Transcript Probabilità 1
Probabilità
1
•obiettivi
•
dare all’alunno
, a partire dalla valutazione qualitativa del grado di incertezza di un evento aleatorio,
la consapevolezza che anche l’ambito del fortuito può essere analizzato razionalmente;
•
far valutare quantitativamente la probabilità di un evento
la definizione classica di
probabilità come rapporto
; secondo •
far acquisire la capacità di operare
con semplici proposizioni di calcolo e
risolvere problemi con eventi aleatori composti
; •-
studiare, con strumenti probabilistici alcuni
problemi
sperimentali
(ereditarietà, fattore Rh);
delle scienze
2
obiettivi
• avviare la comprensione della legge (debole) dei grandi numeri , facendo vedere in uno schema di prove ripetute, che eventi casuali, al crescere del numero delle prove, seguono una “ crescente regolarità” •
recuperare, nell’ambito della probabilità, altri concetti matematici: frazioni, percentuali, funzioni, disequazioni, calcolo letterale, logica.
3
Contenuti
Probabilità di eventi semplici Probabilità di eventi composti Applicazione della Probabilità alla genetica
4
Metodo
Si è scelto di teoremi, ma di non presentare definizioni , assiomi e far ricavare le proprietà della probabilità attraverso situazioni problematiche e con un lavoro su schede.
La presentazione propone varie situazioni legate a giochi di fortuna
(sacchetti di biglie colorate, carte, dadi, monete): 5
metodo si chiederà di congetturare il risultato
, di indovinare l’esito delle prove aleatorie e poi
si passerà al tentativo di spiegazione,
mediante il ragionamento volto a chiarire perché certe cose accadono “più facilmente” di altre
Si è preferito
occuparci di probabilità
in giochi di fortuna invece
che in situazioni più legate
alla vita reale, le situazioni reali sono troppo complesse
6
metodo
Non si inizia
parlando di in alcuni libri di testo
eventi certi, impossibili, probabili
, come
Neppure considerando le frequenze di un evento
numero di prove su di un certo
ma il metodo seguito è quello di far scoprire dagli alunni le proprietà della probabilità a partire da esempi opportuni
.
7
Probabilità di eventi semplici
Si cerca di
far comprendere
che nel caso che
gli eventi elementari
siano un
numero finito N
e
tutti ugualmente possibili:
ogni evento elementare ha probabilità 1/N se un evento A
è costituito da
m eventi elementari la sua probabilità è m/N
8
Proprietà della probabilità
:
•
P(A
B)= P(A)+P(B) se A
B=
•
Se due eventi A, B dell’evento unione sono incompatibili, la probabilità è la somma della loro probabilità.
•
P(A
B)= P(A)+P(B)- P(A
B)
•
Se due eventi A, B dell’evento unione sono compatibili, la probabilità è la somma della loro probabilità meno la probabilità della loro intersezione.
• •
P(
)=0
•
Probabilità dell’evento impossibile .
9
Probabilità dell’evento certo
P(
)=1 Probabilità dell’evento certo
.
P(
C
A
)
=1- P(A) La probabilità dell’evento A e contrario (non A) danno somma 1.
quello dell’evento Dove A, B indicano eventi , l’evento impossibile e
indica l’evento certo ,
C
A l’evento contrario di A.
10
URNE
Considera il seguente gioco: ci sono due urne contenenti delle palline perfettamente uguali tra loro, ma colorate diversamente , alcune bianche, altre nere.
Nella
1°urna
ci sono una pallina bianca e una nera , nella
2°urna
una bianca e nove nere.
Prima urna Seconda urna
11
Vinci un premio
Per vincere un premio una delle due urne.
devi estrarre 2) E se le urne fossero così composte?
una pallina bianca da Osserva che nessuna pallina è avvantaggiata nell’estrazione.
1) In quale urna ti conviene pescare?
In quale pescheresti?
Prima urna Seconda urna
12
Scheda 1.
Per rispondere
alla
prima domanda delle due urne la vincita è sicura
, notiamo che con
nessuna con nessuna è impossibile,
è tuttavia ovvio
scegliere la prima urna
, perché entrambe le urne contengono
1 pallina bianca, ma la seconda contiene molte
più nere della prima
Per rispondere
alla
seconda domanda
notiamo che l’uscita della biglia vincente
non è sicura , è chiaramente incerta, ma è più facile estrarre la bianca dalla seconda urna: cominciamo a
dire che sebbene incerta in entrambi i casi , l’estrazione della bianca
è più probabile dalla seconda urna
che dalla prima. Non si è ancora introdotta una nozione quantitativa probabilità.
di 13
Scheda tre
Ti sarai accorto che nella seconda situazione della scheda precedente è indifferente scegliere la prima urna o la seconda:infatti, pur essendo diverso il numero delle palline nelle due urne, in entrambi i casi per ogni pallina bianca ce ne sono due nere, cioè per ogni possibilità di vincere due di perdere: Considera, ora, la seguente situazione
1B 2N 2B 5N 1°urna 1)In quale urna pescheresti?
2°urna Scegli e completa una di queste risposte: a) Pesco nella prima perché.........
b) Pesco nella seconda perché.........
14
Scheda 3
Nelle risposte alle domande della prima scheda
l’
intuizione
suggerisce le
corrette risposte
, mentre nella scheda tre il confronto
non è così immediato
•
è richiesto il confronto tra due rapporti
, •
non è più così intuitivo
•
nella scheda tre deve essere calcolato
il rapporto 15
misura
Si giunge all’idea di quantitativamente misurare
o meglio
la probabilità dell’estrazione rapporto tra le palline bianche e il totale
delle biglie.
di
esprimere mediante un
Si ha così un valore numerico facilmente la che ci consentirà di probabilità di eventi diversi paragonare non immediatamente confrontabili tra loro 16
Definizione di probabilità di un evento
Il rapporto possibili
; tra il
numero dei casi favorevoli
e quello dei
casi si richiede il numero dei casi possibili sia finito gli eventi elementari siano tutti ugualmente possibili
17
definizione
Il rapporto
possibili è tra il numero dei casi favorevoli
la “misura
”
della possibilità
che si e quello dei casi verifichi un certo evento.
