Transcript Geometria 1 Spazi vettoriali/1 K = (K, + , · ) campo (in particolare K

Geometria 1
Spazi vettoriali/1
K = (K, + , · ) campo (in particolare K = R, C)
V = (V, + : V ⇥ V ! V, · : K ⇥ V ! V )
spazio
spazio vettoriale
vettoriale su K (o K-spazio vettoriale)
def
() 1) (V,+) gruppo commutativo con elemento neutro 0V
cioè: 1a) v1 + (v2 + v3 ) = (v1 + v2 ) + v3 , 8 v1 , v2 , v3 2 V
1b) v + 0V = u = 0V + v, 8 v 2 V
1c) 8 v 2 V 9 v 2 V t.c. v + v = 0V = v + v
1d) v1 + v2 = v2 + v1 , 8 v1 , v2 2 V
2) a · (v1 + v2 ) = a · v1 + a · v2 , 8 a 2 K 8 v1 , v2 2 V
3) (a1 + a2 ) · v = a1 · v + a2 · v, 8 a1 , a2 2 K 8 v 2 V
4) (a1 · a2 ) · v = a1 · (a2 · v), 8 a1 , a2 2 K 8 v 2 V
5) 1K · v = v, 8 v 2 V
Note
Note:
Note 1) 0V e v = v (opposto di v) sono unici
2) 0K · v = 0V per ogni v 2 V
3) ( 1)K · v = v per ogni v 2 V
Esempi 1) V = insieme dei vettori liberi del piano/spazio
Esempi
Esempi:
con le operazioni geometriche (K = R)
2) KB n con le operazioni per definite componenti
BB D T T
K-spazio
K-spazio vettoriale
vettoriale numerico
numerico
3) K[x] = insieme dei polinomi in x a coe↵. in K
K-spazio vett. con le operazioni usuali
U ⇢V
def
() U
() U
sottospazio vettoriale
vettoriale (su K)
sottospazio
è uno spazio vett. con le operaz. di V ristrette a U
6= ? e 1) v1 , v2 2 U ) v1 + v2 2 U
2) a 2 K , v 2 U ) a v 2 U
Esempi
Esempi:
Esempi 1)
2)
3)
4)
⇡ piano nello spazio 3 V (⇡) ⇢ V (spazio)
Km ⇢ Kn ((x1 , . . . , xm ) $ (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0))
K[x]m ⇢ K[x] polinomi di grado  m
V ⇢ V e {0V } ⇢ V (sottospazio nullo)
Geometria 1
Spazi vettoriali/2
sottospazio vett.
vett. generato
generato da S
S ⇢ V sottoinsieme 3 hSi sottospazio
def
hSi == più piccolo sottospazio vett. di V contenente S
== intersezione di tutti i sottosp. vett. di V contenenti S
== {a1 v1 + . .B . + an vn | ai 2 K , vi 2 S, n 0}
BB D T T
combinazione
combinazione lineare
lineare dei vettori v1 , . . . , vn
da intendersi = 0V per n = 0 () h?i = {0V })
Basi ee dimensione
dimensione
Basi
def
insieme di
di generatori
generatori () V = hSi
S ⇢ V insieme
def
finitamente generato
generato () 9 S ⇢ V insieme finito di generatori
V finitamente
v1 , . . . , vn 2 V vettori linearmente dipendenti
def
() 9 a1 , . . . , an 2 K non tutti nulli t.c. a1 v1 + . . . + an vn = 0V
() 9 vi combinazione lineare di v1 , . . . , vi 1 , vi+1 , . . . , vn
def
linearmente dipendente
dipendente () 9 v1 , . . . , vn 2 S lin. dip.
S ⇢ V linearmente
def
linearmente
linearmente indipendente
indipendente () @ v1 , . . . , vn 2 S lin. dip.
def
B ⇢ V base
base di V () B insieme di generatori lin. indip.
