Transcript Resumen de la Clase Anterior

Resumen de la Clase Anterior
1. Dimensionalidad: Numero de variables “independientes”
de un espacio
2. Coherencia: Objetivo general de la física como un
programa de búsqueda de coherencia (de correlación, de
causalidad, de interacción)
3. Espacios unidimensionales: El tiempo y la línea espacial.
4. Medida en espacios unidimensionales:
• Conteo de eventos periódicos (numero de oscilaciones,
grano).
• Probabilidad de extinción (exponenciales)
• Concatenación de medidas (escaleo)
• Medidas Relativas y Medidas absolutas (el
interferómetro)
• Reglas lineales (grano constante) o logarítmicas.
Programa de la Clase de Hoy
1. Dimensionalidad: Otras propiedades fundamentales de
un espacio: METRICA y CARDINALIDAD
2. Coherencia: Funciones, como objetos que relacionan
variables aparentemente independientes.
3. Espacios unidimensionales: Relación entre el tiempo y el
espacio. Movimiento. El tiempo como referencia.
4. Medida en espacios unidimensionales:
• Conteo de eventos periódicos (numero de oscilaciones,
grano) y probabilidad de extinción (exponenciales)
Exponenciales y oscilaciones como formas canónicos del
movimiento. Convergencia y equilibrio.
PLAN DE RUTA
1. Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una
primera relación establecida por una función entre dos
conjuntos.
2. Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de
funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del
espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura)
3. Formas canónicas del movimiento: Oscilaciones,
exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones
ordenadas, estacionarias y no divergentes.
4. Espacios métricos: Como asignar una medida a una
variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o
diferencia de medidas experimentales en una funcion de
distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y
terremotos.
Funciones y Cardinalidad
•Una función relaciona elementos entre dos conjuntos (A y B)
•La función es inyectiva si dos elementos de A no van a parar a un mismo elemento
de B: #(A) ≤ #(B) (A puede inyectarse en B)
•La función es sobreyectiva si su imagen (todos los elementos que son función de
alguien) corresponde a #(A) ≥ #(B) (A puede llenar B)
•La función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Es decir si existe un mapeo
“uno a uno” #(A) = #(B) (A es “equivalente” a B)
•UNA PRIMER MEDIDA DE COHERENCIA ENTRE DOS
DETERMINADA POR UNA FUNCION ES LA DE CARDINALIDAD
Sobreyectiva,
no inyectiva
Inyectiva,
no sobreyectiva
Biyectiva
ESPACIOS
No sobreyectiva
no inyectiva
Cardinalidad en Conjuntos Infinitos
En análisis y en la gran parte de este curso trabajaremos con conjuntos
continuos (y no discretos como en el ejemplo anterior) e infinitos.
Algunos espacios infinitos relevantes (de dimensión 1) son:
La Recta Real
Los Naturales
1 2 3 4 5 6 7 8 ∞
1 2 3 4 5 6 7
…
Discreto,
No acotado
El Intervalo (I1)
∞
0
El Circulo (S1)
1
…
Continuo
No Acotado
Continuo
Acotado
Continuo
Acotado
Sin Bordes
Son todos los infinitos igual de grandes?
I. Los racionales NO SON MAS que los naturales:
Q= NxN
1/1
2/1
3/1
4/1
5/1
6/1
7/1
1/2
2/2
3/2
4/2
5/2
6/2
...
1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 ...
2/3 2/4 2/5 2/6 ...
3/3 3/4 3/5 ...
4/3 4/4 …
5/3 …
…
Son todos los infinitos igual de grandes?
Tal vez simplemente los infinitos son todos infinitos
y, por lo tanto, igual de grandes. Sin embargo, hay
menos naturales que puntos en la recta?
r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...
DEMOSTRACION DE CANTOR
•Suponemos que el intervalo [0,1] es infinito numerable.
•Podríamos elaborar una secuencia (suryectiva) de los números, ( r1, r2, r3, ... )
•Los reales entre 0 y 1 pueden ser representados escribiendo sus decimales.
Son todos los infinitos igual de grandes?
I. Los puntos en I1 NO SON CONTABLES (i.e. son “mas” que
los naturales)
r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...
DEMOSTRACION DE CANTOR
• Dada CUALQUIER función r, podemos construir un numero N(r) que no esté en la
imagen de R, eligiendo para cada decimal un valor distinto al de la diagonal.
