elementi di aritmetica e geometria DEFINITIVO
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Transcript elementi di aritmetica e geometria DEFINITIVO
CPIA 4 TORINO
DISPENSE DI MATEMATICA
PROFESSOR BENEDETTO PIRRELLO
Sommario
SEZIONE 1 - ARITMETICA ............................................................................................................................... 4
CAPITOLO 1 - I NUMERI ........................................................................................................................................... 4
Sistema Metrico Decimale .......................................................................................................................................... 4
Esempio 1 ................................................................................................................................................................... 4
Esempi:2 ..................................................................................................................................................................... 5
Esempio: 3 .................................................................................................................................................................. 5
Da cifre a lettere.......................................................................................................................................................... 6
Da lettere a cifra.......................................................................................................................................................... 6
CAPITOLO 2 – LE OPERAZIONI ................................................................................................................................ 8
Addizione e somma .................................................................................................................................................... 8
Sottrazione o differenza .............................................................................................................................................. 8
Divisione ................................................................................................................................................................... 11
Prova della divisione ..................................................................................................................................................... 13
Addizione.................................................................................................................................................................. 13
Sottrazione ................................................................................................................................................................ 13
Moltiplicazione ............................................................................................................................................................. 13
Moltiplicazioni per 10, 100, 1000: ............................................................................................................................ 13
Divisione ................................................................................................................................................................... 14
Divisioni per 10, 100, 1000: ..................................................................................................................................... 14
CAPITOLO 3 - APPROSSIMAZIONE o ARROTONDAMENTO ............................................................................ 15
Approssimazione di un numero alle decine .............................................................................................................. 15
Approssimazione di un numero alle centinaia .......................................................................................................... 15
Approssimazione di un numero alle unità di migliaia .............................................................................................. 15
Approssimazione di un numero decimale alle unità ................................................................................................. 16
Casi particolari: ......................................................................................................................................................... 16
ESERCIZI ..................................................................................................................................................................... 16
Approssimazioni ....................................................................................................................................................... 16
CAPITOLO 4 - UNITÀ DI MISURA ......................................................................................................................... 17
Lunghezza ................................................................................................................................................................. 17
Peso........................................................................................................................................................................... 17
Capacità .................................................................................................................................................................... 17
Equivalenze .............................................................................................................................................................. 17
CAPITOLO 5 - DIVISIBILITÀ E NUMERI PRIMI ................................................................................................... 19
CAPITOLO 6 - CRITERI DI DIVISIBILITÀ .............................................................................................................. 20
Criterio di divisibilità per 2 ....................................................................................................................................... 20
Criterio di divisibilità per 5 ....................................................................................................................................... 20
Criterio di divisibilità per 11 ..................................................................................................................................... 20
CAPITOLO 7 - POTENZE........................................................................................................................................... 21
Proprietà delle potenze: ............................................................................................................................................ 21
Potenze particolari: ................................................................................................................................................... 21
CAPITOLO 8 - SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI ......................................................................................... 22
CAPITOLO 9 - MASSIMO COMUN DIVISORE (MCD) ......................................................................................... 23
CAPITOLO 10 - FRAZIONI ........................................................................................................................................ 24
CAPITOLO 11 - FRAZIONI EQUIVALENTI E RIDUZIONE AI MINIMI TERMINI ............................................ 25
CAPITOLO 12 - RIDUZIONE AI MINIMI TERMINI ............................................................................................... 26
CAPITOLO 13 - OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ................................................................................................ 27
CAPITOLO 14 - RAPPORTI ....................................................................................................................................... 28
CAPITOLO 15 - PERCENTUALE ............................................................................................................................. 29
Calcolo della percentuale .......................................................................................................................................... 29
Sconto ....................................................................................................................................................................... 29
Interesse .................................................................................................................................................................... 30
CAPITOLO 16 - PROPORZIONI ................................................................................................................................ 31
CAPITOLO 17 - TERMINE INCOGNITO DELLA PROPORZIONE ....................................................................... 32
CAPITOLO 18 - GRAFICI .......................................................................................................................................... 34
CAPITOLO 19 - PIANO CARTESIANO .................................................................................................................... 35
CAPITOLO 20 - FIGURE GEOMETRICHE SUL PIANO CARTESIANO ............................................................... 36
CAPITOLO 21 - ALTRE FORME DI GRAFICO ....................................................................................................... 38
Istogramma ............................................................................................................................................................... 38
Aerogramma ............................................................................................................................................................. 38
Ideogramma .............................................................................................................................................................. 38
Istogramma ............................................................................................................................................................... 38
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Si rappresenta il totale dei ragazzi con un cerchio (aerogramma o diagramma a torta), .......................................... 39
i 5 generi di videogiochi con dei spicchi. ................................................................................................................. 39
Ideogramma .............................................................................................................................................................. 39
SEZIONE 2 – GEOMETRIA .................................................................................................................................. 40
CAPITOLO 1 - PUNTO, RETTA, PIANO .................................................................................................................. 40
CAPITOLO 2- RETTE INCIDENTI E RETTE PARALLELE ................................................................................... 41
CAPITOLO 3 - SEMIRETTA E SEGMENTO ............................................................................................................ 42
CAPITOLO 4 - ANGOLO ........................................................................................................................................... 43
CAPITOLO 5 - POLIGONI ......................................................................................................................................... 44
CAPITOLO 6 - PERIMETRO E AREA....................................................................................................................... 45
CAPITOLO 7 - TRIANGOLO ..................................................................................................................................... 46
Base e altezza ............................................................................................................................................................ 46
Perimetro ed area ...................................................................................................................................................... 47
Rettangolo ................................................................................................................................................................. 48
Rombo ...................................................................................................................................................................... 49
Quadrato ................................................................................................................................................................... 49
Trapezio .................................................................................................................................................................... 50
CAPITOLO 9 - RADICE QUADRATA ...................................................................................................................... 51
CAPITOLO 10 - TEOREMA DI PITAGORA ............................................................................................................. 52
CAPITOLO 11 - I SOLIDI ........................................................................................................................................... 53
Superficie .................................................................................................................................................................. 53
Volume ..................................................................................................................................................................... 53
CAPITOLO 12 - IL CUBO .......................................................................................................................................... 54
Superficie totale ........................................................................................................................................................ 54
Volume ..................................................................................................................................................................... 54
Esercizi ......................................................................................................................................................................... 55
Numeri e Cifre .......................................................................................................................................................... 55
Addizione.................................................................................................................................................................. 56
Sottrazione ................................................................................................................................................................ 56
Moltiplicazione ......................................................................................................................................................... 56
Moltiplicazioni per 10, 100, 1000: ............................................................................................................................ 56
Divisione ................................................................................................................................................................... 56
Divisioni per 10, 100, 1000: ..................................................................................................................................... 56
Approssimazioni ....................................................................................................................................................... 56
Equivalenze .............................................................................................................................................................. 57
Divisibilità e numeri primi ........................................................................................................................................ 57
Scomposizione in fattori primi ................................................................................................................................. 57
Massimo comun divisore .......................................................................................................................................... 57
Frazioni ..................................................................................................................................................................... 57
Ridurre le frazioni ai minimi termini ........................................................................................................................ 58
Proporzioni ............................................................................................................................................................... 58
Problemi.................................................................................................................................................................... 58
Percentuale................................................................................................................................................................ 58
Problemi con le percentuali ...................................................................................................................................... 59
Grafici ....................................................................................................................................................................... 59
Triangolo .................................................................................................................................................................. 60
Quadrilateri ............................................................................................................................................................... 60
Rettangolo ................................................................................................................................................................. 60
Rombo ...................................................................................................................................................................... 60
Quadrato ................................................................................................................................................................... 61
Trapezio .................................................................................................................................................................... 61
Problemi con poligoni equivalenti ............................................................................................................................ 61
Figure geometriche sul piano cartesiano ................................................................................................................... 61
Radice quadrata ........................................................................................................................................................ 61
Teorema di Pitagora .................................................................................................................................................. 62
Il cubo ....................................................................................................................................................................... 62
SOLUZIONI ................................................................................................................................................................. 63
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SEZIONE 1 -
ARITMETICA
CAPITOLO 1 - I NUMERI
Sistema Metrico Decimale
Cosi detto perché i numeri sono costituiti da dieci cifre (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)
Si può anche definire posizionale, in quanto il valore del numero cambia in base alla posizione
delle cifre
DECIMALI
INTERI
23.456,789
NUMERO
CIFRE
Il numero 23.456,789 è composto da 8 cifre.
Un numero senza cifre decimali (e senza virgola) si dice numero intero.
Ogni cifra è identificata con un nome, a seconda della sua posizione nel numero, come descritto in
questo schema:
Centinaia
Decine
Unità
6.503.123.456,789
Miliardi
Milioni
Migliaia
Millesimi
Centesimi
Decimi
Questo numero si potrà così leggere come:
6 unità di miliardi, 5 centinaia di milioni, 0 decine di milioni, 3 unità di milioni, 1 centinaia di
migliaia, 2 decine di migliaia, 3 unità di migliaia, 4 centinaia, 5 decine, 6 unità, 7 decimi, 8
centesimi e 9 millesimi
Esempio 1
il numero 34568,2 si legge
3 decine di migliaia, 4 unità di migliaia, 5 centinaia, 6 decine, 8 unità e 2 decimi
il numero 5003 si legge
o, più semplicemente,
5 unità di migliaia, 0 centinaia, 0 decine, 3 unità
5 migliaia e 3 unità (tralasciando le cifre di valore 0)
4
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Nei numeri con 2 o 3 cifre decimali, spesso queste vengono raggruppate e lette come centesimi o
millesimi:
Esempi:2
il numero 3,56 potrà essere letto come:
3 unità e 56 centesimi
anziché:
3 unità, 5 decimi e 6 centesimi
il numero 2,305 potrà essere letto come: 2 unità e 305 millesimi
anziché: 2 unità, 3 decimi, 0 centesimi e 5 millesimi
Esempio: 3
Nei documenti ufficiali l'Euro deve essere sempre scritto con 2 decimali, anche se il numero è
intero o se i centesimi sono 0.
Nella lettura, quando vi sono decimali, questi vengono raggruppati e letti come centesimi.
Esempi:
75 Euro
3,4 Euro
6,24 Euro
0,05 Euro
si scrive
si scrive
si scrive
si scrive
€ 75,00
€ 3,40
€ 6,24
€ 0,05
e si legge
e si legge
e si legge
e si legge
75 Euro
3 Euro e 40 centesimi
6 Euro e 24 centesimi
5 centesimi di Euro
Euro : cambio di valuta
Valuta di
partenza
Valuta di
destinazione Risultato
Spiegazione
1 EUR
RSD
123,19 RSD
1 Euro = 123,19 Dinari serbi
1 EUR
ALL
137,70 ALL
1 Euro = 137,70 Lek albanesi
1 EUR
RUB
1 EUR
MDL
84,7788 RUB 1 Euro = 84,7788 Rubli russi
22,2476
MDL
1 Euro = 22,2476 Leu moldavi
1 EUR
LYD
1 EUR
MAD
1 EUR
ZMW
1,5134 LYD
10,8583
MAD
12,6068
ZMW
1 EUR
ZAR
17,1376 ZAR 1 Euro = 17,1376 Rand sudafricani
1 EUR
EGP
1 EUR
PKR
1 EUR
GMD
1 EUR
NGN
8,6938 EGP
116.1530
PKR
46.1649
GMD
220.6180
NGN
1 Euro = 1,5134 Dinari libici
1 Euro = 10,8583 Dirham
marocchini
1 Euro = 12,6068 Kwacha zambiani
1 Euro = 8,6938 Lire egiziane
1 Euro = 116.1530 Rupia Pakistana
1 Euro = 46.1649 Dalasi Gambia
1 Euro = 220.6180 Naira
ESERCIZI
Scrivere il numero corrispondente:
1) 3 centinaia , 2 unità e 3 decimi
2) 5 unità di migliaia , 5 decine e 4 centesimi
3) 7 decine di migliaia , 6 centinaia , 2 decine e una unità
4) 2 decimi e 39 millesimi
5) 12 unità e 44 millesimi
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6) 31 milioni e 3 centinaia
7) 2 centinaia di migliaia , 2 decine e 2 decimi
8) un miliardo e 12 milioni
9) 3 decine di milioni , 5 centinaia e 7 unità
10) 9 decine , 4 decimi e 5 millesimi
Da cifre a lettere
I numeri in lettere sono scritti "di seguito", senza interruzioni, spazi o trattini.