() B insieme di generatori minimale
() B linearmente indipendente massimale
Nota B base di V , ogni vettore di V si può esprimere in modo
Nota
Nota:
unico come comb. lineare di vettori di B
Esempi
Esempi:
Esempi 1)
2)
3)
4)
5)
? base per lo spazio vettoriale nullo {0V }
{v1 , v2 } base per V (piano) , vi 6= 0V non allineati
{v1 , v2 , v3 } base per V (spazio) , vi 6= 0V non compl.
{ei = (0, . . . , 0, 1i , 0, . . . , 0)}i=1,...,n base
base canonica
canonica di Kn
{1, x, . . . , xn , . . .} base (infinita) di K[x] (non fin. gen.)
Prop V spazio vettoriale (fin. gen.) ) esiste B ⇢ V base di V
Prop
Prop.
infatti: 1) ogni insieme di generatori contiene una base
2) ogni insieme lin. indip. è contenuto in una base
Dim V fin. gen. ) 9 {v1 , . . . , vn } insieme finito di generatori
Dim
Dim.
Geometria 1
Spazi vettoriali/3
S ins. gen. 3 B ⇢ S finito minimale che genera v1 , . . . , vn
S lin. indip. 3 B = S [ {vi1 , . . . , vik } con k min t.c. B gen. V
Prop
Prop.
Prop V spazio vettoriale (finitamente generato)
) tutte le basi di V hanno la stessa cardinalità
Dim V finitamente generato ) ogni base di V è finita
Dim
Dim.
{v1 , . . . , vn } e {w1 , . . . , wm } basi con n  m
k 0 max t.c. 9 {w1 , . . . , wk , vik+1 , . . . , vin } gen. di V
P
P
k < n 3 wk+1 = hk ah wh + h>k bh vih con bj 6= 0
3 {w1 , . . . , wk+1 , vik+2 , . . . , vin } gen. di V 3 assurdo
k = n ) {w1 , . . . , wn } gen. di V ) n = m
def
dim V H == cardinalità delle basi di V
H H H—
§ T T dimensione
dimensione di V (come spazio vettoriale su K)
Esempi 1)
Esempi
Esempi:
2)
3)
4)
dim V (piano) = 2, dim V (spazio) = 3
dim Kn = n, dim K[x]n = n + 1, dim K[x] = @0
dim R Cn = 2n ({1, i} base di C come R-spazio vett.)
dim Q R = @1 (R come spazio vettoriale su Q)
Corol
Corol.
Corol V spazio vett. fin. gener. , V ha dim. finita (dim V < 1)
in tal caso: 1) {v1 , . . . , vn } ⇢ V ins. di gener. ) n dim V
e vale n = dim V , {v1 , . . . , vn } base di V
2) {v1 , . . . , vn } ⇢ V ins. lin. indip. ) n  dim V
e vale n = dim V , {v1 , . . . , vn } base di V
Corol U ⇢ V sottospazio vett. ) dim U  dim V
Corol
Corol.
e vale dim U = dim V , U = V
Applicazioni
Applicazioni lineari
lineari ee isomorfismi
isomorfismi
' : V ! W con V, W spazi vettoriali su K
applicazione
omomorfismo
applicazione lineare
lineare (omomorfismo
omomorfismo di spazi vettoriali)
def
() 1) '(v1 + v2 ) = '(v1 ) + '(v2 ) per ogni v1 , v2 2 V
2) '(a v) = a '(v) per ogni a 2 K e v 2 V
def
isomorfismo (lineare)
(lineare) () ' lineare e biiettiva
isomorfismo
Geometria 1
Spazi vettoriali/4
def
V 5B W () 9 ' : V ! W isomorfismo
BB D T T
isomorfi
spazi vettoriali isomorfi
Esempi
Esempi:
Esempi 1)
2)
3)
4)
⇡i : Kn ! K def. ⇡i (x1 , . . . , xn ) = xi lineare
' : K2 ! K2 def. '(x, y) = (x y, 2x + 3y) (iso) lineare
' : K2 ! K2 def. '(x) = (x + y + 1, xy) non lineare
' : C ! C def. '(z) = z è R-lineare, ma non C-lineare
Note 1) idV : V ! V e 0 : V ! W (v 7! 0W , 8 v 2 V ) sono lineari
Note
Note:
2) ' : V ! W e : W ! U lineari ) a ' : V ! U lineare
3) ' : V ! W isomorfismo ) ' 1 : W ! V isomorfismo
BB D T 0T
5 “relazione di equivalenza” tra spazi vettoriali
Prop
Prop.
