Transcript Elektromagnetisme 4.5 EC

Elektromagnetisme
Doel:
– “Tour d`horizon” elektromagnetisme:
Elektrische krachten, velden, (statisch)
4.5 EC
Magnetische krachten, velden, (statisch)
Unificatie elektriciteit & magnetisme + Golven Electrodynamica &
 Maxwell vergelijkingen  Licht
Licht 3.0 EC
Vorm:
– Interactief Hoorcollege, demonstraties, werkcollege & practicum
Docenten:
– “Interactief Hoorcollege”: Auke-Pieter Colijn & Marcel Vreeswijk
– Experimenten: Paul Vlaanderen
Blackboard:
– Let op: Inschrijven bij onderwijsburo verplicht.
– Meer informatie op blackboard: www.science.uva.nl of webpage
www.nikhef.nl/user/h73/knem.html
Elektromagnetisme 2008/9
Opgaves:
– Papieren opgaves maken tijdens werkcollege.
– Question Marks= digitale huiswerk-opgaves. Verplicht + tellen mee voor eindcijfer.
Wekelijks inleveren, zie blackboard.
– Papieren huiswerk-opgaves. Deze tellen ook mee voor eindcijfer. Worden nog
uitgedeeld en inleverdata worden nog afgesproken. Nakijken gaat digitaal m.b.v.
blackboard op nog te bepalen afgesproken college-dagen. 1 voor Electrostatica, 1 voor
Magnetostatica.
– (college “Electrodynamica & Licht” heeft zelfde opzet)
Tentamens (zie rooster, denk eraan om je in te schrijven voor tentamens):
– Tentamen Electromagnetisme (electrostatica+magnetostatica)
– Tentamen Electrodynamica
– 1 herkansing geroosterd, 2de herkansing op afspraak en alleen indien je huiswerk hebt
ingeleverd en college hebt gevolgd.
Beoordeling:
– Prakticum (gewicht 20%): 1 verslag (Millikan) en mondeling tijdens experimenteren +
verkort labjournaal. Minstens 5.00 per practicum.
– Theorie (gewicht 80%): Cijfer = 0.6 T+0.2 (Q) + 0.1 (O_elec) + 0.1 (O_mag)
“Q”: Questions Digitaal (telt zwaar mee) (wekelijks)
“O_elec”: Oefen-Tentamen opgave 1 x electrostatica
“O_mag”: Oefen-Tentamen opgave 1 x magnetostatica
“T”: Tentamen – cijfer minstens 5.00, anders sowieso onvoldoende.
Literatuur/Informatie
Aanbevolen boek:
“Introduction to Electrodynamics”
David J. Griffiths
-de secties worden bij ieder college vermeld op de 1ste slide-
Basis-boek (minimale kennis om op te starten):
“Physics (for scientists and Engineers)”
Giancoli
-Chapter 3 en 21 t/m 31-
Syllabus (engels): een uittreksel van Griffiths (advies blijft: koop boek)
College Info:
http://www.nikhef.nl/user/h73
Op het web kun je ook veel info en leuke animaties vinden!
Het Boek:
“Introduction to Electrodynamics”
David J. Griffiths
Te gebruiken bij (“good value for money!”):
•
•
•
1e jaars college “Klassieke Natuurkunde IC” (dit college)
3e jaars college “Elektrodynamica & Relatviteitstheorie 1”
3e jaars college “Elektrodynamica & Relatviteitstheorie 2”
Hoofdstukken uit Griffith voor deze inleidende & oriënterende cursus:
#1
#2
#4
#5
#6
#7
#9
Vector Analysis: vektor, gradiënt, divergentie, rotatie & integralen
Electrostatics: grotendeels
Electric Fields in Matter: grotendeels
Magnetostatics: grotendeels m.u.v. de vektor potentiaal
Magnetic Fields in Matter: grotendeels
Electrodynamics: grotendeels
Electromagnetic Waves: alleen het bestaan van e.m. golven
Uiteraard gaat Griffiths iets dieper in de materie dan wij van jullie verwachten in het
eerste jaar. De moeilijkere voorbeelden en opgaven in Griffiths moet je gewoon overslaan.
Als je de werkcollege opgaven beheerst dan zit je riant voor het tentamen.
“Physics (for scientists and Engineers)”
Giancoli
Dit boek hebben jullie al (als het goed is)
De slides die we behandelen bevatten de tentamenstof.
De volgende Hoofdstukken sluiten daar redelijk goed bij aan:
#3
Kinematics....: over vectoren (helaas erg minimaal)
# 21
Electric Charge....: grotendeels (m.u.v. biologische voorbeelden)
# 22
Gauss’s Law: grotendeels
# 23
Electric Potential: grotendeels
# 24
Capaciteit...: grotendeels
# 25
Electrical Currents: grotendeels voor ED&L
# 26
DC Circuits: grotendeels voor ED&L
# 27
Magnetism: grotendeels
# 28
Sources of Magnetic ....: grotendeels
# 29
Electromagnetic Induction ....: grotendeels voor ED&L
# 30
Inductance, .....: grotendeels voor ED&L
# 31
Maxwell’s Equations ....: grotendeels voor ED&L
Appendix E: helemaal (m.u.v. tijdsafhankelijkheid voor EM, wel voor ED&L)
Elektrostatica
Magnetostatica
Elektromagnetisme  Licht
Elektrostatica
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Inhoud
Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht
Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld
 
 E   /  0
Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal
 
 E dl  0
Electrische Potentiaal & Energie
Elektrische velden in materie: Geleiders
Elektrische velden in materie: Isolatoren
Griffiths:
 Vektor:
§1.1 m.u.v. §1.1.3 en §1.1.5
 Wet van Coulomb: §2.1
Wet van Coulomb
De elektrische lading
De elektrische kracht
De elektrische veldsterkte
Voorbeelden
DEMO: fenomeen elektriciteit
Elektrostatica: experiment
+/- lading
krachtwet
superpositie
Q1
eboniet
glas
Q2
r1
Q3
q
Q4
1777: C. de Coulomb
+
+
-+
nieuwe kracht:
Felektrisch
positief: + & negatief: + + & - -: afstotend
+ - & - +: aantrekkend
quantisatie: qelektron
ladingsbehoud: S q = constant
Q