da 0 a 19
0
zero
1
uno
2
due
3
tre
4
quattro
da 20 a 99
5
6
7
8
9
cinque
sei
sette
otto
nove
10
11
12
13
14
dieci
undici
dodici
tredici
quattordici
15
16
17
18
19
quindici
sedici
diciassette
diciotto
diciannove
20
30
40
50
quaranta
cinquanta
60
70
sessanta
settanta
80
90
ottanta
novanta
- si
venti
trenta
scrive la decina seguita dalla unità (se c'è)
Esempi:
novantuno
31 trentuno
45 quarantacinque
62 sessantadue
91
da 100 a 199
Si scrive cento seguito dal numero di due cifre delle decine e unità
Esempi:
157 centocinquantasette
105 centocinque
171 centosettantuno 120 centoventi
101 centouno
100 cento
da 200 a 999
Come per i numeri da 100 a 199, salvo che, davanti a cento si scrive il valore della cifra delle
centinaia
Esempi:
300 trecento
406 quattrocentosei 512 cinquecentododici
da 1000 a 1999
Si scrive mille seguito dal numero di 3 cifre che segue
Esempi:
1205 milleduecentocinque
1008 milleotto
1633 milleseicentotrentatre
1700 millesettecento
1000 mille
Da lettere a cifra
Si individuano i gruppi di cifre di cui è composto il numero in lettere:
........miliardi ........milioni .........migliaia .......... unità semplici
Esempi
Quarantamilaquattrocentocinquanta
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Migliaia
unità semplici
l'intero numero in cifre sarà: 40.450
dodicimilionitrentasettemilaquattrocentosessantasei
milioni
migliaia
unità semplici
l'intero numero in cifre sarà: 12.037.466
trecentoduemiliardiquattromilasedici
miliardi
migliaia
unità semplici
l'intero numero in cifre sarà: 302.000.004.016
ESERCIZI
Scrivere in lettere :
11) 128
12) 717
13) 1088
14) 100101
15) 66071
16) 21880
17) 1011303
18) 19051
19) 31033
20) 4001100
21) 45488
22) 1101081
Scrivere in cifre :
23) centoventiseimiladuecentoquindici
24) millesettecentouno
25) duemilioniquattrocentoottantotto
26) trecentotremilioniseimilaventi
27) seimilionisessantuno
28) venticinquemilaventicinque
29) centounmilacentouno
30) quattromilaquattrocentoquarantaquattro
31) ventimilioninovecentoundicimilacento
32) settantaseimilanovecentodiciannove
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CAPITOLO 2 – LE OPERAZIONI
Le operazioni sono:
- Addizione o somma
- Sottrazione o differenza
- Moltiplicazione
- Divisione
Addizione e somma
Occorre innanzitutto incolonnare i numeri: unità con unità, decimi con decimi e così via
Esempio:
10,062 + 6132
10,062 +
6132____
si incolonna
Si sommano poi le cifre, colonna per colonna, da destra verso sinistra, tenendo conto del riporto,
quando la somma supera 9.
Esempi:
1
547,62 +
32,8_
547,62 +
32,8_
2
1
547,62 +
32,8_
42
547,62 +
32,8_
0,42
547,62 +
32,8_
80,42
547,62 +
32,8_
580,42
Definizioni: i termini dell' addizione (nell'esempio 547,62 e 32,8) si chiamano addendi e il risultato
somma
Sottrazione o differenza
Occorre innanzitutto incolonnare i numeri: unità con unità, decimi con decimi e così via.
Se il primo termine ha meno decimali del secondo, gli si aggiungono degli 0 decimali a destra.
Esempio:
202,7 – 8,145
202,700 8,145
si incolonna
Si sottraggono poi le cifre, colonna per colonna, da destra verso sinistra, tenendo conto del prestito,
quando la cifra del primo termine è inferiore alla cifra del secondo termine.
Esempi:
481,6567,2_
481,6567,2_
5
7134238736
7134238736
6
1
481,6567,2_
45
481,6567,2_
4,45
7134238736
06
7134238736
606
1
1
202,008,45
202,008,45_
5
1
481,6567,2_
414,45
1
1
202,008,45
55
481,6567,2_
14,45
1
202,008,45
3,55
7134238736
2606
7134238736
32606
1
202,008,45
93,55
202,008,45_
193,55
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Definizione: il risultato della sottrazione si chiama differenza
Moltiplicazione
Definizioni: i termini della moltiplicazione si chiamano fattori e il risultato prodotto.
Una cifra per una cifra ( 4 x 3 ) sono le cosiddette Tabelline che trovi sotto elencate:
1x 1=1
1x 2=2
1x 3=3
1x 4=4
1x 5=5
1x 6=6
1x 7=7
1x 8=8
1x 9=9
2x 1=2
2x 2=4
2x 3=6
2x 4=8
2 x 5 = 10
2 x 6 = 12
2 x 7 = 14
2 x 8 = 16
2 x 9 = 18
3x 1=3
3x 2=6
3x 3=9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27
4x 1=4
4x 2=8
4 x 3 = 12
4 x 4 = 16
4 x 5 = 20
4 x 6 = 24
4 x 7 = 28
4 x 8 = 32
4 x 9 = 36
5x 1=5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
5 x 6 = 30
5 x 7 = 35
5 x 8 = 40
5 x 9 = 45
6x 1=6
6 x 2 = 12
6 x 3 = 18
6 x 4 = 24
6 x 5 = 30
6 x 6 = 36
6 x 7 = 42
6 x 8 = 48
6 x 9 = 54
7x 1=7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
7 x 6 = 42
7 x 7 = 49
7 x 8 = 56
7 x 9 = 63
8x 1=8
8 x 2 = 16
8 x 3 = 24
8 x 4 = 32
8 x 5 = 40
8 x 6 = 48
8 x 7 = 56
8 x 8 = 64
8 x 9 = 72
9x 1=9
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9 x 5 = 45
9 x 6 = 54
9 x 7 = 63
9 x 8 = 72
9 x 9 = 81
Numero di più cifre per numero di una cifra ( 1692 x 4 )
Si moltiplica il secondo fattore per l'ultima cifra del primo e quindi si procede, cifra per cifra, verso
sinistra, sommando ogni volta il riporto che si genera.
Esempio:
1692 x
4
1692 x
4
8
1692 x
4
68
3
1692 x
4
768
2
1692 x
4
6768
Numero di più cifre per numero di più cifre
Si moltiplica l'ultima cifra del secondo fattore per tutto il primo fattore (come sopra)
ottenendo un primo "prodotto parziale".
Si procede con il secondo fattore cifra per cifra, verso sinistra, moltiplicando sempre per il
primo fattore e ottenendo così altrettanti prodotti parziali.
I prodotti parziali, via via che si ottengono, si incolonnano spostandosi ogni volta di una
posizione verso sinistra.
Si sommano i prodotti parziali.
Esempi:
34 x
65
34 x
65
170
34 x
65
170
204
34 x
65
170
204_
2210
107 x
309
107 x
309
963
107 x
309
963
000
107 x
309
963
000
321
107 x
309
963
000
321__
33063
9
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Moltiplicazioni con numeri decimali
Si esegue la moltiplicazione senza tener conto della virgola nei fattori.
Si contano i decimali del primo e del secondo fattore e si inserisce la virgola nel prodotto in
modo tale che i suoi decimali siano la somma dei decimali dei due fattori
Esempi:
23,7 x 1,45 = 34,365
1 decimale
1+2=3 decimali
2 decimali
18,56 x 27 = 501,12
2 decimali
0 decimali
2+0=2 decimali
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Divisione
Definizioni: il primo termine della divisione si chiama dividendo, il secondo si chiama divisore.
Divisore di una sola cifra
Esempio:
3419 : 4
3419 :4__
la prima cifra a sinistra del dividendo 3 è minore del divisore, quindi si prendono 2 cifre e si
considera il numero 34
(se la prima cifra fosse stata maggiore o uguale bastava prendere una
cifra)
3419 :4__
8
si esegue 34 : 4 = 8 ottenendo la prima cifra del risultato
3419 :4__
32
8
si moltiplica la cifra ottenuta per il divisore 8 x 4 = 32 e si riporta il prodotto sotto al dividendo,
incolonnando le cifre
si sottrae 34 - 32 = 2 e si abbassa la prima cifra successiva del dividendo, ottenendo il 21
si esegue 21 : 4 = 5 ottenendo la seconda cifra del risultato
3419 :4__
32
85
21
3419 :4__
32
854
21
20
19
16
3
si moltiplica la cifra ottenuta per il divisore 5 x 4 = 20 e si riporta il prodotto sotto al
dividendo, incolonnando le cifre
si sottrae 21 - 20 = 1 e si abbassa la prima cifra successiva del dividendo, ottenendo 19
si esegue 19 : 4 = 4
si moltiplica 4 x 4 = 16 e si riporta il prodotto sotto al dividendo
si sottrae 19 - 16 = 3
854 è il risultato della divisione e 3 è il resto
Divisore con più cifre
Esempio
2518 : 37
2518 :37_
2518 :37_
222
6
2518 :37_
222
6
298
si considerano le prime tre cifre del dividendo cioè 251
si esegue la divisione 25 : 3 = 8 e quindi si procede per tentativi iniziando da 8
1° tentativo con 8 37 x 8 = 296 che è maggiore di 251 tentativo fallito
si diminuisce di una unità e si fa un secondo tentativo
2° tentativo con 7 37 x 7 = 259 che è maggiore di 251 tentativo fallito
3° tentativo con 6 37 x 6 = 222 che è minore di 251 tentativo riuscito
si scrive la prima cifra del risultato 6 e si riporta il prodotto 37 x 6 = 222 sotto al 251 nel
dividendo
si sottrae 251 - 222 = 29 e si abbassa la prima cifra successiva del dividendo, ottenendo
298
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2518 :37_
222
68
298
296
si esegue la divisione 29 : 3 = 9 e quindi si procede per tentativi iniziando da 9
1° tentativo con 9 37 x 9 = 333 che è maggiore di 298 tentativo fallito
2° tentativo con 8 37 x 8 = 296 che è minore di 298 tentativo riuscito
si scrive la seconda cifra del risultato 8 e si riporta il prodotto 37 x 8 = 296 sotto al 298 nel
dividendo
2518 :37_
222
68
298
296
2
si sottrae 298 - 296 = 2
68 è il risultato della divisione e 2 è il resto
754 : 26
Un altro esempio:
754 :26_
754 :26_
52
2
754 :26_
52
2
234
si prendono solo le prime 2 cifre, cioè il numero 75 (non occorre prenderne di più perché 75 è
già maggiore di 26)
si esegue la divisione 7 : 2 = 3 e si procede per tentativi iniziando da 3
1° tentativo con 3 26 x 3 = 78 che è maggiore di 75 tentativo fallito
2° tentativo con 2 26 x 2 = 52 che è minore di 75 tentativo riuscito
si scrive la prima cifra del risultato 2, si riporta il prodotto 26 x 2 = 52 sotto al 75 nel dividendo
si sottrae 75 - 52 = 23 e si abbassa la prima cifra successiva del dividendo, ottenendo
234
754 :26_
52
29
234
234
si esegue la divisione 23 : 2 = 11
il primo tentativo, in questo caso, si farà con 9 (non con 11), perché non si possono usare nei
tentativi numeri maggiori di 9
1° tentativo = 9 26 x 9 = 234 che è uguale al 234 del dividendo tentativo riuscito
si scrive la seconda cifra del risultato 9 e si riporta il prodotto 26 x 9 = 234 sotto al 234 nel
dividendo
754 :26_
52
29
234
234
0
si sottrae 234 - 234 = 0
il risultato della divisione è 29 e il resto è 0 (non c'è resto)
Definizione: quando la divisione tra due numeri ha resto 0, si dice che il primo numero è divisibile
per il secondo
Esempio precedente: si dice che 754 è divisibile per 26
Divisore con decimali
Se il divisore ha delle cifre decimali, prima di fare l'operazione occorre moltiplicare per 10, 100 o
1000 sia il dividendo che il divisore, in modo tale che il divisore diventi un numero intero.
Esempi:
123 : 4,8
76,5 : 0,32
si moltiplica x 10 e diventa
si moltiplica x 100 e diventa
1230 : 48
7650 : 32
Dividendo con decimali
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Se il dividendo ha delle cifre decimali si esegue l'operazione normalmente, riportando la virgola nel
risultato quando la si incontra abbassando le cifre
Esempio:
71,5 : 8
71,5 :8_
64
8
7
71,5 :8__
64
8,9
7 5
7 2
3
71,5 :8_
64
8,
7
Prova della divisione
Si moltiplica il risultato per il divisore; al prodotto ottenuto si aggiunge il resto. Si deve ottenere il
dividendo.