Prop ' : V ! W applicazione lineare
1) V 0 ⇢ V sottosp. vett. ) W 0 = '(V 0 ) ⇢ W sottosp. vett.
2) W 0 ⇢ W sottosp. vett. ) V 0 = ' 1 (W 0 ) ⇢ V sottosp. vett.
3 '|V 0 : V 0 ! W 0 applicazione lineare
Dim
Dim.
Dim segue immediatamente dalla definizione di appl. lineare
' : V ! W applicazione lineare
def
immagine di ')
3 Im ' == '(V ) ⇢ W (immagine
immagine
def
nucleo di ')
Ker ' == ' 1 (0W ) ⇢ V (nucleo
nucleo
Nota ' iniettiva , Ker ' = {0V } (suriettiva , Im ' = W )
Nota
Nota:
Prop
Prop. V, W spazi vettoriali, {v1 , . . . , vn } base di V
8 w1 , . . . , wn 2 W 9! ' : V ! W lineare t.c. '(vi ) = wi
Pn
Pn
Dim
estensione lineare
lineare
Dim
estensione
Dim. v = i=1 ai vi 3 '(v) = i=1 ai wi (estensione
lineare)
Nota
Nota:
Nota ' suriettiva , {w1 , . . . , wn } insieme di generatori di W
' iniettiva , {w1 , . . . , wn } insieme lin. indip. in W
' isomorfismo , {w1 , . . . , wn } base di W
Corol
Corol.
Corol V 5 W , dim V = dim W (spazi vett. sullo stesso K)
Geometria 1
Spazi vettoriali/5
V spazio vettoriale su K
B = (v1 , . . . , vn ) base ordinata di V 2 B : V ! Kn isomorfismo
v $ B (v) = (x1 , . . . , xn ) coordinate
coordinate lineari
lineari su V
B 0 altra base ordinata di V 3 B,B 0 = B 0 a B 1 : Kn ! Kn isom.
0
0
cambiamento di
di coordinate
coordinate
B,B 0 : (x1 , . . . , xn ) 7! (x1 , . . . , xn ) cambiamento
Somma (diretta)
(diretta) di
di sottospazi
sottospazi
Somma
U1 , . . . , Un ⇢ V sottospazi vettoriali
3 U1 \ . . . \ Un ⇢ V sottospazio vettoriale
Pn
def
U1 + . . . + Un == { i=1 vi | vi 2 Ui } ⇢ V sottosp. vett.
(infatti si ha U1 + . . . + Un = hU1 [ . . . [ Un i ⇢ V )
Prop
Prop.
Prop U1 , U2 ⇢ V sottospazi vett. di dimensione finita
) dim(U1 + U2 ) =B dim U1 + dim U2 dim(U1 \ U2 )
BB D T T
relazione
relazione di
di Grassmann
Grassmann
Dim {v1 , . . . , vm } base di U1 \ U2
Dim
Dim.
0
3 {v1 , . . . , vm , vm+1
, . . . , vn0 1 } base di U1
00
{v1 , . . . , vm , vm+1
, . . . , vn002 } base di U2
0
00
) {v1 , . . . , vm , vm+1
, . . . , vn0 1 , vm+1
, . . . , vn002 } base di U1 + U2
Corol
Corol.
Corol U1 , . . . , Un ⇢ V sottosp. vett. di dimensione finita
) dim(U1 + . . . + Un )  dim U1 + . . . + dim Un
e vale dim(U1 + . . . + Un ) = dim U1 + . . . + dim Un
, Ui \ (U1 + . . . + Ui 1 ) = {0V } per ogni i = 2, . . . , n
P
, Ui \ j6=i Uj = {0V } per ogni i = 1, . . . , n
Dim U1 + . . . + Un 1 + Un = (U1 + . . . + Un 1 ) + Un
Dim
Dim.