La probabilità viene introdotta come misura definita in un insieme.
I sottoinsiemi
di questo vengono detti
eventi
;
gli elementi dell’insieme vengono detti eventi elementari
.
La definizione nasce in un ambiente teorico,
anche se legato ad oggetti concreti (urne, palline). Non è sembrato opportuno ricorrere a situazioni sperimentali, anche se in molti testi di scuola media inferiore questo è un punto di partenza per lo studio della probabilità.
18
Problemi didattici
può succedere, che rispondendo alle domande di queste prime schede,
gli alunni possano essere indotti a considerare il rapporto tra le palline bianche e quelle nere
, invece di costruire un rapporto tra le palline bianche (o nere) e il totale delle palline. Si può,
attraverso una discussione in classe con gli alunni
, fare presente che per convenzione la frazione , che si utilizza per misurare la probabilità, ha come denominatore il totale delle palline dell’urna , e che
la frazione così costruita è più opportuna
perché in questo modo si evita di poter avere lo zero a denominatore o frazioni improprie . (Se, nell’introduzione della probabilità, dovesse apparire poco opportuno far sorgere questo problema, esso può essere evitato presentando altri esempi.) 19
Esempio
ci sono due insiemi di buste :
nel primo insieme
ci sono 8 buste di cui 5 contenenti
un premio
,
nel secondo insieme
ci sono 10 buste di cui 7 contenenti
un premio
. Se dovessi pescare a caso una busta per trovare un premio in quale pescheresti ? (Oppure presentando esempi riguardanti la probabilità nel lancio di un dado.) 20
Scheda sei Oggi un insegnante della tua classe vuole affidarsi al caso per interrogare un ragazzo.
Pesca da un sacchetto della tombola contenente solo i numeri corrispondenti sul registro di classe agli alunni presenti.
1) Qual è la probabilità che tu sia interrogato ?
2) Qual è la probabilità che venga interrogato un ragazzo il cui cognome inizia con la lettera....?
3) E’ più facile che sia interrogato E un
con la lettera
maschio o una ...?
femmina ?
4) Supponi che in una delle prossime lezioni l’insegnante usi ancora lo stesso modo di interrogare.
Se quel giorno sei presente a scuola la interrogato sarà ancora uguale probabilità a quella di oggi o che tu sia potrà cambiare ?
Giustifica la tua risposta.
21
Scheda 6
si vuole far scoprire P(
)=0.
La domanda
4 si propone di far osservare che la probabilità di uno stesso evento può cambiare se si modifica l’esperimento
.
Con questa scheda e con gli esercizi che
la probabilità di un evento
è
si vuole arrivare un numero
tale che a far comprendere
0
p
1
, e si cerca di chiarire il
significato della parola “evento
”.
22
Esercizi
1) Supponi di avere un mazzo di carte da 40 . Calcola la probabilità di estrarre: a) il fante di cuori b) un fante c) una figura 2) Un tuo compagno risolvendo un esercizio ha ottenuto come probabilità di un evento il numero 4/3.
Ti sembra un risultato possibile?
3) In un’urna ci sono 5 palline nere .
Quante palline bianche
devi aggiungere perché la probabilità di estrarre una pallina bianca sia 2/7?
E perché sia 2/3?
23
Scheda 8
la situazione viene rappresentata con un grafo ad albero
, dove alla
fine di ciascun ramo è scritto l’evento considerato lungo ogni ramo si deve leggere la probabilità dell’evento
corrispondente.
La
somma di tutti i numeri scritti lungo i rami deve essere uguale a uno
.
Per la probabilità dell’unione di eventi viene presentata prima per eventi disgiunti, poi per eventi qualunque.
24
Grafo ad albero In un urna ci sono 4 palline bianche , 3 rosse , 2 nere estrarre e 1 verde
.
Come puoi facilmente verificare la probabilità di una palina bianca è 2/5 .Rappresentiamo la situazione con il seguente schema che si chiama”grafo ad albero:
Completa il grafo mettendo al posto dei puntini le probabilità .
2/5 …. …. …. Bianca Rossa Nera Verde
25
Lancio di un dado Un dado ha tre
facce
rosse , due blu e una bianca.
Lanciando il dado qual è la probabilità di ottenere blu ?
Rappresenta la situazione con un grafo ad albero
.
26
scheda 9
fa scoprire “
la regola della somma
“ nel caso di
eventi disgiunti
. 27
Scheda nove A una lotteria si vendono
150
biglietti.
Gianni ne ha comperati
10
e suo fratello Luigi
15.
Nessun altro nella loro famiglia ha acquistato biglietti.
1) Qual è la probabilità che 3) Qual è la probabilità Gianni vinca un premio 2) Qual è la probabilità che lo vinca Luigi ?
che arrivi ?
P(G)= P(L)=
il primo premio nella loro 4) famiglia?( Scrivi il calcolo ) Verifica
P(F)=
la seguente uguaglianza, utilizzando i risultati ottenuti rispondendo alle domande precedenti:
P(G)+P(L)=P(F)
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Scheda dieci In un sacchetto ci sono 3 caramelle alla ciliegia, 4 all’arancia, 5 al miele.
1) Qual è la probabilità di estrarre : a) Una caramella alla ciliegia; b) Una caramella alla arancia ; c) Una caramella alla frutta ( alla ciliegia o all’arancia)?