Fq 
Fq

r
qQ
r
2
Fq
q
qQ1
qQ 2

r
F q  2 ˆ1  2 rˆ2  ...
r1
r2
rˆ
Q
Q

 q  21rˆ1 22 rˆ2 ...
r2
 r1


 qE
Wet van Coulomb  kracht & veld

qQ
1 qQ
1 qQ 
-7 2 qQ
F q  K e 2 rˆ  10 c 2 rˆ 
2 rˆ 
3 r
4  0 r
4  0 r
r
r
q
Eenheden:
– Lengte [l]: meter m
– Tijd [t]: seconde s
– Massa [m]: kilogram kg
– Lading [q]: Coulomb C
Kracht:

Fq 
Constanten:
– eenheidslading:
-19
qelektron  -1.60  10
qQ
2 rˆ
4  0 r
Q
C
Q
Veld:

E
– permittiviteit:
1
1
2
-12 C
0 

8
.
85

10
4 10-7 c 2
N m2
r

Fq
q
DEMO: elektrische veldlijnen
Puntlading
FElektrisch  FGravitatie

FE 
1
2
e
4  0 r 2
 2.3  10-8 N
me m p

FG  G 2
r
elektron
m=9.110-31 kg
q=-1.610-19 C
10-10 m
proton
m=1.710-27 kg
q=+1.610-19 C
 1.0  10-47 N

Waarom is in het dagelijks leven toch de
zwaartekracht juist zo voelbaar?
G 6.67310
-11
3
m
2
kg s

Ladingsverdeling  E-veld
Diskreet:
[q]=C
qi
Continu:
 dl
ri
[]=C/m
r
P
[]=C/m2
 do
r
r
 dv
P
P
[]=C/m3
P

EP 

EP 

EP 

EP 
1
N

qi
ˆi
2
4  0 i 1 r i
1
 dl

4  0 lijn r
1
 do
 dv
2

4  0 oppervlak r
1
r
2

4  0 volume r
2
rˆ
rˆ
rˆ
Discussievraag 1
Welk veldlijnenpatroon hoort bij twee gelijke
positieve ladingen?
B
A
C
DEMO: elektrische veldlijnen
Twee Puntladingen
V.b. E-veld puntladingen
Drie ladingen: Q1, Q2 en Q3
Lading Q in oorsprong
Q3
q
r
Q
http://www.colorado.edu/physics/2000/waves_particles/wavpart2.html
r
r3
Q1
r1
r2
Q2
 
E (r ) 
rˆ
4  0 r 2
Q
 
E (r ) 
 
 
 

1  r -r 1
r -r 3 
r -r 2
   3Q1   3Q2    3Q3 
4π ε 0  r -r
r -r 2
r -r 3

1

V.b. E-veld dipool
Ladingen +q en -q op afstand 2d:
P
r
d

Veld langs lijn o
q  1
1 


2
2
4π ε 0  r - d  r  d  


2p
p
4 qd

3 
3 
4π ε 0 r
4π ε 0 r
2π ε 0 r 3

o
E P ( r ,  0 ) 
Taylor
r>>d
Dipoolmoment:
 d
q
-d 
- 2 2
2
2 
2
2
4π ε 0 r  d  d  r
d r 

p
2 qd

3 
4π ε 0 r
4π ε 0 r 3


+q


p  q2d
(Ideale of Mathematische dipool heeft
geen afmetingen: d 0 en q  en p
eindig)
Veld langs lijn o

o
E P ( r , 90 ) 
2d
-q
9o
-
+
o
E
Taylor expansie
y= ƒ(x)
ƒ(a+)
df
f (a  ε )  f (a)  ε
dx
ƒ(x)
y  f (a)  ( x - a)
dƒ
ƒ(a)
df
dx
dx
x
 voor f ( r ) 
1
r
2
2:
a
a+
1
1
1 2d
1
1 2
1 2d

(

d
)

en

(
d
)

2
2
2
3
2
3
2
3
2  3
r  d  r r
r -d  r r
r
r
r
r
DEMO: elektrische veldlijnen
Dipool
V.b. E-veld  lange draad
Lijnlading:
Berekening E-veld:
– homogeen geladen draad
– ladingsdichtheid dq=dz
– []=C/m
cos  
dq=dz
z
z
O
y
r
x
- nadenken:
cilinder symmetrie: (rz)
- rekenen:


EP   d Er
r
r z
2
P
2


E
lijn
dEr
dE
 1  r 2 z 2- z 2 
d  1 z  1  1
r
2z
 


 
z

3/ 2
3
/
2
3
/
2
dz  r r 2  z 2  r  r 2  z 2
2r 2  z 2   r  r 2  z 2   r 2  z 2 
cos
dz


r 2 z 2 
-  4  0
r
r 2 z 2


z

|
2
2
4  0 r r  z -
2



4  0 r 2  0 r
Getallen  vectoren

EP 
1
 dl

4  0 lijn r
P
2
rˆ
Let op:
Integrand is een vector, d.w.z.
Of: je berekent Ex, Ey en Ez
(werk: 3 integralen i.p.v. 1)
Of: je beredeneert welke
component je nodig hebt en
vervolgens bereken je die!
Etotaal
Nooit:
de r weglaten d.w.z.
i.p.v. r zelf |r|=1 lezen!
DEMO: elektrische veldlijnen
Lijnlading
DEMO:
Twee Lijnladingen
I: Wat heb ik geleerd?
Lading + of -
-19

1
.
6

10 C en  q constant
qelektron
Kracht en E-Veld
(Coulomb)
Veld uit (r)
Configuraties:
 puntladingen
 dipool
 lijnlading
 qQ rˆ

Q rˆ
F
en E 
2
4  0 r
4  0 r 2

 rˆ
1
E
 ( r ) 2 dv
4  0 volume
r
EXTRA: Vectoren in formules
Definities
 x
  
r   y   xiˆ  yˆj  zkˆ ( iˆ,ˆj,kˆ zijn eenheidsvectoren in x, y, z richting)
z
 

 

r  r  r  r  x 2  y 2  z 2 (de grootte of lengte van vector r )

r
ˆr   
r
Voorbeeld
 x



2
2
2
x  y z 
 x 
   y

1
y  

 (vector met lengte 1)
x2  y2  z2 
x2  y2  z2   
z  z

2
2
2 

x

y

z




Wat is het E veld op positie r ten gevolge van

een puntlading q1 op positie r1?