3 induzione su n (+ indipendenza dall’ordine)
U1 , . . . , Un ⇢ V sottospazi vettoriali
P
def
indipendenti
indipendenti () Ui \ j6=i Uj = {0V } per ogni i = 1, . . . , n
def
complementari
complementari () indipendenti e U1 + . . . + Un = V
U1 , . . . , Un ⇢ V sottospazi vett. complementari
somma diretta
diretta
3 V = U1 . . . Un somma
Geometria 1
Note 1)
Note
Note:
2)
3)
4)
Spazi vettoriali/6
{v1 , . . . , vn } base di V 3 V = hv1 i . . . hvn i
U1 , . . . , Un indipendenti 3 U = U1 . . . Un ⇢ V
Bi base di Ui per ogni i ) B = B1 [ . . . [ Bn base di U
ogni v 2 U ha unica espr. v = v1 + . . . + vn con vi 2 Ui
3 ⇡i : U ! Ui def. ⇡i (v) = vi proiezione lineare
Prodotti
Prodotti ee quozienti
quozienti di
di spazi
spazi vettoriali
vettoriali
V1 , . . . , Vn spazi vettoriali su K
3 V1 ⇥ . . . ⇥ Vn spazio vettoriale prodotto
prodotto
con operaz. def. per componenti
Esempio Kn = K ⇥ . . . ⇥ K
Esempio
Esempio:
Prop V1 , . . . , Vn spazi vettoriali di dimensione finita su K
Prop
Prop.
) dim(V1 ⇥ . . . ⇥ Vn ) = dim V1 + . . . + dim Vn
Dim
Dim {v1i , . . . , vni i } base di Vi 3 {uij }i=1,...,n
Dim.
j=1,...,ni base di V1 ⇥ . . . ⇥ Vn
con uij = (0V1 , . . . 0Vi 1 , vji , 0Vi+1 , . . . , 0Vn ) 2 V1 ⇥ . . . ⇥ Vn
Note
Note:
Note 1) ⇡i : V1 ⇥ . . . ⇥ Vn ! Vi proiezioni canoniche lineari
2) Ui = hui1 , . . . , uini i ⇢ V1 ⇥ . . . ⇥ Vn sottospazi vettoriali
tali che ⇡i| : Ui 5 Vi e V1 ⇥ . . . ⇥ Vn = U1 . . . Un
3) V = U1 . . . Un 3 U1 ⇥ . . . ⇥ Un 5 V iso definito
(v1 , . . . , vn ) $ v1 + . . . + vn
U ⇢ V sottospazio vettoriale
def
congruenza mod U )
3 v1 ⇠U v2 () v1 v2 2 U (congruenza
congruenza
laterale di U in V )
laterale
3 [v]U = U + v = {w + v | w 2 U } $ U (laterale
3 (U + v1 ) + (U + v2 ) = U + (v1 + v2 ) per ogni v1 , v2 2 V
a · (U + v) = U + a · v per ogni a 2 K e v 2 V
3 V /U = ({U + v | v 2 V }, + , · ) spazio vettoriale quoziente
quoziente
Prop
Prop.
Prop V spazio vett. di dimensione finita
U ⇢ V sottosp. vett. ) dim V /U = dim V
dim U
Dim {v1 , . . . vm } base di U 3 {v1 , . . . , vn } base di V
Dim
Dim.
) {U + vm+1 , . . . , U + vn } base di V /U
Geometria 1
Spazi vettoriali/7
Prop ' : V ! W applicazione lineare
Prop
Prop.
Im ' 5 V / Ker ' () dim Im ' = dim V
dim Ker ')
Dim
Dim.