Esempi: 47 : 13 = 3
47 : 13 = 3, 6
resto 8
PROVA
3 x 13 = 39
39 + 8 = 47
resto 0, 2
PROVA
3,6 x 13 = 46, 8
46, 8 + 0, 2 = 47
ESERCIZI
Addizione
33) 123 + 876 =
34) 358 + 814 =
35) 402,9 + 1227,1 =
36) 8,07 + 491,94 =
37) 988,1 + 113,8 =
38) 337,9 + 884,25 =
39) 456 + 543 + 101 =
40) 607,45 + 98 + 406,35 =
Sottrazione
41) 752 – 351 =
42) 1420 – 603 =
43) 834 – 767 =
44) 821,54 – 7,4 =
45) 5,05 – 2,36 =
46) 145 – 0,145 =
47) 100 – 39,9 =
48) 2004,06 – 933,59 =
49) 667,89 – 567,9 =
50) 2675 x 7 =
51) 323 x 94 =
52) 307 x 408 =
53) 0,5 x 3568 =
54) 31,31 x 5,6 =
55) 156 x 0,65 =
56) 83,2 x 43,9 =
57) 357 x 5,55 =
58) 99,9 x 2,47 =
59) 123 x 100 =
60) 4,56 x 10 =
61) 78,9 x 1000 =
62) 0,65 x 100 =
63) 0,034 x 10 =
64) 0,21 x 1000 =
Moltiplicazione
Moltiplicazioni per 10, 100, 1000:
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Divisione
Proseguire le divisioni sino alla seconda cifra decimale (o sino ad ottenere resto 0)
65) 1356 : 6 =
66) 1799 : 7 =
67) 3559 : 5 =
68) 2175 : 25 =
69) 246,4 : 56 =
70) 600 : 27 =
71) 1458 : 36 =
72) 132,6 : 85 =
73) 1266 : 55 =
74) 234 : 8,3 =
75) 4,53 : 6,1 =
76) 1171,6 : 2,32 =
77) 4520 : 10 =
78) 123 : 100 =
79) 78,91 : 10 =
80) 306 : 1000 =
81) 0,37 : 10 =
82) 81,2 : 1000 =
Divisioni per 10, 100, 1000:
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CAPITOLO 3 - APPROSSIMAZIONE o ARROTONDAMENTO
Definizione: operazione mediante la quale, un numero viene trasformato, ottenendo un risultato
diverso rispetto da quello iniziale
Quando la cifra finale (unità, decine, centinaia, migliaia) è maggiore di 5, il numero ottenuto
è maggiore di quello iniziale, pertanto l'approssimazione si dice per eccesso.
137 ≈ 140
1358 ≈ 1360
134 ≈ 130
1243 ≈ 1240
Quando la cifra finale (unità, decine, centinaia, migliaia) è maggiore di 5, il numero ottenuto
è maggiore di quello iniziale, pertanto l'approssimazione si dice per difetto.
Approssimazione di un numero alle decine
Si trova la prima decina intera (unità = 0) superiore al numero dato e la prima decina intera
inferiore.
Esempi:
330
327
5270
200
5263
320
198
5260
190
Quindi si sceglie, tra i due numeri trovati, quello più vicino al numero dato.
Esempi precedenti:
327 330
5263 5260
198 200
Approssimazione di un numero alle centinaia
Si trova la prima centinaia intera (unità e decine = 0) superiore al numero dato e la prima centinaia
intera inferiore.
Esempi:
1400
1327
5300
2000
5263
1300
1980
5200
1900
Quindi si sceglie, tra i due numeri trovati, quello più vicino al numero dato.
Esempi precedenti:
1327 1300
5263 5300
1980 2000
Approssimazione di un numero alle unità di migliaia
Si trova la prima migliaia intera (unità, decine e centinaia = 0) superiore al numero dato e la prima
migliaia intera inferiore.
Quindi si sceglie, tra i due numeri trovati, quello più vicino al numero dato.
Esempi:
24000
23827
6000
5263
23000
2000
1980
5000
1000
Quindi si sceglie, tra i due numeri trovati, quello più vicino al numero dato.
23827 24000
5263 5000
1980 2000
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Approssimazione di un numero decimale alle unità
Si trova il numero intero immediatamente successivo al numero dato ed il numero stesso senza
decimali.
Quindi si sceglie, tra i due, quello più vicino al numero dato.
Esempi:
383
382,7
53
20
52, 43
382
19, 80
52
19
Quindi si sceglie, tra i due numeri trovati, quello più vicino al numero dato.
382,7 383
52, 43 52
19, 80 20
Casi particolari:
- Se il numero dato è esattamente a metà tra il superiore ed l'inferiore trovati, si approssima al
superiore
Esempi:
445 approssimato alle decine vale 450
2350 approssimato alle centinaia vale 2400
7,5 approssimato alle unità vale 8
- Se le unità sono 0 il numero approssimato alle decine è il numero stesso
se le unità e le decine sono entrambe 0 il numero approssimato alle centinaia è il numero stesso
se le unità, le decine e le centinaia sono tutte 0 il numero approssimato alle migliaia è il numero
stesso
Esempi:
560 approssimato alle decine vale sempre 560
2300 approssimato alle centinaia vale sempre 2300
26000 approssimato alle migliaia vale sempre 26000
ESERCIZI
Approssimazioni
Approssimare a tutte le cifre
83) 3431
84) 6867
85) 1635
86) 7608
87) 5252
88) 3198
89) 4290
90) 1115
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CAPITOLO 4 - UNITÀ DI MISURA
Si chiama così l'insieme delle unità di misura, multipli e sottomultipli.
Si dice decimale perché i multipli e i sottomultipli delle unità (lunghezza, capacità, peso) si
ottengono sempre moltiplicando o dividendo per 10, 100, 1000, .....
In particolare un’unità di misura può essere trasformata in unità minore moltiplicando per 10, 100,
1000,….., invece per passare da un’unità minore alla maggiore si divide per 10, 100, 1000,…..
Vedi esempi:
Lunghezza
L' unità di misura delle lunghezze è il metro con i suoi multipli e sottomultipli.
Multipli
Unità
km
Hm
dam
m
chilometro ettometro decametro metro
1000 m
100 m
10 m
1m
Sottomultipli
dm
cm
mm
decimetro centimetro millimetro
0,1 m
0,01 m
0,001 m
Ogni salto x 10 →
← ogni salto :10
Peso
L' unità di misura del peso è il grammo con i suoi multipli e sottomultipli.
Multipli
Unità
Sottomultipli
kg
hg
dag
g
Dg
cg
mg
chilogrammo ettogrammo decagrammo grammo decigrammo centigrammo milligrammo
1000 g
100 g
10 g
1g
0,1 g
0,01 g
0,001 kg
Ogni salto x 10 →
← ogni salto :10
Capacità
L' unità di misura della capacità è il litro con i suoi multipli e sottomultipli.
Multipli
hl
Dal
ettolitro Decalitro
100 l
10 l
Ogni salto x 10 →
Unità
l
litro
1l
Sottomultipli
dl
cl
Ml
decilitro centilitro Millilitro
0,1 l
0,01 l
0,001 l
← ogni salto :10
Equivalenze
Una misura di lunghezza espressa, per esempio, in ettometri può essere trasformata, per esempio, in decimetri
moltiplicandola per 1000: infatti occorrono 100 metri per formare un ettometro e 10 decimetri per un metro.
Questa operazione si chiama equivalenza e può essere fatta tra due qualsiasi multipli o sottomultipli del metro (metro
incluso) e lo stesso per le misure di peso e capacità.
Osservando la tabella si nota che ogni casella della tabella "vale" 10 volte più della casella sottostante e 10 volte meno
di quella soprastante.
Se, per esempio, una misura è espressa in decagrammi (dag), dovrò moltiplicarla per 10 per avere la stessa misura in
grammi (g nella casella sotto) e dividerla per 10 per avere la stessa misura in ettogrammi (hg nella casella sopra).
Quindi, nel cambiare l'unità di misura, se nella tabella ci "spostiamo verso il basso" di una casella occorre moltiplicare
la misura per 10, se le caselle sono 2 per 100, se sono 3 per 1000 e così via.
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Allo stesso modo, se lo "spostamento" avviene verso l'alto occorrerà dividere la misura per 10 per una sola casella, per
100 per 2 caselle, per 1000 per 3, e così via.
Un semplice procedimento per effettuare una operazione di equivalenza consiste nel "contare i passi" da compiere sulla
tabella per spostarsi dall'unità di misura data a quella richiesta, moltiplicando o dividendo (a seconda della direzione di
spostamento) poi la misura per 10, 100, 1000, ……
Esempi di equivalenze:
hm 35 = m 3.500
Kg 2,1 = hg 21
dal 0,078 = cl 78
mm 6.530 = dam 0,653
g 187,2 = hg 1,872
m si trova 2 caselle al di sotto di hm, quindi si moltiplica per 100
hg si trova 1 casella al di sotto di Kg, quindi si moltiplica per 10
cl si trova 3 caselle al di sotto di dal, quindi si moltiplica per 1000
dam si trova 4 caselle al di sopra di mm, quindi si divide per 10.000
hg si trova 2 caselle al di sopra di g, quindi si divide per 100
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CAPITOLO 5 - DIVISIBILITÀ E NUMERI PRIMI
Un numero si dice divisibile per un altro quando la divisione ha resto 0.
Ci sono numeri che sono divisibili solo per 1 e per se stessi, altri hanno molti più divisori.
Si chiamano Numeri primi i numeri interi divisibili solo per 1 e per se stessi, escluso il numero 1.
Sono numeri primi i seguenti:
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
ecc.
Per determinare se un numero intero è primo bisogna provare a dividerlo per tutti gli interi che lo precedono. Se risulta
che non è divisibile per nessuno di essi, allora è primo.
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CAPITOLO 6 - CRITERI DI DIVISIBILITÀ
Per stabilire a priori, senza effettuare la divisione, se un numero è divisibile per un altro, esistono in alcuni casi dei
semplici procedimenti che vanno sotto il nome di criteri di divisibilità.
Essi risultano molto utili nel procedimento per valutare se un numero è primo e, come vedremo, nella "scomposizione
in fattori primi".
Descriviamo quelli più ricorrenti e di più facile applicazione:
Criterio di divisibilità per 2
Un numero è divisibile per 2 se la cifra delle unità (cioè l’ultima cifra di destra) è pari 0, 2, 4, 6, 8.
Esempi:
38 è divisibile per 2
Criterio di divisibilità per 3
1890 è divisibile per 2
63 non è divisibile per 2
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3.
Esempi:
471
4+7+1 = 12
12 è divisibile per 3, quindi anche 471 è divisibile per 3
323
3+2+3 = 8
8 non è divisibile per 3, quindi neanche 323 è divisibile per 3
Criterio di divisibilità per 5
Un numero è divisibile per 5 se la cifra delle unità è 0 oppure 5.
Esempi:
90 è divisibile per 5
7835 è divisibile per 5
83 non è divisibile per 5
Criterio di divisibilità per 11
- si sommano le cifre di posto pari
- si sommano le cifre di posto dispari
Se la differenza fra le due somme è 0 oppure 11 o un suo multiplo (22, 33, ecc.) il numero è divisibile per 11
Esempi:
47861
cifre di posto pari = 7 e 6
7+6= 13
cifre di posto dispari = 4, 8, 1
4+8+1= 13
13 – 13 = 0 il numero 47861 è divisibile per 11
825
cifre di posto pari = 2
cifre di posto dispari = 8 e 5
differenza
13 - 2 = 11
825 è divisibile per 11
93457
cifre di posto pari = 3 e 5
3+5= 8
cifre di posto dispari = 9, 4, 7
9+4+7= 20
differenza
20 - 8 = 12
93457 non è divisibile per 11
somma 2
8+5= 13
20
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CAPITOLO 7 - POTENZE
Un numero moltiplicato due o più volte per se stesso, si dice potenza
esponente
Esempio:
54
significa
5x5x5x5
base
cioè la base viene moltiplicata per se stessa tante volte quanto è indicato dall'esponente.
Le potenze si leggono come nei seguenti esempi:
42
si legge
53
"
64
"
75
"
ecc. ecc.