•Por ejemplo el numero 0,7256389…
Siendo la Diagonal:
0,5140235 …
PLAN DE RUTA
1. Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una
primera relación establecida por una función entre dos
conjuntos.
2. Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de
funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del
espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura)
3. Formas canónicas del movimiento: Oscilaciones,
exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones
ordenadas, estacionarias y no divergentes.
4. Espacios métricos: Como asignar una medida a una
variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o
diferencia de medidas experimentales en una funcion de
distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y
terremotos.
Funciones y Dimensionalidad
•Formalmente la Cardinalidad de R y RN
(n>1) es la misma y por lo tanto puede
definirse una biyección entre ellas.
•En la practica, las funciones de Rm en Rn
suelen presentar cierta característica (por
la conservación de la dimensionalidad)
según si m < n, m = n o m > n.
Curvas que llenan el plano (Peano, Hilbert)
Funciones de R en R2: UN MARCO CONCEPTUAL UTIL PARA PENSAR
ESTAS FUNCIONES ES LA IDEA DE INMERSION.
f: t
[x( t) , y(t)]
A cada tiempo corresponde un punto en el plano. El conjunto de estos puntos
(la imagen de la función, o trayectoria) define una curva que corresponde a la
inmersión de t (que puede pertenecer a I1 o a R1) en el plano.
Inmersión del tiempo en el espacio:
Trayectorias
El ejemplo canónico de tiro oblicuo:
Tiempo (ms)
Notar que en la trayectoria (inmersión)
del tiempo, se ha perdido la noción
de temporalidad. No esta descrito
en que orden temporal se recorrió esta
trayectoria.
Función de
Movimiento
Espacio,R2, (mm)
1000
Y
500
0
1000
0
-500
-1000
-5000
0
X
5000
Inmersión del tiempo en el espacio:
Trayectorias
El ejemplo canónico de tiro oblicuo:
Tiempo (ms)
Para resolver esto es necesario
incorporar otra dimension, ya que la
funcion corresponde a puntos en el
espacio de [t, x(t), y(t)] es decir en R3.
La tercera dimension puede
representarse en una escala de color.
Función de
Movimiento
Espacio,R3, (t,mm,mm)
1000
1000
800
Y
500
0
1000
600
0
400
-500
200
-1000
-5000
0
X
5000
Inmersión del tiempo en el espacio:
Trayectorias
Una representacion equivalente pero
menos inteligible. Relevancia de
encontrar buenas representaciones:
El ejemplo canónico de tiro oblicuo:
Función de
Movimiento
Espacio,R3, (t,mm,mm)
1000
t
Tiempo (ms)
0
1000
500
0
1000
500
Y
0
0
X
2000
4000
Funciones y Dimensionalidad (II)
Hemos visto hasta ahora:
Funciones de R en R2: UN MARCO CONCEPTUAL UTIL PARA PENSAR
ESTAS FUNCIONES ES LA IDEA DE INMERSION (curvas en R3).
f: t
[x( t) , y(t)]
Funciones de R2 en R: DOS MARCO CONCEPTUALES UTILES PARA
PENSAR ESTAS FUNCIONES SON: MAPA ESCALAR (temperatura, altura)
representadas como superficies en R3 y PROYECCIONES (ej angulo)
f:[x, y]
T
Mapas Escalares: La anatomía de la
función abs(xy)
Imagenes del mapa
A lo largo de curvas
En coordenadas polares
50
4000
0
2000
0
0
50
1
2
50
0
0
3
-50
-50
-50 -50
0
50
4
5
50
3000
6
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
2000
0
1000
0
-50
-50
0
50
0
-50
0
50
1
2
400
-50
3
300
0
4
5
200
6
100
50
-50
0
50
0
-50
0
50
PLAN DE RUTA
1. Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una
primera relación establecida por una función entre dos
conjuntos.
2. Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de
funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del
espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura)
3. Formas canónicas del movimiento: Oscilaciones,
exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones
ordenadas, estacionarias y no divergentes.
4. Espacios métricos: Como asignar una medida a una
variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o
diferencia de medidas experimentales en una funcion de
distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y
terremotos.