(zowel r als r1 zijn gedefinieerd t.o.v. oorsprong)

q
Niet : E   12 rˆ
r
 

q
r -r
Wel : E   1 2  1
r - r1 r - r1
Dus : eerst goed nadenken welke vector je moet gebruiken!
 
r - r1

r
q1

r1
EXTRA DEMO:
Verklaring correct?
Elektrostatica
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Inhoud
Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht
Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld
 
 E   /  0
Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal
 
 E dl  0
Electrische Potentiaal & Energie
Elektrische velden in materie: Geleiders
Elektrische velden in materie: Isolatoren
Griffiths:
 Coordinaten definitie en volume elementje BOL §1.4.1 en Cilinder §1.4.2
 Integreren: §1.3.1 (inleiding)
 Wet van Gauss:
§2.2 m.u.v. §2.2.2 (komt pas in college # 4)
Volume integralen
Coördinaat systemen
Cilinder coördinaten
Bol coördinaten
Coördinaat systemen
Z
Z
ez
ex
Z
ez
ey
z
e

er
e
e
r
ez
ex
er
ez
er
ey
Y
er r

X
(x,y,z)
(r,,z)
cartetisch
cilinder
e
er

e
(r,,)
bol
Volume integraal:
cilinder coördinaten
rd
dv=(dz) (rd) dr
=r dzdrd 
Z
dz
dr
z

r
Integreren functie in
cilindercoördinaten:
 f ( r , , z )dv   f ( r , , z )rdrddz
volume
d
domein
Voorbeeld: cilinder inhoud
z
Om de cilinder inhoud te bepalen integreer je
de functie “1” over het cilinder volume:
z=+h/2
Integratie domein:
z
z:
r:
:

y
r
Integraal:
 1dV 
cilinder
z=-h/2
x
r=0
r=R
[-h/2,+h/2]
[0,R]
[0,2]
 h / 2 2 R

  rdrd dz
-h / 2 0 0

 h / 2 2 1
2 R

d dz
 r
0
2
-h / 2 0

 h / 2 2 1
2

 R d dz
-h / 2 0 2
|
  R2 h
Volume integraal:
bol coördinaten
d
Z

r
dr
rsind

rsin
d
Volume:
dv=(rd) (rsind) (dr)
=r2sin  d d dr
Voorbeelden Integreren in Bolcoördinaten
z
Om het boloppervlak te bepalen integreer
je de functie “1” over het bol oppervlak:
Oppervlak r=R
Integratie domein: :[0,] :[0,2]
r=R

x
y

Bepaal zelf bolvolume:
π 2π
 1 do    R 2 sin θd dθ
oppervlak
00
π
2π dθ
  R 2 sin θ  |0
0
 2π R 2  - cos( θ ) π   4π R 2
0

 
4 3
R
1dV 
3
bol
Volume integraal bolsymmetrische functie:
2
2
 f ( r , , )dv  f ( r , , )r sin( )dd   f ( r )4r dr
Wet van Gauss
De elektrische flux
De wet van Gauss
Voorbeelden
Flux E
doˆ  eˆ do
E
n

(E ,doˆ)0
o
Waterkraan:
O
E 


 doˆE
oppervlak O

oppervlak O
O
"Flux":
 do water [ l / s ]

do eˆnE  OE

(E , doˆ)  90

o
E
O
oppervlak O
E 
 doˆE  0
oppervlak O

(E , doˆ) 
Verband tussen:

– open/dicht van de kraan
– “flux” door oppervlak O
O
E
E 

 do eˆ E
n
oppervlak O
OE cos
Gevolg wet van Coulomb

E
do
Puntlading Q in middelpunt bol

1 Qˆ
E( r ) 
r
2
4 0 r
Flux E door (denkbeeldig) boloppervlak
wordt:
  


ˆ
 E   E( r )do   E( R ) r do
Q
R
bol

 E( R )  do 

ˆ
( r // do )
bol
Q
 do
4  0 R bol
Q
Q
2 Q

do

4

R
2 
0
4  0 R bol
4  0 R 2
bol
De essentie:
- E  1/r 2
- boloppervlak  r 2
2
E =Q/0 geldt voor ieder omsluitend oppervlak;
niet alleen voor bol met Q in middelpunt!
Wet van
Gauss:
Lading Q omsloten door een
boloppervlak
E 
  1
 E do 
oppervlak O
Lading q buiten een
willekeurig oppervlak
 0 omsloten

Q

 E 
0


Q
Lading Q omsloten door
willekeurig oppervlak
Qi
Q
q
 E 0
V.b. Gauss: dunne draad
Dunne  draad:
– ladingsverdeling:  C/m
- symmetrie: E  draad, E(r)
– “Gauss box”: cilindertje

h
E

r
Lijn

 rˆ
E
2  0 r
r
Flux :
r
z
E


want : E  do
deksels cilinder :  E  0
wand cilinder :  E  2 rh E
Wet van Gauss :
1
h

Q

2

rh
E

 E
E

 0 omsloten
0

2 r 0
V.b. Gauss: vlakke plaat
Vlakke  plaat:
– ladingsverdeling:  C/m2
– symmetrie: E  vlak, E(y)
– “Gauss box”: kubusje

E
a
y
Flux :
boven/onde rkant :  E  0
zijkanten :  E  a 2 E  a 2 E  2 a 2 E
Wet van Gauss :
z
x


want : E  do


want : E  do
voor/achte rkant :  E  0
E
a
Plaat
 
E
20
E
E 
y
1
 Q  2a E 
 0 omsloten
2
a 2
0
 E

2 0
Discussievraag 2
We beschouwen een massieve niet-geleidende bol met
uniforme ladingsdichtheid. Welke grafiek geeft het
elektrisch veld als functie van de afstand tot het
middelpunt van de bol?
E
R
R
R
r
C
E
B
E
A
D
E
r
r
R
r
E
Analyseer via “schetsje”
E
E-veld voor:
bol met straal R
uniforme ladingsdichtheid
E
Dus:
Indien r<R:
E-veld groeit met afstand tot centrum
Indien r>R:
E-veld neemt af met afstand tot centrum
E
V.b. Gauss: bolvolume
Bolvolume:
– ladingsverdeling:  C/m3
– symmetrie: E  bol, E(r)
– “Gauss box”: bolletje

