij
1
1
1  
2
  pq pq  k   ( ip jq pq   pq ip iq )  ( ij   ij )   ij
2
2
 2
3
2
2
2
  ij 
 ij 
3
3

 

2
 kl  kl
3
 ij
2
 ij  ij
3
   3J 2 
*
.
*
<Normality>
3
 ij ij
2
- 87 -
힘과 변형의 관계 -
변형저항식
변형저항의 이상화
,
1
강소성( Rigid plastic)재료 :  =   
p

강점소성( Rigid- viscoplastic)재료 :  =    p , 
강열점소성( Rigid- thermoviscoplstic)재료 : 

=  
p
p
,  p, T
.
2
,
2
Flow stress
완전소성( Perfectly plastic)재료 :  = 일정
.
,
1
.
> 1
.
2> 1
2
1
.
1
0
0.5
T/Tm
<온도, 변형률, 변형률속도의 영향>
Low temperature
 
  Yo 1   ,   K  n ,   C1  C2
 b
 Yo : 초기항복응력 , K : 강도계수 , n : 변형경화지수
n
Flow stress
냉간소재의 변형저항식 수식모델
0
High temperature
Strain
<고온과 저온에서 변형률의 영향>
  C n m ,   C m
 n : 변형경화지수 , m : 변형률속도경화지수 , C : 고온강도계수
Flow stress
점소성 및 열점소성 재료의 변형저항식 수식모델
0
10 3
Strainrate
<고온에서 변형률속도의 영향>
- 88 -
변형에너지와 구성방정식
변형에너지를 고려한 에너지보존법칙의
일반적인 표현(Local form, Local expression)
d  ij 1
du 1
  ij
 qi ,i  qg
dt 
dt 
 u : 단위질량당 내부에너지
  : 밀도
 qi : 열유량(Heat flux)
 qg : 단위질량당 열생성율
과도탄성재료(Hyperelastic material)
 변형에너지밀도함수가 변형률의 함수로
주어진 경우, 즉 u  u ( ij ) 인 경우
 du   ij d  ij
du   ij dij가 완전적분되어 u  u(ij )가 존재할 조건

d ij
d  kl

d kl
d  ij
과도탄성재료의 구성방정식의 일반형
 변형에너지밀도함수 u  u ( ij ) 의
전미분(total differential)
 du 
변형에너지밀도함수
 열의 방출 및 열전달을 무시하면, 내부
에너지는 응력동력(stress power)으로 표현됨

d
du
  ij ij
dt
dt
 u  u
 변형에너지밀도함수 u 는 단위부피당
변형에너지의 물리적 의미
u
d  ij
 ij
 응력-변형률 관계식(구성방정식)
u
  ij 
 ij
후크법칙에의 적용
후크의 법칙:  ij  Cijkl kl
과도탄성재료의 조건 : Cijkl  Cklij
변형에너지밀도함수의 계산
1
 du  Cijkl  kl d  ij  d (Cijkl  kl  ij )
2
1
1
 u  Cijkl  ij  kl   ij ij
2
2
- 89 -
변형에너지와 구성방정식
선형탄성재료의 변형에너지 U
U   u dV 
V
1
 ij ij dV
2 V
보충변형에너지(complemetary strain energy)
 보충변형에너지는 연속체에 축적된 물리적 에너지가
아니고 수학적인 에너지
*
*
 보충변형에너지밀도함수 u  u ( ij ) 는 응력  ij 의 함수
du*   ij d ij
 ij 
또는
 ij
u*   ij d ij
0
u
 ij
*
선형탄성 재료 : u  u*
<변형에너지밀도함수와 보충변형에너지밀도함
수>
- 90 -
경계조건 및 기하학적 구속조건
지배방정식이 2 p차의 미분방정식의 경계조건
특수경계조건: 마찰
필수경계조건(Essential boundary condition, forced boundary condition)
쿨롱(Coulomb) 마찰법칙 :  t    n
 0 차에서 p -1차까지의 미분항이 포함된 경계조건
  : 마찰계수(coefficient of Coulomb friction)
 탄성역학문제의 경우, 변위(각도 포함)와 관련된 기하학적 경계조건
  t : 마찰응력(접선응력)
 열전달 문제의 경우, 온도가 주어진 경계조건
  n : 법선응력
자연경계조건(Natural boundary condition)
일정전단마찰법칙 :  t  mk
 p 차부터 2 p -1차까지의 미분항이 포함된 경계조건
 m : 마찰상수(Friction factor)
 탄성역학문제의 경우, 힘(모멘트 포함)과 관련된 역학적 경계조건
ky
 열전달 문제의 경우, 열전달율이 주어진 경계조건
상미분방정식일 경우, 점에서 실수값으로, 편미분방정식일 경우, 경계를
정의 구역으로 하는 함수의 형태로 주어짐
경계조건의 수
일반적으로 경계의 한 점에는 (미지수 수× p)만큼의 경계조건이 부과됨
 온도분포를 구하는 문제에서는 1차원 직선, 2차원 평면, 3차원 공간
모두 미지수의 수는 하나일 경우, 연속체의 차원과 무관하게 하나의
점에 하나의 경계조건이 부과됨
 변위 또는 속도가 2차 미분방정식의 미지함수일 경우 연속체의
3 : 전단항복응력
 법선응력에 무관함
미끄러지지 않을 경우 :  t    n 또는  t  mk ,
두 물체의 접촉면에서 변위 또는 속도의 접선성분이
모두 동일해야 함
기타 기하학적 구속조건 : 질량보존의 법칙
비압축성 조건
  ii  ui ,i  0
  ii  vi ,i  0
질량보존 법칙
 (  vi ),i 