2) Rappresenta la situazione completando il seguente grafo ad albero: Osserva che la somma delle probabilità dei primi due rami è
....
...
.....
uguale al numero ottenuto
C A M
rispondendo alla domanda1 c 29
Somma la probabilità di tutti i rami del grafo a) Quale numero ottieni?
b) Questo numero di quale evento rappresenta la probabilità ?
c) Potevi prevedere il risultato probabilità? Perché?
ripensando alla definizione di 30
scheda 10
si arriva al
concetto di eventi incompatibili
far riflettere
sull’uso di “o”
e si vuole anche nel senso latino
“vel”
e
dell’unione fra insiemi
.
Se indichiamo con C, l’evento “uscita di una caramella
alla ciliegia”
,
arancia”,
con A, l’evento “uscita di una caramella alla calcolare l’evento “uscita di una caramella alla frutta”,
cioè alla ciliegia o alla arancia, la probabilità è P( C
A)=P(C)+P(A)=7/12
Con il gruppo di domande al punto 3 si vuole far scoprire
che la probabilità dell’evento certo è 1 (cioè P(
)=1).
31
Riflettere su eventi compatibili o non
si possono richiamare, con opportune domande e presentando esempi, le operazioni di unione e di intersezione tra insiemi e
riprendere in considerazione i connettivi logici “o” e “e”.
32
Scheda undici
Considera il lancio di un dado e completa le seguenti tabelle Evento
Uscita di un n°<3
Elenco dei casi favorevoli
Uscita del n°1 Uscita del n°2
Numero dei casi favorevoli
2
Probabilità
P 1 =2/6=1/3
Verifica che:
P 3 = P 1 +P 2 Uscita di un n°>4 P 2 = Uscita di un n°<3 o >4 P 3 = 33
Verifica che
P
6
P
4
+P
5
Evento
Uscita di un numero primo
Elenco dei casi favorevoli
Uscita del n°2 Uscita del n°3 Uscita del n°5 Uscita di un n°>3
Numero dei casi favorevoli
3
Probabilità
P 4 =3/6=1/2 P 5 = Uscita di un numero primo o >3 P 6 =
Sai spiegare perché, in questo caso, non si possono sommare
P 5 ?
P 4 e 34
Scheda 11
Si formula la regola della probabilità dell’unione di eventi sia nel caso in cui siano disgiunti, sia nel caso più generale
.
A: uscita di un numero <3 B: uscita di un numero >4 A
B: uscita di un numero <3 o >4 Gli eventi elementari di B sono: uscita del 5, uscita del 6, quindi: P(B)=2/6=1/3
35
P(A
B)
Gli eventi elementari
di
A
B
sono:
uscita del numero 1, uscita del 2, uscita del 5, uscita del 6,
quindi si ha:
P(A
B)= 4/6=2/3=1/3+1/3
36
P
6
P
4
+P
5 A: uscita di un numero primo B: uscita di un numero >3 A
B : uscita di un numero primo o >3
Gli
eventi elementari di A uscita del 5,
quindi si ha: sono:
uscita del 2, uscita del 3, P(A)= 3/6=1/2
37
P(B)
Gli eventi elementari di B sono : uscita del 4, uscita del 5, uscita del 6, quindi si ha : P(B)= 3/6=1/2 Gli eventi elementari di uscita A
B sono: uscita del 2, uscita del 3, uscita del 5, uscita del 4, uscita del 6 ,
quindi si ha:
P(A
B)=5/6
1/2+1/2 l’evento “ uscita del numero 5” compare sia nei casi di A che nei casi di B i casi A
B non possono essere la somma dei rispettivi casi, l’evento “uscita del numero 5” va contato solo una volta.
38
Queste considerazioni hanno validità generale
:
se A e B sono due eventi che si “intersecano” per uno o più eventi elementari, cioè dei casi di A
B sono eventi compatibili occorre fare attenzione , nel conteggio a contare una volta sola gli eventi in comune.
Eventi elementari di A
B= elementari di B
eventi elementari di A eventi elementari A
B.
In termini di
Probabilità + eventi P(A
B)= P(A)+ P(B) - P(A
B).
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Scheda dodici Riprendi la situazione della scheda 9 in cui abbiamo trovato P(F) cioè la probabilità dell’evento”vincita della famiglia 1/60.
Calcola ora la probabilità che il premio non arrivi cioè la probabilità dell’evento contrario.
in quella famiglia Osserva che questo risultato si può ottenere calcolando la differenza 1-P(F) 1) In un’urna ci sono 20 palline , alcune sono bianche , altre rosse e 4 nere.
La probabilità di estrarre una pallina bianca è 0,35 .
a) Rappresenta la situazione con un grafo scrivendo accanto ad ogni ramo la probabilità di ciascun evento b) Calcola la probabilità di estrarre una pallina bianca o nera.
40
Scheda 12
Si giunge al concetto della probabilità dell’evento complementare .
Se si prendono in considerazione contrario dell’altro” dell’altro, cioè due eventi che sono “uno il due eventi che sono uno complementare le loro probabilità hanno somma 1 .
41
Probabilità dell’evento complementare
Se indichiamo con A un evento complementare si scrive allora: e con
C
A il suo P(A)+P(
C
A
)
=1 da cui P(
C
A
)
= 1 - P(A)
42
Esercizi
1) Supponi di avere un mazzo di carte da 40 . Calcola la probabilità di estrarre: a) una carta di fiori; b) una figura; c) una carta di fiori o una figura; d) una carta di fiori o di cuori.
2) E’ stato accertato che in una confezione di 1.500 viti , 4 sono difettose .
