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1 La lezione di oggi Il comportamento microscopico dei gas Il 1 principio della termodinamica 2 Equazione di stato dei gas Applicazioni dell’equazione di stato La teoria cinetica dei gas Il 1 principio della termodinamica 3 Equazione di stato dei gas ideali Gas ideale: non ci sono interazioni tra le molecole Condizioni standard ( T = 20 oC, P= 1 atm ) Gas reale in condizioni standard = gas ideale Se voglio aumentare la pressione P… Aumento la temperatura a V costante Aumento il numero di molecole (N) Equazione di stato dei gas perfetti Diminuisco il volume (V) Pk NT V 4 Equazione di stato dei gas ideali Equazione di stato dei gas perfetti PV N kT Pk NT V k 1.38 10 -23 J/K Costante di Boltzmann N: numero di molecole di gas ( massa) T in K, P in Pa, V in m3 PV nR T n: numero di moli di gas ( massa) T in K, P in Pa, V in m3 R kN Avogadro (1.38 10 -23 J/K)(6.022 10 molecole/m 23 ole) 8.31 J/(mole K) 5 Moli e massa molecolare o o o o o Unità di massa atomica (u, o uma) è ottenuta assegnando arbitrariamente 12 u al 12C 1 u = 1 uma = 1.665.10-27 kg Una mole (o grammo-molecola) numero di Avogadro di quantità elementari (atomi, molecole,....) Una mole contiene tante quantità elementari quante ce ne sono in 12 grammi di 12C Una mole è il numero di grammi di sostanza uguale alla massa molecolare espressa in uma Problema Calcolare la massa di una molecola di ossigeno O2 m M molecolare ossigeno N Avogadro 32.0 10 6 . 02 10 23 -3 kg/mole molecole/m massa di 1 mole = 32.10-3 kg 5.32 10 - 26 kg/molecol a ole 6 Equazione di stato dei gas Applicazioni dell’equazione di stato La teoria cinetica dei gas Il 1 principio della termodinamica 7 Trasformazioni isoterme Parto dall’equazione di stato dei gas PV n R T Ipotesi: T costante (trasformazione isoterma) Massa costante Legge di Boyle P iniziale V iniziale P finale V finale Nel piano PV le isoterme sono iperboli PV = k 8 Trasformazione isobara Parto dall’equazione di stato dei gas PV nR T Ipotesi: P costante (trasformazione isobara) Massa costante Legge di Charles V iniziale T iniziale V finale T finale Nel piano VT le isobare sono rette V=k.T T = 0, V = 0 T = 0 zero assoluto 9 Equazione di stato dei gas Applicazioni dell’equazione di stato La teoria cinetica dei gas Il 1 principio della termodinamica 10 La teoria cinetica dei gas Pressione e temperatura grandezze macroscopiche Posizione o velocità di una molecola grandezze microscopiche Come faccio a misurarle ? o Macroscopiche: manometro e termometro o Microscopiche: ??? o Teoria cinetica dei gas: gas insieme di molecole grande numero di molecole identiche ogni molecola ha massa m ed è puntiforme si muovono in modo casuale e obbediscono alle leggi di Newton solo urti elastici 11 Teoria cinetica e pressione dei gas Una molecola di massa m, con velocità v, in un contenitore di volume V urta contro la parete Quantità di moto Prima dell’urto p i, x - mv x Dopo l’urto p f, x mv x Variazione p x 2mv x F parete su molecola causa la p Tempo necessario a fare andata e ritorno F 2mv 2L/v x x mv L 2 x t 2L vx Pressione media 2a legge di Newton P F A 2 x F mv /L L 2 p F t p t mv 2 x V12 Teoria cinetica e pressione dei gas Distribuzione delle velocità delle molecole di un gas a due temperature (Distribuzione di Maxwell) Velocità più probabile Generica velocità in 3 dimensioni (v ) m (v x ) m (v y ) m (v z ) m 2 