Transcript Problema paracadute e barretta in campo B
Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili
1) Il problema del paracadute
Un corpo in moto in un fluido viscoso (aria, acqua) è sottoposto a una forza di contrasto
F R
detta resistenza viscosa, diretta sempre in senso opposto alla velocità. In un regime di piccole velocità (nell’aria fino a circa 30 m/s 108 km/h ), stabilito il tipo di fluido, modulo di
F R
è proporzionale alla velocità e alle dimensioni lineari del corpo (cioè le resistenze viscose su due oggetti di forma uguale, stanno fra loro come il rapporto delle rispettive dimensioni lineari). Il problema della caduta verticale di un oggetto in un fluido (ad esempio un paracadute) in un regime di piccole velocità si affronta introducendo un riferimento con un asse delle ordinate orientato verso il basso, in modo che la velocità venga
F R
positiva. Indicando con
v
,
a
,
F R
e
W
le componenti (quindi con segno al loro interno) di velocità, accelerazione, resistenza viscosa e peso lungo tale asse, la resistenza viscosa si scrive introducendo una costante di proporzionalità
b
specifica del corpo che cade: dove
F R
bv y
[ Ns/m] e il segno meno indica che la resistenza viscosa ha sempre verso opposto alla velocità.
mg
Scriviamo la seconda legge della dinamica lungo l’asse
y
:
ma
F R
W
m dv dt mg
Come si vede, poiché
mg
resta costante ma
bv
aumenta d’intensità al crescere di
v
durante la caduta, dopo una fase iniziale in cui la velocità cresce, il corpo raggiunge una velocità limite
v
di caduta, costante, quando l’accelerazione si annulla, cioè per: Cerchiamo ora l’andamento
m dv dt mg
0
v
mg b
della velocità nel tempo, risolvendo il corrispondente problema di Cauchy. Assumiamo che il paracadute parta con velocità iniziale
v
0 , e integriamo l’equazione differenziale che è a variabili separabili:
m v dv dt
(0)
v
0
mg
m v
(0)
dv
v
0
mg
dt
moltiplicando ambo i membri per
b
allo scopo di ottenere a numeratore la derivata del denominatore:
mg
b m
dt
ln |
mg
|
b m t
C
Osservando che
mg
pertanto la forza in basso
mg
0 perché il corpo accelera verso il basso (quindi nel verso delle
y
positive) e supera sempre la resistenza verso l’alto
bv
, possiamo eliminare il modulo e passare dai logaritmi agli esponenziali. Introducendo un’unica costante d’integrazione
C
per ambo i membri, otteniamo:
mg
e
b m
( )
mg b
e C b e
b m t
Dobbiamo ora calcolare la costante di integrazione (in forma esponenziale
e C
) imponendo la condizione iniziale:
v
0
mg b
e C b e
0
e C
Sostituendo si ottiene infine la funzione
mg
che esprime l’andamento della
v
0
v
velocità durante la caduta:
v
0
mg b
(
v
0
mg
)
e
b m t b v
0
t
Come si vede, calcolando il limite ritroviamo
v
t
lim ( )
mg b
. Il caso particolare in cui il corpo inizia a cadere con velocità nulla si trova inserendo
v
0 0 :
mg
(1
b
e
b m t
)
v
(1
e
t
)
con
2) La barretta in caduta nel campo magnetico
Il problema della barra che cade in un campo magnetico restando a contatto con due rotaie conduttrici, è riconducibile a quello di un oggetto su cui agisce una resistenza viscosa, cioè sottoposto a una forza del tipo
bv
. Infatti, se |
B
| è l’intensità del campo
I
R
F M
magnetico (come in figura),
L
la lunghezza della barretta, dell’apparato, il modulo della forza magnetica
F M
si scrive:
R
la resistenza complessiva |
F M
| sin 90
R
2
R y
Il verso di
F M
è opposto alla velocità di caduta, quindi la sua componente
F M
lungo l’asse
y
(anche qui diretto in basso per semplicità) è legata alla componente
v F M
| | 2
R L
2
v
della velocità dalla relazione seguente:
bv
2
R L
2 Quindi il problema di Cauchy che regola la caduta della barretta nel campo magnetico è lo stesso del paracadute che cade partendo fermo. La soluzione si ottiene inserendo il corrispettivo valore di
b
nella formula:
m v dv dt
(0) 0
mg
( )
mgR
| | (1
e
B L mR t
)
v
(1
e
t
)
v
v
0 0 con la velocità limite pari a
v
t
mg b
B
2
L
2 e la costante di tempo .
t