Transcript Экономический смысл двойственной задачи линейного

Экономический смысл двойственной
задачи линейного программирования
Выполнила:
Студентка группы ДЭФ-202
Рыжинская Наталия
Определение двойственной ЗЛП
 Двойственная задача - это вспомогательная
задача линейного программирования (ЛП),
формулируемая с помощью определённых
правил непосредственно из условий исходной
(прямой) задачи.
Определение двойственной ЗЛП
 Пусть прямая задача записана с ограничениями
в каноническом виде:
 Задачей, двойственной к ЗЛП (2.1)-(2.3),
называется следующая ЗЛП
Правила построения двойственной
ЗЛП
1.
2.
3.
4.
5.
Каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная
двойственной задачи, т.е. число переменных двойственной задачи
(y,...,y ) 1 m равно числу ограничений прямой задачи.
Каждой переменной прямой задачи соответствует ограничение
двойственной задачи, т.е. число ограничений двойственной задачи
равно числу переменных прямой задачи.
Матрица функциональных ограничений двойственной задачи
получается путем транспонирования матрицы функциональных
ограничений прямой задачи.
Вектор C целевой функции прямой задачи становится вектором
правой части ограничений двойственной задачи, а вектор b правой
части прямой задачи – вектором целевой функции двойственной
задачи.
Если ЦФ прямой задачи максимизируется, то ЦФ двойственной
задачи минимизируется, а ограничения имеют вид ≥, и наоборот.
Анализ решения ЗЛП с помощью
теории двойственности
 Математическая модель является прекрасным
средством получения ответов на широкий круг
самых разнообразных вопросов, возникающих
при принятии оптимальных решений.
 Виды анализа, выполняемого на основе
математической
модели,
приведены
на
следующем рисунке
 На этапе постановки задачи производится анализ с целью ответить





на вопросы: «Что будет, если…?» и (или) «Что надо, чтобы …?».
Анализ с целью ответа на первый вопрос называется вариантным
анализом, на второй – решением по заказу.
Виды вариантного анализа:
Параметрический - заключается в решении задачи при различных
значениях некоторого параметра.
Структурный - решение задачи оптимизации при различной
структуре ограничений.
Многокритериальный –решение задачи по разным ЦФ.
Если исходные данные, используемые при решении задачи, зависят
от соблюдения дополнительных условий, то такой анализ
называется анализом при условных исходных данных.
 Решения по заказу:
 Сюда входят задачи, целью которых является оптимизация при
заданных значениях: переменных, левых частей ограничений,
целевой функции.
 Кроме анализа, выполняемого на этапе постановки задачи,
мощным средством, помогающим принять решение, является
анализ полученного оптимального плана.
 Пример:
 Фабрика выпускает продукцию двух видов: П1 и П2. Продукция
обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства этой
продукции используются три исходных продукта: А, В, С.
Максимально возможные суточные запасы этих продуктов
составляют 6, 8 и 5 т соответственно. Расходы продуктов (сырья) А,
В, С на 1 тыс. изделий П1 и П2 приведены в таблице.
Двойственная задача линейного
программирования. Экономическая интерпретация
 Рассмотрим задачу линейного программирования следующего
вида:
 В задаче требуется максимизировать целевую функцию; все
ограничения являются неравенствами со знаком , все
переменные х1 ,х2,...,хпнеотрицательны. Задача
содержи n управляющих переменных и т ограничений.
Коэффициенты при переменных в целевой функции: c1,c2,...,cn ;
свободные члены: b1, b2,…, bm.
 Двойственная задача линейного программирования имеет вид
В двойственной задаче требуется найти минимум целевой функции, ограничения
– неравенства со знаком управляющие переменные y1, y2,… ,ym неотрицательны.
Задача содержит m управляющих переменных и n ограничений. Коэффициенты
целевой функции задачи b1, b2,… ,bm являются свободными членами исходной
ЗЛП, а свободные члены двойственной задачи с1,с2,...,сn – коэффициентами
целевой функции исходной ЗЛП. Матрица коэффициентов двойственной задачи
транспонирована, т. е.. строки заменены столбцами, а столбцы – строками.
Задачи (3.28), (3.29) и (3.30), (3.31) называются парой взаимно двойственных
задач линейного программирования.
Для двойственных задач верна следующая теорема.
Теорема двойственности
Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное
решение х* , то другая также имеет оптимальное решение у* . При этом
соответствующие им оптимальные значения целевых функций f* =f(x*)
и g =g(y*) равны.
Поясним экономический смысл двойственной модели. Пусть в качестве
управляющих переменных xj, исходной модели рассматривается число
изделий, производимых некоторым предприятием, а параметрами bi, –
количество ресурсов i-го типа, используемых для изготовления изделий.
Через aij обозначено количество ресурсов i-го типа, идущее на
изготовление одного изделия j-го вида, (j – прибыль от реализации одного
изделия j-го вида). Тогда исходная модель (3.28), (3.29) соответствует
задаче определения оптимального плана производства продукции,
обеспечивающего максимальную прибыль.
Теорема двойственности
 Пусть предприятие решило прекратить производство изделий и
продать ресурсы, идущие на их изготовление. Обозначим через цены
на единицу ресурсов i-го вида,
Цены на ресурсы должны
удовлетворять следующим двум условиям: во-первых, они нe должны
быть слишком высокими, иначе ресурсы невозможно будет продать; а
во-вторых, цены на ресурсы должны быть такими, чтобы прибыль от
их реализации была больше прибыли от реализации готовой
продукции. Первое условие выражается формулой (3.30), второе
условие – ограничениями (3.31). В левой части каждого из неравенств
(3.31) стоит прибыль от продажи ресурсов всех типов, идущих на
изготовление j -го изделия, в правой части – прибыль от продажи j-го
изделия,
Таким образом, двойственная задача (3.30) – (3.31)
соответствует следующей экономической проблеме: по каким
минимальным ценам следует продавать ресурсы, чтобы прибыль от
их реализации была больше прибыли, полученной от реализации
продукции, изготавливаемой с использованием этих ресурсов.
Значения переменных y1, y2,… ,ym часто называют теневыми ценами.
 Построение двойственной задачи позволяет глубже разобраться в
поставленной экономической проблеме.
Пример