Inmersión del tiempo en el espacio:
Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito
En este ejemplo, la trayectoria es acotada
porque para algún tiempo la partícula toca el
piso a partir del cual cambia la física del
problema: En este caso concreto la partícula
se pega al piso. En muchos problemas es de
interés estudiar el comportamiento para
tiempos infinitos (tiempo no acotado o por lo
El ejemplo canónico de tiro oblicuo:
menos tiempos “muy largos”.
Una primer pregunta relevante es si la
trayectoria correspondiente a este tiempo
infinito es o no acotada.
En el ejemplo del pingüino, en ausencia de
piso, la trayectoria diverge (aunque en
realidad, sin piso tampoco hay gravedad)
Existen trayectorias acotadas para tiempos
infinitos?
Inmersión del tiempo en el espacio:
Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito
Primer aproximación (equivocada) al problema: Monotonía.
Si una función siempre crece o decrece entonces la trayectoria
diverge (es decir no esta acotada)
1
0.8
0.6
x
Contraejemplo x(t)=e-(t/150)
Es estrictamente
decreciente pero siempre
positiva.
0.4
0.2
0
0
500
1000
t
Como se vería el grafico de esta función si se grafica los x
correspondientes a los tiempos de 1000 a 2000 segundos?
Inmersión del tiempo en el espacio:
Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito
1.5
-3
1
x
Contraejemplo x(t)=e-(t/150)
Es estrictamente
decreciente pero siempre
positiva.
x 10
0.5
0
1000
1500
2000
t
Se ve EXACTAMENTE IGUAL. La función e-(t/150) puede
“leerse” como la concatenación de la siguiente operación:
cada 150 segundos, divido por e. Nótese “la razón” de su
invarianza en el tiempo.
Inmersión del tiempo en el espacio:
Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito
Segunda aproximación (correcta) al problema: Extremos.
Si el movimiento de una partícula esta dado por funciones [x(t),y(t)] la
trayectoria esta acotada si estas funciones tienen máximo y mínimo
(no infinito) es decir, si la función toma valores acotados de manera
independiente de los valores de t.
Algunas funciones acotadas son:
Seno, Coseno, Exponencial(-t), 1/(1+t)
Coseno
Exp
1
Seno*Coseno
1
Seno*Coseno
0.5
1
0.5
x
0
x
x
x
0.5
0
0.5
-0.5
-1
0
0
500
t
1000
-0.5
0
500
t
1000
0
0
500
t
1000
0
500
t
1000
Posibles estados estacionarios:
oscilaciones y puntos fijos
Oscilan (y entre una y otra cambia el periodo)
Coseno
Exp
1
Seno*Coseno
1
Seno*Coseno
0.5
1
0.5
x
0
x
x
x
0.5
0
0.5
-0.5
-1
0
0
500
t
1000
-0.5
0
500
t
1000
0
0
500
t
1000
0
500
1000
t
Convergen (y entre una y otra cambia el ritmo de convergencia)
Oscilaciones:
X=[cos(t),sen(t)]
Convergencia a un punto fijo:
X= [e-(t/150), e-(t/150)]
1
1
0.8
0.5
Y
Y
0.6
0
0.4
-0.5
0.2
-1
-1
0
0
1
0
0.5
X
1
X
1
1000
1
1000
800
0.5
800
600
Y
-0.5
-1
-1
0.5
400
400
200
200
0
-0.5
0
0.5
1
0
0.5
X
500
0
1
1
Y
0
-1 -1
X
1000
t
Las
representaciones
mas informativas.
0
1
X
1000
t
Y
600
0
500
0
1
1
0.5
Y
0.5
0 0
X
Bases del Movimiento
•Los puntos fijos y las oscilaciones son dos ingredientes
canónicos del movimiento.
•El estudio del movimiento (y muchos otros problemas
dinámicos, es decir, que evolucionan en el tiempo) se
descomponen en el estudio de estados transitorios y estados
estacionarios.
•Los estados estacionarios – como las oscilaciones o los puntos
fijos- presentan cierta invarianza temporal. Oscilaciones y
puntos fijos son además soluciones “ordenadas” y acotadas.
•El movimiento de una bola en un billar es un ejemplo de
solución estacionaria “no ordenada”. La posición de una galaxia
es una solución (tal vez) estacionaria, ordenada y (tal vez) no
acotada:
•En la practica, uno suele ver (medir) los estados estacionarios
(o de equilibrio).
