Transcript f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v) - Državni univerzitet u Novom Pazaru

DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU
Departman za matematičke nauke
Smer: MATEMATIKA
Ispitivanje geometrije površi
f(u,v)=(u cosv, u sinv, 4v)
Mentor:
Prof. dr Neda Bokan
Student:
Rialda Dautović
27. Maj 2013.
Novi Pazar
f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v)
Osnovna geometrijska svojstva
f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v)
• fu= (cosv, sinv, o)
• fv= (-usinv, ucosv, 4)
• fu×fv= (4sinv, -4cosv, u)
• tangentna ravan u tački p=(a,b) :
4x1sinb - 4x2cosb+ ax3 = 4ab
Koordinatne krive
•
v=c - konstanta, u – kriva
x2= dx1 , x3=e , d,e konstante
• u=c – konstanta, v – kriva
(x1)2 + (x2)2 =c,
x3 =4v
Koordinatne krive
Prva osnovna forma
f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v)
• Matricna reprezentacija
Druga osnovna forma
f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v)
• Matricna reprezentacija
Glavna krivina
f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v)
• det |Lu-λId |=0
• λ 1= k1 =
λ2= k1 =
▫ Sopstvene vrednosti nisu jednaki- nema
umbilčnih tačaka
Gauss-ova i srednja krivina
f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v)
• Gauss-ova krivina:
• Srednja krivina:
▫ Minimalna površ
Cristoffel-ovi simboli
f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v)
Lokalna teorija krivih
f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v)
• α(t) = ( g(t)cost, g(t)sint, 4t ), u=g(t), v=t
• α'(t) = (g'cost-gsint, g'sint+gcost, 4)
• Prirodna parametrizacija:
Lokalna teorija krivih
f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v)
• α(t)=(acost, asint, 4t), a- konstanta
• Prirodna parametrizacija:
Freneov reper
α(t)=(acost, asint, 4t)
Krivina i torzija
α(t)=(acost, asint, 4t)
• Krivina:
• Torzija:
▫ Krivina i torzija su konstantne
Geodezijske linije
f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v)
• Prirodnu parametrizaciju ne možemo
eksplicitno dobiti
• α(t) = ( g(t)cost, g(t)sint, 4t ), u=g(t), v=t
• Geodezijske linije predstavljaju rešenje
diferencijalne jednacine:
-16g'' + 16g + 2g'2g – g2g'' + g3 =0
Da li je geodezijska linija?
α(t)=(acost, asint, 4t)
• Kriva α(t)=(acost, asint, 4t) nije geodezijska
linija
Paralelno pomeranje
f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v)
• c(t)=(acost, asint, 4t)
• c'(t) = (-asint, acost, 4)
• Tangentni vektor date površi u tački c(0)= t:
Paralelno pomeranje
f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v)
• Postoji jedinstveno vektorsko polje X(t), koje
nazivamo paralelno pomeranje datog
tangentnog vektora duž krive c(t):
Paralelno pomeranje
f(u,v)=(ucosv, usinv, 4v)