" 4 alla seconda "
" 5 alla terza "
" 6 alla quarta "
" 7 alla quinta "
oppure
oppure
oppure
oppure
" 4 elevato a 2 "
" 5 elevato a 3 "
" 6 elevato a 4 "
" 7 elevato a 5 "
Proprietà delle potenze:
1. Il prodotto (o risultato) di potenze che hanno la stessa base è uguale a una potenza che ha per base la stessa
base e come esponente la somma degli esponenti:
am x an = am+n esempio 34 x 32 = 34+2 = 36 = 3x3x3x3x3x3 = 729
2. Il quoziente (o risultato) di potenze che hanno la stessa base è uguale a una potenza che ha per base la stessa
base e come esponente la differenza degli esponenti:
am : an = am-n esempio 34 : 32 = 34-2 = 32 = 3x3 = 9
3. Il prodotto di due o più potenze aventi lo stesso esponente è uguale a una potenza che ha per base il prodotto
delle basi e come esponente lo stesso esponente:
an x bn = (a x b)n esempio 42 x 22 = (4 x 2)2 = 82 = 64
4. Il quoziente di due potenze che hanno lo stesso esponente è uguale a una potenza che ha per base il quoziente
delle basi e per esponente lo stesso esponente:
am : bm = (a : b)m esempio 42 : 22 = (4 : 2)2 = 22 = 4
5. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente il prodotto degli
esponenti:
(am)n = am x n esempio (23)2 = 23 x 2 = 26 = 64
Potenze particolari:
-
La potenza di un numero naturale con esponente 1 è uguale al numero stesso:
a1 = a esempio 51 = 5 71 = 7 ecc.
-
La potenza di un numero naturale con esponente 0 (zero) è uguale a 1:
a0 = 1 esempio 50 = 1 70 = 1 ecc.
21
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CAPITOLO 8 - SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
Scomporre un numero significa scrivere il numero come prodotto di fattori primi
Procedimento:
Il procedimento di scomposizione in fattori primi è descritto nell' esempio con il numero 378
378 2
189
Si cerca il più piccolo numero primo per cui è divisibile il numero a sinistra (nel nostro caso
378 è divisibile per 2) e lo si scrive a destra.
Si esegue la divisione e si riporta il risultato a sinistra.
378 2
189 3
63
Si cerca il più piccolo numero primo per cui è divisibile il nuovo numero a sinistra (nel
nostro caso 189 è divisibile per 3) e lo si scrive a destra.
Si esegue la divisione e si riporta il risultato a sinistra.
378
189
63
21
7
1
2
3
3
3
7
Si prosegue allo stesso modo sino a che il risultato della divisione è 1.
La scomposizione in fattori primi risultante sarà: 378 = 2 x 3 x 3 x 3 x 7
Altro esempio di scomposizione in fattori primi con il numero 605
605
121
11
1
5
11
11
La scomposizione in fattori primi risultante sarà: 605 = 5 x 11 x 11
Usando le potenze, le scomposizioni degli esempi precedenti si scriveranno così:
378 = 2 x 33 x 7
605 = 5 x 112
22
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CAPITOLO 9 - MASSIMO COMUN DIVISORE (MCD)
Definizione: Se un numero è divisibile per un altro, il secondo si dirà divisore del primo.
Esempio:
12 ha come divisori: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Trovare il massimo comun divisore (si abbrevia MCD) tra 2 o più numeri significa trovare il più grande divisore
comune a tutti i numeri dati.
Quindi il massimo comun divisore è il numero più grande che divide esattamente tutti i numeri dati.
Se, per esempio, si considerano i numeri 54 e 81, risulterà che:
54 ha come divisori 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
81 ha come divisori 1, 3, 9, 27, 81
I divisori comuni a 54 e 81 sono: 1, 3, 9, 27 dove il più grande è 27 quindi:
il massimo comun divisore di 54 e 81 è 27 e si scriverà:
MCD ( 54; 81) = 27
Procedimento per trovare il massimo comun divisore tra 2 o più numeri senza elencare tutti i divisori di ciascun
numero:
- si scompongono i numeri dati in fattori primi
- si calcola il prodotto dei fattori comuni con il minimo esponente
Esempio: Massimo comun divisore di 360 e 756
Scomposizione in fattori primi:
360 = 23 x 32 x 5
756 = 22 x 33 x 7
I fattori comuni sono 2 e 3. In particolare, quelli con il minimo esponente sono 22 e 32
MCD ( 360; 756) = 22 x 32 = 36
Altro esempio:
MCD(450; 195)
450 = 2 x 32 x 52
195 = 3 x 5 x 13
MCD(450; 195) = 3 x 5 = 15
23
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CAPITOLO 10 - FRAZIONI
Una frazione è un modo per esprimere una quantità basandosi sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti
della stessa dimensione.
In pratica si divide l'oggetto in tante parti uguali, quante indicate dal denominatore e se ne prendono tante quante
indicate dal numeratore.
Numeratore
2
Linea di frazione
3
5
8
Denominatore
si legge " 2 quinti " oppure " 2 fratto 5 "
si legge " 3 ottavi " oppure " 3 fratto 8 "
Per calcolare la frazione di un numero, si divide quel numero per il denominatore della frazione e si moltiplica per il
numeratore, oppure si moltiplica prima per il numeratore e poi si divide per il denominatore.
Esempi:
3
di 36 = 36 : 4 x 3 = 27
4
oppure 36 x 3 : 4 = 27
2
di 38 = 38 : 5 x 2 = 15,2
5
oppure 38 x 2 : 5 = 15,2
24
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CAPITOLO 11 - FRAZIONI EQUIVALENTI E RIDUZIONE AI MINIMI TERMINI
Due frazioni si dicono equivalenti quando, applicate, per esempio, ad un numero, portano allo stesso risultato.
18
15
18
15
e
sono equivalenti. Infatti se si calcolano i
ei
di un numero qualsiasi si ottiene sempre lo
24
20
24
20
stesso risultato:
Per esempio
provando con 120 risulta:
120 : 24 x 18 = 90
ed anche
120 : 20 x 15 = 90
provando con 30 risulta:
30 : 24 x 18 = 22,5
ed anche
30 : 20 x 15 = 22,5
Possiamo allora dire che le due frazioni hanno lo stesso valore e scrivere:
18
24
=
15
20
Si può ottenere una frazione equivalente ad un' altra data, moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per
uno stesso numero.
Esempio:
4
2
12
è equivalente a
(dividendo per 2) ed a
(moltiplicando per 3).
6
3
18
25
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CAPITOLO 12 - RIDUZIONE AI MINIMI TERMINI
Ridurre ai minimi termini una frazione significa trovare una frazione equivalente, in cui il numeratore e il denominatore
siano i più piccoli possibile cioè irriducibili.
La riduzione ai minimi termini si effettua semplificando la frazione, per fare questo basta dividere numeratore e
denominatore per il loro massimo comun divisore (MCD).
Esempio:
192
288
MCD (192; 288) = 96
192 : 96 2
288 : 96 3
Un altro metodo è quello fare successive semplificazioni della frazione, finche ci sono divisori comuni
Esempio:
36
48
36 : 6 6
48 : 6 8
6:2 3
8:2 4
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CAPITOLO 13 - OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
-
Addizione: La somma di due o più frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione che ha come
denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori:
5 3 53 8
7
7
7 7
-
Sottrazione: La differenza tra due o più frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione avente
come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la differenza dei numeratori:
11 7 11 7 4
9
9
9 9
-
Moltiplicazione: Il prodotto di due o più frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto dei
numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori:
7 4 7 x 4 28
x
9 5 9 x5 45
-
Divisione: Il quoziente fra due fazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima per l’inverso
della seconda:
7 4 7 5 35
: x
9 5 9 4 36
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CAPITOLO 14 - RAPPORTI
Il rapporto è un concetto matematico usato in molti casi pratici.
Alcuni esempi:
In Italia il rapporto tra il numero di televisori ed il numero di abitanti è di circa 2 a 3. Ciò significa che in
media vi sono 2 televisori ogni 3 persone.
Questo dato ci dà una idea immediata della diffusione degli apparecchi televisivi ed è molto più semplice da
capire che non i numeri effettivi di televisori ed abitanti (numeri a 8 cifre!!) da cui è stato tratto.
Una vernice, prima di essere usata, deve essere diluita con un solvente in rapporto 5 a 2. Ciò significa che per
ogni 5 parti di vernice occorrono 2 parti di solvente. Per esempio con 5 dl di vernice serviranno 2 dl di
solvente, con 10 dl di vernice 4 dl di solvente, e così via.
Sulle cartine geografiche è spesso indicata la "Scala". Questa non è altro che il rapporto tra le misure
riportate sulla carta e quelle reali.
Per esempio, se la scala è 1 : 1.000.000 significa che un centimetro sulla carta corrisponde a 1.000.000 cm
nella realtà (10 Km).
Il rapporto si esprime con l'operazione di divisione (come si vede già nell' ultimo esempio)
Nel primo esempio il rapporto si scrive 1 : 3 (e si legge 1 a 3) e nel secondo esempio 5 : 2 (e si legge 5 a 2).
Se si conosce il rapporto ed una delle due quantità, si può ricavare l'altra.
Il procedimento verrà visto nel prossimo capitolo, dedicato alle proporzioni.
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CAPITOLO 15 - PERCENTUALE
La percentuale (simbolo %) è uno strumento matematico di uso comune che descrive la grandezza di una quantità
rispetto ad un’altra.
Le frazioni che hanno il denominatore uguale a 100 si chiamano anche percentuali.
Esempio: Il territorio del Piemonte occupa una superficie di 25.400 km2. Si vuole calcolare la superficie occupata dalle
montagne, cioè il 25% =
25
100
Si procede: Si calcolano i
25
di 25.400
100
-
Si trasforma la percentuale nella frazione corrispondente 25% =
-
Dividiamo la superficie totale per 100 trovando il valore di
25400 : 100 = 254 km2 (valore di
-
1
100
1
)
100
Moltiplichiamo il quoziente (254) per 25 trovando il valore dei
254 x 25 = 6350 km2 (valore dei
25
;
100
25
100
25
)
100
Calcolo della percentuale
Per calcolare una certa percentuale di un numero, per esempio il 15% di 180, si moltiplica 180 per 15 e si divide per
100 oppure si divide prima 180 per 100 e poi si moltiplica per 15.
180 x 15 : 100 = 27
180 : 100 x 15 = 27
per cui si può dire che
il 15% di 180 è 27.
Se invece si conosce il valore della percentuale e si vuole risalire al totale, bisogna fare il calcolo inverso.
Cioè, se 130 è il 25% di un certo numero, per risalire a quel numero occorre dividere 130 per 25 e quindi moltiplicarlo
per 100 oppure moltiplicare prima 130 per 100 e poi dividere per 25
130 : 25 x 100 = 520
130 x 100 : 25 = 520
(infatti il 25% di 520 è proprio 130)
Sconto
Facendo riferimento ai termini usati nelle lezioni precedenti spieghiamo il significato delle parole sconto e interesse
Lo sconto è il ribasso che viene attuato sul prezzo di listino o su quello abitualmente praticato.
Conoscendo prezzo di listino e sconto si ottiene facilmente il prezzo scontato, cioè il valore finale da pagare, con la
formula:
prezzo scontato = prezzo di listino - sconto
Si può ricavare lo sconto applicato, se si conoscono sia il prezzo di listino che il prezzo scontato:
sconto = prezzo di listino - prezzo scontato
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Lo sconto può essere di due tipi : in valore assoluto o in percentuale.
Se lo sconto è in valore assoluto, si possono applicare direttamente le formule scritte sopra.
Per esempio, se un televisore, che ha un prezzo di listino di 320 €, viene pagato 290 € , lo sconto effettuato sarà:
sconto = prezzo di listino - prezzo scontato = 320 - 290 = 30 €
Il valore dello sconto è una percentuale del prezzo di listino.
In questo caso, prima di applicare le formule, è necessario calcolare il valore dello sconto come percentuale del prezzo
di listino.
Per esempio, applicando uno sconto del 15% al televisore dell'esempio precedente, il valore dello sconto è
sconto = 320 : 100 x 15 = 48 €
per cui il prezzo da pagare è
prezzo scontato = prezzo di listino - sconto = 320 - 48 = 272 €
Interesse
L' interesse è un compenso che si riceve, o che dobbiamo pagare, per il prestito (fatto o ricevuto) di una somma di
denaro, dopo un certo periodo di tempo.
L' interesse è espresso in percentuale ed il periodo di riferimento in genere è di un anno.
