Transcript Document 7537542

Signaux et Systèmes
Points de repère
Taalabi M.
24/05/2016
signaux et systèmes
1
Contenu
• Systèmes Continus…………………….3
• Signaux, continus et discrets
• Systèmes discrets
24/05/2016
signaux et systèmes
2
Systèmes Continus
24/05/2016
signaux et systèmes
3
Systèmes Continus
Contenu
• Introduction
• Analyse temporelle
• Analyse fréquentielle
• Représentation d’état
24/05/2016
signaux et systèmes
4
Introduction
Contenu
• Système ?
• Définition d’un système LTI
• Exemples
24/05/2016
signaux et systèmes
5
Introduction
Système ?
• Système ?
Un système est constitué d’éléments, régis par des lois physiques, et
destiné à réaliser une certaine fonction.
• Exemples
Un pont métallique
Une résistance électrique
Une chaudière
Un robot
Un réservoir d’eau
Un satellite sur orbite …
24/05/2016
signaux et systèmes
6
Introduction
Système ?
À propos des Entrées / sorties
• Selon ce qu’on attend d’un système, on définit la ou les
sorties d’un système.
• L’entrée du système est alors définie comme la
grandeur qui permet d’agir, d’une manière volontaire sur
la sortie de ce système.
24/05/2016
signaux et systèmes
7
Introduction
Définitions
•
•
•
•
•
•
•
Système continu
Système linéaire
Système invariant
Système mono variable / multivariable
Système non linéaire
Système causal / non causal
Système à retard
•
La réalité industrielle
24/05/2016
signaux et systèmes
8
Analyse temporelle
Contenu
•
•
•
•
•
•
Équations différentielles
Exemples
Signaux d’analyse
Convolution
Exemples
Caractéristiques temporelles
24/05/2016
signaux et systèmes
9
Analyse temporelle
Equations différentielles
•
Système LTI…Equations différentielles:
Un système continu, linéaire, invariant est régit par une équation
différentielle à coefficients constants.
• Exemple circuit électrique
Considérer un circuit RLC, et trouver l’équation qui régit l’évolution de
la tension de sortie (aux bornes de C), en fonction de la tension
d’entrée.
24/05/2016
signaux et systèmes
10
Analyse temporelle
Equations différentielles
• Exemple mécanique
On fait glisser un cube, sur une surface plane, par application d’une
force F. On suppose des frottements linéaires. Trouver l’équation qui
régit le mouvement du cube
• Exercice
24/05/2016
signaux et systèmes
11
Analyse temporelle
Signaux d’analyse
• Impulsion de Dirac
• Echelon
• Rampe
• sinusoïde
24/05/2016
signaux et systèmes
12
Analyse temporelle
Convolution
Trouver la sortie d’un système LTI,
en réponse à une entrée
•
cas d’une entrée en Dirac
• cas d’une entrée quelconque
• exemple
24/05/2016
signaux et systèmes
13
Analyse temporelle
Caractéristiques temporelles
Caractériser la réponse d’un système LTI
en réponse indicielle
• Caractéristiques statiques
• Caractéristiques dynamiques:
dépassement, temps de réponse ..
24/05/2016
signaux et systèmes
14
Analyse fréquentielle
Contenu
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Transformée de Laplace (Rappel)
Fonction de transfert
Exemples
Pôles, zéros et stabilité
Analyse fréquentielle en régime permanent
Diagrammes fréquentiels
Performances fréquentiels: cas d’un second ordre
Schema-blocs, interconnexions
Simulation analogique
24/05/2016
signaux et systèmes
15
Analyse fréquentielle
Transformée de Laplace (rappel)
• Outil pour l’analyse fréquentielle
• Propriétés:
dérivée, retard, théorème de la valeur finale…
24/05/2016
signaux et systèmes
16
Analyse Fréquentielle
Fonction de transfert
( ou Transmittance )
•
Équations différentielles  Transmittance
•
Conditions initiales ?
24/05/2016
signaux et systèmes
17
Analyse fréquentielle
Exemples
• Électrique
• Mécanique
24/05/2016
signaux et systèmes
18
Analyse fréquentielle
Pôles, zéros et stabilité
•
•
•
•
•
Caractériser une transmittance
Gain statique
Pôles et zéro
Domaine de stabilité
Systèmes à non minimum de phase
24/05/2016
signaux et systèmes
19
Analyse fréquentielle
Analyse Harmonique
(Ou Analyse fréquentielle en régime permanent)
• Considérer un système LTI : G(p)
• Entrée: signal sinusoïdal
• Calculer la sortie en régime permanent
 G(jw)
24/05/2016
signaux et systèmes
20
Analyse fréquentielle
Diagrammes fréquentiels
Représenter G(jw)
• Diagramme de Bode:
module en décibel en fonction de w
et phase en degré en fonction de w
Échelle logarithmique pour w
• Étude de cas
• Exercices
24/05/2016
signaux et systèmes
21
Analyse fréquentielle
Diagrammes fréquentiels
Représenter G(jw)
• Diagramme de Nyquist:
Partie imaginaire en fonction de la partie réelle.