Qual é la probabilità questa non sia difettosa?
che prendendone una a caso 43
Esercizi
3) Si decide di giocare a
a) il n°12;
b)
Tombola
un n°dispari ; c ) (
90 numeri
Calcola la probabilità che alla prima estrazione venga estratto: un n° primo o in un sacchetto).
un n° pari ; e) un n°multiplo contemporaneamente di 2 e di 7 3) Hai a disposizione due urne :
nella prima
sono contenute 12 palline bianche e 8 nere ,
nella seconda
15 palline bianche .
Quante palline nere
perché sia devi aggiungere
come minimo nella seconda
urna più probabile estrarre una pallina nera dalla seconda urna piuttosto che dalla prima?
44
Probabilità eventi casuali composti
Eventi casuali sono composti da due o più eventi elementari che possono verificarsi contemporaneamente.
due eventi A e B si dicono indipendenti se P(A
B)=P(A)
P(B) P(A
B) P(A/B)=_______=P(A) P(B)
45
Lancio di due dadi
Consideriamo il lancio di due dadi, le cui facce sono numerate, da 1 a 6 e chiediamoci quanti sono i casi possibili?
Utilizzando delle coppie ordinate, all’esito del primo dado e in cui il secondo n° il primo n° si riferisce si riferisce all’esito del secondo si possono elencare tutti i casi possibili (come nella tabella seguente a doppia entrata) 46
Casi possibili
2°dado
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
1°dado
47
Somme
gli esiti possibili nel gioco sono 36 : la simmetria della situazione ci suggerisce che si tratta di eventi con la stessa possibilità di verificarsi , quindi ciascuno di essi ha la probabilità di 1/36.
Supponiamo di sommare due dadi; , ad ogni lancio, i punteggi dei utilizziamo una tabella a doppia entrata; in ogni casella rispettivi: scriviamo la somma dei punteggi 48
2° dado
7 6 5 4 3 2 8 7 6 5 4 3
Tabella
9 8 7 6 5 4 10 9 8 7 6 5 11 10 9 8 7 6 12 11 10 9 8 7
1° dado
49
Commento
E’ chiaro che
gli esiti non sono equiprobabili
Dalla tabella si nota la simmetria tra eventi
” equidistanti
diagonale disegnata: “ dalla P (2) =P (12) =1/36 P (3) =P (11) =2/36=1/18 Infine P (7) ) =6/36=1/6 50
Scheda sedici prima estrazione In un’urna ci sono 5 palline rosse e 3 nere.
Si estrae a caso una pallina e poi,
senza rimetterla
dentro, se ne estrae una seconda .
Rappresentiamo con un grafo la prima estrazione
.....
.......
R N
51
Seconda estrazione
Nella seconda estrazione bisogna distinguere seconda che due casi, nella prima sia uscita una pallina rossa o nera a , in quanto nell’urna c’è una pallina in meno.
Possiamo proseguire il grafo nel seguente modo : 5/8 R 3/8 N 4/7 3/7 ...
...
R N R N RR 1) RN Completa il grafo NR 2)Calcola la probabilità di NN RN;NR;NN.
3) Calcola la probabilità che sia estratta almeno una pallina rossa
52
scheda 16.
Prima estrazione
Utilizzando il grafo ad albero si vede che per la prima estrazione si hanno due possibilità uscita di una pallina rossa con probabilità 5/8 uscita di una pallina nera con probabilità 3/8.
53
Seconda estrazione
Alla seconda estrazione occorre distinguere due casi perché la situazione è diversa in relazione al fatto che si sia pescata una pallina rossa o nera (
nella prima estrazione
).
I quattro eventi elementari possibili sono: RR, RN, NR, NN.
54
Se si vuole calcolare la probabilità dell’evento elementare RR
si può ragionare così: se la prima pallina estratta è rossa con probabilità 5/8, cioè nei 5/8 dei casi, e si pesca una seconda pallina rossa con probabilità 4/7 , quindi avere due palline rosse significa averle pescate in 4/7 dei 5/8 dei casi ,con probabilità: 4 — 5
— 7 8
Si utilizza il concetto di frazione di frazione, che si traduce nella moltiplicazione delle due frazioni.
Si procede analogamente anche per calcolare la probabilità degli altri eventi elementari P(RN),P(NR),P(N,N)
55
Reimbussolamento ?
Nell’esempio appena visto si parla di estrazione reimbussolamento” “senza perché la pallina una volta estratta non viene messa nell’urna .
Si può pensare di rimettere la pallina estratta nell’urna questo caso l’estrazione si dice “con reimbussolamento”.
e in
56
La soluzione di un problema
viene eseguita utilizzando un grafo ad albero a diversi piani, le probabilità di ciascun evento del grafo: sono scritte accanto a ciascun ramo si insiste particolarmente sul significato di ogni cammino sul grafo in termini di eventi, così che nelle varie situazioni, i ragazzi si rendono conto percorso o quali percorsi devono considerare probabilità di un evento richiesto.
quale per calcolare la Con una rappresentazione precisa e completa meglio si pensa che si possa evidenziare che la probabilità che si ottiene alla fine di ogni percorso è il prodotto della probabilità degli eventi di ogni ramo .
57
La strategia di soluzione
La strategia di soluzione che si è individuata, che si può
dire di moltiplicazione “lungo i rami”, è molto efficace perché consente di affrontare situazioni anche abbastanza complicate
.
è chiaro che il momento più importante della soluzione un problema diventa la di schematizzazione della situazione con un corretto grafo ad albero e questo non è sempre così immediato.
58
Esercizi
•
Sto giocando a tombola :nella mia cartella manca solo il numero 75 e i numeri ancora da estrarre sono 24 . Con che probabilità faccio tombola entro le prossime due estrazioni?
•
Nel gioco della tombola qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 15 e il secondo 43?
59
Esercizi 1) a) Come nel gioco del lotto da un’urna contenente 90 palline numerate da 1 a 90 se ne estraggono cinque senza reimbussolamento .