R
E
r
E
Bol
E
R

 
E 

r
 r
r  R: E 
3 0
  R3rˆ
r  R: E 
3 0 r 2
Flux :  E  4 r 2 E
Wet van Gauss :
4 3

r 

r
2
3
r

R
:
4

E


E

r

0
3 0
1

E 
Q  
4
 0 omsloten 
 R3 
3

R
2
r  R: 4 r E  3
 E
2


3

r
0
0

Overzicht toepassingen
wet van Gauss
E 

1
 E doˆ 
oppervlak O


 0 omsloten

Symmetrie
voor E-veld
de essentie!
Qi

E
E
Lijn
Plaat
E
Bol
II: Wat heb ik geleerd?
Volume integralen: • cartesische, cilinder & bol coördinaten
Veld uit (r)
direkt  E  1   ( r ) rˆ dv
2
4  0 volume
r


  1

via
wet
van
Gauss

E

d
o


(
r
) dv



 0 volume
oppervlak




E
E
Lijn
Plaat
E
Bol
EXTRA V.b.: hoeveel m3 H2O ongeveer op
aarde?
Straal aarde:  6.400106 m
Gemiddelde H2O laag:  103 m
 integratie domein:
r:
:
:
[Ri6.399106 m, Ro6.400106 m]
[0,]
[0,2]
 1dV 
Ro  2
  
Ri 0 0
bolschil

Ro 
  r 2 sin 
Ri 0

4  3 Ro 
r | 
3  Ri 
r 2 sin d d dr
 | d dr  2

2
0
Ro

Ri



2
r -cos |0 dr
4
Ro3- Ri3   5.15  1017 m3
3
Natuurlijk zelfde als volume van een 103 m dikke bolschil bij r= 6.400106 m:
H2O  4(6.400106)2 103  5.151017 m3
Elektrostatica
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Inhoud
Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht
Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld
 
 E   /  0
Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal
 
 E dl  0
Electrische Potentiaal & Energie
Elektrische velden in materie: Geleiders
Elektrische velden in materie: Isolatoren
Griffiths:
 Divergentie:
§1.2.4
 Stelling van Gauss: §1.3.4
 Energie & Arbeid: §2.4
De divergentie van het
electrische veld
Stelling van Gauss (wiskunde)
De link tussen natuurkunde en
wiskunde
Stelling van Gauss:

 E do  dxdy  E z (x,y,z  dz)- E z (x,y,z) 
Beschouw flux door infinitesimaal
kubusje:
oppervlakje
dz
dy
dzdx  E y (x,y  dy,z)- E y (x,y,z) 
E(x+dx,y,z)
E(x,y,z)
dx
Compactere notatie
via “divergentie”
  Ex E y Ez
E 


x
y
z
Neem de ‘som’ van
willekeurig aantal
volumetjes:
dydz E x (x  dx,y,z)- E x (x,y,z)
 E x E y Ez 

 dxdydz


 x
y
z 

 
 
 dxdydz
 E
   Edv
 
volumetje
i
 
 E do 
oppervlak
 
  Edv
volume
Geldt voor willekeurig vectorveld
Controle: stelling van Gauss
 
 Ado 
 
  Adv
Neem vectorveld:

( x , y ,z )
A( x , y ,z ) 
 rˆ
x  y z
Bereken eerst divergentie:
y
oppervlak
volume
2
   x  y  z
 A 



x r y r z r
2
2
A(x,y,z)
1 x2 1 y 2 1 z 2
 - 3 - 3 - 3
r r
r r
r r
3 x2 y 2 z 2
 
3
r
r
2
2

2
2
2
r
x  y z
x
z

  A  rˆ

2
ˆ
 Ado   r do   do  4 R
bol
bol
bol
R π 2π
 
R
2
2 2
2


A
dv

dv

r
sin(

)
drd

d


4

2
rdr

4

R





r
r
bol
bol
00 0
0
Klopt!
De link: wiskunde & natuurkunde
M.b.v. Wet van Coulomb gevonden:
Q
Wet van Gauss :
E 

1
 Edoˆ 
  dv
 0 volume
oppervlak O
M.b.v. Stelling van Gauss kan je “integrale” verband tussen E-veld
en ladingsverdeling omzetten in “differentiaal verband:
 
 Edv 
volume
Wiskunde:
Gauss
  1
 Edo 
oppervlak
  
 dv    E 
 0 volume
Natuurkunde:
Coulomb/Gauss
0
Q
 
Illustrati e :   E   /  0

 de term
divergentie!
simpel
bolvolume
R
E
E
 r
r  R: E 
3 0
R
r
E
Bol

 
 r



E  

3
 x x  y y  z z 
3 0 3 0
3 0
0


Voor r>R vind je .E=0 (mogen jullie zelf verifiëren)
Discussievraag 4
Het veld rond lijnlading is hieronder geschetst. De
gelijkheid •E = 0 geldt:
Zij-aanzicht
A overal
B overal, behalve op de lijn
C nergens, behalve op de lijn
D nergens
bovenaanzicht
De kringintegraal van
het elektrische veld
•Potentiële energie en arbeid
Potentiële Energie
Hoe bepaal je potentiële energie?
Even terug naar Newton en de Zwaartekracht!
 
W   F  dl
B


F  ma
Arbeid (Work):
A
Hoeveel Arbeid nodig om massa m van hoogte h=0 op hoogte h=h te brengen?
h
l
object
massa m
Toren hoogte h
l=h
Ik werk!
ma  mg
l=0
W   F  dl  mgh
0
Verschil in potentiële energie  Benodigde Arbeid
Pas op met mintekens: arbeid verricht door gravitatiekracht heeft tegengesteld teken. Hangt ook van
definitie van variabelen af.
Dit college: arbeid door persoon
Laten we dit principe nu eens toepassen om de
elektrische potentiële energie te bestuderen!
Kringintegraal elektrisch veld
verplaats q van A naar B
(=arbeid door persoon)
B
B
B

W   Fpersoon dl -  F dl -q  Edl
A
A
A

veld van Q: E   Q rˆ2   E rˆ
r
4

r
0


A
Q
 E 0   dl 
B
B   
B

W  -q  E dl  -q   E 0    dl   -q  Er dr
A
A  Er   dlr dr 
A



B Q 1
Q 1 B
 -q 
dr

q
4 0 r 2
4 0 r A
A
B
A
verplaatsing van A naar A (kringintegraal): W  0  -q  Edl
A
geldt voor puntlading en iedere kring, dus ook
voor uitgebreide ladingsverdeling
nieuwe veldvergelijking!
q
 
