Transcript ECO Systèmes Christine Garcia, Jean-Marc Fedou I3S (Nice, Sophia-Antipolis)

ECO Systèmes
Christine Garcia, Jean-Marc Fedou
I3S (Nice, Sophia-Antipolis)
PLAN
• Permutations à motif exclu
• ECO systèmes et règles de
succession
• Systèmes algébriques
• Règles de succession signées
Permutation
Let
be the set of permutations on
For example
Arbre de génération
123
12
132
312
1
213
21
231
312
1234
1243
1423
4123
1324
1342
1432
4132
3124
3142
3412
4312
2134
2143
2413
4213
2314
2341
2431
4231
3124
3142
3412
4312
Pattern
For a permutation  of k positive integers, the
pattern of  is defined as a permutation on
Sk obtained from  by substituting the
minimum element by 1, the second minimum
element by 2, ..., and the maximum element by
k .
Restricted Permutation
For a permutation
and a permutation
, we say that is -avoiding if and
only if there is no subsequence
whose pattern is . We write
of -avoiding permutations of
for the set
.
• For example
512673849 avoids 321 pattern.
But
512673849 contains 3412 pattern,
since
512673849;
512673849.
512673849;
• For example
Stack Sorting Problem (Knuth, 1960’s)
312-avoiding
8 7 6 5 4 3 2 1
Arbre de génération
123
12
132
312
1
213
21
231
321
1234
1243
1423
4123
1324
1342
1432
4132
3124
3142
3412
4312
2134
2143
2413
4213
2314
2341
2431
4231
3214
3241
3421
4321
231
21
213
1
132
12
312
123
2341
2314
2143
2413
2134
1342
1324
3142
3412
3124
1243
1423
4123
1234
Question (Herbert Wilf, 1990’s)
How many permutations of length
do avoid a given subsequence
of
length k ?
For k=3
In 1972, Hammersley gave the first explicit
enumeration for
In 1973, Knuth first proved that
is enumerated by Catalan numbers.
For k=4
J. West (1990), Z. Stankova (1990’s) classified
the permutations with forbidden patterns of
length 4, i.e.
1234, 1243, 2143, 1432
1342, 2413
1324
For k=4
1234, 1243, 2143, 1432
In 1990, Ira M. Gessel gave the generating
function by using symmetric functions.
1342, 2413
In 1997, M. Bόna gave the exactly formula.
1324
D. Marinov & R. Radoicic (2003) gave the first
few numbers.
Open Problems
Conjecture ( Stanley and Wilf, 1990’s)
For each pattern , there is an
absolute constant
so that
holds.
2 (3n)! /(n+1)!/(2n+1)!
• Cartes planaires pointées non séparables
Tutte (1963)
• Permutations triables par deux piles et
Sn(2341,35241)
– Zeilberger
– West
– Dulucq, Gire, Guibert, West
Cartes planaires pointées non
séparables
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PLAN
• Permutations à motif exclu
• ECO systèmes et règles de
succession
• Systèmes algébriques
• Règles de succession signées
ECO Systèmes
Enumerating Combinatorial Object
•
•
•
•
E. Barcucci, A. Del Lungo, E. Pergola,
R. Pinzani (1997)
Construction récursive
Séries génératrices
Bijections
Génération aléatoire uniforme
Méthode ECO
Pinzani, Barcucci (1997)
• On={objets de taille n}
• Opérateurs
– T : On
On+1
– Pour chaque Q de On+1, il existe un P de On tel
que Q est dans T(P).
– Si P1 et P2 sont deux objets distincts de On ,
alors T(P1)
T(P2) = Ø
U
Arbres binaires complets
Définition récursive classique
ECO système
1
2
3
4
5
Sites
actifs
7
6
1
2
3
5
4
6
7
ECO système
k Sites actifs
…
(k)
(2)
ECO système
k Sites actifs
…
(k)
(k+1)
Arbres binaires complets
…
(k)
k Sites actifs
(2) (3)…(k+1)
2
2
3
2
2
3
3
4
2
3
2
3
4
2
3
2
3
4
2
3
4
5
(2)
(k)  (2)(3)…(k)(k+1)
Règle de succession
• Axiome : un entier a
• Règle : une fonction successeur de N dans
P(N)
• On s’intéresse à l’ensemble des mots de N*
– qui commencent par l’axiome
– où chaque lettre appartient au successeur de la
précédente
• ECO systèmes et Bijections
231
21
213
1
132
12
312
123
2341
2314
2143
2413
2134
1342
1324
3142
3412
3124
1243
1423
4123
1234
231
21
213
1
132
12
312
123
2341
2314
2143
2413
2134
1342
1324
3142
3412 2
3124
1243
1423
4123
1234
2
2
3
2
3
3
4
2
3
2
3
4
2
3
2
3
4
2
3
4
5
(2)
(k)  (2)(3) Ι (k)(k+1)
• Règles de succession et Séries
génératrices
Séries génératrices
• Si an désigne le nombre d’objets de « taille » n, la série
génératrice des objets selon le paramètre « taille » est
la fonction
f(x) =

• Pour deux paramètres
f(x,s) =
n≥0

an xn
k xn
a
s
n≥0, k≥0 n,k
ECO et séries génératrices
An,k nombre d’arbres à
n sommets internes
k sites actifs
x ns k
F( x, s ) =
n k
A
x
 n,k s
n,k
x n+1 s 2+ x n+1 s 3+…+ x n+1 s k+1
x n+1 s 2
(1-s k)
1-s
2
2
xs
xs
2
F(x, s) = xs +
F(x,1) F(x, s)
1- s
1-s
x 1s2
x2(s2 +s3)
x3(2s2 +2s3 +s4)
Catalan
x1
2x2
5x3
14x3
Problème (R.Pinzani)
Quels sont les systèmes ECO qui donnent :
• Séries génératrices Rationnelles
• Séries génératrices Algébriques
• Séries génératrices Transcendantes
?
On Generating Functions of Generating Trees
C.Banderier, M.Bousquet-Mélou, A. Denise,
P. Flajolet, D.Gardy, D.Gouyou-Beauchamps (1999)
Séries génératrices Rationnelles
• Les séries génératrices pour les règles ECO
finies sont rationnelles
• Exemple :
(1)(2),
(2)(1)(2)
Fibonacci
Séries génératrices Algébriques
Transformations finies de (k)  (2)(3)…(k)(k+1)
(2), (k)(2)(3)…(k)(k+1)
(1), (k)(1)(2)…(k-1)(k+1)
(3), (k)(3)(4)…(k)(k+1)2
(3), (k)(3)(4)…(k)(k+1)(k+2)
Catalan
Motzkin
Schröder
Arbres ternaires
Séries génératrices exponentielles
(2), (k)(k-1) k-1 (k+1)
(2), (k)(k)(k+1) k-1
(2), (k)(k+1)k
Involutions
Arrangements
Permutations
Séries génératrices exponentielles pour les
ECO systèmes signés
Sylvie Corteel (2000)
• Règles de succession et Génération
aléatoire uniforme
ECO et
Génération aléatoire
(2) ,
(k)
(2) (3)…(k+1)
2
2
5
5
14
2
2
9
14
3
3
5
2
9
3
9
4
9
3
2
3
4
1
2
1
2
1
3 1
1 3
3
1
12
2
1
1 3
3
1
1 3
4
1 1
4 4
1
4
2
3
2
3
4
2
3
2
3
4
2
3
4
5
Problèmes ouverts
• Equivalence de règles de succession
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• Forme normale
QuickTime™ et un
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