Qual è la probabilità che i cinque numeri estratti siano tutti dispari ?
b) Calcola ora la probabilità una moneta di ottenere 5 teste in 5 lanci successivi di c)
Senza svolgere i calcoli avresti potuto prevedere quale dei due eventi è più probabile?
2) Due ragazzi giocano a “ pari o dispari ” con le dita di una mano( nel gioco è escluso lo zero)
Conviene puntare sul “pari” o sul “dispari
”?
3) In un sacchetto ci sono 7 penne biro uguali di cui 3 sono scariche .
a) Se prendo a caso una penna qual è la probabilità che scriva ? E quale che non scriva?
b) Se la prima che scelgo scriva?
è scarica qual è
Esercizi
In un gioco di fortuna un concorrente deve scegliere una casella da un tabellone di 12 caselle così composto: 1 casella copre il primo premio di un viaggio a Venezia , 4 caselle coprono il premio di un televisore nessun premio.
, 7 caselle non coprono 1) Con una sola possibilità di scelta calcola la probabilità : a) di vincere un viaggio a Venezia b) di vincere un premio 2) Con due possibilità di scelta calcola la probabilità a) di non vincere b) di vincere sia il viaggio a Venezia sia il televisore c) di vincere almeno il viaggio a Venezia
61
Esercizi
Due amici, Alfredo e Bruno , insieme ad altri 8 ragazzi decidono di giocare a “ guardia e ladri ”e per decidere chi sarà ”guardia”e chi sarà “ladro”si affidano alla sorte. Sapendo che ci devono essere 3 “guardie ” e a) Alfredo sia una 7 “ladri” “guardia ” qual è b) Alfredo e Bruno siano la probabilità che: entrambi “guardie ” c) Alfredo e Bruno giochino insieme , cioè siano entrambi “guardie” o entrambi “ladri” d) Almeno uno, tra Alfredo e Bruno, sia una “guardia ”
62
Esercizi
a) Sparando ad un bersaglio ho probabilità 20% di colpirlo. Se sparo due volte qual è la probabilità di colpirlo almeno una volta?
Indichiamo con : C= colpito; nC= non colpito; P(“colpire almeno una volta”)=
P(“colpire entrambe le volte” o “colpire la prima volta e non la seconda” o “colpire la seconda e non la prima”= P(CC)+P(CnC)+P(nCC) = 0,2 0,2+0,2 0,8+0,8 0,2=0,36 63
Osservazioni
1 ) Osserviamo che l’evento” colpire almeno una volta ” è complementare di “non colpire né la prima né la seconda volta”, quindi la sua probabilità si può più rapidamente trovare come segue: P(colpire almeno una volta)=1-P(nCnC)=1-0,64=0,36 2) Un’altra osservazione che si può fare è la seguente:
nell’evento “Aver ottenuto successo al primo sparo” compreso il risultato
che si vuole ottenere con è
“avere successo in entrambe le volte ”oppure “ colpire la prima volta e non la seconda”.
64
Osservazioni
nell’evento “ Aver ottenuto successo al primo sparo ” è compreso il risultato volte ” che si vuole ottenere con “ avere successo in entrambe le oppure “ colpire la prima volta e non la seconda”.
Si può quindi limitare a disegnare solo una parte del grafo.
P(colpire almeno una volta)=P(C)+P(nCC)=0,2+0,2
0,8=0,36
65
Osservazioni
3)Un’altra osservazione che si può fare è che, in questo esercizio e in altri in cui viene data la frequenza di un evento, non è più applicabile la definizione di probabilità data come rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili, ma la probabilità di tali eventi può essere valutata piuttosto in una visione soggettivista oppure frequentista.
Per i ragazzi potrebbe sorgere dunque il problema di una generalizzazione della definizione di probabilità : allora si può far notare che per probabilità si intende una qualunque funzione che soddisfi le proprietà che si sono viste all’inizio.
66
Al ristorante
a) In un ristorante bruci l’arrosto è la probabilità 0,02, che un cuoco la probabilità che dimentichi di salare la pasta è 0,1 e quella che sali troppo è anch’essa 0,1.
Qual è bene la probabilità che il pranzo preparato dal cuoco ( supponendo che non possa fare altri errori)?
riesca
67
Schematizzazione
La
schematizzazione di tale problema può risultare più difficile in quanto mentre per
l’arrosto ci sono solo due possibilità, cioè che bruci (B) oppure che riesca (R),
per
l’acqua della pasta ci sono tre possibilità
e cioè che
sia giusta (G), non salata (NS), e troppo salata (TS).
La probabilità che l’acqua non sia salata è 0,1 è 0,1, quindi che sia giusta è 0,8.
e che sia troppo salata Si può schematizzare la situazione con un grafo in cui sono disegnati solo i rami che interessano .
68
Un giudice
c) Un giudice consegna a un condannato 2 palline bianche e 2 nere che egli dovrà collocare
possibilità:
in due urne
scegliendo tra queste quattro
1) una bianca da sola e tutte le altre nell’altra urna; 2) una nera da sola e tutte le altre nell’altra urna; 3) le due bianche in un’urna e le due nere nell’altra; 4) una bianca e una nera in ciascun urna.
Il giudice sceglierà poi a caso una delle urne ed estrarrà da essa una pallina. Se questa risulterà bianca il condannato sarà graziato.
Qual è la disposizione più favorevole per ottenere la grazia?
1/2 1°urna 1/2 2° urna
69
Generalizzare 1
Se le palline sono 50 bianche e 50 nere le disposizioni sono molte di più.
Qual è la più favorevole per ottenere la grazia?
Risolvendo il problema, si vede che la strategia più conveniente è: mettere una biglia bianca in un’urna e tutte le nere con le rimanenti bianche nell’altra.