• Étude de cas
• Exercices
24/05/2016
signaux et systèmes
22
Analyse fréquentielle
Diagrammes fréquentiels
Représenter G(jw)
• Diagramme de Black:
Module en décibel en fonction de la phase en degré
• Étude de cas
• Exercices
24/05/2016
signaux et systèmes
23
Analyse fréquentielle
Performances fréquentiels
• Gain et pulsation de résonance
• Bande passante
24/05/2016
signaux et systèmes
24
Analyse fréquentielle
Performances fréquentiels
•
Cas d’un second ordre
Gain de résonance
pulsation de résonance
Bande passante
24/05/2016
signaux et systèmes
25
Analyse fréquentielle
Schema-blocs,
Interconnexions
• Cascade
• Feed-back
• Feed-forward
24/05/2016
signaux et systèmes
26
Analyse fréquentielle
Simulation analogique
Objectif:
Réaliser une fonction de transfert, à partir
• d’Integrateurs,
• de multiplicateurs par une constante et
• de sommateurs
24/05/2016
signaux et systèmes
27
Analyse Fréquentielle
Simulation analogique
•
•
•
•
Réalisation d’un premier ordre
Réalisation d’un second ordre
Réalisation d’un ordre quelconque
Réalisation d’un ordre quelconque … autre approche
24/05/2016
signaux et systèmes
28
Représentation d’Etat
Motivations
• Conditions initiales
• Cas multivariable
• Exemples
24/05/2016
signaux et systèmes
29
Représentation d’Etat
Matrice de transition d’état
( State transition Matrix )
•
•
•
•
Définition
Calcul … deux approches
Propriétés
Exemple
24/05/2016
signaux et systèmes
30
Représentation d’Etat
Résoudre l’équation d’état
•
•
•
Solution de l’équation homogène
Solution particulière
Solution globale
24/05/2016
signaux et systèmes
31
Représentation d’Etat
Passage d’une transmittance à une
représentation d’état
•
Approches
•
Exemples
24/05/2016
signaux et systèmes
32
Représentation d’Etat
Passage d’une représentation d’état
à une transmittance
•
Approche
•
Exemples
24/05/2016
signaux et systèmes
33
Représentation d’Etat
Réalisation d’un système à partir de sa
représentation d’état
•
Exemples
24/05/2016
signaux et systèmes
34
Représentation d’État
Commandabilité
•
•
•
Définition
Condition de Commandabilité
exemple
24/05/2016
signaux et systèmes
35
Représentation d’Etat
Observabilité
•
•
•
Définition
Condition d’Observabilité
Exemple
24/05/2016
signaux et systèmes
36
Signaux:
continus et discrets
24/05/2016
signaux et systèmes
37
Contenu
1- Introduction:
2- Séries de Fourier
3- Transformée de Fourier
4- Echantillonnage et reconstitution du signal
5- Transformée de Fourier discrète (DFT)
24/05/2016
signaux et systèmes
38
Introduction
Contenu
•
•
•
•
Classification
Energy
normes
Operations: shift & scale
24/05/2016
signaux et systèmes
39
Introduction
Classification
• causal
24/05/2016
signaux et systèmes
40
Introduction
• Energie
24/05/2016
signaux et systèmes
41
Introduction
• Normes
24/05/2016
signaux et systèmes
42
Introduction
• Operations: shift & scale
24/05/2016
signaux et systèmes
43
Séries de Fourier
spectre discret
• Signal périodique
24/05/2016
signaux et systèmes
44
Séries de Fourier
• exemple:
24/05/2016
signaux et systèmes
45
Transformée de Fourier
• Cas d’un signal non périodique
24/05/2016
signaux et systèmes
46
Transformée de Fourier
• exemple:
24/05/2016
signaux et systèmes
47
Transformée de Fourier
• Propriétés:
24/05/2016
signaux et systèmes
48
Echantillonnage et
reconstitution du signal
•
•
•
•
•
Motivations
Spectre discret forme 1
Spectre discret forme 2
Théorème de Shannon
Reconstitution du signal
24/05/2016
signaux et systèmes
49
Echantillonnage et
reconstitution du signal
• Motivations
24/05/2016
signaux et systèmes
50
Echantillonnage et
reconstitution du signal
• Spectre discret forme 1
24/05/2016
signaux et systèmes
51
Echantillonnage et