0
t
차원 수(2 또는 3) 만큼의 경계조건이 하나의 점에 부과되어야 함
- 91 -
뉴우톤역학 문제 및 열전달 문제의 수식화
3차원 탄성역학 문제의 수식화
소성역학 문제의 강소성 수식화
Die
P
S ti
① 평형방정식 :  ij , j  fi  0
Sc
② 속도-변형률속도 관계식
S
V
V
1
  ij  (vi , j  v j ,i )
2
S
<탄성역학 문제의 개념도>
① 평형방정식 :  ij , j  fi  0
② 변위-변형률속도 관계식
1
  ij  (ui , j  u j ,i )
2
③ 구성방정식(응력-변형률 관계식)
  ij  2  ij   kk  ij  (3  2 ) aT  ij
④ 경계조건
 ui  ui on Sui
 ti(n )   ij n j  ti on Sti
⑤ Navier - Cauchy 방정식
  ij , j  fi  0 in V ,  ij n j  ti on Sti ,
ui  ui on Sui
  ij  2  ij   kk  ij
  ij  (ui , j  u j ,i ) / 2
  ij   ui , j   u j ,i   uk ,k  ij
  ui , jj  (   )u j , ji  fi  0
  2u  (   )  u  f  0
③ 구성방정식(응력-변형률속도 관계식)
S i
<소성역학 문제의 개념도>
  ij   p ij   ij
  ij 
2  2
 ij 
3
3
S ti

2  
 kl  kl
3
 ij
고체의 열전달
④ 비압축성조건 : vi ,i  0
⑤ 경계조건
 vi  vi on Svi
 ti(n )   ij n j  ti (n ) on Sti
qi   kT,i
 vn  vn on SC
  t    n g (vt ) on SC
또는
  t  mkg (vt ) on SC
 g (vt )  
2

tan 1
(vt  vt )
a
<전도 열전달 문제의 개념도>
① 열전도 방정식 : (kT,i ),i  qg   c
T
t
② 경계조건
 T T
on ST
 kT,i ni  hq (T  Tq ) on S q
 kT,i ni   (T 4  Te4 )  he (T  Te ) on Se
- 92 -
열전도방정식과 연계해석
Fourier 열전도법칙
qx
에너지보존법칙


, k
x
x
q  k 
qx   k
 qx x  qx  yz   q y y  q y  zx
  qz z  qz  xy  qg xyz
 c
qx x
x
x  x

  

xyz
t
q
 qx  x x , etc.
x
           

 k
k
 k
  qg   c
x  x  y  y  z  z 
t
또는
연계해석

 k 
,i
,i
 qg   c


열전도방정식

t
Sq
평형방정식
V
 ij ,  ij
    ,  ,  
qg  C g ij  ij
열전도방정식

경계조건
 
on S
k,i ni     q   hq   q  on Sq
4
S
4
- 93 -
소성가공 문제의 유한요소 수식화
비압축성 조건 처리 기법
• 벌칙기법
V  ijij dV  V Kii jj dV   S tii dS  S  n g (vt )t dS  0
ti
c
• Lagrange 변수법
V  ij ij dV  V pii dV  V fii dV  V vi,i qdV  S
ti
tii dS    tt dS  0
Sc
1
- 94 -