Oltre che nel prestito vero e proprio, l' interesse viene applicato in molte operazioni bancarie e finanziarie: conti
correnti, depositi, investimenti, mutui, ecc.
Definizioni:
- La somma di denaro prestata (o depositata, o investita, ecc.) si chiama capitale.
- Il valore della percentuale con cui viene calcolato l' interesse si chiama tasso.
Si dirà quindi:
Un capitale di 1000 € , investito con un tasso del 5% , ha fruttato un interesse di 50 €
Per calcolare l' interesse di un certo capitale, conoscendo il tasso, basta eseguire il normale calcolo della
percentuale:
interesse = capitale x tasso : 100
Se invece si vuole trovare il tasso, conoscendo il capitale e l' interesse, occorre usare la formula inversa:
tasso = interesse : capitale x 100
Esempio 1:
Un debito di 500 € viene pagato dopo un anno, con tasso di interesse del 4%
L' interesse è di
La somma da pagare è quindi
Esempio 2:
500 x 4 : 100 = 20 €
500 + 20 = 520 €
Un investimento di 8000 € ha fruttato un interesse di 400 €
Il tasso è stato del
400 : 8000 x 100 = 5%
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CAPITOLO 16 - PROPORZIONI
La proporzione è l’uguaglianza tra due rapporti
Una proporzione si presenta nella forma:
medi
18 : 3 = 42 : 7
estremi
che si legge: 18 sta a 3 come 42 sta a 7
In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
esempio:
3 x 42 = 126
ed anche
18 x 7 = 126
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CAPITOLO 17 - TERMINE INCOGNITO DELLA PROPORZIONE
Immaginiamo di conoscere tre termini di una proporzione e di voler calcolare il quarto termine. Esso verrà indicato con
X e si chiamerà termine incognito.
Il termine incognito, da ricavare, può essere ad esempio: interesse, sconto, guadagno, percentuale, ma anche il totale di
una somma.
Per trovare il termine incognito utilizziamo la proprietà fondamentale delle proporzioni, la quale dice che il prodotto dei
medi è uguale al prodotto degli estremi.
Esempio 1: ricerca del valore percentuale
Uno sconto pari al 2% del prezzo di listino di un prodotto indica che ogni 100 euro di prezzo di listino si ottiene uno
sconto di 2 euro.
Per eseguire un calcolo percentuale si deve impostare e risolvere la seguente proporzione:
tot :100 = sc : %
dove:
tot = prezzo di listino
100 = Unità di riferimento della percentuale
Sc = sconto, interesse, guadagno
% = valore della percentuale
Ricerca del valore percentuale complessivo.
È il caso in cui si vuole determinare una percentuale di una determinata grandezza complessiva.
Ad esempio, su un maglione, che ha un prezzo di listino di 80 euro, un negoziante concede uno sconto del 2%.
Vogliamo conoscere l’importo in euro dello sconto.
80 = prezzo di listino
x = sconto
100 = Unità di riferimento della percentuale
80 : 100 = x : 2%
dove 2% indica che su ogni 100 euro di prezzo di listino si ha uno sconto di 2 euro (grandezze riferite a 100), 80 euro è
il prezzo di listino, x è lo sconto.
Risolvendo la proporzione, abbiamo:
x=
2x80
1,6 euro
100
Esempio 2: ricerca della percentuale (%)
È il caso in cui si conosce il valore percentuale complessivo e non si conosce la percentuale.
Ad esempio, su un maglione che ha un prezzo di listino di 150 euro un negoziante ha concesso uno sconto di 15 euro.
Vogliamo determinare la percentuale di sconto che il negoziante ha concesso.
150 : 100 = 15 : x
Risolvendo la proporzione, abbiamo:
x=
100x15
10 %
150
Esempio 3: ricerca del totale
È il caso in cui si conosce lo sconto e la percentuale (%), ma non si conosce la grandezza complessiva su cui calcolare
la percentuale.
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Ad esempio, un negoziante ha concesso sul prezzo di listino di un maglione uno sconto di 9 euro applicando una
percentuale del 10%. Vogliamo determinare il prezzo di listino.
x : 100 = 9 : 10
Risolvendo la proporzione, abbiamo:
x=
100x9
90 euro
10
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CAPITOLO 18 - GRAFICI
Sono delle rappresentazioni di dati, raccolti in tabelle, con lo scopo di aiutare l’analisi e il ragionamento.
Consideriamo una tabella in cui siano riportate delle coppie di valori x, y.
X
Y
GIORNI TEMPERATURE
LUN
6
MAR
3
MEC
2
GIOV
8
VEN
5
SAB
4
DOM
9
Una delle forme di grafici più usati è quello mediante l’uso di assi cartesiani, dove si rappresentano i dati raccolti in
tabella.
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CAPITOLO 19 - PIANO CARTESIANO
Il piano cartesiano è costituito da due rette, una orizzontale e l’altra verticale, il cui punto di incontro è detto origine.
La retta orizzontale prende il nome di asse delle ascisse o asse delle x, mentre la retta verticale prende il nome di asse
delle ordinate o asse delle y.
Per l’asse delle x viene scelta una unità di misura, e lo stesso per la l’asse y.
Con questa unità di misura si rappresenta la distanza su ciascun asse dall' origine comune.
Si riportano i valori sugli assi x e y.
u
asse y
ordinata
6
5
4
3
2
1
0
A
B
asse x
1 2 3 4 5 6
ascissa
Ogni punto del piano cartesiano è individuato da due numeri, che si ottengono tracciando le perpendicolari, da quel
punto, ai due assi.
Nella figura sopra, tracciando le perpendicolari dal punto A , si trova 4 sull' asse x e 5 sull' asse y.
Definizione:
I due numeri che individuano un punto sul piano cartesiano si chiamano coordinate del punto; quello
sull'asse x si dice ascissa e quello sull'asse y ordinata.
Si scrive A (4 ; 5) dove il primo numero è l' ascissa x ed il secondo l' ordinata y.
Viceversa si può trovare il punto corrispondente sul piano, partendo dalle coordinate x e y.
Per esempio, per trovare il punto B (5; 2) , si traccia la perpendicolare all' asse x nel punto di ascissa 5 e la
perpendicolare all'asse y nel punto di ordinata 2. Il punto B sarà all'intersezione delle due rette tracciate.
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CAPITOLO 20 - FIGURE GEOMETRICHE SUL PIANO CARTESIANO
Se vengono assegnati dei punti (A B C D) sul piano cartesiano, attraverso le loro coordinate (x e y), e si uniscono i punti
con dei segmenti, si possono tracciare delle figure geometriche.
Per esempio, unendo i punti :
A(2; 2) B(5; 2) C(5; 4) D(2; 4)
4
D
C
A
B
si ottiene un rettangolo
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
Di questo rettangolo si può calcolare il perimetro (sommando le lunghezze dei 4 segmenti),
esempio:
AB = 5- 2 =
3 AB = CD
ora T
AD = 4 – 2
= 2 AD = BC
6
5
Il perimetro
9
12 sarà uguale a AB + DC + AD + CB = 3 + 3 + 2 + 2 = 10
L'area sarà
12 16 uguale a AB x BC = 3 x 2 = 6.
15 17
18 15
21 10
Esempio:
x
y
1
2
3
5
6,5
8
4
6,5
5
5
7
3,5
y
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x
1 2 3 4 5 6 7 8
Consideriamo ora una tabella in cui siano riportate le temperature misurate in diverse ore del giorno in una certa località
e costruiamo il grafico corrispondente.
T
20
16
12
8
4
0
6
9
12
15
18
21
ora
Regole usate per tracciare il grafico:
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sull' asse delle ascisse (x) sono stati riportati i valori della colonna ora e sull' asse delle ordinate (y) le
temperature
si sono scelte per i due assi delle unità di misura (un quadretto per ogni ora sulle ascisse e un quadretto per
ogni 2 gradi sulle ordinate)
si sono riportati sul piano cartesiano i punti definiti dalla tabella e si sono uniti con dei segmenti
Osservazioni : Il grafico dà una immagine immediata di come è cambiata la temperatura durante il giorno e permette
di ricavare facilmente altre informazioni, per esempio:
la massima temperatura è stata rilevata alle ore 15
la temperatura è stata in crescita dalle 6 alle 15, nelle prime ore velocemente e poi sempre più lentamente
la temperatura è stata superiore a 10 gradi dalle 8 (circa) alle 21
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CAPITOLO 21 - ALTRE FORME DI GRAFICO
Istogramma
Aerogramma
Ideogramma
Non sempre i punti ricavati sul grafico devono essere uniti da segmenti. In alcuni casi questo non avrebbe nessun
significato.
Istogramma
Si raccolgono in tabella i dati relativi al numero di abitanti nelle principali città italiane
Si riportano tali dati sul grafico.
abitanti
2.500.000
2.000.000
1.500.000
1.000.000
500.000
Torino Milano Genova Roma Napoli Palermo
città
sull' asse delle ascisse sono stati riportati i nomi delle città, una ogni 3 quadretti.
sull' asse delle ordinate il numero di abitanti, scegliendo come unità di misura 500.000 ogni 2 quadretti.
anziché segnare con dei punti i valori della tabella, si sono usate delle barre verticali.
Questa rappresentazione del grafico permette un confronto visivo ed immediato del numero degli abitanti di ogni città.
Città
Abitanti
Torino
Milano
862.000
1.247.000
Genova
Roma
Napoli
605.000
2.541.000
1.008.000
Palermo
683.000
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Aerogramma o diagramma a torta
Si riportano in tabella i dati relativi ai diversi generi di videogiochi preferiti da un campione di 360 ragazzi,
esempio: sport, avventura, simulazione, educativo, altro.
Sport
Avventura
Simulazione
Educativo
Altro
140
100
70
30
20
Si rappresenta il totale dei ragazzi con un cerchio (aerogramma o diagramma a torta),
i 5 generi di videogiochi con dei spicchi.
Ogni spicchio avrà un colore diverso, e la grandezza dello spicchio è in relazione alla quantità di ragazzi che hanno
scelto un determinato genere di videogiochi anziché un altro.
Un aerogramma si utilizza quando si vuole confrontare una quantità totale con tutte le parti che lo compongono.
Ideogramma
L’ideogramma è un grafico che utilizza disegni per la rappresentazione dei dati raccolti.
Rappresentiamo la misura delle altezze, espresse in cm, degli alunni di una classe.
Il numero dei disegni indica la frequenza del fenomeno considerato, infatti, analizzando il grafico, è facile intuire che
sono 5 gli alunni alti 145 cm e 3 sono alti 140 cm, e cosi via.
Si tratta di un grafico altamente intuitivo e quindi di facile comprensione.
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SEZIONE 2 – GEOMETRIA
CAPITOLO 1 - PUNTO, RETTA, PIANO
Il punto, la retta e il piano sono gli enti fondamentali della geometria.
Sono concetti primitivi, per i quali non esiste una vera definizione. Non possono essere disegnati, ma solo immaginati.
Punto
Retta
Piano
Punto
Possiamo avere una immagine del punto con il segno lasciato su un foglio da una matita appuntita.
Il punto non ha dimensioni.
Retta
L'immagine della retta può essere quella dello spigolo di un tavolo, pensando però di proseguirlo indefinitamente, sia
in un senso che nell'altro.
La retta ha una sola dimensione, la lunghezza, che è infinita.
Non ha larghezza, nè spessore. Non ha inizio e non ha fine.
Piano
Per il piano possiamo pensare ad un foglio di carta o alla superficie di uno specchio, immaginando che si estendano
senza limiti in tutte le direzioni.
Il piano ha due dimensioni, lunghezza e larghezza, entrambe infinite.
Non ha spessore.
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CAPITOLO 2- RETTE INCIDENTI E RETTE PARALLELE
Due rette tracciate su uno stesso piano possono incontrarsi in un punto o non incontrarsi mai.
Se si incontrano si dice che le rette sono incidenti ed il punto in cui si incontrano si chiama punto di intersezione.
Se le due rette non si incontrano mai si dice che sono parallele.
A
Rette incidenti
Rette parallele
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CAPITOLO 3 - SEMIRETTA E SEGMENTO
Se disegniamo un punto su una retta, la dividiamo in due parti, che chiamiamo semirette.
A
r
t
s
O
Semiretta
Semiretta
Semiretta
Definizione: Si chiama semiretta ognuna delle due parti in cui una retta viene divisa da un punto.
La semiretta (come la retta) ha una sola dimensione, la lunghezza, che è infinita.
La semiretta ha un inizio, che si chiama origine, ma non ha una fine.