E

d
l

0

III: Wat heb ik geleerd?
Divergentie
   
   Ax  A y  Az
   , ,     A 


x
y
z
 x y z 
 
 
Stelling van Gauss:  Ado   Adv
oppervlak
Verband E en 
 
 Edv 
volume
  1
 Edo 
oppervlak
Wiskunde:
Gauss
Voor iedere kring en voor iedere
ladingsverdeling:
volume
  
 dv    E 
 0 volume
Natuurkunde:
Coulomb/Gauss
 
E

d
l

0

0
Elektrostatica
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Inhoud
Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht
Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld
 
 E   /  0
Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal
 
 E dl  0
Electrische Potentiaal & Energie
Elektrische velden in materie: Geleiders
Elektrische velden in materie: Isolatoren
Griffiths:
 Gradiënt:
 Potentiaal V:
 Energie & Arbeid:
§1.3.2 en §1.3.3
§2.3 m.u.v. §2.3.3
§2.4
De elektrische potentiaal
•Wiskunde: De gradiënt
•Veld en Potentiaal
•Voorbeelden
Wiskunde: de gradiënt
     
 , , 
 x y z 
een (scalaire) functieT(x,y,z) geeft Temperatuur
vraag: hoe verandert T en in welke richting?
Vuur
 T T T 
antw: de gradiënt van T : T  
, ,

 x y z 
(is een vector!)
Wil je zo snel mogelijk opwarmen?
Loop in de richting van T
 
dl // T
T1 T2
expliciet voorbeeld:
T(x,y,z) als ‘afstandfunctie’
T ( x, y , z ) 
x  y z  r
2
Logisch!
rekenen:




r
2x


T  
,...    rˆ
x  y  z ,...   
 x
  2 x  y z  r
2
2
2
2
2
2
2
2

 r
r   rˆ
r

df ˆ
Bolsymmetrische functies:  f ( r ) 
r
dr
Elektrische Potentiaal

Beweeg testlading q in E veld
van bronlading Q vanuit
naar punt P.


  Q rˆ 
F  qE  q
2

 4  0 r 
W

 P
r
Q P
Arbeid door persoon= verschil in potentiële energie
W
q
P
P
 U P   Fpersoon dr -  F dr


P
P
 -  F dr -  qE dr


rP
qQ r P 1
qQ  1 
dr

 
 -  q E dr  U P   2
4  0  r
4  0  r P 

Veelgebruikte definitie potentiaal:
(=energie om een ladingseenheid naar punt P te
brengen, ‘stilzwijgend’ vanuit ijkpunt in  )
Algemene definitie potentiaal:
Let op: de potentiaal heeft geen
directe fysische betekenis!?
Q
1
V P  UP / q 
4  0 r P
 
P  
V P  -  E dl  -  E dl 
P
ijk
ijk  

q
1
4  0 r P

Potentiaal V en Elektrisch veld E
 
Q 1
V P   E dl 
4  0 r P
P

Potentiaal verschil:
Hoe bepaal je het elektrische veld?
   
B  
V AB  V B -V A   E dl -  E dl  -  E dl

B
V is een scalaire functie:
B
B V
V
V
V
dx 
dy 
dz
x
y
z

Gradiënt van V, bepaalt E
A
V
V
dy 
dz
y
z
A x
B V V V 
  
, , dx ,dy ,dz 
A x y z 
V B -V A   dV  
A
dV 
A
dx 

  V dx ,dy ,dz    V dl
B
B
A
A



E  -V
Gradiënt van de Potentiaal


E  -V
Controle voor
puntlading:
Veldlijnen & equi-potentiaallijnen
V 
1 
1
 
r
x2  y2  z2
1
4  0 r

Q 1 ˆ
E
r
2
4  0 r

1


iˆ  ......... ˆj  .......kˆ
x x 2  y 2  z 2 y
z
x
y
z
 - 2 2 2 3 / 2 iˆ - 2 2 2 3 / 2 ˆj - 2 2 2 3 / 2 kˆ
(x  y  z )
(x  y  z )
(x  y  z )
rˆ
- 2
r

Q<0
Q

df

f ( r )  rˆ
Of gebruik:
dr
Grafisch:
elektrische veldlijnen
equipotentiaalijnen
Veldlijnen link .
http://www.cco.caltech.edu/~phys1/java/phys1/EField/EField.html
Elektrische veldlijnen:
Lijnenpatroon die richting en sterkte
van het elektrisch veld weergeeft
Equipotentiaallijnen:
Kollectie van krommen waarbij langs iedere
kromme de potentiaal een constante waarde heeft
Omdat E-V en omdat V de richting aangeeft waarin
V het sterkst verandert staat E  krommen met V=constant!
Kringintegraal elektrisch veld II
verplaats q van A naar B (=arbeid door persoon)
A
def. potentiaal
q
B
B

A B: W -  F dl -  qE dl  q(VB -VA )


A
A

qE dl  q(VA -VA )0
 A A: W 
kring : A A


Wisten we al:
nogmaals m.b.v.


E  -V
Q
B
 
E

d
l

0

B
B
A
A
A
A
A
A
WAB  -  E dl   V dl  V B - V A
WAA  -  E dl   V dl  V A - V A  0
V.b. potentiaal dipool
P(r,)
Coördinaten voor punt P: (r,):
q 
1
1

V P (r ,  ) 


4  0  r - d cos r  d cos 
2 d cos 2 qd cos


2
4  0
4  0 r 2
r


p cos
prˆ
pr

2 
2 
4  0 r
4  0 r
4  0 r 3
q
r
dcos
-q

2d
+q
p=2qd
Bereken nu E via de potentiaal V:


  p r 
-1   xp x  yp y  zp z 
E P (r,)  - V P (r,)  -
,...
3
 4π ε r 3   4π ε  x
r
0


0 
Potentiaal is


dus handig:
 - p 3rˆ rˆ p 
-1  p x 3 x xp x  yp y  zp z

,...
• geen vector
3
5
3

4π ε 0  r
r
4π ε 0 r
•( en meetbaar)



v.b. Potentiaal uniform geladen Bol
E veld m.b.v. Wet van Gauss
 ρr
r  R: E 
3ε 0
V
 ρ R3
r  R: E 
rˆ
2
3ε 0 r
E
R
 
V ( r )  -  E dl
r
R
r
E

r ρ R3
 r ρ R3 '  r ρ R3 ' ρ R3
'
r  R: V ( r ) - 
rˆ dl  - 
rˆ dr  - 
dr 
2
2
2
3
3
3
3ε 0 r
ε
ε
ε
 0 r'
 0 r'
 0 r'
R ρ R3
r ρr'
r  R: V ( r ) - 
dr' - 
dr'
2
 3ε 0 r'
R 3ε 0
ρr' 2
V ( R )6ε 0
r
R
ρR 2 ρr 2 ρR 2 ρR 2 ρr 2



3ε 0 6ε 0 6ε 0 2ε 0 6ε 0
E
Bol

Discussievraag 3
Voor een puntlading geldt E~1/r2 en V~1/r
Voor een lijnlading geldt E~1/r je verwacht voor V:
A
B
C
D
V = constante
V ~ ln r
V ~ 1/r
V~r
Energie
De energie van een ladingsverdeling
De energie van het elektrische veld
Energie van een ladingsverdeling
Voor N ladingen q1, q2, ...
Energie in ladingsconfiguratie?