Dim ' 3 ' : V / Ker ' ! Im ' iso lineare def. '(W + v) = '(v)
Note 1) ⇡ : V ! V /U proiezione canonica lineare e Ker ⇡ = U
Note
Note:
2) ' : V ! W appl. lineare, '(v) = w ) ' 1 (w) = Ker ' + v
Forme lineari
lineari ee spazio
spazio duale
duale
Forme
V spazio vettoriale su K
def
3 V ⇤ == { B : V ! K | lineare} spazio vettoriale duale
duale
BB D T T
forma
con operaz. def. puntualmente
forma lineare
lineare
Prop V spazio vettoriale di dimensione finita ) dim V ⇤ = dim V
Prop
Prop.
Dim {v1 , . . . , vn } base di V 3 {v1⇤ , . . . , vn⇤ } base
base duale
duale di V ⇤
Dim
Dim.
Pn
⇤
definita vi (vj ) = i,j ( (vi ) = ai ) = j=1 aj vj⇤ )
Note
Note:
Note 1) V 5 V ⇤ isomorfismo non canonico (dipende dalla base)
⇤
non vale se dim V = 1 ( 2 K[x] def. (p(x)) = p(1))
2) "V : V 5 V ⇤⇤ appl. lineare def. "V (v) : 7! (v)
isomorfismo canonico se V ha dimensione finita
3) : Kn ! K forma lineare ,
Pn
(x1 , . . . , xn ) = j=1 aj xj con ai = (ei ) 2 K
' : V ! W applicazione lineare
3 '⇤ : W ⇤ ! V ⇤ applicazione lineare duale o trasposta
trasposta
definita '⇤ : ( : W ! K) 7! ('⇤ ( ) = a ' : V ! K)
Note 1) (idV )⇤ = idV ⇤ e '⇤ appl. nulla , ' appl. nulla
Note
Note:
2) ' : V ! W e : W ! U ) ( a ')⇤ = '⇤ a ⇤ : U ⇤ ! V ⇤
3) '⇤ iso , ' iso e in tal caso ('⇤ ) 1 = (' 1 )⇤
B = (v1 , . . . , vn ) base ordinata di V
3 V ⇤ 5 (K n )⇤ iso def. $ < B = ( B 1 )⇤ ( ) = a B 1 : Kn ! K
ŒÕ< < D T T in coord. lineari indotte da B
Nota B 0 altra base ord. di V 3
Nota
Nota:
B0
=(
1
⇤
B,B 0 ) ( B )
=
B
a
1
B,B 0
Geometria 1
Spazi vettoriali/8
U ⇢ V sottospazio vettoriale
annullatore di U
3 Nil U = { 2 V ⇤ | (U ) = 0K } ⇢ V ⇤ sottosp. annullatore
Note
Note:
Note 1) Nil U 3 U = \ 2Nil U Ker ( 2 Nil U , U ⇢ Ker )
2) U1 , U2 ⇢ V sottosp. vett., U1 ⇢ U2 , Nil U1 Nil U2
3) U1 , . . . , Un ⇢ V sottospazi vett.
Nil(U1 \ . . . \ Un ) = Nil U1 + . . . + Nil Un
Nil(U1 + . . . + Un ) = Nil U1 \ . . . \ Nil Un
Prop V spazio vett. di dimensione finita
Prop
Prop.
U ⇢ V sottosp. vett. ) dim Nil U = dim V
dim U
Dim {v1 , . . . , vm } base di U 3 {v1 , . . . , vn } base di V
Dim
Dim.
⇤
3 {vm+1
, . . . , vn⇤ } base di Nil U
Note 1) U ⇢ V sottosp. vett. di codim k , 9 1 , . . . , k 2 V ⇤
Note
Note:
lin. indip. t.c. U = {v 2 V | 1 (v) = 0K , . . . , k (v) = 0K }
2) V spazio vett. di dimensione finita )
Nil : {sottosp. di V } $ {sottosp. di V ⇤ } dualità
dualità lineare
lineare
(U 0 = Nil U , U = "V 1 (Nil U 0 ) per ogni U ⇢ V , U 0 ⇢ V ⇤ )
Prop ' : V ! W applicazione lineare
Prop
Prop.