Nel disegno a sinistra, le due semirette sono indicate con r ed s e la loro origine comune è il punto A.
A destra è invece disegnata una semiretta t di origine O.
Se disegniamo due punti su una retta, la dividiamo in 3 parti: le due esterne sono semirette mentre la parte compresa tra
i due punti si chiama segmento
A
r
Semiretta
k
B
Segmento
D
s
C
t
Semiretta
Segmento
Definizione: Un segmento è una parte di retta delimitata da due punti.
Il segmento ha una sola dimensione, la lunghezza, che è finita.
I due punti che lo delimitano vengono detti estremi del segmento.
Nel disegno sopra a sinistra, il segmento è indicato con k e i suoi estremi sono A e B.
A destra è invece disegnato un segmento t di estremi C e D.
Le rette, le semirette ed i segmenti si indicano con lettere minuscole, i punti con lettere maiuscole.
42
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CAPITOLO 4 - ANGOLO
Definizione: si dice angolo la parte di piano delimitata da due semirette aventi la stessa origine.
s
O
r
L' origine comune delle due semirette si chiama vertice dell'angolo e le due semirette lati dell'angolo.
Nel disegno il vertice è O ed i lati sono s ed r.
La dimensione dell'angolo si chiama ampiezza e si misura in gradi.
Gli angoli si indicano con lettere dell'alfabeto greco: (alfa), (beta), (gamma), (delta), ecc.
Se due rette sono incidenti, formano 4 angoli con il vertice nel punto di intersezione.
Se i 4 angoli hanno la stessa ampiezza, le rette si dicono perpendicolari e gli angoli si dicono retti.
angolo retto
Rette
perpendicolari
L' ampiezza dell'angolo si misura in gradi che si indicano con il simbolo " ° ".
Per esempio:
45 gradi si scrive 45°
L'angolo retto misura 90°. Di conseguenza l'ampiezza di ogni altro angolo sarà misurata in rapporto con l'angolo retto.
Eccone alcuni esempi:
30°
120°
90°
Definizioni:
60°
Un angolo di ampiezza minore di un angolo retto si dice acuto.
Un angolo di ampiezza maggiore di un angolo retto si dice ottuso.
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CAPITOLO 5 - POLIGONI
Se più segmenti sono disegnati sullo stesso piano e collegati tra loro, si dice che formano una spezzata.
Se la spezzata è chiusa, cioè se il secondo estremo dell'ultimo segmento coincide con il primo estremo del primo
segmento, allora essa individua un poligono.
B
D
C
B
A
C
A
D
POLIGONO
E
F
Spezzata
Spezzata chiusa
E
Definizione: Si chiama poligono la parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.
I segmenti della spezzata chiusa si chiamano lati del poligono.
Gli estremi dei sementi sono i vertici del poligono.
Esempio:
A B C D
vertici
r s t u
lati
α β γ δ
angoli interni
B
s
β
r
C
γ
A
α
t
δ
u
D
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CAPITOLO 6 - PERIMETRO E AREA
Il perimetro di un poligono è la lunghezza del suo "contorno", cioè la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati.
L' area di un poligono è la misura della sua superficie.
C
C
s
s
B
t
t
D
r
r
D
u
u
A
z
E
B
z
Perimetro
A
E
Area
Consideriamo il poligono disegnato nella figura a sinistra:
Il perimetro (figura in centro) è dato dalla somma della lunghezza dei lati r + s + t + u + z
L' area è invece l'estensione della parte interna, cioè, in pratica, si può misurare contando i quadretti della figura a
destra.
Il perimetro si misura in metri o in uno dei suoi multipli (dam, hm, Km) o sottomultipli (dm, cm, mm).
L' area si misura in metri quadrati (e si scrive m2 ) o in uno dei suoi multipli (dam2, hm2, Km2) o sottomultipli (dm2,
cm2, mm2).
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CAPITOLO 7 - TRIANGOLO
Definizione: il triangolo è un poligono di tre lati (e tre angoli).
B
B
α
A
β
β
α
γ
h
A
B
90°
O
γ
A
C
C
C
Tra tutti i triangoli possibili, ne esistono alcuni particolarmente importanti per la loro forma.
Essi sono:
triangolo rettangolo
triangolo isoscele
triangolo equilatero
=>
=>
=>
triangolo con un angolo retto
triangolo con due lati uguali
triangolo con tutti i lati uguali
r
h
A
r=s=t
r=s
B
s
r
90°
90°
Rettangolo
s
t
C
Isoscele
Equilatero
Definizione: in un triangolo rettangolo i lati che formano l'angolo retto si chiamano cateti, il terzo lato si chiama
ipotenusa.
Base e altezza
Se da un vertice di un triangolo disegniamo una perpendicolare sino al lato opposto, diremo che questa è l'altezza
rispetto a quel lato, che verrà chiamato base.
- il segmento h è perpendicolare ad AC
- la lunghezza di h è l' altezza rispetto alla base AC
Definizione: l' altezza di un triangolo relativa ad un lato è la distanza di quel lato (chiamato base) dal vertice opposto.
Osserviamo due casi particolari di altezza:
In un triangolo rettangolo, se si prende come base un cateto, l' altezza coinciderà con l'altro cateto.
Nel disegno, se la base è AC, l'altezza relativa è AB
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B
L' altezza può essere esterna al triangolo
h
O
C
A
Nel disegno, prendendo come base il lato AC, per disegnare l'altezza h,
occorre prolungare la base, in modo che la perpendicolare, tracciata dal vertice
B, la incontri nel punto O.
Perimetro ed area
Il perimetro di un triangolo si calcola semplicemente sommando la lunghezza dei tre lati.
Nel caso particolare del triangolo equilatero, essendo i lati uguali, basta moltiplicare il lato per 3.
L' area di un triangolo si calcola con la formula:
Area = base x altezza : 2
Esempio:
r = 10 m
s = 17 m
t = 21 m
h = 8m
perimetro = 10 + 17 + 21 = 48 m
area = 21 x 8 : 2 = 84 m2
B
s
r
h
A
O
t
C
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CAPITOLO 8 - QUADRILATERI
Definizione: un quadrilatero è un poligono con quattro lati (e quattro angoli).
A
s
B
r
C
D
I segmenti che congiungono i vertici opposti si chiamano diagonali
Nel disegno le diagonali sono s ed r, che congiungono rispettivamente i vertici opposti A con D e C con B.
Proprietà: la somma degli angoli interni di un quadrilatero è sempre 360°
Rettangolo
Definizione: un rettangolo è un quadrilatero con tutti gli angoli interni uguali.
A
B
α
β
γ
δ
α = β = γ = δ = 90°
altezza
C
D
base
Poiché la somma degli angoli interni è 360°, ogni angolo sarà di 90°, cioè retto.
In un rettangolo i lati opposti sono uguali.
Un lato (qualsiasi) viene preso come base e, di conseguenza, un lato perpendicolare diventa l' altezza.
Per esempio, nella figura, se CD è la base, AC è l' altezza.
Il perimetro si calcola facendo la somma di tutti i lati, oppure:
Perimetro = ( base + altezza ) x 2
L' area è data dalla formula:
Area = base x altezza
Esempio: Calcolo di perimetro ed area di un rettangolo con una base di 8 m ed una altezza di 4 m
Perimetro = ( 8 + 4 ) x 2 = 24 m
Area = 8 x 4 = 32 m2
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Rombo
Definizione: un rombo è un quadrilatero con tutti i lati uguali.
A
s
s=r=t=u
r
D
B
AC e DB diagonali
t
u
C
In un rombo gli angoli opposti sono uguali.
Per calcolare il perimetro si tiene conto del fatto che i lati sono tutti uguali, per cui:
Perimetro = lato x 4
L' area è data dalla formula:
Area = diagonale maggiore x diagonale minore : 2
Esempio: Calcolo di perimetro ed area di un rombo con lato di 5 m e diagonali di 6 m e 8 m.
Area = 6 x 8 : 2 = 24 m2
Perimetro = 5 x 4 = 20 m
Quadrato
Definizione:
Un quadrato è un quadrilatero con tutti i lati e tutti gli angoli uguali
s
A
α
B
β
r
s=r=t=u
t
γ
δ
D
α = β = γ = δ = 90°
u
C
Poiché la somma degli angoli interni è 360°, ogni angolo sarà di 90°, cioè retto.
Le diagonali del quadrato sono uguali.
Per calcolare il perimetro si tiene conto del fatto che i lati sono tutti uguali, per cui:
Perimetro = lato x 4
L' area è data dalla formula:
Area = lato x lato = lato2
Esempio: Calcolo di perimetro ed area di un quadrato con lato di 6 m.
Perimetro = 6 x 4 = 24 m
Area = 6 x 6 = 62 = 36 m2
Alcune considerazioni importanti:
Il quadrato è anche un rettangolo, infatti ha tutti gli angoli interni uguali.
Per questo l'area si calcola, come per il rettangolo, moltiplicando base per altezza, che in questo caso sono
uguali, per cui: base x altezza = lato x lato
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Il quadrato è anche un rombo, infatti ha tutti i lati uguali.
Per questo il perimetro si calcola come per il rombo: lato x 4
Trapezio
A
B
r
s
D
C
Trapezio isoscele
I due lati paralleli sono le basi del trapezio, chiamati rispettivamente base minore e base maggiore.
Nel disegno AB è la base minore e CD la base maggiore
Gli altri due lati sono chiamati lati obliqui (nel disegno AC e BD).
L' altezza di un trapezio è la distanza tra le due basi, cioè la lunghezza di un segmento che unisce le due basi ed è
perpendicolare ad esse.
Tra tutti i trapezi possibili, ne esistono alcuni particolarmente importanti per la loro forma.
Essi sono:
trapezio rettangolo
trapezio isoscele
A
=>
=>
trapezio con un lato obliquo perpendicolare alle basi
trapezio con lati obliqui uguali
A
B
B
r
r = s
s
90°
C
D
Trapezio rettangolo
D
C
Trapezio isoscele
Il perimetro del trapezio si calcola sommando le lunghezze dei 4 lati.
L' area è data dalla formula:
Area = ( base maggiore + base minore) x altezza : 2
Esempio: Calcoliamo perimetro ed area del trapezio rettangolo della figura sopra a sinistra, sapendo che:
AB = 7 m
BD = 5 m
CD = 10 m
AC = 4 m
Perimetro = 7 + 5 + 10 + 4 = 26 m
Area = ( 10 + 7) x 4 : 2 = 34 m2
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CAPITOLO 9 - RADICE QUADRATA
La radice quadrata di un numero è l' operazione inversa del quadrato di quel numero.
Per esempio il quadrato di 5 è: 52 = 25 , quindi la radice quadrata di 25 è 5.
La radice quadrata si indica con il simbolo √
Esempio:
√ 36 = 6
La radice quadrata è utilizzata in geometria nelle applicazioni del teorema di Pitagora e in altri casi, tra cui, importante,
ricavare il lato di un quadrato conoscendone l' area.
Esempio:
Area quadrato = 49 m2
=>
lato = √ 49 = 7 m
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CAPITOLO 10 - TEOREMA DI PITAGORA
Si chiama teorema una affermazione che si dimostra valida attraverso un ragionamento logico.
Teorema di Pitagora:
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma
dei quadrati costruiti sui cateti.
Q3
Q3 = Q1 + Q2
Q1
a2 + b2 = c2
c
a
b
Q2
Conoscendo la lunghezza dei cateti a e b si può trovare quella dell'ipotenusa c (usando la radice quadrata). Infatti
c2 = a2 + b2 e quindi
c = √ a2 + b2
Se invece si conosce un cateto a e l'ipotenusa c, si può trovare l'altro cateto: infatti b2 = c2 - a2 e quindi
b = √ c2 - a2
Il teorema di Pitagora permette di risolvere molti problemi di geometria. Eccone due esempi:
Problema
Trovare il perimetro di un triangolo rettangolo che ha come cateti 6 m e 8 m
Soluzione
Per calcolare il perimetro occorre conoscere anche la lunghezza dell' ipotenusa.
Applicando il teorema di Pitagora abbiamo che:
62 + 82 = ipotenusa2
quindi: ipotenusa = √ 62 + 82 = √ 36 + 64 = √ 100 = 10 m
Allora il perimetro sarà:
Perimetro = 6 + 8 + 10 = 24 m
Problema
Trovare l' altezza di un rettangolo con una base di 48 cm e la cui diagonale misura 60 cm
Soluzione
Disegniamo un rettangolo con i dati del problema
A
B
60 cm
D
48 cm
DC = 48 cm
AC = 60 cm
C
DCA è un triangolo rettangolo, quindi si può applicare il teorema di Pitagora:
altezza = √ 602 - 482 = √ 1296 = 36 cm
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CAPITOLO 11 - I SOLIDI
Definizione:
Si chiamano solidi le figure geometriche a tre dimensioni.