70
Generalizzare 2
Questo problema può essere stimolante in quanto non è un problema di routine da incasellare in una regola e può essere considerato strategia”.
un problema “di In casi di questo tipo davanti a una situazione problematica di incertezza si cerca un comportamento che almeno ottimizzi la probabilità di successo.
Si possono, se è il caso, calcolare la probabilità dell’evento favorevole al variare di n.
Si ottiene per n=3, cioè 3 palline bianche e altrettante palline nere, la situazione più favorevole è salvezza con: Probabilità = ½ +1/5 =7/10 Per n=4 è: Salvezza con Probabilità= ½+ 3/14=10/14=5/7
71
Generalizzare 3
Nel caso generale (n qualsiasi)
questa strategia conduce alla probabilità di avere salva la vita: ½+1/2 (n-1)/)(2n-1)=1/2 (3n-2)/(2n-1) Se si vogliono riportare i calcoli su una tabella si vede che
al crescere di n
,
la probabilità p tende al limite ¾=0,75
72
4 5 N 1 2 3 P 0,5 0,66...
0,7
tabella
N 0,714 0,722 6 7 8 9 10 P 0,727 0,731 0,733 0,735 0,737
73
N 50 100 1000
tabella
P 0,747 0,748 0,749
74
Quadrato
Si consideri il quadrato di lato 1 Qual è la probabilità che scegliendo un punto a caso, questo sia nella zona colorata ?
75
Considerazioni
Fin a questo momento ci si è di solito ( non nel caso dello sparo o del cuoco) riferiti alla definizione di probabilità come rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, la quale richiede che il numero di casi possibili sia finito e che gli eventi elementari siano tutti ugualmente possibili.
In questo esempio tutti i punti della zona colorata: gli eventi possibili sono rappresentati da tutti i punti del quadrato; quelli favorevoli da si tratta in entrambi i casi di un numero infinito di punti e venendo a mancare la prima richiesta non è più possibile utilizzare la stessa definizione.
76
Definizione
Si può rimediare ricorrendo in questo caso ad un rapporto tra aree, quella della zona “favorevole” e quella della zona “possibile”.
L’area del quarto di cerchio=
/4 L’area del quadrato è 1 La probabilità richiesta =
/4 /1 cioè
/4 Inoltre in questo esempio si fa osservare che mentre sino ad ora la probabilità di un evento era un numero dell’insieme dei numeri razionali, nell’esempio presentato si ottiene
/4, un numero irrazionale.
77
Definizione generale
Questo esempio permette di dedurre che in generale la probabilità di un evento è un numero reale compreso fra zero e uno.
78
Applicazione della Probabilità alla Genetica
79
Scheda 20
Ogni carattere ereditario
è determinato
da una coppia di geni trasmessi da ciascun genitore .
Nei casi più comuni
ciascun gene può presentarsi in due forme diverse
che si indicano con una stessa lettera maiuscola e minuscola, ad esempio, con “
A
” il
A, a.
Per esempio prendiamo il carattere”colore degli occhi” e indichiamo
gene responsabile del colore scuro
e con “
a
”
il gene responsabile del colore chiaro.
Ciascun genitore
trasmette
un gene con probabilità 1/2
.
Essendo frequente il fenomeno per cui il
gene recessivo “ a ”
non manifesti il proprio carattere in presenza di “
A
”,coloro che possiedono
i due geni AA e Aa hanno occhi scuri
, quelli con
la coppia aa hanno occhi chiari
.
80
aa
Tabelle
Completa le due tabelle e indica i caratteri che possono avere i figli Aa Aa
A a A a
Aa
A a Aa aa a a Aa aa A A
AA aa
a a
81
Grafo ad albero
½ 1/2 A ½ ½ 1/2 a padre 1/2 madre a Aa a Aa a aa a aa Il grafo si riferisce al primo esempio della scheda precedente: la trasmissione “colore degli occhi”può essere rappresentata anche così.
Gli eventi elementari possibili sono: Aa, Aa, aa, aa , la probabilità per ciascun evento elementare di 1/2
1/2=1/4 probabilità 1/2 che un figlio abbia occhi scuri probabilità 1/2 occhi chiari.
82
Domanda
Riferendoti al terzo esempio della scheda precedente ( genitori : Aa, Aa), in una famiglia di 4 figli, 3 saranno sicuramente con occhi scuri e 1 con occhi chiari?
L’ultima domanda della scheda ha l’obbiettivo di far riflettere ancora sul fatto, che il verificarsi di ciascun possibile misurarne l’incertezza.
evento è incerto,
ma è 83
Scheda 22
In una popolazione si conosce la frequenza del gene A che è dell’80% e del gene a, che è del 20%.
Gli individui AA, Aa, aa si presentano in percentuali diverse, che possono essere rappresentate con il seguente grafo: 0.8 0,2 1°gene A a O,8 0,2 0,8 0,2 2° gene A a A a AA Aa Aa aa Quali sono le percentuali dei tre diversi tipi nella popolazione?
84
Percentuali dei tre diversi tipi
.
gli eventi elementari possibili sono: AA, Aa, Aa, aa probabilità di ciascuno degli eventi elementari: P(AA)=P(A)
P(A)=0,8
0,8=0,64=64% P(Aa) =P(aA)= 0,2
0,8=0,16 =16% P(aa)= 0,2
0,2=0,04=4%.
85
Rappresentazione in tabella
La situazione presentata con il grafo può essere illustrata anche nel seguente modo:
0,8 0,2 0,2
Aa aa
0,2 0,8
AA Aa
0,8 0,8 0,2 Che cosa rappresentano le aree delle quattro regioni in cui è suddiviso il quadrato?
