Transcript Lectures
МГУ им. М. В. Ломоносова
Геологический факультет
Закон радиоактивного
распада
Юрий Александрович Костицын
[email protected]
Задачи (*.xlsx) и лекции (*.pptx) – на сайте
http://wiki.web.ru/wiki/Геологический_Факультет_МГУ:
Геохимия_Изотопов_и_Геохронология
Виды радиоактивного распада
- – распад.
40
40
Нейтрон распадается 19 K 20 Ca
на протон и электрон.
+ – распад.
40
40
K
Протон распадается 19
18 Ar
на нейтрон и
позитрон.
К – захват.
Нейтрон образуется
из протона и
электрона оболочки.
a – распад.
1.33 Мэв (89.52%)
0.49 Мэв ( 0.0001%)
40
19
40
K 18
Ar 1.51 Мэв (0.16%)
40
19
40
K 18
Ar 0.05 Мэв (10.32%)
147
62
Sm143
60 Nd a 2.23 Мэв
Уравнение радиоактивного распада
Ф.Содди и Э.Резерфорд (1902) установили экспериментально:
dN
N
dt
dN
N dt
ln N t C
C ln N0
(при
t 0)
т.е.
ln N t ln N0
ln N0 ln N t
N0 N exp( t )
N0 N exp( t )
Drad N0 N
N N0 exp( t )
Тогда
Drad N exp( t ) N
или
Drad N exp( t ) 1
Прошлое (возраст)
t=0
Если t T 1
2
N 0
Drad N 0
Тогда
Drad N0 N0 exp( t )
Drad N0 1 exp( t )
или
Будущее (время)
t=0
Drad N exp( t ) 1
Возраст :
t
D
ln rad 1
N
1
Если имеется некоторое исходное количество изотопа D0 ,
D D0 N exp(t ) 1;
D D0
t ln
1
N
Количество Drad от t1 до t2
1
Drad N exp( t1 ) exp( t2 )
(t1 t2 0) :
Период полураспада
N
T1 2
1
N0 Drad при
2
ln(2) 0.693
(T1 2 )
t T1 2
среднее время жизни радионуклида
1
(t )2 (t )3
exp(t ) 1 t
...
2!
3!
если t 1,
Drad Nt
1
0.9
Количество атомов
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
T1 2 1
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
Время
4
5
6
Цепочки радиоактивных превращений
1
2
N1
N2
N3
dN1
1N1
dt
dN2
1N1 2N2
dt
N1 N10 exp(1t ),
где
N10 N1
при t 0
dN2
1N10 exp(1t ) 2N2
dt
1
N2
N10[exp(1t ) exp(2t )] N20 exp(2t )
2 1
0
если N2 0
Частный случай 1. 1 > 2
N3 : T1 2
N 1 : T1 2 1
N2 : T1 2 3
Частный случай 1. 1 > 2
N3 : T1 2
N2 : T1 2 3
N 1 : T1 2 1
Частный случай 2. 2 > 1
N3 : T1 2
Вековое равновесие:
𝐍𝟐
𝛌𝟏
=
𝑵𝟏 𝛌𝟐 − 𝛌𝟏
N 1 : T1 2 1
N2 : T1 2 0.3
𝛌𝟏
𝛌𝟐 − 𝛌𝟏
При вековом равновесии:
𝑵𝟐
𝝀𝟏
=
𝑵𝟏 𝝀𝟐 − 𝝀𝟏
𝑻𝟐
=
𝑻𝟏 − 𝑻𝟐
Если 𝝀𝟏 ≪ 𝝀𝟐 , то
𝑵𝟐
𝑵𝟏
≈
𝝀𝟏
𝝀𝟐
Периоды
полураспада
=
𝑻𝟐
𝑻𝟏
Для цепочки распада в состоянии
векового равновесия
𝛌𝟏 𝐍𝟏 = 𝛌𝟐 𝐍𝟐 = 𝛌𝟑 𝐍𝟑 =…= 𝛌𝐧 𝐍𝐧
Тогда
Drad = N1 exp 𝛌𝟏 t − 1
Вековое равновесие (стационарное
состояние) наступает по прошествии
некоторого времени.
