Transcript ALGEBRA DE BOOLE Ingeniería de Ejecución en Sistemas Computacionales SISTEMAS DIGITALES

Ingeniería de Ejecución en Sistemas Computacionales
ALGEBRA DE BOOLE
Autor: J.LL.A / F.A.R
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Ingeniería de Ejecución en Sistemas Computacionales
Introducción
• El álgebra booleana define constantes y funciones
para describir sistemas binarios. Luego describe
cierto número de teoremas que se pueden usar
para manipular expresiones lógicas.
• CONSTANTES BOOLEANAS: consisten en "0" y
"1". El primero representa el estado falso y el
segundo el estado verdadero.
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Ingeniería de Ejecución en Sistemas Computacionales
• VARIABLES BOOLEANAS: Son magnitudes que
pueden tomar diferentes valores en diferentes
momentos. Pueden representar señales de entrada,
de salida o intermedias y reciben nombres que de
ordinario consisten en caracteres alfabéticos como
"A", "B", "X" o "Y". Las variables sólo pueden
tomar los valores "0" ó "1".
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Ingeniería de Ejecución en Sistemas Computacionales
• FUNCIONES BOOLEANAS: Cada una de las
funciones
lógicas
elementales
está
representada dentro del álgebra booleana
mediante un símbolo único, como se muestra
en la siguiente tabla:
Función Símbolo
Ejemplo
AND
Punto  C  A  B  AB
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OR
Más
(+)
C  AB
NOT
Barra

CA
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Postulados Básicos
Los postulados básicos utilizados en el álgebra
booleana son los siguientes:
x 1 si x  0
Postulado 1:
Postulado 2:
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x 0 si x  1
00  0
11  1
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Postulado 3:
Postulado 4:
11  1
00  0
1 0  0 1  0
0 1  1 0  1
0 1
Postulado 5:
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1 0
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A
B
A B
AB
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
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Teoremas Booleanos
• El álgebra booleana define varios teoremas que
se pueden usar para cambiar la forma de una
expresión.
• Estos teoremas son los siguientes:
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Teorema 1:
Teorema 2:
0 x  0
1 x  1
Si x  0  0  0  0 Dual:
Si x  0  1  0  1
Si x  1  0  1  0
Si x  1  1  1  1
0 x  0
1 x  x
Si x  0  1  0  0
Dual:
Si x  1  1  1  1
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Si x  0  0  0  0
Si x  1  0  1  1
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Teorema 3:
Teorema 4:
Teorema 5:
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xx  x
xx  x
Si x  0  0  0  0 Dual:
Si x  0  0  0  0
Si x  1  1  1  1
Si x  1  1  1  1
x x  0
Si x  0  0  1  0 Dual:
Si x  1  1  0  0
x y  y x
Dual:
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xx  x
Si x  0  0  1  1
Si x  1  1  0  1
x y  yx
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Teorema 6:
Dual:
x  y  z   y  x z  x  y  z 
x  y  z   y  x z  x  y  z 
x  y  z  x   y  z  x  y  z
Teorema 7:
x  y  ......  z  x  y  ....z
Dual:
x  y  ...  z  x  y  ......  z
Teorema 8:
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f ( x, y,.....z, , )  x, y,....., z, , 
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Teoremas Simplificatorios
Teorema 9:
xy  xz  x( y  z )
Dual:
 x  y  x  z   x  yz
Teorema 10:
xy  xy  x
Dual:
 x  y x  y  x
Teorema 11:
x  xy  x  y
Dual:
x x  y  xy
Teorema 12:
x  xy  x
Dual:
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