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на изделия П2 не
превышает спроса на изделия П1 более, чем на 1 тыс. шт. Кроме того,
установлено, что спрос на изделия П2 не превышает 2 тыс. шт. в сутки.
Оптовая цена 1 тыс. изделий П1 равна 3 тыс. руб., 1 тыс. изделий П2 – 2 тыс.
руб. Какое количество изделий (в тыс. шт.) должна производить фабрика
ежесуточно, чтобы доход от реализации был максимальным?

Математическая модель задачи (в канонической форме):
 Исходная и оптимальная симплекс-таблицы решения задачи
симплекс-методом имеют вид:
 Двойственная к ней имеет вид:
 Оптимальными планами этих задач являются соответственно
векторы:
 На основании второй теоремы двойственности
 Из этой формулы следует, что двойственная переменная ∗yi является
коэффициентом при bi и, следовательно, показывает, как изменится
целевая функция при изменении запаса i-го продукта (ресурса) на 1. В
литературе двойственные переменные принято называть двойственными
оценками, или теневыми ценами.
 Анализируя вектор ∗ Y , придем к таким выводам. При увеличении запаса
продукта А на 1 т доход от реализации продукции увеличится на 1/3 тысяч
рублей, а при увеличении запаса продукции В на 1 т доход увеличится на
4/3 тысячи рублей. Изменение же запаса С или изменение в соотношениях
спроса не приведут к изменению дохода. Продукты А и В при этом
являются дефицитными, а продукт С – не дефицитным.
 Выясним теперь смысл дополнительных двойственных переменных. В
нашей задаче обе основных переменных Х1* и Х2* вошли в оптимальный
план, поэтому дополнительные переменные У6* и У7* равны нулю. Это
следует из теоремы 4 (о дополнительной нежесткости). Если бы какая-то
из основных переменных исходной задачи оказалась равной нулю (данная
продукция нерентабельна), то положительное значение соответствующей
дополнительной переменной двойственной задачи указало бы, на сколько
уменьшится ЦФ при принудительном выпуске единицы данной
продукции.

Исследуем теперь, как влияет на полученный оптимальный план изменение
величины прибыли от продажи единицы продукции. Допустим, что прибыль от
продажи единицы продукции П1 изменится на величину Δ С1 и станет

Тогда в оптимальной таблице решения исходной задачи симплекс-разности
будут иметь вид:

Полученный план ∗ X останется оптимальным при условии Δ(2) ≥ 0; j = 1,7 j , то есть
Решая эту систему неравенств, получим:

Это условие определяет пределы изменения Δ С1 , при которых сохраняется
полученный оптимальный план. Если от пределов изменения приращения Δ С1
перейти кпределам изменения самой величины С1 то получим:

Таким образом, при изменении С1 в пределах
будет по-прежнему выгодно
выпускать продукцию П1 в количестве 3,1/3тыс. шт. При этом значение ЦФ будет f ( ∗ X )
= 4/3×2 + 10/3 (3 + Δ С1) = 38/3 + 10/3 Δ С1.