 P
rP
q
Q
P


W  -  F qdl  -  qEdl
P
  qV dl  qV P 

Voor energie U:
(Uveld=W)
q4
q1
Integreer kracht op q van  
P
r24
q2
Qq
4 0r P
q3
W 12 
q1q 2
4 0r12
W 123
 q1
q1q 2
q2 
 q 3


4  0r12
4

4


r

r
0 13
0 23 

qq
qq
q1q 2
 1 3  2 3
4  0r12 4  0r13 4  0r 23
q iq j 1
1
 
  q iV (r i)
i

j
2 4 0r ij 2 i

qiq j
1
1
1
U W  
  q iV (r i) 
 V (r )dv
2 i  j 4 0r ij 2 i
2 volume
energie in het E - veld
Energie ladingsverdeling:
1

Diskreet : U   qiV ( r i )
2 i
1


Continu : U 

(
r
)
V
(
r
) dv

2 volume
Energie in termen van E-veld?
Gebruik:
 
 
 
  E x   V 
E xV 
  EV 
 ...  
V  
 E x  ...  E V  E V
x
 x   x 
Afleiding voor


  
E  -V
 E 
liefhebbers!
 
 
0


 
0
1
0
U
 Vdv 
 E Vdv 
 E V - E Vdv
2 volume
2 volume
2 volume
 0

 
0
0 
 
2

 E V  E Edv    doEV   E dv  
 E 2 dv
2 volume
2 oppervlak
2 volume
volume


Energie geladen boloppervlak
R
straal R en lading Q
(dus =Q/4R2)
V-E
Gauss:

  r  R:
E( r )  


r  R:
V( r
R
r


r  R:

)  

r  R:


R
2
r 0
2
rˆ
r  
V ( r )  -  E dl



E  -V
0
2
2
rR 
R
-  2 dr 
r 
r 0
0
2
rR 
R
-  2 dr V ( R ) 0
r 
0
0
1e methode: via  en potentiaal
2emethode: via E-veld
1
1
R
U
do
 Vdo 
 
2 oppervlak
2 oppervlak  0
0
0  R  
2
U
 E dv 
  2  dv
2 volume
2 rR  r  
0
2
2
1
R

Q
 4 R 2

2
8R 0
0
2
2
2
- 4 0 R 4 
Q

2 | 
2
r 0 R 8R 0
2
Energie geladen bolvolume
We hebben gezien:

 R3
r  R: V ( r )
3 0 r
V ( r )  
2
2
r  R: V ( r )  R -  r

2 0 6 0



r  R:
  
E(r )  


r  R:

ρR3
rˆ
2
3r ε 0

ρr
3ε 0

R
V-E
straal R en lading Q
(dus =3Q/4R3)
R
r
1e methode: via het E-veld
U 
0
2
2
 E dv

volume
2 5
2 5
2 6

 2 6
4 0  R  2 r 4
4






4

R
0
R dr  
R  R 
dr


 2 2 

2
2 
2  0 9 02
2
R 9 0 r
 45 0 9 0 R  15  0

2e methode: via  en de potentiaal V
1
U 
 Vdv
2 bolvolume

  R2  r 2 
1
 2  R5 R5  4  2 R5
 dv 
4  -  
  

2 bolvolume  2 0 6 0 
4 0  3 15  15  0
3e methode: laagsgewijs: straal r “groeit” van r=0 naar r=R
2 2
2 5
2 2
R
4

 r

r
2

R
2
dq   4 r dr  dU  V ( r ) dq 
4 r dr  U  
4 r 2 dr 
3 0
15  0
0 3 0
IV: Wat heb ik geleerd?
Puntlading
Kracht, E-Veld
en Potentiaal
Gradiënt
 
V ( r )  -  E dl
r

Q
puntlading : E  Q rˆ
en
V

2

4  0 r
4


r

qQ rˆ

0
F 

2 en 
 3rˆ  p rˆ - p
p
rˆ
4  0 r
dipool: E 
en
V


4  0 r 2
4  0 r 3
   


 V V V  
   , ,   V   , , , E  -V
 x y z 
 x y z 
qi q j
0
1
1
Energie
2
U 

 Vdv 
 E dv
2 i  j 4  0r ij 2 volume
2 volume
ladingsverdeling
EXTRA: V.b. potentiaal  lange draad
Bereken VP direct:
V P (r P) 
r 2P  z 2
dq=dz
z
rP
p
1


4  0 -
  dx


2
2
2
4


r P z
0 - 1 x
dz



ln x  1 x2 |  ongedefinieerd!
4  0
-


Wat mis?
Uitdrukking V geldt indien V()=0!
Hoe wel?
Kies V=0 referentie punt anders:
b.v. @ r=1 i.p.v. @ r= 
1






rˆ  dr 
ln r |  ln r P
V P   E P ( r )  dr  
2  0
2  0
P
P 2  0 r
r
r 1 
r 1
P
Elektrostatica
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Inhoud
Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht
Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld
 
 E   /  0
Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal
 
 E dl  0
Electrische Potentiaal & Energie
Elektrische velden in materie: Geleiders
Elektrische velden in materie: Isolatoren
Griffiths:
 Geleiders:
 Beeldladingen:
 Condensator:
§2.5
§3.2 m.u.v. §3.2.4
§2.5.4
Geleider
De karakteristieken
De beeldladings methode
De symmetrie (Gauss) methode
De condensator
Voorbeelden
Materie: de geleider
Geleider: () veel vrije ladingsdragers!
E


E   0
+Q
Eextern
Extern
veld
V=constant
Karakteristieken:
– E=0 in geleider
– lading op de rand
– =0 in geleider
– E  geleideroppervlak
– Vgeleider=constant
 
E 0  lading gaat bewegen!
waar anders!
 