86
Riflessioni
Le frequenze dei geni
si possono interpretare
come misure
di aree di opportune regioni, si ha un
quadrato di lato 0,8+0,2
suddiviso in cinque parti:
ciascuna superficie rappresenta ciascun evento elementare possibile: q la frequenza del gene A p quella del gene “a” AA=q 2 Aa=2pq aa=p 2 (q+p) 2 = q 2 + 2pq + p 2 =1 (q+p) 2 =1
87
Scheda 23
L’assenza del fattore Rh nel sangue è dovuta ad un gene recessivo la cui frequenza , nella nostra popolazione, è circa del 40%.
Gli individui con i due geni recessivi aa si dicono Rh , gli altri Rh + .
a , 1) Calcola la percentuale degli individui Rh + e Rh aiutandoti con un grafo.
2) Supponiamo che in una particolare popolazione la percentuale degli individui Rh (aa) sia del 9% .
Calcola la frequenza del gene recessivo a utilizzando il seguente disegno:
0,09 aa
3) Aiutandoti con il quadrato calcola la frequenza del gene A e le percentuali degli individui AA e Aa
88
Riflessioni
la frequenza degli individui (aa) è del 9%.
quale è la frequenza del gene “a” (recessivo) ?
Se 0,09 è area di un quadrato ,
0,09 è la misura del suo lato e corrisponde alla frequenza del gene “a”.
la frequenza di A=1-a
89
Eserc izi
1) Alcuni individui non sentono l’amaro chimica che si chiama di una sostanza feniltiocarbammide.
Questo è dovuto ad un gene recessivo popolazione, è 0,6 .
la cui frequenza , nelle nostra Calcola la percentuale di individui che hanno questo carattere e di individui che ne sono portatori.
2) Un particolare modo di arrotolare la lingua è dovuto a un gene recessivo a . Sapendo che in una popolazione gli individui che non hanno questa caratteristica sono il 49%, calcola, per quella popolazione, la frequenza del gene a , del gene A e degli individui Aa, AA.
90
Scheda 24
Nella scheda 23 hai trovato che gli individui
Rh + sono l’84% della nostra popolazione
e gli individui
1) Tra gli Rh + AA sono il 36%.
qual è la percentuale degli individui AA ?
Il risultato ottenuto è la probabilità che scegliendo a caso un individuo, tra gli Rh + della nostra popolazione, questi risulti AA.
2) Trova la probabilità che scegliendo a caso un individuo tra gli Rh + questo risulti Aa.
91
Padre
Rh
+
madre Rh
Consideriamo il caso che da un padre Rh + e da una madre Rh nasca un figlio . Dato che il gene trasmesso dalla madre , che è Rh , è sicuramente a , la situazione del figlio è determinata solo dal gene del padre , ed è diversa a seconda che il padre sia AA oppure Aa.
Il padre è AA il padre è Aa Trasmette trasmette trasmette A A a Calcola la probabilità che il figlio sia Rh + completando il grafo
92
Eserc izi
3) L’albinismo è dovuto a un gene recessivo a . Sapendo che in una popolazione gli individui albini sono 1 su 10.000
, calcola, per quella popolazione, la frequenza del gene a e degli individui portatori di albinismo .
4) Consideriamo il caso che da un padre albino e da una madre non albina nasca un figlio . Utilizzando i risultati dell’esercizio 3 e procedendo come suggerito dalla scheda precedente, calcola la probabilità che il figlio sia albino
93
Esercizi
5 ) In una popolazione la frequenza del gene recessivo a è del 30%.
Calcola: a) b) c) d) la frequenza del gene dominante A la percentuale degli omozigoti AA la percentuale degli omozigoti aa la percentuale degli eterozigoti Aa a) b) c) d) 6) Un gene recessivo a responsabile di una malattia ha, in una determinata popolazione, la frequenza del 30%.
Calcola aiutandoti con un grafo, la percentuale degli individui sani e quella degli individui malati .
Supponiamo che in un’altra popolazione la percentuale degli individui malati , e quindi omozigoti per il carattere aa, sia del 4%.
Calcola : la frequenza del gene recessivo a la frequenza del gene dominante A la percentuale degli omozigoti AA la percentuale degli eterozigoti.
94
Esercizi
7) L’anemia mediterranea è una malattia ereditaria portata da un gene recessivo a, che non si manifesta quando il gene recessivo a è accompagnato dal gene dominante A ( si parla in questo caso di portatore a) sano).
Nella popolazione di un paese, costituita da 5.000 persone , il 4% è ammalato : quante sono le persone ammalate ?
Da due genitoridi tipo (A;A),(A;a) può nascere un figlio ammalato? Perché?
Con quale probabilità può nascere un portatore sano?
• • •
b) Scrivi le varie combinazioni genetiche derivate da due genitori (A;a), e calcola la probabilità che nasca: Un figlio ammalato Un figlio portatore sano Un figlio sano
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Esercizi
8) Considera le famiglie che hanno due figli , dì se è più probabile che i due figli siano entrambi femmine , oppure che siano di sessi diversi.
9) Immagina che in una certa popolazione, la probabilità di avere un figlio maschio sia più piccola di quella di avere una figlia femmina , e cioè che esse siano 0,40 per il maschio e 0,60 per la femmina.
Calcola ora, con questi dati, la probabilità che una famiglia con due figli li abbia di sesso diverso.
a) Pensa di far variare la probabilità di avere un figlio maschio, e disegna un grafico riportando sull’asse x alcuni valori di questa probabilità , e sull’asse y i corrispondenti valori della probabilità di avere due figli di sesso diverso.
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Commento
b) Prova a scoprire per quale valore di x si ottiene il massimo valore di y, e rifletti sul valore trovato .
E’ questa la situazione che si verifica in natura ?
c) Osserva, che per un dato valore di x , il corrispondente valore di y è uguale al doppio dell’area di un rettangolo di lati x e (1-x).