Если выполнить аналогичные преобразования с С2, то получим:

–1/2 ≤ Δ С2 ≤ 4, откуда 3/2 ≤ С2 ≤ 6 пределы изменения С2, при которых будет выгодно
выпускать продукцию П2 в количестве 1, 3/1 тыс. шт. Полученные пределы изменения Δ
Сj – это, кроме того, пределы справедливости дополнительных двойственных оценок.

Рассмотрим влияние на полученное решение изменения запасов продуктов (ресурсов).
Пусть запас исходного продукта А равен (6 + Δ А). Вектор свободных членов (0) b = (0) X
N имеет вид:
Перейдя к пределам изменения А, получим: 4 ≤ A ≤ 7.
Найденные пределы показывают границы, в которых может изменяться
запас продукта А, чтобы номенклатура выпускаемой продукции
(структура оптимального плана)осталась без изменений. Это означает,
что при изменении запаса продукта А в найденных пределах
оптимальным, то есть обеспечивающим наибольшую прибыль,
является выпуск и продукции П1, и продукции П2, только в других
количествах. Продукцию П1необходимо будет выпускать в таком
количестве:

Следовательно, если увеличить запас продукта А на 1 т ( Δ А = 1), то для обеспечения
максимизации прибыли выпуск продукции П1 целесообразно уменьшить до X1*= 3 т, а
выпуск продукции П2 – увеличить до Х2*= 13 т. Доход от реализации продукции
станет равным f ( ∗ X ) = 13 тыс. руб. Полученные пределы изменения правых частей
уравнений исходной задачи − это и есть пределы справедливости двойственных
оценок.

Анализ решения ЗЛП на основе отчётов MS EXCEL

Рассмотрим следующую ЗЛП:
f (x) = 7,5х1 + 3х2 + 6х3 + 12х4→max;
2х1 + х2 + 0,5х3 + 4х4 ≤ 2400;
х1 + 5х2 + 3х3 ≤ 1200;
3х1 + 6х3 + х4 ≤ 2000;
x1,2,3,4 ≥0.

Начнём с отчёта результатов.

Приведём его вид:
 Рассмотрим отчёт по устойчивости:
 Нормированная, или, редуцированная, стоимость (от английского cost
reduction -уменьшение затрат) представляет собой дополнительные
двойственные переменные. Они показывают, на сколько по модулю
уменьшится ЦФ при принудительном выпуске единицы данной
продукции. В нашем примере нормированная стоимость по продукту А
не равна нулю. Следовательно, если мы будем принудительно выпускать
единицу продукта А, то ЦФ уменьшится на 0,062. Другими словами,
выпуск продукта А является нерентабельным (неприбыльным).
 Допустимое увеличение показывает, на сколько максимально
можно увеличить коэффициент ЦФ (цену продукта), чтобы
структура оптимального плана осталась прежней. Допустимое
уменьшение, наоборот, показывает, на сколько можно
максимально уменьшить коэффициент ЦФ, чтобы структура
оптимального плана осталась прежней. Например, в нашей задаче,
чтобы выпуск продукта А оставался нерентабельным,
максимально допустимое увеличение его цены составляет
приблизительно 0,06. Допустимое же уменьшение представляет
собой огромное число. Это понятно, т.к., ещё больше уменьшив
цену нерентабельного продукта, сделать его рентабельным
невозможно.
 Теневая цена в отчётах Excel представляет собой двойственные
переменные. Они показывают, как изменится целевая функция при
изменения запаса ресурса на единицу. Понятно, что если ресурс
использован полностью, то его теневая цена положительна. Например,
если мы увеличим запас ресурса I на единицу, то ЦФ возрастёт на 2,628
(ресурс I является самым приоритетным). Допустимое увеличение и
уменьшение показывают границы, в которых могут изменяться ресурсы,
чтобы структура оптимального решения, т.е. номенклатура выпускаемой
продукции, остались без изменений.
 Рассмотрим отчет по пределам:
 В отчёте указаны значения ЦФ при выпуске данного типа
продукции на нижнем и верхнем пределах. Так, значение ЦФ
6971,901 соответствует тому, что продукт С не выпускается.
 Отчёты Excel обеспечивают всей необходимой информацией
для проведения полного анализа линейной модели.
Спасибо за внимание!