  0E 0
 
E // 0  lading gaat bewegen!
B 

V A - V B   E  dl  0
A
DEMO: Ladingstransport
Geleider: Hoe pak je het aan?
Bekend: E=0 in geleider
Onbekend: oppervlakteladingsverdeling 
E  geleideroppervlak
potentiaal V (of lading Q)
 
standaard methode E P ( r P ) 
 
1

4  0 volume  0
I. symmetrie  richting van E?
 wet van Gauss geeft E

 ( r ) r P - r 
 3
r P -r
3
d r werkt niet!
d
E
Q
II. Simuleer invloed geleider door ladingen?
 “beeldladings methode” geeft E
Q
V=0
-Q
Q
Beeldladingsmethode
V=0
E
k̂
d
Q
-Q
x
Q
E
z
-d
y
Potentiaal: V ( x, y, z) 

1 
4 0 

Q
+d



2


Q
-
2
x  y  z - d 
x 2 y  z  d 


-2d
Q
E - veld  geleider: E ( x , y ,0)  -V ( x , y ,0) 
kˆ
3
/
2
4  0 2  y 2  d 2
x
2
2
2

Ladingsdichtheid :
σ(x,y) ˆ
-Q2d
 k  E ( x, y,0) 
4 0
ε0
r
-Q2d  2π
  totaal   σ(x,y)dxdy 


4 0 0 r 2  d 2
plaat


1
 x  y d 
3/ 2

2
2
2
3/ 2
-1
d dr  -Qd
r
2

|  -Q
d 2 0
Discussievraag 5
In de onderstaande situatie met twee even grote
maar tegengestelde ladingen geldt:
A
E=0 op het hele oppervlak
B De component van E loodrecht
op het oppervlak is overal nul
C A en B zijn beide onjuist
oppervlak
Puntlading met geleidende bolschil
E-V
  

Q 1
 r b:  E dl 
4

0r
r


b  
Q 1
V ( r )   a  r b: V (b )   E dl 
4

 0b
r


a  
Q 1 1 1
 r  a: V ( a )   E dl 
 -  

4

 0 b a r 
r
E
a Q
b
0
0
a b
r
Symmetrie: E-veld radieel  wet van Gauss


 r  a: Gauss bol  4 r 2 E  Q  E ( r )  Q rˆ
0
4  0 r 2


 

Q 1
-Q
dq



 a  r b: E 0, Gauss bol  0 

a
2


4

a

0
0 lading r  a

 

Q
Q
Q rˆ
2
 r b:  dq 0   b 
Gauss bol  4 r E   E ( r )
2
0
4  0 r 2
4 b

geleider
Condensator
-Q
+Q
E
V  V  Q - V -Q
-
 
  Edl  Q

Q
  constant  C
V
C heet: “capaciteit”
Eenheid:
[C]=[Q]/[V]=Coulomb/VoltFarad
Praktijk: F d.w.z. 10-6 F
Energie van condensato r :
q q  q
U U  U

qq
U V ( q ) q 
C
Q
2Q
2
qdq 1 q
1Q 1 2
 U   U   dU  

|
 CV
2C 0 2 C 2
0 C
V.b. plaatcondensator

d
ˆ
d
d
+Q
E+
d
-Q
E-
Gauss doosje enkele plaat:
E
2E ( A) 
 ( A)

 E 
2 0
0
⇒ E- veld tussen platen: E  E   E - 

d
dx 

0 0
0
Q  A 0 A 0
 capaciteit: C  

V
d
d
-
d
 potentiaal: V   Edl  
Plaatcondensator:
• lading Q
• separatie d
• oppervlak A





2 0 2 0  0
DEMO:
Plaatcondensator
V.b. Cilinder- en bolcondensator
Cilinder
• lengte L>>b
• stralen a en b
• lading Q
Gauss cylindertj e :
E r 2rl 
 2al
a
 Er 
r 0
0

  a
 E -veld: E  E r 
rˆ
r 0
  b a
a
potentiaal: V   E dr  
dr  ln b / a 
0

a r 0
-
b
Gauss bolletje :
a
+Q
E
 capaciteit : C 
 4 a 2
 a2
E a 4 r 
 Ea  2
0
r 0
2

   a2
 E -veld: E  E r  2 rˆ
r 0
  b  a2
 a2 1 1 
 potentiaal: V   E dr   2 dr 
 - 


a r 0
0 a b
2L  0
Q 2aL 0


V a ln b / a  ln b / a 
b
+Q
a
E
-
4 a 2 0
Q
ab
 capaciteit : C  

4

0
V  a 21 / a -1 / b 
b-a
Boloppervlakken
• stralen a en b
• lading Q
V: Wat heb ik geleerd?
Materialen:
– Geleider
E via Gauss (symmetrie)
Beeldladingsmethode
E

E   0

V=constant
E
Condensator
Q
 constant  C en
V
1
2
U  CV
2
-Q
+Q
Elektrostatica
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Inhoud
Wet van Coulomb: vergelijking voor elektrische kracht
Wet van Gauss: vergelijking voor elektrisch veld
 
 E   /  0
Veldvergelijkingen: Divergentie en Kringintegraal
 
 E dl  0
Electrische Potentiaal & Energie
Elektrische velden in materie: Geleiders
Elektrische velden in materie: Isolatoren
Griffiths:
 Materie:
§4 m.u.v. de moeilijke stukken!
Electrische velden in
di-elektrica=isolatoren
concepten
Polarisatie neutraal atoom
 
E0
R
elektronenwolk
uniforme bol (R)
+Q
-Q
 
E0
bolsymmetrisch
 dipoolmoment
FE
E
+Q
Fe



p

 " polariseerbaarheid" p  Qd  E en   
E
Element Z
/0
------------------------------Helium 2
3x10-30 m3
Neon
10
5x10-30 m3
Argon 18 20x10-30 m3
Waterdamp 500x10-30 m3
d
-Q
Polarisatie polair molecuul

p
H
O
Moleculen intrinsiek dipoolmoment p
Voor E=0: oriëntatie p random
Voor E0: oriëntatie p // E
H
 
E 0

p
E


E  0
Di-electricum Macroscopisch
Een isolator wordt door een veld, Eo
gepolariseerd (P ) . Dit heeft een
netto ‘gebonden’ oppervlaktelading
(pol) tot gevolg en dus een ‘extra’
electrisch veld, Epol
Eo
+-+-+-+-+-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+-
E pol
P
Etotal=Eo+Epol


 pol Pnˆ Lineare materialen; netto lading alleen op rand (dit college)
P  
  pol-P  Algemene uitdrukking (voor later)
- Lineaire isolator
eenvoudigste relatie E (=Etotal) en P
 