PLAN DE RUTA
1. Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una
primera relación establecida por una función entre dos
conjuntos.
2. Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de
funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del
espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura)
3. Formas canónicas del movimiento: Oscilaciones,
exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones
ordenadas, estacionarias y no divergentes.
4. Espacios métricos: Como asignar una medida a una
variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o
diferencia de medidas experimentales en una funcion de
distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y
terremotos.
Otras propiedades del espacio: Métrica
El Plano
Los Naturales
El Intervalo (I1)
El Circulo (S1)
y
1 2 3 4 5 6 7 8 ∞
…
D =abs(m-n)
0
1
x
Dist(x2,x1) x2  x1 2   y2  y1 2
D es cualquier función que satisface:
D = abs(x2-x1)
D=abs(θ1 – θ2)
D(a,a)=0;
D(a,b) > 0 (a distinto de b)
D(a,b) = D(b,a)
D(a,c) < D(a,b) + D(b,c)
Dada la métrica, existen vecindades
El Plano
Los Naturales
El Intervalo (I1)
El Circulo (S1)
y
1 2 3 4 5 6 7 8 ∞
0
x
…
dist(5) < 3
1
Dist(3,3) < 2
Dist(0.5) < 0.25
Dist(π) < π/2
De lo abstracto a lo concreto. La métrica determina exactamente la posibilidad de
medir (de establecer distancias y por ende similitudes y diferencias) entre los
elementos del espacio. Es un problema importante de las ciencias naturales (objeto
de investigación moderna) establecer una “buena” métrica para sus espacios.
Propiedades emergentes de la métrica:
1) Continuidad
El Plano
Los Naturales
El Intervalo (I1)
El Circulo (S1)
y
1 2 3 4 5 6 7 8 ∞
…
dist(5) < 0.5
Un mundo sin vecinos (a
distancia arbitrariamente
pequeña)
0
1
x
Dist(3,3) < 0.5
Dist(0.5) < 0.05
Dist(π) < π/5
Mundos con vecinos arbitrariamente cerca
 SE PUEDE HACER ANALISIS
(Derivar … Integrar …)
Propiedades emergentes de la métrica:
2) Existencia de Bordes
El Plano
Los Naturales
El Intervalo (I1)
El Circulo (S1)
y
1 2 3 4 5 6 7 8 ∞
0
x
…
dist(1) < 0.00…
1
Dist(x) < 0.0001
Un punto que no tiene
(dentro del conjunto,
ninguna vecindad, por
pequenia que sea)
Dist(0) < 0.00…
Todo punto contiene
una vecindad
Dist(x) < 0.0…
Métricas en Espacios no Euclideos,
funciones, imágenes, genes y neuronas
En general, dadas dos observaciones, un problema
típico con el que uno se encuentra es decir si son
iguales, si pertenecen a una misma categoría, si se
parecen poco o mucho, si a su vez se asemejan mas
que a un tercera observación, cuanto varia a medida
que uno la repite muchas veces y si uno manipula el
sistema. En fin, uno quiere establecer una DISTANCIA
entre distintas observaciones. Algunos ejemplos que
veremos son distancias en respuestas de neuronas
(trenes de espigas) y entre genes.
Distancia en el Espacio de Funciones
Distancia entre una función lineal
y una sinusoidal, marcada por el
área gris. Una de las distancias
mas simples en el espacio de
funciones, dada por la suma de la
distancia euclidea en cada punto
de la función.
1
0.5
0
-0.5
-1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Distancia en el Espacio de Funciones
1
0.2
0.15
Distancia
0.5
0
0.1
0.05
-0.5
0
5
10
15
20
0
0
5
10
Constante Exponencial
Esta es la idea de cuadrados mínimos, y permite ajustar una función
a una serie de datos. La función que “mejor” ajusta los datos (de una
familia de funciones) es la que resulta más cercana a los datos
originales.
Distancia en el Espacio de Funciones
1
0.2
Longitud promedio de los
segmentos definen la
distancia a la curva
0.15
Distancia
0.5
0
0.1
0.05
-0.5
0
5
10
15
20
0
0
5
10
Constante Exponencial
Distancia en el Espacio de Funciones
1
0.2
Longitud promedio de los
segmentos definen la
distancia a la curva
0.15
Distancia
0.5
0
0.1
0.05
-0.5
0
5
10
15
20
0
0
5
10
Constante Exponencial
Distancia en el Espacio de Imágenes
(Dinámica del trafico de proteínas en la célula)
P
E
R
Medida analoga a la distancia
entre funciones, la suma del
T
I
valor absoluto de la
M
luminosidad de todos los
pixels.