Non ci sono direzioni privilegiate (v ) m (v x ) m (v y ) m (v z ) m 3 (v x ) m 2 Nella pagina precedente avevamo ottenuto 2 2 P 2 mv V 2 x 2 Per N molecole P 2 2 2 3 m(v ) m V 2 (v x ) m 2 2 N 2 (v x ) m (v y ) m (v z ) m ovvero 1 2 2 N 3V Km 1 3 2 (v ) m 13 Energia cinetica e temperatura Equazione dei gas perfetti Pressione nella teoria cinetica dei gas + PV N kT P 1 N m(v 3 PV 1 Nm(v 3 2 2 ) m NkT 3 N( 1 mv ) m NkT L’energia cinetica media delle molecole di un gas è proporzionale alla Temperatura )m V Km ( 2 2 2 Km 3 1 2 2 mv ) m kT 2 Velocità quadratica media v qm (v ) m 2 3kT m 3kT (M/N A ) 3N A kT M 3RT M 14 Esercizio Qual è l’energia cinetica media di una molecola di gas a 37 C ? Km 3 kT 2 3 (1.38 10 - 23 2 J/K)(273 37 K) 6 . 4 10 21 J Calcolo l’energia cinetica media di una mole dello stesso gas alla stessa temperatura. K 1 mole di gas m NA( 3 kT) 2 (6.02 ×1023 molecole/mole)(6.4 ×10-21 J/molecola) = 3900 J/mole 3700 J sono tanti o pochi ? Prendiamo una pietra di 1 kg e vediamo a che velocità devo lanciarla per avere questa K ? v 2K m 2 × 3900 = 1 88 m/s 320 km/h 15 Esercizio Qual è la velocità quadratica media delle molecole presenti nell’aria (O2 e N2) a temperatura ambiente (20 C) ? m(O v qm m(N v qm -26 -27 ) M (u.m.a.) 5 . 3 10 kg ( 32)(1.66 10 kg) 2 O2 3kT m 3(1.38 10 -23 J/K)(273 20) 5.3 10 - 26 480 m/s 1700 km/h kg -26 -27 ) M (u.m.a.) 4 . 6 10 kg ( 28)(1.66 10 kg) 2 N2 3kT m 3(1.38 10 -23 J/K)(273 20) 4.6 10 - 26 510 m/s 1800 km/h kg 16 Energia interna di un gas ideale Energia interna: somma dell’energia potenziale e cinetica delle molecole che la compongono U = Si (Ui + Ki) Gas perfetto: urti elastici Ui = 0 Ki = 3/2 kT U 3 2 Numero di molecole NkT 3 N 2 NA N A kT 3 nRT 2 Numero di moli 17 La legge di Dalton (o delle pressioni parziali) Considero una miscela di due gas perfetti I due gas non interagiscono/reagiscono tra di loro Le molecole non interagiscono tra di loro La pressione è data dagli urti delle molecole sulle pareti Il contributo alla pressione totale è indipendente per i 2 gas Gas 1 P1 N1 k T Gas 2 P2 N2 k T Gas (1+2) V P totale P1 P 2 V Ptotale = (N1 + N 2 ) k T V Legge di Dalton In una miscela, ciascun gas esercita la pressione che eserciterebbe se occupasse da solo tutto il volume 18 Esercizio Un pneumatico viene gonfiato a una pressione relativa di 200 kPa a T=10 C. Dopo un tragitto di 100 km, la T sale a 40 oC. Qual è ora la pressione del pneumatico ? n costante (non aggiungo/tolgo aria) Condizioni a contorno PV n R T V costante (se varia il volume, varia di una quantità trascurabile) Equazione di stato dei gas perfetti P iniziale T iniziale P finale T finale 19 Esercizio PV n R T Equazione di stato dei gas perfetti P iniziale T iniziale P finale T finale P e T assolute !!! P finale P P T finale T iniziale P iniziale Pfinale - Piniziale Piniziale (273 40) K (273 10) K 3.01 10 Pa 3.3 10 5 Pa 330 kPa 5 3 . 30 10 - 3.01 10 5 3.01 10 5 5 29 kPa 0.10 10% 301kPa La pressione è aumentata del 10% (non trascurabile !) 