Transcript Chapter 11 Part I :反應曲面技術 (Response Surface Methodology)

Chapter 11
Part I :反應曲面技術
(Response Surface Methodology)
Why/When to Use RSM?
• 已知此反應變數(Response Variable)受數個因子
之影響.
– 必須經由實驗設計所證實.
• 吾人想知道此反應變數之最佳值
• 目標值
• 最大值
• 最小值
• 目的: 如何設定因子之水準(區間), 使反應變數
達到最佳值.
&Six
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RSM之基本原理
• 真正的函數關係 Y = f(x1, x2) + e
反應曲面(Response Surface)  = f(x1, x2)
• 若因子之區間縮小, 則 f(x1, x2) 可用多項式來趨近.
如:
Y = b0+b1x1+b2x2+…+bkxk+e (first order)
Y = b0+bixi+biix2i+  bijxixj+e (second order)
&Six
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反應曲面 - Example
&Six
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The Method of Steepest Ascent
• 目的: 為能快速達到最佳反應變數值之鄰近區
域.
• 假設: 在遠離最佳反應變數值的地方, 一般而言,
使用 First-order Model 已經足夠.
• Steepest Ascent 是一種沿著最陡峭的路徑(亦即
反應變數增加最快之方向), 循序往上爬升的方
法.
• 若用以求極小值, 則稱為 Steepest Descent.
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Steepest Ascent
- 圖解
&Six
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Steepest Ascent - Example
• “525.DX5”
• 因子: 1: 反應時間 (35 min.)
2: 反應溫度 (155 oF)
反應變數 Y: 平均產出水準 (40%)
• Coded Variable (X1;X2) = (-1 ~ 1; -1 ~ 1)
• Natural Variable ( 1;  2) = (30 ~ 40; 150 ~ 160)
&Six
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Example 525 之實驗數據
• 重複中心點
– Error 之估算
– First-order Model
是否合適 ( Fit? )
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Example 之 ANOVA Table
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Example之分析結果
• 實驗所得之回歸模式(Regression Model)為
y = 40.44 + 0.775x1 + 0.325x2
• x1與x2之係數(0.775 and 0.325)相對於係數之
standard error = sqrt(MSE/d.f.e) = 0.10大的多; 故
兩係數均顯著.
• 下次實驗之移動方向:
– 以移動係數最大之因子一個單位 (以Coded Variable
為基礎), 故選擇 x1 = 1, 則x2 = (0.325/0.775) x1 =
0.42
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Example 之後續實驗結果(一)
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Example 之後續實驗結果(二)
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Example 之後續實驗結果(三)
-ANOVA
• 實驗所得之回歸模式(Regression Model)為
y = 78.97 + 1.00x1 + 0.50x2
• 需進一步之實驗以求取最佳點.
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Steepest Ascent 步驟
• 2k + nc center point 或 CCD 或 其他
• First-order Model 顯著, 且Curvature不顯著; 否
則已在最佳點附近.
• 取係數之絕對值最大者; 選定其Step Size xi.
• 其他因子之Step Size =>
xi / bi = xk / bk
• 將xi換算成Natural Variable; 回到第一步驟.
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Second-order Model 之分析
• 當非常接近最佳點時, First-order Model
便不再適用; 此時應用 Second-order
Model 或更高階之Model來趨近真實反
應曲面的曲線(曲面)情形.
&Six
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Central Composite Design (CCD) Example
• “534.DX5”
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CCD 結構圖
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CCD Example 之 ANOVA
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CCD Example 之反應曲面
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CCD Example 之反應曲面_Contour Plot
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Chapter 11
Part II: 反應曲面技術
- 設計之選擇
- Optimization
- EVOP
反應曲面技術選擇設計之原則
•
•
•
•
•
•
•
•
&Six
在試驗區間內, 提供合理的資料點分布
允許 Model 適合度之分析 (Lack of Fit)
允許區隔化 (Blocking)
允許高階 Model 被循序漸近式的建立起來
提供自然誤差 (Pure Error) 之估計
較少的實驗次數
較少的因子水準數
估計 Model 參數之計算過程應儘量簡單
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一階 Model 之 RSM 設計
• 考慮因素: 直交 (Othogonal)
• 2k + nc center point
• 2k-p + nc center point, 但必須為解析度III以上,
Why?
• Simplex Design
– k 個因子, 使用 k+1 次(頂點)實驗
&Six
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Simplex Design
&Six
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設計之比較 - Example
• 23
– 無法估算 Pure Error
- 4 d.f. 之 Lack-of-fit
– 缺點 : Model是否合適無法得知
• 23-1 + 4 center point
– 3 d.f. 之 Pure Error
- 1 d.f. 之 Curvature
– 缺點: 交互作用無法得知
• 23-1, n = 2
– 4 d.f. 之 Pure Error
- 無法估算 Lack-of-fit
– 缺點: 交互作用及二次項無法得知
• 最好用23 + 4 center point
&Six
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二階 Model 之 RSM 設計(1/4)
• 考慮因素: 直交 (Orthogonal) 與 可旋轉性
(Rotatable)
• Central Composite Designs (CCDs)
– 2k 或2k-1 (解析度V) + 2k 個軸點 (Axial Points) + nc
center point
– Factoral Points [2k或2k-1 (解析度V) ]: 估算主作用及
兩因子交互作用
– Axial Points: 估算純粹之二次項
– Center Points:估算純粹之二次項及 Pure Error
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Information Surfaces and Contours
_22 Design
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Information Surfaces and Contours
_32 Design
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Information Surfaces and Contours
_Second-order Rotatable Design
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CCD 圖示
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常用之 CCDs
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二階 Model 之 RSM 設計(2/4)
• Face-centered Central Composite Design (FCCD)
– 除了 a = 1以外, 其餘
與 CCDs同
– 當部份因子之水準數
只有三個, 或為離散性
質時
– 可旋轉性 (Rotatability)
較差, 應儘量避免使用
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二階 Model 之 RSM 設計(3/4)
• Box-Behnken Design
– 各因子皆為三水準 (-1, 0, 1)
– 任意兩因子做22, 而其他因子固定在說水準, 在加上
nc center points
– Rotatability 較 CCDs 來得差些, 但亦不錯
– 當 k = 3 時, 實驗次數較 CCD 來得少 12+nc Vs. 14+nc.