In base alle considerazioni che hai svolto prima, sai dire quale, fra i rettangoli che hanno un perimetro fissato ha area massima?
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Legge dei grandi numeri Bibliografia
•
Angela Pesci- Maria Reggiani
- L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate.-Statistica e Probabilità .
Collana di formazione professionale n°4. Pag.85-90 •
Nucleo di Ricerca didattica di Pavia .
Schede di Calcolo delle Probabilità per la scuola media inferiore 98
Prove ripetute
Se ripetiamo il lancio di una moneta equilibrata molte volte , ad esempio, 10.000 volte , quante volte ci aspettiamo di avere testa ?
L’intuizione ci suggerisce di aspettarci che la frequenza relativa dell’evento considerato (cioè il rapporto tra il numero di uscita testa e il numero dei lanci) si avvicini alla probabilità , cioè un mezzo.
E’ corretto attendersi questo ? E’ corretto attendersi che la frequenza, mezzo ? dopo un numero elevato di prove sia esattamente un Cosa significa dire che la frequenza “si avvicina” ad un mezzo?
99
Scheda 26
Un amico ti propone di lanciare 100 volte una moneta e di scommettere su uno dei due seguenti eventi: A: Escono 50 Teste e 50 Croci B: Il numero di Teste è diverso dal numero di Croci.
Su quale scommetteresti ?
Questa domanda è stata posta per avviare il lavoro che segue: arriveremo ad enunciare uno dei risultati fondamentali del calcolo della probabilità, noto col nome “
legge dei grandi numeri”.
100
Scheda 27
1) Disegna il grafo relativo a 2 lanci di una moneta probabilità di ottenere: e calcola la a) nessuna Testa b) una volta Testa c) due volte Testa 2) In ciascuna casella scrivi, in forma decimale, le probabilità calcolate in precedenza
:
Nessuna 1 Testa 2 Testa Testa
101
Scheda 28
1) Considera ora 3 lanci di una moneta e traccia il grafico relativo.
2) Calcola la probabilità che esca a) TTT b) TCT c) 2 volte T 3) Come hai fatto precedentemente scrivi la probabilità in forma decimale 0 T 1 T 2 T 3 T
102
Scheda 29
In quattro lanci... Traccia il grafo relativo e otterrai nel completamento delle caselle:
0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625
0 T 1 T 2 T 3 T 4 T 1) Per calcolare la probabilità di ottenere 4 T quanti percorsi del grafo hai considerato?
2) Sai spiegare perché le probabilità scritte nelle diverse caselle aumentano dagli estremi verso il centro?
103
Grafico
P(1/3 fr(T) 2/3)
0,9 0,3 0,2 0,1 0 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 1 2 3
n° lanci
4 5 6
104
Se n diventa più grande
Lancio di 50 e di 100 monete n=50 0,007673 (da 0 a 16T) 0,984653 (da 17 a 33T) 0,007673 (da 34 a 50T) N=100 0,000437 (da 0 a 33T) 0,999126 (da 34a 66T) 0,000437 (da 67a 100T) P(fr(T)<1/3) P(1/3
fr(T)
2/3) P(fr(T>2/3) Quando n diventa “ molto grande”, cosa ti aspetti che succeda della probabilità che la frequenza dell’uscita di Testa sia compresa tra 1/3 e 2/3? E della probabilità che escano ugual numero di T e di C?
105
Lanciando molte volte una moneta......
Gli eventi centrali sono quelli in cui la frequenza dell’uscita di testa è “abbastanza vicina” alla probabilità un mezzo , perciò possiamo (
per il caso particolare del lancio di una moneta),
formulare la cosiddetta “ legge debole dei grandi numeri ” : Lanciando molte volte una moneta avvicina a 1 diventa sempre più grande la probabilità che la frequenza dell’uscita di Testa differisca dalla sua probabilità ½ e si meno di un qualunque numero positivo scelto da noi (nei nostri esempi 1/6,1/12......)
106
Commento
Osservando le caselle attraversate dall’asse di simmetria della tabella dobbiamo notare che la probabilità che la frequenza dell’uscita di Testa sia esattamente ½ diventa sempre più piccola , anzi, per n molto grande si avvicina a zero 1) Se lanci 10.000 volte una moneta e devi scommettere su uno dei seguenti risultati, quale sceglieresti?
a) 5.000 T e 5.000 C b) 4825 T e 5175 C c) un numero di T compreso tra 4.500 e 5.500
d) un numero di T compreso tra 4.250 e 5.750
107
Scheda 38
Abbiamo enunciato la “legge dei grandi numeri” a proposito dell’uscita di Testa nel lancio ripetuto di una moneta.
La stessa legge vale in una qualsiasi altra situazione di prove ripetute.
Considerando ad esempio il lancio di un dado la legge dei grandi numeri ci dice che in un gran numero di lanci sarà molto probabile che la frequenza dell’uscita di un numero prefissato (ad esempio il 2) sia “vicina” a 1/6.
Anche qui possiamo osservare che sarà assai poco probabile frequenza dell’uscita del 2 sia esattamente 1/6.
che la
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Esercizi
1) Un urna contiene 5 palline , 4 bianche e 1 nera.
•
Supponi di estrarre 5.000 volte una pallina ( rimettendola ogni volta
• •
nell’urna): Quale dei seguenti risultatiti sembra più probabile ?
La pallina nera esce 1.000 volte La pallina nera esce un numero di volte compreso tra 950 e 1.050
La pallina nera esce un numero di volte compreso tra 800 e 1.200
2) Supponi di lanciare un dado molte volte (1.000, 10.000 o anche di più) che cosa puoi dire della frequenza dell’uscita del numero 2?
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