P
E
R
La importancia de poder
cuantificar para establecer
modelos correctos. PER y TIM T
I
entran juntos al núcleo o por
M
separado?
Meyer et al (2005)
Un problema con la distancia “euclidea”
en el espacio de imágenes (y de caras)
El problema de una distancia dada
por la suma de la diferencia de
luminosidad a través de todos los
pixels de la imagen es que distintos
ángulos de vista, o oclusiones dan
imágenes muy distintas
correspondientes al mismo objeto.
Una descomposición mas
inteligente del espacio de caras:
una base de “caras fundamentales”
o auto-caras.
La dimensionalidad del espacio de caras, cuantos
numero necesito dar para decir de quien hablo?
Imagen Original
Detección de rasgos por
comparación a un marco de
referencia
Descripción de una cara en
el espacio de rasgos
(mucho mas eficiente que el
espacio de pixels)
Midiendo distancias entre respuestas
neuronales
Supongamos que queremos saber que codifica una neurona.
•Presentamos dos estímulos distintos y medimos la respuesta.
•Que medimos?
•Una posibilidad (la más utilizada) es contar espigas. Esto equivale a
establecer una función f que mapea un tren de espigas en un numero.
Luego podemos utilizar la distancia en los Naturales. Es decir la
distancia (diferencia) entre una respuesta R1 y R2 está dada por: D =
abs(N(R1) – N(R2)) donde N es el numero de espigas de R.
•Todo la información que conlleva una neurona es el numero de
espigas?
•Acaso importa el tiempo en el que ocurren estas espigas? Vuelta a la
oreja del búho.
Midiendo distancias entre respuestas
neuronales
from Hubel & Wiesel (1968) J. Physiol. 195: 215-243.
Una distancia clásica:
Contar (y luego usar distancia en los naturales)
Midiendo distancias entre respuestas
neuronales (del saltamontes)
Respuesta de una neurona (del
saltamontes) a distintos olores
Macleod, Backer, Laurent
(1998)
Problema (del saltamontes y del
investigador): Como reconstruir el
olor a partir de la respuesta? En
este caso, el conteo de espigas no
alcanza…
Una buena métrica en el espacio de
respuestas neuronales
J Victor (2005)
Definir la distancia entre dos secuencias como el
numero de operaciones, inserciones, deleciones,
traslaciones, necesarias para pasar de una secuencia
a la otra.
Midiendo distancias entre respuestas
neuronales (del saltamontes)
Respuesta de una neurona (del
saltamontes) a distintos olores
Macleod, Backer, Laurent
(1998)
Problema (del saltamontes y del
investigador): Como reconstruir el
olor a partir de la respuesta? En
este caso, el conteo de espigas no
alcanza…
Una metrica que tiene en cuenta la
distancia alcanza para separar
cualquier para de olores (tomando
la distancia al centro de cada
distribucion)
Una manipulacion farmacologica
(Picotoxina) que perturba el orden
temporal sin modificar la respuesta
total (baraja en el tiempo) hace que
la respuesta a los olores sea
inclasifcable.
Un problema parecido: Similitud entre
genes
AGTAAGCTAGCAGCA….
AGTAAGCGGGCAGCA….
AGTAAGCTAGCAGCA….
XXXAGTAAGCTAGCA ….
La métrica de comparación punto
a punto funciona bien en este
ejemplo, estas dos secuencias
son parecidas y su distancia es
corta.
La métrica de comparación punto
a punto NO FUNCIONA BIEN en
este ejemplo, Una traslacion hace
que punto a punto niguna base
coincida y sin embargo los genes
se asemejan.
Métrica en el espacio de terremotos (y
sus ecos)
Una pregunta importante en sismología es:
Dado un gran terremoto, cual es la secuencia temporal de terremotos
(ecos, rebotes) que le siguen?
LOS DATOS
SOLUCION, LA SECUENCIA
QUE MINIMIZA LA
DISTANCIA A TODAS LAS
OBSERVACIONES
Schoenberg and Tranbarger.