Transcript Turunan di Rn-1 - Blog Mahasiswa UI

Fungsi n Variabel
Limit dan Kekontinuan
Turunan Parsial
Aturan Rantai
Turunan Berarah dan
Vektor Gradien
Hanya digunakan di Universitas Indonesia
Mahasiswa mampu
1. Memodelkan suatu situasi nyata serta
menjelaskan makna setiap suku dalam
ekspresi fungsi tersebut.
2. Merepresentasikan sebuah fungsi dua
peubah sebagai grafik permukaan, dan
membuat sketsa kurva ketinggian dengan
bantuan TIK.
3. Memvisualisasikan grafik permukaan dan
kurva ketinggian secara tepat.
4. Menghitung turunan parsial dan gradien
5. Menggunakan gradien untuk mencari
bidang singgung, turunan berarah, dan
menginterpretasikan secara geometri
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Mahasiswa mampu:
6. Menggunakan aturan rantai untuk
mengevaluasi turunan fungsi n peubah.
7. Mencari dan mengklasifikasikan titik kritis
dari fungsi multivariabel dengan
menggunakan uji turunan kedua.
8. Menggunakan metode Lagrange untuk
memaksimumkan atau meminimumkan
fungsi multivariabel dengan kendala.
9. Menggunakan metode kuadrat terkecil
untuk melakukan prediksi.
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Fungsi dua variabel : adalah aturan f yang
mengaitkan setiap pasangan terurut
di
daerah asal D yang berupa bidang dengan
tepat sebuah bilangan real, ditandai oleh

Himpunan nilai-nilai f disebut jangkauan.
disebut variabel bebas fungsi dan z adalah
variabel terikat.

Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Tentukanlah daerah asal dari fungsi
.



Penyelesaian
Daerah asal dari f adalah
semua (x,y) sedemikian
sehingga y ^2 -x ≥0 dan
titik (2,0) tidak termasuk.
Dari ketaksamaan y^ 2- x
diperoleh daerah adadaaa .
Hanya digunakan di Universitas Indonesia
y x
2

Grafik fungsi dua variabel adalah gambar
dari persamaan
berupa
permukaan di ruang dengan koordinat
titiknya adalah
yang memenuhi
persamaan
.

Setiap titik
di daerah asal
berkorespondensi dengan tepat satu titik z.
Hanya digunakan di Universitas Indonesia
Sketsalah grafik dari



Penyelesaian :
Cari titik-titik potong bidang
terhadap sumbu-sumbu
koordinat Cartesius seperti
berikut :
Titik potong bidang dengan
sumbu x, y dan z adalah :
(0,0,6),(0,12,0),(18,0,0).
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Sketsalah grafik dari
.



Penyelesaian
Mula-mula gambar grafik ketika
x=0 (atau y=0) yaitu grafik
persamaan
.
Berikutnya gambar kurva untuk
nilai z tetap yang berbeda-beda,
misalnya z=1, z=2, z=3, dst.,
dengan daerah alas berbentuk
lingkaran
x^2/+/y^2/=/9-z/
z 9 y
2
z  8
z  7
z  6
z  5
z  4
z  3
z  2
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
z 1
z 9 y

2
Bila kita perhatikan kedua
grafik ini, grafik persamaan
menjadi grafik paraboloida.
z 8
z 7
z  6
z  5
z 4
z  3
z 2
z 1
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
.

Sketsalah grafik dari
.




Penyelesaian
Grafik ini ekivalen dengan grafik
persamaan 2x^2+y^2+2z^2=4 di
atas bidang z=0
Gambar dulu grafik ketika x=0
(atau y=0) yaitu grafik persamaan
y^2+2z^2=4
Gambar kurva untuk nilai z tetap
yang berbeda-beda dengan daerah
alas berbentuk elips
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia

Grafik persamaan f
menjadi grafik
elipsioda.
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia





Untuk menggambar permukaan dari fungsi
seringkali amat sukar.
Cara lain yang lebih mudah adalah dengan
menggambarkan peta kontur.
Setiap bidang z=c memotong permukaan di
suatu kurva.
Proyeksi kurva ini di bidang-xy disebut
kurva ketinggian.
Himpunan kurva-kurva ketinggian inilah
yang disebut sebagai peta kontur.
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia




Sketsalah peta kontur untuk
seperti pada
Contoh 3.
Penyelesaian:
Gambarlah kurva-kurva dari
pada ketinggian z=-4; -3; -2; 1; 0; 1; 2; 3; dan 4
Kurva-kurva ini berbentuk
lingkaran.
Peta kontur
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Peta Kontur
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia



Secara intuitif, ide limit
untuk fungsi dua variabel
serupa dengan ide limit pada
fungsi satu variabel.
Suatu nilai fungsi f(x,y)
dikatakan mendekati L
apabila (x,y) juga mendekati
titik (a,b).
Masalah : pada limit fungsi
dua variabel, (x,y)
menghampiri (a,b) dari
segala arah.
y
b
a
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
x

Fungsi f(x,y) dikatakan memiliki limit L apabila
(x,y) mendekati (a,b) jika:
untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian
sehingga untuk setiap (x,y) di daerah asal f yang
memenuhi
maka
Penulisannya adalah
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia

Misalkan
Maka:
dan

Jika m, n adalah bilangan bulat dan n≠0 , maka
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia


Bila sifat limit kita aplikasikan pada fungsi
polinom atau fungsi rasional, maka
menghitung limit fungsi apabila
dapat dilakukan dengan menghitung nilai
fungsi di
.
Contoh:
Carilah
Penyelesaian:
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
1. Carilah
2. Tunjukkan
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Tunjukkan bahwa f yang didefinisikan
sebagai
tidak memiliki limit di titik asal (0,0).
 Penyelesaian:

◦ Fungsi f memiliki nilai di seluruh bidang kecuali
di titik asal (0,0).
◦ Nilai f di sumbu-x, kecuali di titik asal, adalah
◦ Akibatnya,
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia

Nilai f di sumbu-y, kecuali di titik asal, adalah

Sehingga, nilai limit fungsi jika menuju titik asal
dari sumbu-y adalah

Jadi, fungsi f tidak memiliki limit di (0,0)
karena terdapat sembarang titik dekat (0,0) yang
bernilai 1, sedangkan titik lain yang juga dekat
dengan (0,0) memiliki nilai -1.
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Jika fungsi
memiliki nilai limit yang
berbeda dari dua lintasan
mendekati
,
 maka
tidak ada.

Hanya digunakan di Universitas
Indonesia

Tunjukkan bahwa fungsi
tidak memiliki limit di titik asal (0,0).

Petunjuk:
◦ Carilah nilai fungsi f di garis y=mx, dengan m
konstanta yang berubah-ubah dan x≠0.
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Untuk setiap nilai m , fungsi f bernilai
konstan sepanjang garis y=mx, x≠0 karena
Nilai limit fungsi f pada saat y=mx berubah-ubah
sesuai dengan nilai m, sebab
Akibatnya, f tidak punya limit di (0,0).
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia

Fungsi f dikatakan kontinu di titik
(a,b) jika
1. f terdefinisi di (a,b)
2.
ada
3.

Fungsi f dikatakan kontinu apabila f
kontinu di setiap titik di daerah asal.
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia




Secara intuitif, fungsi dua variabel yang kontinu
tidak memiliki lompatan, perubahan yang fluktuatif
atau perilaku tak terbatas di sekitar (a,b).
Fungsi polinom selalu kontinu di setiap di bidang.
Fungsi rasional juga kontinu di seluruh bidang
kecuali di titik-titik yang memberikan nilai
pembaginya sama dengan nol.
Dengan menggunakan sifat limit, kita dapat
mengatakan bahwa penjumlahan, pengurangan,
perkalian dan pembagian fungsi-fungsi kontinu
juga kontinu (dengan mengasumsikan bahwa
pembagi nol diabaikan).
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia



Bidang y=y0 (PQR)
memotong permukaan
z=f(x,y) di kurva z=f(x,y0)
(busur QR).
Kurva ini adalah grafik dari
fungsi z=f(x,y0) yang
merupakan fungsi satu
variabel x.
Turunan parsial f terhadap
x di titik (x0,y0) adalah
turunan biasa dari f(x,y0)
terhadap x di x0.
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia

1.
Nilai turunan parsial dari f
terhadap x pada titik (x0,y0)
memiliki arti geometri:
Kemiringan kurva z=f(x,y0)
(busur QR) di titik
pada bidang y=y0 (PQR).
ATAU
2. Laju perubahan dari f di
(x0,y0) terhadap x dengan
menganggap y tetap yaitu
y=y0.
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Turunan Parsial terhadap x
Turunan Parsial terhadap y

Turunan parsial f(x,y)
terhadap x pada titik
(x0,y0) adalah

Turunan parsial f(x,y)
terhadap y pada titik
(x0,y0) adalah

dengan asumsi limitnya
ada.