reconstitution du signal
• Spectre discret forme 2
24/05/2016
signaux et systèmes
52
Echantillonnage et
reconstitution du signal
• Théorème de Shannon
24/05/2016
signaux et systèmes
53
Echantillonnage et
reconstitution du signal
• Reconstitution du signal
24/05/2016
signaux et systèmes
54
Systèmes discrets
24/05/2016
signaux et systèmes
55
Systèmes discrets
contenu
•
•
•
•
•
•
•
•
Motivations
Rappel: spectre discret d’un signal
Transformée en z
Transmittance discrète
Réalisation d’une transmittance discrète
Représentation d’état discrète
Équivalence analogique numérique
Transformée en z modifiée
24/05/2016
signaux et systèmes
56
Systèmes discrets
Motivations
•
Contrôle de procédés par calculateur:
Industries chimiques: PH, débit, concentration
servomécanismes: robots
Irrigation
Pilotage automatique d’avion
24/05/2016
signaux et systèmes
57
Systèmes discrets
Motivations
•
NTIC et Supervision de procédés
Systèmes de supervision
Commande de procédés à distance
24/05/2016
signaux et systèmes
58
Systèmes discrets
•
Rappel: spectre discret d’un signal
r(t) signal continu
R(p) spectre continu
r(kT) signal discret
R*(p) spectre discret
R*(p) = S r(kT) exp(-kTp)
24/05/2016
signaux et systèmes
59
Systèmes discrets
Transformée en z
•
Changement de variable dans R*(p):
z = exp(T. p)
24/05/2016
signaux et systèmes
60
Systèmes discrets
Transformée en z
Calcul:
•
méthode directe
•
méthode des résidus:
RQ: si p est pôle de R(p), exp(Tp) est pôle de R(z)
24/05/2016
signaux et systèmes
61
Systèmes discrets
Transformée en z
Correspondance entre pôles
Plan R(p)
Plan R*(p)
Plan R(z)
24/05/2016
signaux et systèmes
62
Systèmes discrets
Transformée en z
Propriétés
•
•
•
Linéarité
Convolution
Translation dans le temps
24/05/2016
signaux et systèmes
63
Systèmes discrets
Transformée en z inverse
A partir de R(z), trouver r(kT)
•
Rôle de la région de convergence
•
décomposition en éléments simples
•
Division euclidienne
24/05/2016
signaux et systèmes
64
Systèmes discrets
Transmittance discrète
Echantilloner un produit
•
Théorème:
si
S(z) = G(z) . E*(z)
alors
•
S*(z) = G*(z) . E*(z)
exemples
24/05/2016
signaux et systèmes
65
Systèmes discrets
Transmittance discrète
Système échantillonné
•
Cas du contrôle de procédés par calculateur
•
Co-existence de signaux continus et discrets
24/05/2016
signaux et systèmes
66
Systèmes discrets
Transmittance discrète
Étude de cas
•
Calcul de la transmittance en boucle fermée de
quelques schémas blocs
24/05/2016
signaux et systèmes
67
Systèmes discrets
Réalisation d’une transmittance discrète
Réalisation programmée
•
Équations aux différences
24/05/2016
signaux et systèmes
68
Systèmes discrets
Réalisation d’une transmittance discrète
Réalisation à partir de
•
Additionneurs / soustracteurs
•
Éléments retard
24/05/2016
signaux et systèmes
69
Systèmes discrets
Représentation d’état discrète
•
Représentation d’état discrète
24/05/2016
signaux et systèmes
70
Systèmes discrets
Équivalence analogique numérique
•
Équivalence analogique numérique
24/05/2016
signaux et systèmes
71
Systèmes discrets
Transformée en z modifiée
•
Transformée en z modifiée
24/05/2016
signaux et systèmes
72
Références
[1] Martin Schetzen
Linear Time-Invariant Systems
2002
[2] B. C. Kuo
' Digital Control Systems'
HRW Series
many editions
[3] Chi-Tsong Chen
' Linear System Theory and Design'
Saunders College Publishing
many editions
24/05/2016
signaux et systèmes
73
Références
[4] William D. Stanley
' Digital Signal Processing'
Prentice Hall
many editions
[5] Zelazny, Giri, Bennani
' Systèmes asservis: Commande et Régulation
Tome 1: Représentation, Analyse, Performances '
Editions Wallada
24/05/2016
signaux et systèmes
74