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Teorema 13:
Dual:
xy  xz  yz  xy  xz
 x  y x  z y  z   x  y x  z
Ejemplo: Simplificar la siguiente expresión
f  ABC  CE  BCD  D E
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Desarrollo
f  ( A  B  C )(C  E )( B  C  D)( D  E )
f  ( B  C  AD)(CD  CE  ED  EE )
f  ( BC D  BCE  B ED)  (C CD  C CE  CED)  ( ADC D  ADCEEEAD
 ED
0 )
f  B ED  CD  CE
f  (C  D)(C  E )( B  E  D)
f  (C  E D)( B  E  D)
f  CB  CE  C D  E DB  EED  E D D
f  EC  E D  C D  BC
f  EC  E D  BC
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Formas Especiales de Expresiones
Booleanas
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Formas Canónicas
• SUMA EXPANDIDA DE PRODUCTOS: En este caso
para aplicar la expansión se aplica el teorema 10
xy  xy  x
Cada uno de los términos en forma canónica expresado en
suma (OR de AND) se llama Mintérmino y se puede expresar
en forma simplificada. Si en este caso a la variable natural se
le asigna el valor lógico uno y la variable complementada el
valor lógico cero.
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Ejemplo:
f  AC  A D
AC  ACD  AC D
AD  ADC  ADC
f  ACD 
ACD
 ACD  ACD  ACD
míntér min o
f  ACD  AC D  AC D  ADC
f  111  110  010  000
7
6
2
0
f  min(0,2,6,7)
f ( A, C, D)   (0,2,6,7)
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Formas Canónicas
• PRODUCTO EXPANDIDO DE SUMAS: Esta forma
de expresar una función booleana se basa en el
dual del teorema 10
 x  y x  y  x
Cada uno de los términos en forma canónica expresado en
producto (AND de OR) se llama Máxtermino y se puede
expresar en forma simplificada. Si en este caso a la variable
natural se le asigna el valor lógico cero y la variable
complementada el valor lógico uno.
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Ejemplo:
f  ( A  B)( A  C )  f ( A, B, C )
A  B  ( A  B  C )( A  B  C )
A  C  ( A  B  C )( A  B  C )
f  (A  B  C) (A  B  C)(A  B  C)
max tér min o
f  ( A  B  C )( A  B  C )( A  B  C )
f  (000) (001) (011)
0
1
3
f ( A, B, C )  máx( 0, 1, 3)
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Formas Mínimas
1.
Mínima Suma Productos
2.
Mínima Productos de Sumas
•
En este caso interesa que la función booleana sea lo más
pequeña posible, es decir que si está expresada en la
forma OR de AND el número de sumandos y el tamaño
de cada sumando debe ser mínimo.
•
Si la función está expresada en la forma AND de OR
entonces el tamaño y el número de factores debe ser
mínimo.
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Métodos de Simplificación de
Expresiones Booleanas
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Formas Canónicas
• MÉTODO ALGEBRAICO:Corresponde
a los
casos analizados anteriormente.
• MAPAS
Los mapas o
diagramas de Karnaugh representan una técnica
gráfica para simplificar las ecuaciones de
Boole. Es uno de los métodos más usuales para
ecuaciones de hasta 4 ó 5 variables y se basa en
el teorema 10:
DE
KARNAUGH:
xy  x y  x
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Introducción Mapa de Karnaugh
• Los Mapas de Karnaugh, como se dijo
anteriormente, se utilizan
para simplificar
funciones booleanas. El número de casilleros que
tendrá el mapa dependerá de la cantidad de
variables que tenga la función.
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f  A B
Ejemplo:
n
Nº de variables: 2
n
Nº Variables
2
2
Nº Casilleros: 2 =2 =4
Variables Binarias
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A
B
0
1
0
1
• Dentro de cada casillero del mapa se debe poner un uno (1)
o un cero(0) lógico dependiendo si la función está
expresada como OR de AND o AND de OR.
• Para el caso de los mintérminos corresponde un “1” en el
casillero, por el contrario, para cada maxtérmino
corresponde un “0” al casillero
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Mapa para 3 Variables
B
C
C
B
00
A
01
11
10
A
0
1
Código Gray
0 0
0
0 1
1
1 1
1 0
Código Gray
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Mapa para 4 Variables
D
C
B
A
00 01 11 10
00
01
11
10
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Representación de Variables en Mapa de Karnaugh
D
C
B
A
00
01
11
10
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00 01 11 10
0 4 12 8
1
5
13
9
3
7
15 11
2
6
14 10
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• Hay que hacer notar que antes de realizar la
representación de las variables de una función en
el Mapa de Karnaugh se debe definir las variables
más significativas (MSB) y la menos significativa
(LSB)
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Ejemplo: Representar en mapa de Karnaugh
f  min 0,3,5,6,7,9,12
D
C
B
A
00
01
11
10
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f ( A, B, C , D) 
00
1
01
0
11
1
10
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
SISTEMAS DIGITALES
D  MSB
A  LSD
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Ingeniería de Ejecución en Sistemas Computacionales
• Existen algunos casos en que el valor lógico que
se debe asignar a los casilleros del mapa no está
definido y nosotros podemos asignar el valor
lógico “1” ó “0” según la conveniencia para la
simplificación. Estás condiciones reciben el
nombre de “Superfluas” o “No Importa” y se
designan con los simbolos f o x
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Ejemplo: Representar en Mapa la siguiente función
f  min 0,2,3  f 4,6
B
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C  MSB
f ( A, B, C ) 
A  LSD
C
A
0
1
0 0
1
X
0 1
0
0
1 1
1
0
1 0
1
X
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Definición e Interpretación Mapas de
Karnaugh
• Un diagrama de Karnaugh
representa una ecuación
de Boole de una forma
bastante similar a una
tabla de verdad.
• Ejemplo 1:
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A
0
0
0
0
1
1
1
1
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B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Z
0
0
0
1
0
1
0
0
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AC
0 1
B
00 0 0
01 0 1
10 0 0
11 0 1
Z 1  ABC  ABC
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• Del ejemplo anterior se deduce que para una
función booleana de 3 variables se necesita un mapa
de 8 casilleros. En cada casillero se representa un
"1" lógico para cada mintérmino y un "0" lógico
para cada máxtermino.
• Debe notarse que la asignación de las variables en
los casilleros tanto en el sentido vertical como
horizontal corresponden al código Gray.
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Método de Simplificación
• Para simplificar una expresión booleana mediante
el Mapa de Karnaugh se deben agrupar los
casilleros que contienen 1 adyacente y en un
número tal que sea potencia de 2 como agrupación
de mintérminos, de lo que resulta un factor
simplificado.
• Es posible representar esquemáticamente la
cantidad de variables eliminadas producto de la
agrupación:
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• 20 variables eliminadas = 0
• 21 variables eliminadas = 1
• 22 variables eliminadas = 2
• 23 variables eliminadas = 3
• 24 variables eliminadas = 4
• 25 variables eliminadas = 5
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•
Criterios de Agrupación:
1. La agrupación debe ser lo más grande posible
2.
Se debe tener el mínimo de agrupaciones
3.
Se agrupan los adyacentes en un número que sea potencia
de 2
•
Criterios de Adyacencia:
1.
Casilleros con un lado común
2.
Reflexión de acuerdo al Código Gray
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Simplificar el mapa:
A
C
B
0
1
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00
01
11
10
1
1
1
1
0
1
1
1
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Solución 1:
C
B
00
A
01
11
10
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
f 0
f0  C  B  A
f 1 = A + CB + CB + CB
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Solución 2:
C
B
00
A
01
11
10
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
f 0
f0  C  B  A
f1 = A + B + C
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• El ejemplo anterior demuestra que al no hacer
agrupaciones lo más grande posible se obtiene una
función correcta pero que no es la forma mínima
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