dengan asumsi limitnya
ada.
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Carilah nilai dari ∂f/∂x dan ∂f/∂y di (2,3) dari
Penyelesaian :
Untuk mencari ∂f/∂x,
pandang y sebagai
suatu konstanta
kemudian turunkan f
terhadap x :
Untuk mencari ∂f/∂y,
pandang x sebagai
suatu konstanta
kemudian turunkan f
terhadap y:
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
1.
Cari turunan parsial
dari
dan
2.
Tentukan
dari
dan
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
di




Pada fungsi satu variabel,jika fungsi terturunkan
di suatu titik maka fungsi tersebut kontinu di titik
tersebut.
Berbeda dengan fakta tersebut, pada fungsi dua
atau lebih variabel, turunan parsial terhadap x
dan terhadap y di suatu titik tidak menjamin
kekontinuan fungsi di titik tersebut.
Jika turunan parsial dari z=f(x,y) ada dan turunan
parsial tersebut kontinu di seluruh cakram yang
berpusat di (x0,y0), barulah kita katakan fungsi
kontinu di (x0,y0).
Perhatikanlah contoh berikut.Hanya digunakan di Universitas
Indonesia






Misalkan
dan
ada di titik asal (0,0), yaitu:
Nilai f sepanjang garis
titik (0,0).
Maka,
adalah 0, kecuali di
Karena
dan
tak kontinu di (0,0).
Namun demikian, turunan parsial
ada di titik asal (0,0).
maka f
dan
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia

Ada 4 macam turunan orde dua dari fungsi dua
variabel
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia

Carilah turunan parsial kedua dari fungsi
Penyelesaian :
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Pada fungsi dua variabel, keterturunan
juga berkaitan dengan eksistensi bidang
singgung.
 Namun, keterturunan fungsi dua
variabel memerlukan lebih dari sekedar
turunan parsial yang hanya menyatakan
perilaku f dari dua arah saja.
 Dengan demikian, eksistensi turunan
parsial tidak menjamin keterturunan
suatu fungsi dua variabel.

Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Aturan
Rantai
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Misalkan
carilah
dengan
,
Penyelesaian
Fungsi z ,x,dan y adalah fungsi polinom yang
terturunkan maka
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
,
Jika
dengan,
,
carilah ∂z/∂s dan ∂z/∂t.
Penyelesaian
Karena fungsi x dan y adalah fungsi
polinom yang terturunkan dan z adalah
fungsi logaritma yang juga terturunkan,
maka ∂z/∂s dan ∂z/∂t ada.
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Misalkan
mendefinisikan
secara implisit y sebagai fungsi dari x.
 Maka turunannya:

Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Carilah dy/dx dari persamaan berikut :
Penyelesaian
Kita turunkan kedua ruas secara implisit seperti
berikut.
Kemudian dengan menyelesaikan persamaan
tersebut kita peroleh nilai dy/dx,
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Turunan parsial fungsi dua variabel
terhadap-x memiliki arti geometri sebagai
laju perubahan f dalam arah i (arah sumbux)
 Bagian ini adalah mempelajari laju
perubahan f dalam sebarang arah vektor u


Limit ini, jika ada, adalah turunan berarah
dari f di p dalam arah u.
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Vektor u menyatakan garis L
pada bidang-xy yang melalui
(x0, y0).
 Bidang yang melalui L dan
tegak lurus bidang-xy
memotong permukaan
z=f(x,y) pada kurva C.
 Garis singgung di titik
(x0, y0, f(x0, y0)) memiliki
kemiringan Duf(x0, y0).
 Jadi, Duf(x0, y0) menyatakan
laju perubahan f pada arah u.

Hanya digunakan di Universitas
Indonesia


Misalkan
parsial di
dan
turunan
.
Gradien dari f di p adalah
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia

Gradien dari f di p ,
, adalah suatu
vektor

Di setiap titik
pada domain,
adalah vektor normal
terhadap kurva
ketinggian yang
melalui
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia

Perkalian dengan konstanta α

Penjumlahan dan pengurangan

Perkalian

Pembagian
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Misalkan f terturunkan di
 Maka f mempunyai turunan berarah
di p dengan arah vektor satuan


dan

yaitu
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia

Carilah turunan berarah dari


di titik
dengan arah
Penyelesaian
Gradien dari f adalah

Gradien f di

Jadi,
adalah
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia
Hanya digunakan di Universitas
Indonesia