I solidi non possono essere "contenuti" in un piano (che ha solo due dimensioni), ma hanno bisogno di una terza
dimensione: il loro ambiente è lo spazio.
Alcuni esempi di solidi:
Prisma
Parallelepipedo
Piramide
Superficie
La superficie dei solidi è formata dalle figure piane che lo delimitano (triangoli, rettangoli, ecc.) e si calcola sommando
l'area di queste figure.
Per esempio la piramide disegnata sopra ha un quadrato alla base e quattro triangoli come facce laterali. La sua
superficie si calcola sommando l'area del quadrato e dei quattro triangoli.
La superficie di un solido si esprime in m2 (o dm2, cm2, dam2, ecc.) come per le figure piane.
Volume
Il volume di un solido è la sostanza contenuta in esso, per esempio l’acqua contenuta in una bottiglia, oppure la birra
contenuta in una lattina.
Il volume di un solido si esprime in m3 (o dm3, cm3, dam3, ecc.).
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CAPITOLO 12 - IL CUBO
Definizione: si chiama cubo un solido che ha come facce 6 quadrati uguali.
base
vertici
spigoli
facce laterali
base
Ogni lato comune a due facce vicine si chiama spigolo del cubo.
I punti in cui si incontrano tre facce si chiamano vertici.
Delle 6 facce, 4 sono chiamate facce laterali (quelle verticali nella figura), le altre due basi.
Superficie laterale
La superficie laterale è la superficie delle 4 facce laterali. Essendo queste tutti quadrati uguali si può scrivere:
Superficie laterale = Area faccia x 4 = lato x lato x 4 = lato2 x 4
Superficie totale
La superficie totale si ottiene sommando alla superficie laterale l'area delle due basi oppure moltiplicando per 6 l'area di
una faccia:
Superficie totale = Superficie laterale + (area base x 2)
Superficie totale = Area faccia x 6 = lato x lato x 6 = lato2 x 6
Volume
Il volume del cubo si calcola moltiplicando l'area di base per lo spigolo laterale (cioè il lato del quadrato) oppure
direttamente elevando il lato alla terza:
Volume = Area base x lato
Volume = lato x lato x lato = lato 3
Esempio :
Consideriamo un cubo con uno spigolo di 5 m.
Area di base 5 x 5 = 25 m2
(anche area di ogni faccia)
Superficie laterale = 25 x 4 = 5 x 5 x 4 = 100 m2
Superficie totale = 100 + ( 25 x 2) = 25 x 6 = 5 x 5 x 6 = 150 m2
Volume = 25 x 5 = 5 x 5 x 5 = 125 m3
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Esercizi
Numeri e Cifre
Scrivere il numero corrispondente:
1) 3 centinaia , 2 unità e 3 decimi
2) 5 unità di migliaia , 5 decine e 4 centesimi
3) 7 decine di migliaia , 6 centinaia , 2 decine e una unità
4) 2 decimi e 39 millesimi
5) 12 unità e 44 millesimi
6) 31 milioni e 3 centinaia
7) 2 centinaia di migliaia , 2 decine e 2 decimi
8) un miliardo e 12 milioni
9) 3 decine di milioni , 5 centinaia e 7 unità
10) 9 decine , 4 decimi e 5 millesimi
Scrivere in lettere :
11) 128
12) 717
13) 1088
14) 100101
15) 66071
16) 21880
17) 1011303
18) 19051
19) 31033
20) 4001100
21) 45488
22) 1101081
Scrivere in cifre :
23) centoventiseimiladuecentoquindici
24) millesettecentouno
25) duemilioniquattrocentoottantotto
26) trecentotremilioniseimilaventi
27) seimilionisessantuno
28) venticinquemilaventicinque
29) centounmilacentouno
30) quattromilaquattrocentoquarantaquattro
31) ventimilioninovecentoundicimilacento
32) settantaseimilanovecentodiciannove
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Addizione
33) 123 + 876 =
34) 358 + 814 =
35) 402,9 + 1227,1 =
36) 8,07 + 491,94 =
37) 988,1 + 113,8 =
38) 337,9 + 884,25 =
39) 456 + 543 + 101 =
40) 607,45 + 98 + 406,35 =
Sottrazione
41) 752 – 351 =
42) 1420 – 603 =
43) 834 – 767 =
44) 821,54 – 7,4 =
45) 5,05 – 2,36 =
46) 145 – 0,145 =
47) 100 – 39,9 =
48) 2004,06 – 933,59 =
49) 667,89 – 567,9 =
50) 2675 x 7 =
51) 323 x 94 =
52) 307 x 408 =
53) 0,5 x 3568 =
54) 31,31 x 5,6 =
55) 156 x 0,65 =
56) 83,2 x 43,9 =
57) 357 x 5,55 =
58) 99,9 x 2,47 =
59) 123 x 100 =
60) 4,56 x 10 =
61) 78,9 x 1000 =
62) 0,65 x 100 =
63) 0,034 x 10 =
64) 0,21 x 1000 =
Moltiplicazione
Moltiplicazioni per 10, 100, 1000:
Divisione
Proseguire le divisioni sino alla seconda cifra decimale (o sino ad ottenere resto 0)
65) 1356 : 6 =
66) 1799 : 7 =
67) 3559 : 5 =
68) 2175 : 25 =
69) 246,4 : 56 =
70) 600 : 27 =
71) 1458 : 36 =
72) 132,6 : 85 =
73) 1266 : 55 =
74) 234 : 8,3 =
75) 4,53 : 6,1 =
76) 1171,6 : 2,32 =
77) 4520 : 10 =
78) 123 : 100 =
79) 78,91 : 10 =
80) 306 : 1000 =
81) 0,37 : 10 =
82) 81,2 : 1000 =
Divisioni per 10, 100, 1000:
Approssimazioni
Approssimare a tutte le cifre
83) 3431
84) 6867
85) 1635
86) 7608
87) 5252
88) 3198
89) 4290
90) 1115
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Equivalenze
91) hm 33 = m
92) mg 231 = dg
93) dal 4,6 = dl
94) Km 0,22 = dm
95) cg 4280 = hg
96) g 31,2 = Kg
97) hl 0,055 = cl
98) dm 34,3 = Km
99) cl 63 = hl
100) mg 26634 = dag
101) m 404 = hm
102) dg 1000 = dag
Divisibilità e numeri primi
Individuare quali fra i seguenti numeri sono primi :
103) 161 ; 167 ; 169 ; 221 ; 239 ; 289
Utilizzando i criteri di divisibilità verificare se i seguenti numeri sono divisibili per 2 , 3 , 5 , 11 .
104) 7777
105) 10.000
106) 64.592
107) 54.345
108) 90.464
109) 10.101
110) 24.743
111) 88.111
Scomposizione in fattori primi
Scomporre in fattori primi
112) 18
113) 56
114) 78
115) 90
116) 99
117) 120
118) 128
119) 250
Massimo comun divisore
120) MCD (85 ; 102) =
121) MCD (72 ; 108) =
122) MCD (56 ; 88) =
123) MCD (33 ; 132) =
124) MCD (396 ; 588) =
125) MCD (363 ; 495) =
Frazioni
Calcolare :
126)
3
di 98
127)
7
129)
3
8
5
di 27
128)
6
di 100
130)
2
9
4
di 63
9
di 3,6
131)
11
di 2,56
16
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Ridurre le frazioni ai minimi termini
132)
12
133)
60
136)
130
182
28
134)
42
137)
196
90
135)
126
138)
224
147
441
105
140
139)
525
700
Proporzioni
Calcolare il termine incognito delle proporzioni
140) 12 : x = 22 : 77
141) 135 : 27 = 81 : x
142) x : 13 = 24,5 : 7
143) 72,8 : 8 = 9,1 : x
144) 880 : 55 = x : 54
145) 0,396 : 0,3 = x : 7
Problemi
Risolvere i problemi con l’uso delle proporzioni:
146) Se 25 Kg di una certa merce costano 90 € , quanto costano 30 Kg della stessa merce ?
147) Una automobile consuma 4,5 litri di benzina per percorrere 54 Km. Quanti litri di benzina consumerà per
percorrere 78 Km, viaggiando alla stessa velocità ?
148) Con l’olio contenuto in una damigiana si riempiono 60 bottiglie da 0,75 litri. Con la stessa quantità d’olio quanti
recipienti da 2,5 litri si riempiono ?
149) Per tappezzare una parete si usano 10 rotoli di carta alti 60 cm. Quanti rotoli alti 0,75 m. occorrerebbero per
tappezzare la stessa parete ?
150) Due pali, alti rispettivamente 2 metri e 1,6 metri, sono fissati verticalmente nel terreno. Quanto è lunga l’ombra
proiettata dal primo palo se il secondo proietta un’ombra di 2,4 metri ?
151) Una pompa, che versa 2,5 litri di acqua al secondo, riempie una vasca in 8 minuti. Se, assieme a questa, venisse
anche utilizzata una seconda pompa, che versa 1,5 litri al secondo, in quanto tempo si riempirebbe la vasca ?
Percentuale
Calcolare :
152) 5 % di 80
153) 3,2 % di 75
154) 35 % di 7.000
155) 99 % di 650
156) 65 % di 0,8
157) 0,75 % di 36.000
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Problemi con le percentuali
158) In una città in un anno si sono registrate 950 nascite, con una percentuale di femmine del 56 %. Quanti sono stati i
maschi ?
159) Gli alunni di una scuola media sono 400. Di essi il 32 % frequenta la prima classe, il 35 % la seconda ed i
rimanenti la terza. Quanti alunni frequentano rispettivamente le tre classi ?
160) In una ditta, in occasione di uno sciopero, su 64 operai 48 hanno aderito. Quale è stata la percentuale degli
scioperanti ?
161) In una classe di 24 alunni ieri ne erano assenti il 25 %, di questi oggi ne sono rientrati 2 e nessun altro si è
assentato. Quanti alunni sono presenti oggi ?
162) Per ottenere 21 Kg di farina, quanto grano si deve macinare se l’ 84 % di grano si trasforma, macinandolo, in
farina ?
163) Un negoziante acquista 60 Kg di mele a 2,50 € al Kg e le rivende al 20 % in più. Sapendo che il 12 % delle mele
sono rimaste invendute, quanto ha guadagnato il negoziante ?
Problemi con sconti e interessi
164) Una confezione di 12 bottiglie di olio costa 60 euro. Comprandone 2 confezioni ho ottenuto uno sconto del 5 %.
Quanto ho pagato ogni bottiglia ? e in tutto ?
165) Un televisore ha un prezzo di listino di 660 euro. In un negozio viene venduto con uno sconto di 100 € mentre in
un altro negozio con uno sconto del 15 %. Dove conviene comperarlo ? quanto si risparmia ?
166) In un saldo di fine stagione un vestito che costava 120 € viene venduto a 78 €. Che sconto percentuale viene
praticato ?
167) Un pennarello sciolto costa 1,20 € mentre una confezione di 5 costa 4,80 €. Quale è lo sconto, in valore assoluto e
in percentuale, che si usufruisce acquistando la confezione ?
168) Ho ottenuto un prestito di 5500 € ad un tasso di interesse del 4,5 %. Fra un anno quanto dovrò restituire ?
169) Un investimento di 3000 € frutta in un anno un interesse di 120 €. Calcolare il tasso.
170) Sugli interessi maturati in un investimento in titoli bancari le legge prevede il pagamento del 12,5 % di tasse. Se si
investono 8000 € al tasso del 5,5 %, dopo un anno, tenendo conto delle tasse, quanto si ricaverà ?
171) Se si devono restituire 2640 € a fronte di un prestito di 2500 €, quale tasso di interesse è stato praticato ?
Grafici
172) Tracciare il grafico corrispondente alla tabella
173) In un call-center il numero di operatori contemporaneamente
impegnati varia a seconda dell’ora della giornata.
In un certo giorno sono stati rilevati i dati riportati in tabella.
Tracciare il grafico corrispondente.
x
y
1
3
5
7
10
12,5
3
5
9,5
12
6
7
Ora
operatori
7
8
9
11
13
14
17
2
9
9
5
11
12
6
59
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VIETATA LA STAMPA, LA VENDITA E LA RIPRODUZIONE
%
anno
6,8
8,9
9,2
8,0
7,2
7,8
1996
1999
2001
2003
2006
2008
Linea
1
2
3
4
A
utenti
825
520
860
550
310
174) In alcune successive consultazioni elettorali un certo partito
ha ottenuto le percentuali di voti che compaiono in tabella.