P  E  P   0  e E   pol
susceptibiliteit=
 e Electrische
polariseerbaarheid
Polarisatie van een materiaal in E-veld




P  E  P  0 e E
Eenvoudigste relatie E en P :
Merk op: configuratie fysisch
equivalent aan twee geladen platen.
Dus gelijke relatie E veld en lading
als plaatcondensator:
Netto
+
P
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
E pol
Opgelegd veld: Eo
+
+
+
+
+
-
-

 pol
1 
E pol 
- P
ε0
ε0
In materiaal
 


1 
E  E0  E pol  E0 - P 
ε0
 

1
E  E0 ε0 χ e E

ε0


1
E
E0
 χ e  1


Vlakke isolator met di-electrikum (I)
z
a
+vrij=Q vrij /A (gegeven)
Gebonden
lading
+++++++++++++++
e
+ + + + + + + + + + + + + + + +
--------------------
d
‘Lege’ plaatcondensator:
a

2aEboven  vrij  2 Eboven  vrij 
0
0
 vrij
E cond 
0
d
d vrij dQvrij
V   dz E cond 

0
0
0A
A
C  Q /V   0
vrij
d
Vrije lading
+ + + + + + + + + + + + +
Econd =Eboven +
Eonder
Econd =2Eboven
Met di-electrikum
veld in condensator veranderd
1
1  vrij
Evrij 
E cond 
1  e   0
1  e
1 dQvrij
V
1  e   0 A
A
A
C  Q /V  1  e  0  
d
d
C  1  e Cvacuum
vrij
Econd
-
- - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - -
+
+
+
+
+
+
+
+
Vrije lading
Gauss doosje
DEMO: Plaatcondensator met
dielektricum
VI: Wat heb ik geleerd?
Materialen:
– Isolator


 pol Pnˆ 
P  
  pol-P
Gebonden lading
p
- Eenvoudigste relatie E en P :




P  E  P  0 e E
Polarisatie in materie verkleint E veld:
1
1  vrij
Evrij 
1  e   0
1  e
Plaatcondensator
C  1  e Cvacuum
E cond 
De elektrische verschuiving D
E-veld wordt bepaald door totale ladingsverdeling. Daarom beschouwen het E-veld
ten gevolge van vrije lading en gebonden (of polarisatie) lading.
Voor E-veld (divergentie stelling):
 
  
 vrij  pol  vrij P
totaal
 E 



-
0
0

0
0


   
  vrij     0 E  P    D




  
 vrij     0 E  0  e E    D
   
 vrij   0  0  e   E    D
   
 vrij    E    D
 
   
 E  D en dus P  0 e D

Voor liefhebbers!
0
D is een ‘hulpveld’ om rekenen
makkelijker te maken! D hangt
alleen van vrije lading af en bepaal
je bij voorkeur met Gauss.
Gevolg:
het uiteindelijke E-veld ten gevolge van
vrije ladingen en gepolariseerde (lineaire)
materialen hangt alleen en slechts alleen
af van de vrije ladingen!
En de polarisatie P dus ook.
Vlakke isolator met di-electrikum (II)




P  E  P  0 e E
Eenvoudigste relatie E en P:

 


D  0 E  P  0 E  0 e E
Nu volgt overal E uit D:


  0 1  e E   E met    0 1  e

 
 
Gebruik   D   vrij of  Ddo Qvrij -enclosed
Dus E via D via Gauss : D plaat
Dcond  2 D plaat    E cond


a
2

 Dcond 
D
d

pol=Pn
-0eEcond
Voor liefhebbers!
+
a




Capaciteit
C
Q
V
:
C isolator  C vakuum 1  e 
Discussievraag 6
Een diëlektrische plaat bevindt zich voor de helft in een
geladen condensator. De condensator is geïsoleerd van
de omgeving. Op de plaat werkt:
A geen kracht
B een kracht naar links
C een kracht naar rechts
+++++++++
---------
Isolatoren: energie en kracht
2
1
1
Q
2
Vacuüm: U  C vacuum V 
2
2 C vacuum Isolator:
1
2
U  U  1  e C vacuum V
2
a
a
E
F
+Q
Gevraagd:
V
e
x
a 2 0 ax 0  e
C ( x) 

d
d
d
-Q
- Kracht F op isolator
Aanpak:
1. Via U(x)  F=-dU/dx
Opties:
A. Q constant
B. V constant (lastig!)
U
Q2
Q2
Q2 a 0  e
Q2 a 0  e
A: U  
 - 2 C  - 2
x  F  
2C
d
x
2C
2C
2C 2 d
Batterij
Voor liefhebbers!
Condensator
doet werk!
2
2
a 0  e
CV 2
V2
Q
Q
2
B: U  
-  QV  
C - V C  - 2 C  F 
2
2
2C
2C 2 d
Practicum Electrostatica
Test zelf de theorie! (of geloven jullie alles wat ik vertel?!)
1.
2.
3.
Millikan  quantisatie van lading. (mondeling + verslag)
De Plaatcondensator & De Cilindercondensator. (mondeling +2 x verkort
labjournaal)
De Spiegellading  moeilijk. (mondeling + verkort labjournaal)
Keuze: 1+2 of 1+3. Zie de college webpage voor meer documentatie
Toetsing: Millikan verslag  denk aan foutenrekening!
RMS
Schatting fout op gemiddelde:
RMS / N
mean
Mondeling  docent loopt rond tijdens practica en stelt
steekproefsgewijs vragen over de opstelling/meting.
Quantisatie elektrische lading
http://www.sciencejoywagon.com/physicszone/lesson/07elecst/millikan/millikan.htm
PRAKTICUM: Millikan
PRAKTICUM: Cilindercondensator
Van de korte proefjes
dien je altijd een verkort
labjournaal in te leveren.
Deze worden
steekproefsgewijs nagekeken.
V
radius a
0-10V
r
d
Voorbeeld verkort
labjournaal:
Theorie zegt:
V~ln(r)
(geef afleiding)
r (cm)
V
(Volt)
1
0+- 0.5
2
3+-0.5
3
4+-0.5
4
6+-0.5
Conclusie:
theorie lijkt
niet helemaal goed
uit te komen bij hoge
r. Misschien was
............
of statistiek.
V
r
Plaatcondensator
Spiegellading
No picture yet.