) Im '⇤ = Nil(Ker ') e Ker '⇤ = Nil(Im ')
) dim Im '⇤ = dim Im ' e dim Ker '⇤ = dim Ker '
Dim
Dim.
Dim
2 Ker '⇤ , '⇤ ( ) = 0 , a ' = 0 , 2 Nil Im '
) uguaglianze tra le dim ) dim Im '⇤ = dim Nil(Ker ')
2 Im '⇤ ) = µ a ' ) (Ker ') = 0 ) 2 Nil Ker '
Spazi di
di applicazioni
applicazioni lineari
lineari
Spazi
V e W spazi vettoriali su K
def
3 Hom(V, W ) == {' : V ! W | ' lineare}
spazio vett. su K con operazioni def. puntualmente
Nota V ⇤ = Hom(V, K)
Nota
Nota:
Geometria 1
Spazi vettoriali/9
Prop V e W spazi vett. di dimensione finita
Prop
Prop.
) dim Hom(V, W ) = dim V dim W
Dim
Dim.
Dim {v1 , . . . , vn } base di V , {w1 , . . . , wm } base di W
3 {'i,j : v 7! vj⇤ (v) · wi }j=1,...,n
base di Hom(V, W )
i=1,...,m
P
j=1,...,n
(wi⇤ ('(vj )) = ai,j ) ' = i=1,...,m ai,j 'i,j )
Note 1) ' : Kn ! Km applicazione lineare ,
Note
Note:
Pn
'(x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , ym ) con yi = j=1 ai,j xj
dove (a1,j , . . . , am,j ) = '(ej ) 8 j = 1, . . . , n
2) B,B 0 cambiamento di coordinate lineari ha questa
forma con n = m (+ condizione di invertibilità)
B = (v1 , . . . , vn ) base ord. di V , C = (w1 , . . . , wm ) base ord. di W
3 Hom(V, W ) 5 Hom(Kn , Km ) iso def. ' $ 'B,C H = C a ' a B 1
H H ∑∂
0
0
' in coord. lineari indotte da B e C
Nota
Nota:
Nota B 0 , C 0 altre basi ord. di U, V 3 'B 0 ,C 0 =
C,C 0
a 'B,C a
1
B,B 0
U, V, W spazi vettoriali su K
3 Hom(U, V ) ⇥ Hom(V, W ) ! Hom(U, W ) definita (', ) 7!
a'
Note
Note:
Note 1) l’operazione di composizione non è lineare ma bilineare
cioè: ( 1 + 2 ) a ' = 1 a ' + 2 a ' , (a ) a ' = a( a ')
a ('1 + '2 ) = a '1 + a '2 , a (a ') = a( a ')
2) A, B, C basi ord. di U, V, W 3 B,C a 'A,B = ( a ')A,C
Operatori lineari
V spazio vettoriale su K
def
operatori lineari
lineari su V
End V == Hom(V, V ) spazio vett. degli operatori
def
automorfismi di V
Aut V == {' 2 End V | ' iso} gruppo degli automorfismi
con la composizione di appl.
Nota
Nota:
Nota Aut V non è un sottospazio vettoriale di End V
né un gruppo rispetto alla somma puntuale (0 2
/ Aut V )
Esempio ' 2 A↵ del piano/spazio ) '⇤ 2 Aut V (piano/spazio)
Esempio
Esempio:
Geometria 1
Spazi vettoriali/10
B = (v1 , . . . , vn ) base ordinata di V
def
3 End V 5 End Kn iso def. ' $ < 'B == 'B,B = B a ' a B 1
ŒÕ< < D T T ' in coord. lineari indotte da B
3 Aut V 5 Aut Kn 5 GL(n, K) gruppo
gruppo lineare
lineare generale
generale
Nota
Nota:
Nota B 0 altra base ord. di V 3 'B 0 =
B,B 0
a 'B a
1
B,B 0
Forme bilineari
bilineari
Forme
V spazio vettoriale su K
forma bilineare
bilineare
: V ⇥ V ! K forma
def
() 1) lineare rispetto alla prima variabile
cioè: 1a) (v1 + v2 , w) = (v1 , w) + (v1 , w) , 8 v1 , v2 , w 2 V
1b) (a v, w) = a (v, w) , 8 a 2 K e 8 v, w 2 V
2) lineare rispetto alla seconda variabile
cioè: 2a) (v, w1 + w2 ) = (v, w1 ) + (v, w2 ), 8 v, w1 , w2 2 V
2b) (v, a w) = a (v, w) , 8 a 2 K e 8 v, w 2 V
Esempi
Esempi:
Esempi 1) , µ 2 V ⇤ 3 (v, w) = (v) · µ(w) (prod. di forme lin.)
