Transcript 되추적 (Backtracking)

되추적(Backtracking)
되추적(Backtracking)
 어떤 특정 집합에서 어떤 기준을 만족하도록 일련의 원소를
선택하는 문제를 위한 방법
 체스
n-Queen 문제
 n×n 서양 장기판에서 배치한 Queen들이 서로 위협하지
않도록 n개의 Queen을 배치하는 문제
 일련의 원소: Queen을 배치한 n개의 위치
 기준: 어떤 두 Queen도 서로를 위협하지 않아야 한다.
 깊이 우선 검색(depth-first search)
 루트부터 검색하여 그것의 자식 노드를 방문하면 그 노드의
모든 후손 노드를 먼저 방문하는 방법
깊이 우선 검색 알고리즘
4-Queens 문제
 같은 행에 위치할 수 없다.
 모든 경우의 수: 4x4x4x4 = 256
상태 공간 트리(state space tree)
4-Queen 문제
 모든 후보를 검사?
 No!
 되추적 기법
 어떤 노드의 유망성을 점검한 후에 유망하지 않다고 결정되면
그 노드의 부모로 되돌아가(backtracking) 다음 자식 노드로
감
 어떤 노드를 방문하였을 때 그 노드를 포함한 경로가 해답이
될 수 없으면 그 노드는 유망하지 않다고 하며, 반대로 해답의
가능성이 있으면 유망하다고 한다.
 가지치기(pruning): 유망하지 않는 노드가 포함되는 경로는 더
이상 고려하지 않는다.
가지친 상태 공간 트리(pruned state space tree)
4-Queens 문제: 되추적 알고리즘
실제 트리를 만들 필요가 있을까?
4-Queens 문제: 되추적 알고리즘
두 알고리즘은 어떤 차이?
4-Queens 문제
상태 공간 트리
n-Queens
 promising 함수
 같은 열과 대각선 피하기