Rappresentare in un grafico l’andamento dei voti negli anni.
175) I trasporti pubblici urbani di una città sono effettuati da 5
linee di autobus.
E’ stata rilevata la media giornaliera di utenti per ciascuna linea.
Costruire un grafico con i dati della tabella.
Triangolo
176) Un triangolo ha la base di m 2,1 e gli altri due lati di m 1 e di m 1,7. L’altezza è
1
del perimetro. Trovare
6
perimetro e area.
178) Un triangolo isoscele ha un perimetro di dm 1,9 e la base di cm 4. Trovare la lunghezza dei lati obliqui.
179) Un triangolo ha un’area di 39 cm2. Se l’altezza è di cm 6,5 quanto misura la base ?
Quadrilateri
Rettangolo
180) La base di un rettangolo misura m 3 e l’altezza è i
3
della base. Trovare perimetro e area del rettangolo.
5
181) Un rettangolo ha un’area di dm2 3,5 e l’altezza di dm 1,4. Quanti metri misura il perimetro ?
182) In un rettangolo l’altezza è metà della base. Se il perimetro è di cm 15, qual’è l’area ?
Rombo
183) Il lato di un rombo misura cm 8. Le due diagonali sono rispettivamente i
6
5
e gli
8
del lato. Trovare perimetro
5
ed area del rombo.
184) Un rombo ha un’area di 2,7 dm2 ed una diagonale di cm 15. Trovare la misura dell’altra diagonale.
185) Un rombo è tale che i due triangoli che si formano tagliandolo lungo la diagonale minore sono equilateri. Sapendo
che la sua diagonale maggiore misura cm 6,93 ed il perimetro cm 16 , trovarne l’area.
60
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Quadrato
186) Il perimetro di un quadrato misura 48 metri. Trovare l’area.
187) Se ad un quadrato qualsiasi viene raddoppiata la misura del lato, si ottiene un nuovo quadrato di area maggiore. Di
quanto sarà aumentata l’area ?
a) sarà raddoppiata
b) sarà quadruplicata
c) dipende dalla lunghezza del lato
188) Una piastrella quadrata di 30 cm di lato pesa 1,44 Kg. Quanto pesa una piastrella quadrata dello stesso tipo di
25 cm di lato ?
Trapezio
189) In un trapezio rettangolo la base maggiore misura cm 13,5. La base minore i
5
della base maggiore, il lato
9
obliquo è della stessa lunghezza della base minore e l’altezza è di cm 3. Calcolare perimetro ed area.
190) Un trapezio ha un’area di m2 1. Le sue basi misurano rispettivamente dm 20 e cm 50. Trovare l’altezza.
191) Un trapezio ha un’area di cm2 36. La sua base maggiore misura cm 5,5 e l’altezza cm 7,2. Trovare la lunghezza
della base minore.
Problemi con poligoni equivalenti
192) Un rettangolo con la base di m 7,5 e l’altezza di m 3 è equivalente ad un triangolo con la stessa altezza. Trovare
l’area e la base del triangolo.
193) Un quadrato ha un perimetro di cm 32 ed è equivalente ad un rettangolo con una base di dm 1,6. Trovare area e
perimetro del rettangolo.
194) Due trapezi, tra loro equivalenti, hanno base maggiore uguale e l’altezza del secondo è i
2
dell’altezza del primo.
3
Le misure del primo trapezio sono: base maggiore cm 10, base minore cm 2, altezza cm 4,5. Trovare l’area dei trapezi
e la base minore del secondo.
Figure geometriche sul piano cartesiano
195) Disegnare il quadrilatero che ha per vertici i punti A(2 ; 3), B(6 ; 3), C(6 ; 6) e D(2 ; 6). Calcolarne l’area ed il
perimetro.
196) Disegnare il triangolo che ha per vertici i punti A(1 ; 1), B(5 ; 1), C(4 ; 5) e calcolarne l’area.
197) Disegnare il quadrilatero che ha per vertici i punti A(2 ; 3), B(4 ; 0), C(6 ; 3) e D(4 ; 6). Calcolarne l’area.
198) Disegnare il quadrilatero che ha per vertici i punti A(0 ; 2), B(7 ; 2), C(5 ; 5) e D(1 ; 5). Calcolarne l’area.
199) I punti A(3 ; 2), B(5 ; 2), C(5 ; 7) sono tre vertici di un rettangolo. Tracciare il rettangolo trovando le coordinate
del quarto vertice. Calcolare poi perimetro e area.
200) I punti A(2 ; 3) e C(6 ; 7) sono due vertici opposti di un quadrato. Tracciare il quadrato trovando le coordinate dei
vertici mancanti. Calcolare poi perimetro e area.
Radice quadrata
201)
256
202)
5450
203)
10,24
61
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204)
10201
205)
3080,25
206)
1233
207)
443
208)
3,61
209)
0,2
Teorema di Pitagora
210) Un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa di m 1,25 ed un cateto di cm 75. Calcolare perimetro ed area.
211) Le diagonali di un rombo misurano rispettivamente cm 16 e cm 30. Calcolare il perimetro del rombo.
212) Un trapezio isoscele ha le due basi di cm 25 e di cm 5 , mentre l’altezza è di cm 24. Calcolare il perimetro del
trapezio.
213) Un trapezio rettangolo ha le due basi di cm 8 e di cm 6. La diagonale maggiore misura cm 10. Calcolare area e
perimetro del trapezio.
214) Il perimetro di un triangolo isoscele è di dm 6,4 mentre la sua base è di cm 14. Trovare l’area.
215) Un triangolo equilatero è equivalente ad un quadrato. Se il lato del triangolo misura 20 metri, quanto misura il lato
del quadrato?
Il cubo
216) Il perimetro di base di un cubo è di cm 36. Calcolare volume e superficie totale.
217) L’area di base di un cubo è di cm2 196. Trovare la superficie laterale ed il volume.
218) La superficie laterale di un cubo è di dm2 5,76. Calcolare volume e superficie totale.
219) Un contenitore di lamiera di forma cubica (un cubo senza la faccia superiore) ha lo spigolo di m 0,5. Sapendo che
un metro quadrato di lamiera pesa 2,4 Kg, quanto pesa il contenitore ?
220) Un cubo di cemento pesa 2 Kg. Quanto pesa un altro cubo, fatto con lo stesso cemento, ma con spigolo doppio del
primo ?
62
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SOLUZIONI
1) 302,3
2) 5.050,04
3) 70.621
4) 0,239
5) 12,044
6) 31.000.300
7) 200.020,2
8) 1.012.000
9) 30.000.507
10) 90,405
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11) centoventotto
12) settecentodiciassette
13) milleottantotto
14) centomilacentouno
15) sessantaseimilasettantuno
16) ventunmilaottocentoottanta
17) unmilioneundicimilatrecentotre
18) diciannovemilacinquantuno
19) trentunmilatrentatre
20) quattromilionimillecento
21) quarantacinquemilaquattrocentoottantotto
22) unmilionecentounmilaottantuno
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------23) 126.215
24) 1.701
25) 2.000.488
26) 303.006.020
27) 6.000.061
28) 25.025
29) 101.101
30) 4.444
31) 20.911.100
32) 76.919
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------33) 999
34) 1172
35) 1630
36) 500,01
37) 1101,9
39) 1100
40) 1111,8
38) 1222,15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------41) 401
42) 817
43) 67
44) 814,14
45) 2,69
46) 144,855
47) 60,1
48) 1070,47
49) 99,99
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------50) 18.725
51) 30.362
52) 125.256
53) 1784
54) 175,336
55) 101,4
56) 3652,48
57) 1981,35
58) 246,753
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------59) 12.300
60) 45,6
61) 78.900
62) 65
63) 0,34
64) 210
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------65) 226
66) 257
67) 711,8
68) 87
69) 4,4
70) 22,22
71) 40,5
72) 1,56
73) 23,01
74) 28,19
75) 0,74
76) 505
77) 452
78) 1,23
79) 7,891
80) 0,306
81) 0,037
82) 0,0812
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------83) 3430 ; 3400 ; 3000
84) 6870 ; 6900 ; 7000
85) 1640 ; 1600 ; 2000
86) 7610 ; 7600 ; 8000
87) 5250 ; 5300 ; 5000
88) 3200 ; 3200 ; 3000
89) 4290 ; 4300 ; 4000
90) 1120 ; 1100 ; 1000
91) 3300
92) 2,31
93) 460
63
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94) 2200
95) 0,4280
96) 0,0312
97) 550
98) 0,00343
99) 0,0063
100) 2,6634
101) 4,04
102) 10
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------103) 161 divisibile per 7 ; 167 primo ; 169 divisibile per 13 ;
221 divisibile per 13 ; 239 primo ; 289 divisibile per 17
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------104) divisibile per 11
105) divisibile per 2 ; 5
106) divisibile per 2 ; 11
107) divisibile per 3 ; 5
108) divisibile per 2 ; 11
110) non divisibile
111) non divisibile
109) divisibile per 3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------112) 2 x 32
113) 23 x 7
114) 2 x 3 x 13
115) 2 x 32 x 5
116) 32 x 11
118) 27
119) 2 x 53
117) 23 x 3 x 5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------120) 17
121) 36
122) 8
123) 33
124) 12
125) 33
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------126) 42
127) 22,5
128) 28
129) 37,5
130) 0,8
131) 1,76
------------------------------------------------------------------------------------ --------------------------------2
1
5
3
132)
133)
134)
135)
3
7
4
5
136)
5
7
137)
7
138)
8
1
139)
3
4
3
-------------------------------------------------------------------------------------140) 42
141) 16,2
142) 45,5
143) 1
144) 864
145) 9,24
-------------------------------------------------------------------------------------146) 108 €
147) 6,5 litri
148) 18
149) 8
150) 3 m
151) 5 minuti
-------------------------------------------------------------------------------------152) 4
153) 2,4
154) 2450
155) 643,5
156) 0,52
157) 270
-------------------------------------------------------------------------------------158) 418
159) 128 ; 140 ; 132
160) 75 %
161) 20
162) 25 Kg
163) 8,40 €
-------------------------------------------------------------------------------------164) 4,75 € ; 114 €
165) nel primo negozio ; 1 euro
166) 35 %
167) 1,20 € ; 20 %
168) 5747,50 €
169) 4 %
170) 8385 €
171) 5,6 %
64
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172 )
173)
y
operatori
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
2
4
6
8
ora
x
10 12
6
174)
10 12 14 16 18
8
175)
%
utenti
10
9
1000
8
800
7
600
6
400
5
200
04
96 98 00 02
anno
2
1
06 08
3
4
A
linea
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------176) Perimetro m 4,8.
Area m2 0,84
177) Stessa area.
B ha il perimetro maggiore.
178) cm 7,5
179) cm 12
2
180) m 9,6 ; m 5,4
181) m 0,78
182) cm2 12,5
183) cm 32 ; cm2 61,44
184) dm 3,6
185) cm2 13,86
186) m2 144
187) risposta b)
188) 1 Kg
190) m 0,8
191) cm 4,5
2
189) cm 31,5 ; cm 31,5
2
2
192) cm 22,5 ; cm 15
194) cm2 27 ; cm 8
193) cm 64 ; cm 4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------195)
196)
u
u
6
D
C
4
2 A
0
B
2
4
C
6
Area = 12
4
Perimetro = 14
2
6
Area = 8
A
0
197)
B
2
4
6
198)
u
u
D
6
6
Area = 12
4
2
A
0
2
B
4
C
6
D
C
Area = 16,5
4
2
0
B
A
2
4
6
65
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199)
200)
u
u
D(3;7)
6
D(2;7)
C
4
2
A
0
2
B
4
C
6
Perimetro = 14
4
Area = 10
2
0
6
Perimetro = 16
A
2
B(6;3)
4
Area = 16
6
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------201)
16
202)
73,8
203)
3,2
204)
101
205)
55,5
206)
35,1
207)
21,0
208)
1,9
209)
0,4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------210) m 3 ; m2 0,375
211) cm 68
212) cm 82
213) cm2 42 ; cm 26,3
214) cm2 168
215) m 13,1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------216) cm3 729 ; cm2 486
217) cm2 784 ; cm3 2744
218) dm3 1,728 ; dm2 8,64
219) 3 Kg
220) 16 Kg
66
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