2) Kn ⇥ Kn ! K definita (x, y) = x1 y1 + . . . + xn yn
(non è prodotto di forme lineari per n > 1)
3) V spazio dei vettori liberi del piano/spazio
(v, w) = hv, wi (prodotto scalare)
Bil V = { : V ⇥ V ! K |
bilineare} spazio vettoriale su K
con operaz. def. puntualm.
Prop V spazio vett. di dimens. finita ) dim Bil V = (dim V )2
Prop
Prop.
Dim
Dim.
Dim {v1 , . . . , vn } base di V 3
{ i,j : (v, w) 7! vi⇤ (v) · vj⇤ (w)}j=1,...,n
i=1,...,n base di Bil V
Pj=1,...,n
(ai,j = (vi , vj ) ) = i=1,...,n ai,j i,j )
Prop
Prop. V spazio vett. di dimens. finita ) Bil V 5 Hom(V, V ⇤ )
Dim
Dim
Dim.
2 Bil V $ ⌘ 2 Hom(V, V ⇤ ) con ⌘(v)(w) = (v, w)
( lineare in v , ⌘ lineare, lineare in w , ⌘(v) 2 V ⇤ )
Geometria 1
Nota
Nota
Nota:
Spazi vettoriali/11
: Kn ⇥ Kn ! K forma bilineare ,
Pj=1,...,n
(x, y) = i=1,...,n ai,j xi yj dove ai,j = (ei , ej )
B = (v1 , . . . , vn ) base ordinata di V
def
3 Bil V 5 Bil Kn iso def. $ < B == a ( B 1 ⇥ B 1 )
ŒÕ< < D T T in coord. lineari indotte da B
def
3 Hom(V, V ⇤ ) 5 Hom(Kn , Kn ) iso def. ⌘ $ <⌘B == ( B 1 )⇤ a ⌘ a B 1
<<
⌘ in coord. lineari indotte da B 0 0 Ä ≥ <
Nota B 0 altra base ord. di V 3
Nota
Nota:
B0
⌘B 0
1
= B a ( B,B
0 ⇥
1
⇤
= ( B,B
0 ) a ⌘B a
1
B,B 0 )
1
B,B 0
: V ⇥ V ! K forma bilineare
def
simmetrica
simmetrica () (w, v) = (v, w) 8 v, w 2 V
def
antisimmetrica
(v, w) 8 v, w 2 V
antisimmetrica () (w, v) =
Nota 1) { simm.}, { antisimm.} ⇢ Bil V sottosp. vettoriali
Nota
Nota:
2) Bil V è somma diretta di tali sottosp. se car K 6= 2
: V ⇥ V ! K forma bilineare simmetrica
3 ↵B : V ! K definita ↵(v) = (v, v) 8 v 2 V
BB D T T
forma
forma quadratica
quadratica associata a
Nota
Nota:
Nota ↵ forma quadratica associata a
) 1) ↵(v + w) = ↵(v) + ↵(w) + 2 (v, w) 8 v, w 2 V
2) ↵(a v) = a2 ↵(v) 8 a 2 K 8 v 2 V
car K 6= 2 ) 1) B è univocamente determinata da ↵
BB D T T
polare di ↵
forma (bilin. simm.) polare
2) (v, w) = 0 8 v, w 2 V , ↵(v) = 0 8 v 2 V