Какого?
Нуклид:
T1/2
242Pu
3.73×105
238U
4.468×109
234Th
24.1 дн.
234Pa
6.7 ч
234U
245000
230Th
75380
226Ra
1602
222Rn
3.8235 дн.
218Po
3.05 м
214Pb
26.8 м
214Bi
19.9 м
214Po
1.64×10–4 с
210Pb
22.3
210Bi
5.02 дн.
210Po
138 дн.
206Pb
∞
1
3
2
n 1
N1 N2 N3 ...
Nn
при N20 ,...Nn0 0
Nn
n
C
i
exp(i t )
i 1
0
1
N
где
Ci
n 1
j
j 1
n, j i
(
j
i )
j
Bateman, H. Solution of a System of Differential Equations
Occurring in The Theory of Radio-Active Transformation.
Proc. Cambridge Phil. Soc. 1910. 15:423-427.
1.E+00
D=1%
(T=42млн.лет)
238
Относительное количество
1.E-03
U (0)
206
Pb (14)
1.E-06
234
U (3)
230
Th (4)
1.E-09
226
Ra (5)
210
Pb (11)
1.E-12
210
Po (13)
Th (1)
210
Bi (12)
222
Rn (6)
234
Pa (2)
214
Pb (8)
214
Bi (9)
218
Po (7)
234
1.E-15
1.E-18
1.E-21
214
Po (10)
1.E-24
1.E-03
1.E+00
1.E+03
1.E+06
Время, годы
1.E+09
1.E+12
1.E+00
D=1%
207
Pb
(T=5 млн.лет)
1.E-03
207
Относительное количество
Pb
235
U
1.E-06
231
Pa
1.E-09
227
Ac
1.E-12
227
Th
Ra
231
Th
223
1.E-15
211
Pb
207
1.E-18
Tl
Bi
211
219
Rn
1.E-21
215
1.E-24
1.E-03
Po
1.E+00
1.E+03
1.E+06
Время, годы
1.E+09
1.E+12
Ядра отдачи (recoil nuclei)
𝑃𝑅 = 𝑃𝛼,𝛽,𝛾
или
𝑃𝑅2
=
2
𝑃𝛼,𝛽,𝛾
Для частиц с конечной массой:
𝑚 ∙ 𝑣2
𝑃 = m ∙ 𝑣;
𝐸=
2
2
𝑃
2𝐸
2
𝑣 = 2=
→ 𝑃2 = 2𝐸 ∙ 𝑚
𝑚
𝑚
2𝐸𝑅 ∙ 𝑚𝑅 = 2𝐸𝛼,𝛽 ∙ 𝑚𝛼,𝛽
𝑚𝛼,𝛽
→ 𝐸𝑅 =
𝐸𝛼,𝛽
𝑚𝑅
Для фотона:
2
𝐸𝛾
𝐸
𝛾
𝑃𝛾 =
→ 𝑃𝛾2 = 2
𝑐
𝑐
𝐸𝛾2
𝐸𝛾2
= 2𝐸𝑅 ∙ 𝑚𝑅 → 𝐸𝑅 =
2
𝑐
2𝑚𝑅 ∙ с2
R
𝑣𝑅
𝑣𝛼,𝛽,𝛾
a,,g
𝑣 − скорость;
𝑚 − масса;
𝑃 − импульс;
𝐸 − энергия.
Задача 2. Рассчитать энергию ядер отдачи
Материнский Дочерний
Тип распада
нуклид
нуклид
40
K
40
K
40
K
87
Rb
87
Rb
147
Sm
176
Lu
232
Th
235
U
238
U
40
Ca
40
Ar
40
Ar
87
Sr
87
Sr
143
Nd
176
Hf
228
Ra
231
Th
234
Th
g
g
a
a
a
a
Энергия
частиц,
МэВ
1.311
1.505
1.480
0.283
0.283
2.310
1.193
4.083
4.678
4.270
Масса покоя электрона равна 0.00054858 аем
1 аем = (931.4 МэВ)/с2.
Какой из видов распада разрушает решётку минералов, если
принять, что для силикатов энергия связи около 7 эВ?