대각선 판단: 열과 행의 차이가 같다.
col(i): i번째 행에 있는 Queen의 열 위치
col(6) – col(3) = 4 – 1 = 3 = 6 – 3
col(6) – col(2) = 4 – 8 = -4 = 2 – 6
n-Queens 알고리즘
n-Queens 문제 분석
 모든 노드의 수
 n = 8; 19,173,961
 두 개의 queen이 같은 열에 위치 할 수 없다.
 n = 8; 109,601
 대각선은?
 즉, 유망하지 않은 노드 수까지 계산에 포함됨
그렇다면 어떻게 마디의 개수를 알 수 있을까?
 유망한 마디의 개수를 정확하게 구하기 위한 유일한 방법은
실제로 알고리즘을 수행하여 구축된 상태 공간 트리의 마디
개수를 세어보는 수 밖에 없다.
 그러나 이 방법은 진정한 분석 방법이 될 수 없다. 왜냐하면
분석은 알고리즘을 실제로 수행하지 않고 이루어져야 하기
때문이다.
마디의 개수
Monte Carlo 기법
 되추적 알고리즘의 수행시간 추정
 어떤 입력이 주어졌을 때 점검하게 되는 상태 공간 트리의
전형적인 경로를 무작위로 생성하여 이 경로 상에 점검하게
되는 노드의 수를 계산
 이 과정을 여러 번 반복하여 계산된 결과의 평균값을
이용하여 알고리즘의 성능을 추정
Monte Carlo기법을 위한 요구조건
 조건 1. 상태 공간 트리에서 같은 레벨에 있는 모든 노드의
유망성 여부를 점검하는 절차는 같아야 한다.
 조건 2. 상태 공간 트리의 같은 레벨에 있는 모든 노드의
자식 수는 같아야 한다.
n-Queens 문제?
Monte Carlo 알고리즘
 무작위 경로 생성
 m0: 루트의 유망한 자식 노드의 수
 레벨 1의 유망한 자식 노드를 랜덤하게 생성한다. 이 노드의
유망한 자식 노드의 수를 m1이라 하자.
 이전 단계에서 생성한 노드의 유망한 자식 노드를 랜덤하게
생성한다. 이 노드의 유망한 자식 노드의 수를 m2라 하자.
 위 과정을 더 이상 자식 노드가 없을 때까지 반복한다.
 ti: 레벨 i에 있는 노드의 자식 노드의 총 개수
 총 노드 추정치
1  t0  m0t1  m0 m1t2  ...  m0 m1...mi 1ti  ...
그래프 색칠하기
 m-색칠하기 문제(m-coloring): 인접한 노드는 같은 색깔로
색칠할 수 없다는 제약 조건 하에 무방향 그래프의 노드를
최대한 m개의 색으로 색칠하는 문제
 m=3
평면 그래프(Planar Graph)
 평면 상에서 이음선(edge)들이 서로 엇갈리지 않게 그릴 수
있는 그래프
 지도에서 각 지역을 그래프의 정점으로 하고, 한 지역이
어떤 다른 지역과 인접해 있으면 그 지역들을 나타내는
정점들 사이에 이음선을 그으면, 모든 지도는 그에 상응하는
평면그래프로 표시할 수 있다
그래프 색칠하기: 상태 공간 트리
그래프 색칠하기: 분석
 상태 공간 트리의 노드의 총 수
n 1
m
1
1  m  m2  ...  mn 
m 1
 실제 노드 수의 추정
 Monte Carlo 기법 사용
해밀튼의 회로
 외판원 문제
 해밀토니안 순환 경로
 연결된 무방향 그래프에서 주어진 정점에서 출발하여 모든
정점을 정확하게 한번 방문하고 출발한 정점으로 되돌아오는
경로
 해밀토니안 순환경로 문제
 연결된 무방향 그래프에서 해밀토니안 순환경로를 찾는 문제
해밀튼의 회로
해밀튼의 회로
 되추적 방법
 경로 상의 i번째 정점은 그 경로 상의 (i - 1)번째 정점과 반드
시 이웃 해야 한다.
 (n - 1)번째 정점은 반드시 0번째 정점(출발점)과 이웃 해야
한다.
 i번째 정점은 처음 i - 1개의 정점이 될 수 없다.
0-1 배낭 채우기
 되추적으로 하기전에…
부분집합의 합 구하기
 부분집합의 합 구하기 문제(Sum-of-Subset)
 n개의 양의 정수 wi와 양의 정수 W가 있을 때 부분집합의
원소들의 합이 W가 되는 모든 부분집합을 찾는 문제

오름차순으로 무게 정렬
부분집합의 합 구하기

 weight(w)
 total(t)
 X Node
 w+wi+1>W
 w+t<W
부분집합의 합 구하기: 알고리즘
0-1 배낭 채우기
 되추적 기법을 이용한 0-1 배낭 채우기 문제
 부분집합의 합 구하기와 동일한 형태의 상태 공간 트리 이용
 무게에 따른 노드의 유망 여부
 weight: 지금까지 포함한 item 무게의 총 합
 weight > W: X 노드
 weight = W: X 노드
 자식 노드를 점검할 필요가 없음
 ???에 따른 유망 여부
0-1 배낭 채우기
 이익에 따른 유망 여부
 item들을 pi/wi의 값에 따라 내림차순으로 정렬한다.
 빈틈없이 배낭 채우기 문제를 이용하여 0-1 배낭 채우기
문제의 상한 값을 계산할 수 있다.
 0-1 배낭 채우기 문제의 최대 이익은 빈틈없이 배낭 채우기
문제의 최대 이익보다 클 수 없다.
 profit: 지금까지 포함한 item들의 이익의 총 합
 bound: profit의 상한 값(빈틈없이 배낭 채우기 문제를 통해
계산)
0-1 배낭 채우기: 예