20 Equazione di stato dei gas Applicazioni dell’equazione di stato La teoria cinetica dei gas Il 1 principio della termodinamica 21 Il primo principio della termodinamica Voglio applicare la legge di conservazione dell’energia Il calore è una forma di energia che viene scambiata Energia interna: somma di energie potenziale e cinetica di un sistema Caso 1: nel sistema entra una quantità di calore Q senza che venga compiuto del lavoro U f = Ui + Q t = t0 t = t1 t = t2 U = Uf - Ui = Q Convenzione importante Il sistema acquista calore: Q > 0 Il sistema cede calore: Q<0 U f > Ui U f < Ui 22 Il primo principio della termodinamica Caso 2: il sistema compie un lavoro sull’ambiente esterno N.B. il sistema è termicamente isolato Q=0 Uf = Ui - L t = t0 t = t1 t = t2 U = Uf - Ui = -L Convenzione importante Il sistema compie lavoro: Compio lavoro sul sistema: L>0 L<0 In generale, se Q e L sono entrambi diversi da 0, vale il Primo principio della termodinamica U = Q - L 23 Il primo principio della termodinamica U, Q, L Q energia che fluisce per contatto termico L energia trasferita per azione di una forza che agisce su una distanza U dipende dallo stato del sistema (T, P, V) U FUNZIONE DI STATO Q e L dipendono da come il sistema cambia da uno stato all’altro 24 Trasformazioni reversibili e irreversibili Processi quasi-statici: sono molto lenti Il sistema è sempre in equilibrio con l’ambiente circostante Il valore di P e T è sempre uniforme in tutto il sistema Sistemi privi di attrito e forze dissipative Questi processi sono reversibili torno allo stato iniziale Nella realtà tutti i processi sono irreversibili (attrito,.....), ma noi faremo sempre l’approssimazione di processi reversibili 25 Trasformazione isobara P = cost Il gas si espande Il gas compie un lavoro L sul pistone L F (x f - x i ) P A (x f - x i ) P (Ax f - Ax i ) P (V f - V i ) L = area sotto la curva che rappresenta la trasformazione nel diagramma PV P V Primo principio della termodinamica Q = U + P. V 26 Trasformazione isocora Il recipiente contiene un gas L F (x f - x i ) 0 Area = 0 Fornisco una quantità di calore Q Il volume rimane costante Trasformazione isocora L = 0 Primo principio della termodinamica U = Q 27 Trasformazione isoterma Espansione isoterma Equazione dei gas perfetti PV N kT T costante P V costante P costante V Nel piano PV la trasformazione è descritta da un’iperbole Vf Vf nRT ln L NkT ln V V i i Il lavoro L è l’area sottesa dalla curva Nota. Se comprimo il gas, Vf/Vi<1, ln(Vf/Vi )<0, L<0, compio lavoro sul 28 sistema Trasformazione adiabatica Non ho scambio di calore con l’esterno Q=0 Compressione adiabatica Una compressione veloce è una buona approssimazione di adiabatica Espansione adiabatica PV costante 29 Il primo principio della termodinamica Trasformazione Grandezza costante In base al primo principio: Isobara P = costante Q = U + L= U + PV V = costante V = 0 quindi L = 0 Q = U Isoterma T = costante T = 0 quindi U = 0 Q=L Adiabatica Q=0 U = -L Isocora 30 Esercizio n. 72, pag. T124 Walker Un cilindro dotato di un pistone mobile contiene 2.50 moli di argon a temperatura costante di 295 K. Quando il gas viene compresso isotermicamente, la sua pressione aumenta da 101 kPa a 121 kPa. Trovare: 1. Il volume finale del gas 2. Il lavoro compiuto dal gas 3. La quantità di calore fornita al gas 31 1. Il volume finale del gas Equazione dei gas perfetti PV n R T Vf nR T Pf 2.5 (8.31) (295) 121 10 3 R 8.31 J/(mol K) 5.1 10 -2 m 3 2. Il lavoro compiuto dal gas Vf Pi nRT ln L nRT ln V P i f Pi (2.5) (8.31) ln L nRT ln P f 101 10 121 10 3 3 - 1.1 kJ 32 3. La quantità di calore fornita al gas 1 principio della termodinamica U = Q - L Q U L 0 (-1.1 kJ) - 1.1 kJ 33 Riassumendo La conservazione dell’energia porta alla formulazione del 1 principio della termodinamica 34