當 k = 4 時, 實驗次數與 CCD 同 => 24+nc.
當 k = 5 以上時, 實驗次數較 CCD 來得多.
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Box-Behnken Design (k = 3)
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Box-Behnken Design (k = 4, 5)
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二階 Model 之 RSM 設計(4/4)
• Hybrid Designs
– 前面 k-1 個因子水準組合利用 CCDs, 最後一個 (kth)
因子之水準運用對稱之原理來決定
– 非常有效率 (Small Sample Size)
– 適用因子數 k = 3,4,6,7
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Hybrid Design 範例
Hybrid 310
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Hybrid 311A
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Hybrid Design 範例
• Hybrid 416A, 416B, 416C
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Design Optimality Criteria
• D-Optimality and D-Efficiency
– Rotatability
– Model 中係數估算之準確性
• A-Optimality
– Model 中係數之變異程度
• G- and Q-Optimality
– 用 Model 來預測實驗區間之準確性
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適用之二階
RSM Designs
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Evolutionary Operation (EVOP)
• 當吾人運用實驗設計及反應曲面技術得到最佳
之因子水準組合之後, 在某些情況下, 最佳值的
位置會漂移 (drift). 以致於所求得之因子水準
組合不再適用.
• EVOP 即是一種實驗方法, 直接在線上操作, 用
以對應此種漂移現象, 確保得以產生最佳值之
因子水準組合.
• 2k + center point, 以 cycle 之方式進行.
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EVOP 之圖示
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EVOP Example (1/5)
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EVOP
Example
(2/5)
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EVOP
Example
(3/5)
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EVOP
Example
(4/5)
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EVOP
Example
(5/5)
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Chapter 11
Part III: 混合設計
(Mixture Designs/Experiments)
混合設計之目的
• 前所提及的反應曲面技術設計, 每一因子水準
之選擇皆與其他因子無關 (Independent); 然而,
實際的系統中, 常會因為某一因子水準之選擇,
而使得另一因子的水準必須固定在某一數值上
(Dependent). 此時, 吾人便必須使用混合設計
(Mixture Designs) 才能將此種現象呈現出來.
• Example:
– 化學/醫藥的配方中各元素之水準.
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混合設計之數學關係式
• 假設 x1,x2,...,xp 為一混合物之各組成元素所佔
比例, 則
0  xi  1, i = 1, 2, ..., p
且
x1 + x2 + ... + xp = 1 (i.e. 100%)
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混合設計之圖示
&Six
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三重線性座標系統
(Trilinear Coordinate System)
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{p, m} Simplex Lattice Design
• p 個因子,
每個因子
取m+1
個水準.
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Simplex Centroid Design
• p 個因子取 2p-1 次實驗
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Mixture Models
• Linear:
Y = bixi
• Quadratic:
Y = bixi +  bijxi xj
• Cubic:
Y = bixi +  bijxi xj +   sijxixj(xi - xj) +
  bijkxi xj xk
• Special Cubic:
Y = bixi +  bijxi xj +   bijkxi xj xk
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Example “556.DX5”
• 因子: 用以生產纖維,
並編成線, 做成布料.
– x1: 聚乙烯
– x2: 聚苯乙烯
– x3: 聚丙烯
• 反應變數
– y: 伸張度
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其他混合設計
• Screening Design
– 實驗初期使用, 用以過濾不顯著之因子.
• D-Optimal Design
– 較為複雜
• Distance based
– 不建議使用
• Modified distance
– 不建議使用
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實驗設計之流程
因子皆不顯著
Screening Experiments
- 找出重要因子
- 2k-p+nc 解析度為 III (含)以上.
2k+nc
2k-p+nc
-顯著因子數較少
縮小因子之水準範
圍再重做一次, 若結
果一樣, 則重新選取
因子.
Fold Over
-顯著因子數較多 - 所有因子皆顯著
One Factor
&Six
- 單一因子顯著
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反應曲面技術之流程
實驗設計
Steepest Ascent
- 找出重要因子
- 由原操作點, 或實驗設計結果之較佳點出發.
- 2k+nc, 或 2k-p+nc 解析度為 III 以上.
最佳點附近
CCD
- 因子之水準數為 5
&Six
Box-Behnken
- 因子之水準數為 3
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Hybrid
- 因子數為 3, 4, 6.
- 實驗次數較少
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混合設計之流程
Screening Design
Simplex Lattice
Design
過濾因子
Simplex Centroid
Design
實驗次數較多
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